概率論第五章統(tǒng)計量及其分布

概率論第五章統(tǒng)計量及其分布第1頁，課件共76頁，創(chuàng)作于2023年2月例5.0.1

某公司要采購一批產品，每件產品不

是合格品就是不合格品，但該批產品總有一

個不合格品率

p。由此，若從該批產品中隨

機抽取一件，用

x

表示這一批產品的不合格

數，不難看出

x

服從一個二點分布b(1,p)，

但分布中的參數

p是不知道的。一些問題：

第2頁，課件共76頁，創(chuàng)作于2023年2月

p

的大小如何；

p大概落在什么范圍內；

能否認為

p

滿足設定要求（如p

0.05）。第3頁，課件共76頁，創(chuàng)作于2023年2月§5.1總體與個體總體的三層含義：

研究對象的全體；

數據；

分布第4頁，課件共76頁，創(chuàng)作于2023年2月例5.1.1

考察某廠的產品質量，以0記合格品，以1記不合格品，則總體={該廠生產的全部合格品與不合格品}={由0或1組成的一堆數}若以

p表示這堆數中1的比例（不合格品率），則該總體可由一個二點分布表示：X0

1P1

pp第5頁，課件共76頁，創(chuàng)作于2023年2月比如：兩個生產同類產品的工廠的產品的總體

分布：X01p0.9830.017X01p0.9150.085第6頁，課件共76頁，創(chuàng)作于2023年2月例5.1.2

在二十世紀七十年代后期，美國消費者購買日產SONY彩電的熱情高于購買美產SONY彩電，原因何在？

1979年4月17日日本《朝日新聞》刊登調查報告指出N(m,(5/3)2)，日產SONY彩電的彩色濃度服從正態(tài)分布，而美產SONY彩電的彩色濃度服從(m

5,m+5)上的均勻分布。原因在于總體的差異上！第7頁，課件共76頁，創(chuàng)作于2023年2月圖5.1.1SONY彩電彩色濃度分布圖第8頁，課件共76頁，創(chuàng)作于2023年2月等級

I

IIIII

IV美產33.333.333.30

日產68.327.14.30.3表5.1.1

各等級彩電的比例(%)第9頁，課件共76頁，創(chuàng)作于2023年2月5.1.2

樣本樣品、樣本、樣本量:樣本具有兩重性一方面，由于樣本是從總體中隨機抽取的，抽取前無法預知它們的數值，因此，樣本是隨機變量，用大寫字母X1,X2,…,Xn

表示；另一方面，樣本在抽取以后經觀測就有確定的觀測值，因此，樣本又是一組數值。此時用小寫字母x1,x2,…,xn表示是恰當的。簡單起見，無論是樣本還是其觀測值，樣本一般均用x1,x2,…xn

表示，應能從上下文中加以區(qū)別。第10頁，課件共76頁，創(chuàng)作于2023年2月例5.1.3

啤酒廠生產的瓶裝啤酒規(guī)定凈含量為640

克。由于隨機性，事實上不可能使得所有的啤酒凈含量均為640克?，F(xiàn)從某廠生產的啤酒中隨機抽取10瓶測定其凈含量，得到如下結果：641,635,640,637,642,638,645,643,639,640這是一個容量為10的樣本的觀測值，對應的總體為該廠生產的瓶裝啤酒的凈含量。這樣的樣本稱為完全樣本。第11頁，課件共76頁，創(chuàng)作于2023年2月例5.1.4

考察某廠生產的某種電子元件的壽命，選了100只進行壽命試驗，得到如下數據：第12頁，課件共76頁，創(chuàng)作于2023年2月表5.1.2

100只元件的壽命數據表5.1.2中的樣本觀測值沒有具體的數值，只有一個范圍，這樣的樣本稱為分組樣本。

壽命范圍

元件數

壽命范圍

元件數

壽命范圍

元件數(024]4(192216]6(384408]4(2448]8(216240]3(408432]4(4872]6(240264]3(432456]1(7296]5(264288]5(456480]2(96120]3(288312]5(480504]2(120144]4(312336]3(504528]3(144168]5(336360]5(528552]1(168192]4(360184]1>55213第13頁，課件共76頁，創(chuàng)作于2023年2月獨立性:

樣本中每一樣品的取值不影響其它樣品的取值--

x1,x2,…,xn

相互獨立。要使得推斷可靠，對樣本就有要求，使樣本能很好地代表總體。通常有如下兩個要求：隨機性:總體中每一個個體都有同等機會被選入樣本--

xi

與總體X有相同的分布。樣本的要求：簡單隨機樣本第14頁，課件共76頁，創(chuàng)作于2023年2月設總體X具有分布函數F(x),

x1,x2,…,xn

為取自該總體的容量為n的樣本，則樣本聯(lián)合分布函數為用簡單隨機抽樣方法得到的樣本稱為簡單隨機樣本，也簡稱樣本。于是，樣本

x1,x2,…,xn

可以看成是獨立同分布(iid)的隨機變量，其共同分布即為總體分布。第15頁，課件共76頁，創(chuàng)作于2023年2月總體分為有限總體與無限總體實際中總體中的個體數大多是有限的。當個體數充分大時，將有限總體看作無限總體是一種合理的抽象。對無限總體，隨機性與獨立性容易實現(xiàn)，困難在于排除有意或無意的人為干擾。對有限總體，只要總體所含個體數很大，特別是與樣本量相比很大，則獨立性也可基本得到滿足。第16頁，課件共76頁，創(chuàng)作于2023年2月例5.1.5

設有一批產品共N個，需要進行抽樣檢驗以了解其不合格品率p?，F(xiàn)從中采取不放回抽樣抽出2個產品，這時，第二次抽到不合格品的概率依賴于第一次抽到的是否是不合格品，如果第一次抽到不合格品，則而若第一次抽到的是合格品，則第二次抽到不合格品的概率為P(x2=1|x1

=1)=(Np

1)/(N

1)P(x2=1|x1

=0)=(Np)(N1)第17頁，課件共76頁，創(chuàng)作于2023年2月顯然，如此得到的樣本不是簡單隨機樣本。但是，當N很大時，我們可以看到上述兩種情形的概率都近似等于p。所以當N很大，而n不大（一個經驗法則是

n

N0.1）時可以把該樣本近似地看成簡單隨機樣本。思考：

若總體的密度函數為p(x)，則其樣本的（聯(lián)

合）密度函數是什么？第18頁，課件共76頁，創(chuàng)作于2023年2月5.2.1經驗分布函數§5.2

樣本數據的整理與顯示設

x1,x2,…,xn是取自總體分布函數為F(x)的樣本，若將樣本觀測值由小到大進行排列,為x(1),x(2),…,x(n)，則稱

x(1),x(2),…,x(n)為有序樣本，用有序樣本定義如下函數

第19頁，課件共76頁，創(chuàng)作于2023年2月則Fn(x)是一非減右連續(xù)函數，且滿足Fn(

)=0和Fn(

)=1由此可見，F(xiàn)n(x)是一個分布函數，并稱Fn(x)為經驗分布函數。第20頁，課件共76頁，創(chuàng)作于2023年2月例5.2.1

某食品廠生產聽裝飲料，現(xiàn)從生產線上隨機抽取5聽飲料，稱得其凈重（單位：克）351347355344351x(1)=344,x(2)=347,x(3)=351,x(4)=354,x(5)=355這是一個容量為5的樣本，經排序可得有序樣本：第21頁，課件共76頁，創(chuàng)作于2023年2月其經驗分布函數為由伯努里大數定律：只要n相當大，F(xiàn)n(x)依概率收斂于F(x)。

0，x

<344

0.2，344

x

<347Fn(x)=0.4，347

x

<3510.8，344

x

<3471，x355第22頁，課件共76頁，創(chuàng)作于2023年2月更深刻的結果也是存在的，這就是格里紋科定理。定理5.2.1（格里紋科定理）設x1,x2,…,xn是取自總體分布函數為F(x)的樣本,Fn(x)是其經驗分布函數，當n

時，有PsupFn(x)

F(x)0=1格里紋科定理表明：當n相當大時，經驗分布函數是總體分布函數F(x)的一個良好的近似。經典的統(tǒng)計學中一切統(tǒng)計推斷都以樣本為依據，其理由就在于此。第23頁，課件共76頁，創(chuàng)作于2023年2月160196164148170

175178166181162

161168166162172

156170157162154

5.2.2頻數--頻率分布表樣本數據的整理是統(tǒng)計研究的基礎，整理數據的最常用方法之一是給出其頻數分布表或頻率分布表。例5.2.2

為研究某廠工人生產某種產品的能力，我們隨機調查了20位工人某天生產的該種產品的數量，數據如下第24頁，課件共76頁，創(chuàng)作于2023年2月(1)對樣本進行分組：作為一般性的原則，組數通常在5~20個，對容量較小的樣本;(2)

確定每組組距：近似公式為組距d=(最大觀測值

最小觀測值)/組數;(3)

確定每組組限：各組區(qū)間端點為a0,a1=a0+d,

a2=a0+2d,…,ak=a0+kd,形成如下的分組區(qū)間(a0,a1],(a1,a2],…,(ak-1

,ak]對這20個數據(樣本)進行整理,具體步驟如下:其中a0

略小于最小觀測值,ak

略大于最大觀測值.第25頁，課件共76頁，創(chuàng)作于2023年2月(4)

統(tǒng)計樣本數據落入每個區(qū)間的個數——頻數，

并列出其頻數頻率分布表。表5.2.1

例5.2.2的頻數頻率分布表

組序分組區(qū)間組中值頻數頻率累計頻率(%)1(147，157]152

4

0.20

20

2

(157，167]162

8

0.4060

3(167，177]172

5

0.25

85

4

(177，187]18220.10955(187，197]19210.05100合計201第26頁，課件共76頁，創(chuàng)作于2023年2月5.2.3樣本數據的圖形顯示一、直方圖直方圖是頻數分布的圖形表示，它的橫坐標表示所關心變量的取值區(qū)間，縱坐標有三種表示方法：頻數，頻率，最準確的是頻率/組距，它可使得諸長條矩形面積和為1。凡此三種直方圖的差別僅在于縱軸刻度的選擇，直方圖本身并無變化。第27頁，課件共76頁，創(chuàng)作于2023年2月把每一個數值分為兩部分，前面一部分（百位和十位）稱為莖，后面部分（個位）稱為葉，然后畫一條豎線，在豎線的左側寫上莖，右側寫上葉，就形成了莖葉圖。如：二、莖葉圖數值分開莖和葉112

11|2

11和2第28頁，課件共76頁，創(chuàng)作于2023年2月例5.2.3

某公司對應聘人員進行能力測試，測試成績總分為150分。下面是50位應聘人員的測試成績（已經過排序）：64677072747676798081828283858688919192939393959595979799100100102104106106107108108112112114116118119119122123125126128133我們用這批數據給出一個莖葉圖，見下頁。第29頁，課件共76頁，創(chuàng)作于2023年2月圖5.2.3測試成績的莖葉圖47024669012235681123335667790024667882246899235683

第30頁，課件共76頁，創(chuàng)作于2023年2月在要比較兩組樣本時，可畫出它們的背靠背的莖葉圖。甲車間62056乙車間87775554211667788877664421722455556668898766532801133344466778732109023585300107注意：莖葉圖保留數據中全部信息。當樣本量較大，數據很分散，橫跨二、三個數量級時，莖葉圖并不適用。第31頁，課件共76頁，創(chuàng)作于2023年2月5.3.1

統(tǒng)計量與抽樣分布§5.3統(tǒng)計量及其分布當人們需要從樣本獲得對總體各種參數的認識時，最好的方法是構造樣本的函數，不同的函數反映總體的不同特征。定義5.3.1

設x1,x2,…,xn

為取自某總體的樣本，若樣本函數T=T(x1,x2,…,xn)中不含有任何未知參數。則稱T為統(tǒng)計量。統(tǒng)計量的分布稱為抽樣分布。第32頁，課件共76頁，創(chuàng)作于2023年2月按照這一定義：若x1,x2,…,xn為樣本，則以及經驗分布函數Fn(x)都是統(tǒng)計量。而當

,

2未知時，x1

,x1/

等均不是統(tǒng)計量。盡管統(tǒng)計量不依賴于未知參數，但是它的分布一般是依賴于未知參數的。下面介紹一些常見的統(tǒng)計量及其抽樣分布。第33頁，課件共76頁，創(chuàng)作于2023年2月5.3.2

樣本均值及其抽樣分布

定義5.3.2

設x1,x2,…,xn為取自某總體的樣本，其算術平均值稱為樣本均值，一般用表示，即思考：在分組樣本場合，樣本均值如何計算？二者結果相同嗎？

xx=

(x1+…+xn)/n第34頁，課件共76頁，創(chuàng)作于2023年2月定理5.3.2

數據觀測值與均值的偏差平方和最小，即在形如

(xi

c)2的函數中，樣本均值的基本性質：定理5.3.1

若把樣本中的數據與樣本均值之差稱為偏差，則樣本所有偏差之和為0，即

最小，其中c為任意給定常數。第35頁，課件共76頁，創(chuàng)作于2023年2月樣本均值的抽樣分布：定理5.3.3

設x1,x2,…,xn是來自某個總體的樣本，x為樣本均值。(1)若總體分布為N(

,

2)，則xx的精確分布為N(

,

2/n)

;若總體分布未知或不是正態(tài)分布，但E(x)=

,Var(x)=

2,則n較大時的漸近分布為N(

,

2/n)

,常記為。xAN(

,

2/n)這里漸近分布是指n較大時的近似分布.第36頁，課件共76頁，創(chuàng)作于2023年2月5.3.3樣本方差與樣本標準差稱為樣本標準差。s*=

s*2定義5.3.3稱為樣本方差，其算術平方根在n不大時，常用作為樣本方差,其算術平方根也稱為樣本標準差。第37頁，課件共76頁，創(chuàng)作于2023年2月在這個定義中，

(

xi

x)2n

1稱為偏差平方和的自由度。其含義是：x在確定后,

n個偏差x1

x,x2

x,…,xn

x能自由取值，因為只有n

1個數據可以自由變動，而第n個則不

(xi

x)=0.稱為偏差平方和，中樣本偏差平方和有三個不同的表達式：(

xi

x)2=

xi2–(

xi)2/n=

xi2–nx它們都可用來計算樣本方差。思考：分組樣本如何計算樣本方差？第38頁，課件共76頁，創(chuàng)作于2023年2月樣本均值的數學期望和方差，以及樣本方差的數學期望都不依賴于總體的分布形式。定理5.3.4

設總體X具有二階矩，即

E(x)=

,Var(x)=

2

,

x1,x2,…,xn為從該總體得到的樣本，x和s2分別是樣本均值和樣本方差，則E(x)=

,Var(x)=

2/n,E(s2)=

2第39頁，課件共76頁，創(chuàng)作于2023年2月5.3.4

樣本矩及其函數

樣本均值和樣本方差的更一般的推廣是樣本矩，這是一類常見的統(tǒng)計量。定義5.3.4

ak=(

xik)/n稱為樣本k階原點矩，

特別，樣本一階原點矩就是樣本均值。

稱為樣本k階中心矩。

特別，樣本二階中心矩就是樣本方差。

bk=

(xi

x)k/n第40頁，課件共76頁，創(chuàng)作于2023年2月當總體關于分布中心對稱時，我們用x和s刻畫樣本特征很有代表性，而當其不對稱時，只用

就顯得很不夠。為此，需要一些刻畫分布形狀的統(tǒng)計量，如樣本偏度和樣本峰度，它們都是樣本中心矩的函數。樣本偏度

1反映了總體分布密度曲線的對稱性信息。樣本峰度

2反映了總體分布密度曲線在其峰值附近的陡峭程度。定義：

1=b3/b23/2稱為樣本偏度，

2=b4/b22稱為樣本峰度。x和s第41頁，課件共76頁，創(chuàng)作于2023年2月5.3.5次序統(tǒng)計量及其分布

另一類常見的統(tǒng)計量是次序統(tǒng)計量。一、定義5.3.7

設x1,x2,…,xn是取自總體X的樣本,x(i)稱為該樣本的第i個次序統(tǒng)計量，它的取值是將樣本觀測值由小到大排列后得到的第i個觀測值。其中x(1)=min

x1,x2,…,xn

稱為該樣本的最小次序統(tǒng)計量，稱x(n)=max

x1,x2,…,xn

為該樣本的最大次序統(tǒng)計量。第42頁，課件共76頁，創(chuàng)作于2023年2月例5.3.6

設總體X的分布為僅取0，1，2的離散

均勻分布，分布列為0

1

2

1/3

1/31/3我們知道，在一個樣本中，x1,x2,…,xn是獨立同分布的，而次序統(tǒng)計量x(1),x(2),…,x(n)則既不獨立，分布也不相同，看下例?，F(xiàn)從中抽取容量為3的樣本，其一切可能取值有33=27種，表5.3.6列出了這些值，由此第43頁，課件共76頁，創(chuàng)作于2023年2月012

012我們可以清楚地看到這三個次序統(tǒng)計量的分布是不相同的?？山o出的x(1),x(2),x(3)分布列如下：012第44頁，課件共76頁，創(chuàng)作于2023年2月進一步，我們可以給出兩個次序統(tǒng)計量的聯(lián)合分布，如，x(1)和x(2)的聯(lián)合分布列為01207/279/273/27104/273/272001/27x(1)x(2)第45頁，課件共76頁，創(chuàng)作于2023年2月因為P(x(1)=0,x(2)=0)=7/27

，二者不等，由此可看出x(1)和x(2)是不獨立的。而P(x(1)=0)*P(x(2)=0)=(19/27)*(7/27)，第46頁，課件共76頁，創(chuàng)作于2023年2月二、單個次序統(tǒng)計量的分布定理5.3.5設總體X的密度函數為p(x)，分布函數為F(x)，x1,x2,…,xn為樣本，則第k個次序統(tǒng)計量x(k)的密度函數為第47頁，課件共76頁，創(chuàng)作于2023年2月例5.3.7

設總體密度函數為p(x)=3x2,0

x1.

從該總體抽得一個容量為5的樣本，試計算P(x(2)1/2)。解：有兩種求法：從古典概型出發(fā)；從次序統(tǒng)計量密度函數出發(fā)。例5.3.8

設總體分布為U(0,1)，x1,x2,…,xn為樣本，試求第k個次序統(tǒng)計量的分布。第48頁，課件共76頁，創(chuàng)作于2023年2月三、多個次序統(tǒng)計量的聯(lián)合分布對任意多個次序統(tǒng)計量可給出其聯(lián)合分布，以兩個為例說明：定理5.3.6在定理5.3.5的記號下，次序統(tǒng)計量(x(i),x(j)),(i

j)的聯(lián)合分布密度函數為第49頁，課件共76頁，創(chuàng)作于2023年2月次序統(tǒng)計量的函數在實際中經常用到。如樣本極差Rn

=x(n)

x(1)，

樣本中程[x(n)

x(1)]/2。樣本極差是一個很常用的統(tǒng)計量，其分布只在很少幾種場合可用初等函數表示。第50頁，課件共76頁，創(chuàng)作于2023年2月令R

=x(n)

x(1)，由R0,可以推出0

x(1)

=

x(n)

R

1R

，則例5.3.9設總體分布為U(0,1)，x1,x2,…,xn為樣本，則(x(n),x(1))的聯(lián)合密度函數為p1,n(y,z)=n(n

1)(z

y)n-2,0

y

z1這正是參數為(n

1,2)的貝塔分布。第51頁，課件共76頁，創(chuàng)作于2023年2月5.3.6

樣本分位數與樣本中位數樣本中位數也是一個很常見的統(tǒng)計量，它也是次序統(tǒng)計量的函數，通常如下定義：更一般地，樣本p分位數mp可如下定義：第52頁，課件共76頁，創(chuàng)作于2023年2月定理5.3.7

設總體密度函數為p(x)，xp為其p分位數，p(x)在xp處連續(xù)且p(xp)

0，則特別，對樣本中位數，當n

時近似地有當n

時樣本p分位數mp的漸近分布為第53頁，課件共76頁，創(chuàng)作于2023年2月例5.3.10設總體為柯西分布，密度函數為p(x,

)=1/[(1+(x

)2)],

x+通常，樣本均值在概括數據方面具有一定的優(yōu)勢。但當數據中含有極端值時，使用中位數比使用均值更好，中位數的這種抗干擾性在統(tǒng)計中稱為具有穩(wěn)健性。

不難看出

是該總體的中位數，即x0.5=

。設x1,x2,…,xn是來自該總體的樣本，當樣本量n較大時，樣本中位數m0.5的漸近分布為m0.5

AN(

,2/4n).第54頁，課件共76頁，創(chuàng)作于2023年2月5.3.7

五數概括與箱線圖次序統(tǒng)計量的應用之一是五數概括與箱線圖。在得到有序樣本后，容易計算如下五個值：最小觀測值

xmin=x(1),最大觀測值xmax=x(n),中位數

m0.5,第一4分位數

Q1=m0.25,第三4分位數

Q3=m0.75.所謂五數概括就是指用這五個數：xmin,Q1,m0.5,Q3,xmax來大致描述一批數據的輪廓。第55頁，課件共76頁，創(chuàng)作于2023年2月§5.4三大抽樣分布大家很快會看到，有很多統(tǒng)計推斷是基于正態(tài)分布的假設的，以標準正態(tài)變量為基石而構造的三個著名統(tǒng)計量在實際中有廣泛的應用，這是因為這三個統(tǒng)計量不僅有明確背景，而且其抽樣分布的密度函數有明顯表達式，它們被稱為統(tǒng)計中的“三大抽樣分布”。第56頁，課件共76頁，創(chuàng)作于2023年2月5.4.1

2

分布(卡方分布)定義5.4.1

設X1,X2,…,Xn,獨立同分布于標準正態(tài)分布N(0,1)，則

2=

X12+…Xn2的分布稱為自由度為n的

2分布，記為

2

2(n)

。當隨機變量

2

2(n)時，對給定

(0

1)，稱滿足P(

2

1

2(n))的

1

2(n)是自由度為n

1的卡方分布的1

分位數.分位數

1

2(n)可以從附表3中查到。第57頁，課件共76頁，創(chuàng)作于2023年2月該密度函數的圖像是一只取非負值的偏態(tài)分布

第58頁，課件共76頁，創(chuàng)作于2023年2月5.4.2F分布定義5.4.2

設X1

2(m),X2

2(n),X1與X2獨立，則稱F=(X1/m)/(X2/n)的分布是自由度為

m與

n

的F分布，記為F

F(m,n)，其中m稱為分子自由度，n

稱為分母自由度。當隨機變量F

F(m,n)時，對給定

(0

1)，稱滿足P(F

F1

(m,n))=1

的F1

(m,n)是自由度為m與n

的F

分布的1

分位數。由

F

分布的構造知F

(n,m)=1/F1

(m,n)。第59頁，課件共76頁，創(chuàng)作于2023年2月該密度函數的圖象也是一只取非負值的偏態(tài)分布

第60頁，課件共76頁，創(chuàng)作于2023年2月5.4.3t

分布

定義5.4.3

設隨機變量X1

與X2

獨立，且X1

N(0,1),X2

2(n),則稱t=X1/

X2/n的分布為自由度為n

的t分布，記為t

t(n)。

第61頁，課件共76頁，創(chuàng)作于2023年2月t分布的密度函數的圖象是一個關于縱軸對稱的分布，與標準正態(tài)分布的密度函數形狀類似，只是峰比標準正態(tài)分布低一些尾部的概率比標準正態(tài)分布的大一些。第62頁，課件共76頁，創(chuàng)作于2023年2月

n1時,t分布的數學期望存在且為0；n2時，t

分布的方差存在，且為n/(n

2)；當自由度較大(如n30)時，t分布可以用正態(tài)分布

N(0,1)近似。自由度為1的

t

分布就是標準柯西分布，

它的均值不存在；第63頁，課件共76頁，創(chuàng)作于2023年2月當隨機變量t

t(n)時，稱滿足P(t

t1

(n))=1

的t1

(n)是自由度為

n

的

t分布的1

分位數.分位數t1

(n)可以從附表4中查到。譬如n=10,

=0.05，那么從附表4上查得t1

0.05(10)=t0.95(10)=1.812.由于

t分布的密度函數關于0

對稱,故其分位數間有如下關系t

(n

1)=

t1

(n

1)第64頁，課件共76頁，創(chuàng)作于2023年2月5.4.4

一些重要結論定理5.4.1

設x1,x2,…,xn是來自N(

,

2)的樣本，其樣本均值和樣本方差分別為和x=

xi/n

s2=

(xi

x)2/(n1)(3)(n

1)s2/

2

2(n1)。則有(1)x與s2相互獨立；(2)x

N(

,

2/n)

；第65頁，課件共76頁，創(chuàng)作于2023年2月推論5.4.3

設x1,x2,…,xn是來自N(

1,

12)的樣本，y1,y2,…,yn是來自N(

2,

22)的樣本，且此兩樣本相互獨立，則有特別，若

12=

22，則F=sx2/sy2

F(m1,n1)第66頁，課件共76頁，創(chuàng)作于2023年2月推論5.4.4

在推論5.4.3的記號下，設

12=

22=

2，并記則第67頁，課件共76頁，創(chuàng)作于2023年2月§5.5充分統(tǒng)計量5.5.1充分性的概念例5.5.1

為研究某個運動員的打靶命中率，我們對該運動員進行測試，觀測其10次，發(fā)現(xiàn)除第三、六次未命中外，其余8次都命中。這樣的觀測結果包含了兩種信息：(1)打靶10次命中8次；(2)2次不命中分別出現(xiàn)在第3次和第6次打靶上。第68頁，課件共76頁，創(chuàng)作于2023年2月第二種信息對了解該運動員的命中率是沒有什么幫助的。一般地，設我們對該運動員進行n次觀測，得到x1,x2,…,xn，每個xj

取值非0即1，命中為1，不命中為0。令T=x1+…+xn

，T為觀測到的命中次數。在這種場合僅僅記錄使用T不會丟失任何與命中率

有關的信息，統(tǒng)計上將這種“樣本加工不損失信息”稱為“充分性”。樣本x=(x1,x2,…,xn)有一個樣本分布F

(x)，這個分布包含了樣本中一切有關

的信息。第69頁，課件共76頁，創(chuàng)作于2023年2月統(tǒng)計量T=T(x1,x2,…,xn)也有一個抽樣分布F

T(t)，當我們期望用統(tǒng)計量T代替原始樣