0515高一數(shù)學(xué)（人教A版）平面向量數(shù)乘運算的坐標(biāo)表示

高一年級數(shù)學(xué)平面向量數(shù)乘運算的坐標(biāo)表示復(fù)習(xí)回顧已知則

復(fù)習(xí)回顧已知這就是說，兩個向量和（差）的坐標(biāo)分別等于這兩個向量相應(yīng)坐標(biāo)的和（差）.則

復(fù)習(xí)回顧向量坐標(biāo)向量坐標(biāo)正交分解

基底

向量坐標(biāo)正交分解

基底

向量加、減運算向量坐標(biāo)正交分解

基底

向量加、減運算正交分解

和（差）向量坐標(biāo)問題提出問題1

已知，你能得出的坐標(biāo)嗎?問題1

已知，你能得出的坐標(biāo)嗎?ixjay正交分解基底

問題1

已知，你能得出的坐標(biāo)嗎?ixjay正交分解基底

問題1

已知，你能得出的坐標(biāo)嗎?向量數(shù)乘運算滿足分配律ixjay問題1

已知，你能得出的坐標(biāo)嗎?ixjay向量數(shù)乘運算滿足結(jié)合律問題1

已知，你能得出的坐標(biāo)嗎?ixjay即

結(jié)論已知，則

結(jié)論已知，則這就是說，實數(shù)與向量的積的坐標(biāo)等于用這個實數(shù)乘原來向量的相應(yīng)坐標(biāo).方法提煉向量坐標(biāo)正交分解

基底

向量坐標(biāo)正交分解

基底

向量加減運算向量數(shù)乘運算正交分解

向量坐標(biāo)基底

向量加減運算向量數(shù)乘運算正交分解

所求向量坐標(biāo)向量坐標(biāo)正交分解

基底

向量加減運算向量數(shù)乘運算正交分解

所求向量坐標(biāo)典型例題例已知，求的坐標(biāo).解：平面向量數(shù)乘運算的坐標(biāo)表示例已知，求的坐標(biāo).解：平面向量數(shù)乘運算的坐標(biāo)表示例已知，求的坐標(biāo).解：例已知，求的坐標(biāo).解：平面向量加法運算的坐標(biāo)表示例已知，求的坐標(biāo).問題2

如何用坐標(biāo)表示兩個向量共線的條件？

問題2

如何用坐標(biāo)表示兩個向量共線的條件？

追問1

什么是向量共線？

問題2

如何用坐標(biāo)表示兩個向量共線的條件？

追問1

什么是向量共線？

方向相同或相反的非零向量叫做平行向量，平行向量也叫做共線向量.

規(guī)定：零向量與任意向量平行（共線）.問題2

如何用坐標(biāo)表示兩個向量共線的條件？

追問2兩個向量共線的充要條件是什么？

問題2

如何用坐標(biāo)表示兩個向量共線的條件？

追問2兩個向量共線的充要條件是什么？

對于，其中,共線的充要條件是存在唯一的實數(shù)，使問題2

如何用坐標(biāo)表示兩個向量共線的條件？

對于，其中,共線的充要條件是存在唯一的實數(shù)，使問題2

如何用坐標(biāo)表示兩個向量共線的條件？

對于，其中,共線的充要條件是存在唯一的實數(shù)，使問題2

如何用坐標(biāo)表示兩個向量共線的條件？

設(shè)，其中問題2

如何用坐標(biāo)表示兩個向量共線的條件？

設(shè)，其中問題2

如何用坐標(biāo)表示兩個向量共線的條件？

設(shè)，其中至少有一個不為零.問題2

如何用坐標(biāo)表示兩個向量共線的條件？

設(shè)，其中至少有一個不為零.因為共線，問題2

如何用坐標(biāo)表示兩個向量共線的條件？

設(shè)，其中至少有一個不為零.所以存在唯一的實數(shù)，使因為共線，問題2

如何用坐標(biāo)表示兩個向量共線的條件？

設(shè)，其中至少有一個不為零.所以存在唯一的實數(shù)，使因為共線，即

即

消去即

消去（i）

即

消去（i）

至少有一個不為零.即

消去（i）

忽略且這一情況即

消去（ii）

至少有一個不為零.忽略且這一情況（iii）

即

消去即

消去（iii）

即

消去（iii）

即

消去（iii）

至少有一個不為零.忽略

兩種情況即

消去即

即

消去得到，

即

即

消去得到，

（i）當(dāng)時，由方程得，，此時，條件成立.即

此時，條件成立.（ii）當(dāng)時，由方程得，，即

消去得到，

已知向量，則共線的充要條件是

方法提煉方法提煉向量形式

向量共線的充要條件

方法提煉向量形式

向量共線的充要條件

坐標(biāo)形式

向量坐標(biāo)運算

方法提煉向量形式

向量共線的充要條件

坐標(biāo)形式

向量坐標(biāo)運算

幾何

代數(shù)

例已知，且//，求.平行向量又稱共線向量例已知，且//，求.向量共線的充要條件是例已知，且//，求.解：因為//，

所以向量共線的充要條件是例已知，且//，求.解：因為//，

所以解得

例已知，判斷

三點

之間的位置關(guān)系.分析判斷三點位置關(guān)系分析判斷三點位置關(guān)系yxABC建系，觀察圖形分析判斷三點位置關(guān)系yxABC建系，觀察圖形猜想三點共線分析判斷三點位置關(guān)系yxABC建系，觀察圖形猜想三點共線向量共線yxABC分析判斷三點位置關(guān)系建系，觀察圖形猜想三點共線向量共線坐標(biāo)表示共線概念解：方法1因為解：方法1因為又因為解：方法1因為又因為所以//

解：方法1因為又因為所以//

因為直線，直線有公共點，解：方法1因為又因為所以//

因為直線，直線有公共點，所以三點共線.

解：方法1因為又因為所以//

因為直線，直線有公共點，所以三點共線.

解：方法1因為又因為所以//

因為直線，直線有公共點，所以三點共線.

解：方法2解：方法2因為解：方法2因為由解：方法2因為由得解：方法2因為由得即存在唯一一個實數(shù)，使得.

解：方法2因為由得即存在唯一一個實數(shù)，使得.

因為直線，直線有公共點，所以三點共線.

解：方法2因為由得即存在唯一一個實數(shù)，使得.

因為直線，直線有公共點，所以三點共線.

方法提煉方法提煉三點共線向量共線方法提煉三點共線向量共線坐標(biāo)表示方法1應(yīng)用坐標(biāo)形式下的向量共線的充要條件.方法提煉三點共線向量共線坐標(biāo)表示共線概念方法1應(yīng)用坐標(biāo)形式下的向量共線的充要條件.方法2根據(jù)，從而判定兩向量共線.例設(shè)是線段上的一點，點的坐標(biāo)分別是.（1）當(dāng)是線段的中點時，求點的坐標(biāo)；（2）當(dāng)是線段的一個三等分點時，求點的坐標(biāo).分析點的坐標(biāo)分析點的坐標(biāo)向量的坐標(biāo)yxlP1P2PO分析點的坐標(biāo)向量的坐標(biāo)yxlP1P2PO分析點的坐標(biāo)向量的坐標(biāo)yxlP1P2P平面向量基本定理O解：（1）當(dāng)是線段的中點時，解：（1）當(dāng)是線段的中點時，因為點的坐標(biāo)分別是，解：（1）當(dāng)是線段的中點時，因為點的坐標(biāo)分別是，所以.

解：（1）當(dāng)是線段的中點時，因為點的坐標(biāo)分別是，yxlP1P2P所以.

O解：（1）當(dāng)是線段的中點時，因為點的坐標(biāo)分別是，yxlP1P2P所以.

如圖，由向量的線性運算可知OyxlP1P2POyxlP1P2POyxlP1P2P所以，點的坐標(biāo)是O分析分析點是線段中點分析點是線段中點yxlP1P2PO分析點是線段中點yxlP1P2P坐標(biāo)化O分析點是線段中點yxlP1P2P坐標(biāo)化設(shè)O解：（1）方法2設(shè)點，解：（1）方法2設(shè)點，則向量，則向量，解：（1）方法2設(shè)點，因為，且，則向量，解：（1）方法2設(shè)點，因為，且，所以則向量，解：（1）方法2設(shè)點，因為，且，所以

.

得到

得到解得

得到解得所以，點的坐標(biāo)是.方法提煉點的坐標(biāo)向量的坐標(biāo)點的坐標(biāo)向量的坐標(biāo)數(shù)形點的坐標(biāo)向量的坐標(biāo)數(shù)形以形助數(shù)點的坐標(biāo)向量的坐標(biāo)點是線段中點數(shù)形以形助數(shù)點是線段中點點的坐標(biāo)向量的坐標(biāo)坐標(biāo)化數(shù)形以形助數(shù)點是線段中點點的坐標(biāo)向量的坐標(biāo)坐標(biāo)化數(shù)形數(shù)形以形助數(shù)點的坐標(biāo)向量的坐標(biāo)點是線段中點坐標(biāo)化數(shù)形數(shù)形以形助數(shù)以數(shù)輔形

結(jié)論若點的坐標(biāo)分別為，線段的中點的坐標(biāo)為，

結(jié)論則若點的坐標(biāo)分別為，線段的中點的坐標(biāo)為，

結(jié)論則

此公式為線段的中點坐標(biāo)公式.若點的坐標(biāo)分別為，線段的中點的坐標(biāo)為，解：（2）當(dāng)是線段的一個三等分點時，解：（2）當(dāng)是線段的一個三等分點時，yxlP1P2PyxlP1P2POO解：（2）當(dāng)是線段的一個三等分點時，（i）如圖，yxlP1P2PO那么解：（2）當(dāng)是線段的一個三等分點時，（i）如圖，yxlP1P2PO解：（2）當(dāng)是線段的一個三等分點時，那么yxlP1P2PO（i）如圖，，解：（2）當(dāng)是線段的一個三等分點時，那么yxlP1P2PO（i）如圖，解：（2）當(dāng)是線段的一個三等分點時，（i）如圖，那么yxlP1P2POyxlP1P2POyxlP1P2PO即點的坐標(biāo)是.yxlP1P2PO解：（2）當(dāng)是線段的一個三等分點時，（ii）如圖，OyxlP1P2P解：（2）當(dāng)是線段的一個三等分點時，（ii）如圖，那么OyxlP1P2P解：（2）當(dāng)是線段的一個三等分點時，那么OyxlP1P2P（ii）如圖，解：（2）當(dāng)是線段的一個三等分點時，那么OyxlP1P2P（ii）如圖，OyxlP1P2PyxlP1P2PO那么

點的坐標(biāo)是.yxlP1P2PO

結(jié)論若點的坐標(biāo)分別為，則或.線段的三等分點的坐標(biāo)為，線段的中點的坐標(biāo)為，則.

結(jié)論若點的坐標(biāo)分別為，則或.線段的三等分點的坐標(biāo)為，線段的中點的坐標(biāo)為，則.

結(jié)論若點的坐標(biāo)分別為，則或.線段的三等分點的坐標(biāo)為，線段的中點的坐標(biāo)為，則.

如圖，線段的端點點是直線上的一點.當(dāng)時，點的坐標(biāo)是什么？yxlP1P2P問題4的坐標(biāo)分別是，O

如圖，線段的端點點是直線上的一點.當(dāng)時，點的坐標(biāo)是什么？yxlP1P2P問題4的坐標(biāo)分別是，O點的坐標(biāo)向量的坐標(biāo)平面向量基本定理點的坐標(biāo)向量的坐標(biāo)是直線上一點坐標(biāo)化平面向量基本定理平面向量坐標(biāo)表示設(shè)yxlP1P2P

解：設(shè)點的坐標(biāo)為，OyxlP1P2P

解：設(shè)點的坐標(biāo)為，

則向量OyxlP1P2P

解：設(shè)點的坐標(biāo)為，

則向量

因為向量，OyxlP1P2P

解：設(shè)點的坐標(biāo)為，

則向量

因為向量，

則有OyxlP1P2P

解：設(shè)點的坐標(biāo)為，

則向量

因為向量，

則有OyxlP1P2P

得到

OyxlP1P2P

得到

解得

OyxlP1P2P

得到

解得

所以點的坐標(biāo)是.

O，點是直線上的一點.

結(jié)論線段的端點的坐標(biāo)分別是當(dāng)時，點的坐標(biāo)為.定比分點坐標(biāo)公式，點是直線上的一點.

結(jié)論線段的端點的坐標(biāo)分別是當(dāng)時，點的坐標(biāo)為.定比分點坐標(biāo)公式當(dāng)時，.，點是直線上的一點.

結(jié)論線段的端點的坐標(biāo)分別是當(dāng)時，點的坐標(biāo)為.定比分點坐標(biāo)公式當(dāng)時，.中點坐標(biāo)公式方法提煉研究路徑和方法點坐標(biāo)點坐標(biāo)向量坐標(biāo)研究路徑和方法點坐標(biāo)向量坐標(biāo)向量的線性運算研究路徑和方法點坐標(biāo)向量坐標(biāo)向量的線性運算所求向量的坐標(biāo)研究路徑和方法點坐標(biāo)向量坐標(biāo)向量的線性運算所求向量的坐標(biāo)研究路徑和方法向量的線性運算點坐標(biāo)向量坐標(biāo)所求向量的坐標(biāo)代數(shù)研究路徑和方法點坐標(biāo)向量坐標(biāo)向量的線性運算所求向量的坐標(biāo)代數(shù)幾何圖形研究路徑和方法點坐標(biāo)向量坐標(biāo)向量的線性運算所求向量的坐標(biāo)代數(shù)幾何圖形代數(shù)研究路徑和方法小結(jié)與展望