北師大版（2019）數(shù)學(xué)必修第一冊(cè)：2.3《函數(shù)的單調(diào)性和最值》教案

本資料分享自千人教師QQ群323031380期待你的加入與分享本資料分享自千人教師QQ群323031380期待你的加入與分享函數(shù)的單調(diào)性和最值【第一課時(shí)】【教材分析】函數(shù)的單調(diào)性和最值的第一課時(shí)，主要學(xué)習(xí)用數(shù)學(xué)語言刻畫函數(shù)的變化趨勢(shì)（單調(diào)性的定義）及簡(jiǎn)單的應(yīng)用，是學(xué)習(xí)函數(shù)概念后研究的第一個(gè)、也是最基本的一個(gè)性質(zhì)，對(duì)于分析函數(shù)性質(zhì)、求函數(shù)最值、比較大小、解不等式、函數(shù)零點(diǎn)的判定以及其他函數(shù)綜合問題等，都有重要的應(yīng)用，掌握函數(shù)單調(diào)性的定義和應(yīng)用，為學(xué)習(xí)冪函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)，包括導(dǎo)函數(shù)等做好準(zhǔn)備。【教學(xué)目標(biāo)與核心素養(yǎng)】1．知識(shí)目標(biāo)：利用圖象判斷函數(shù)的單調(diào)性、尋找函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；掌握函數(shù)的單調(diào)性的定義，用定義證明函數(shù)的單調(diào)性，及作差結(jié)果符號(hào)的判斷方法；熟悉常見函數(shù)（絕對(duì)值函數(shù)、二次函數(shù)、分段函數(shù)等）的單調(diào)性及簡(jiǎn)單應(yīng)用。2．核心素養(yǎng)目標(biāo)：通過函數(shù)單調(diào)性的概念的學(xué)習(xí)和簡(jiǎn)單的應(yīng)用，體會(huì)數(shù)形結(jié)合、分類討論等基本的數(shù)學(xué)思想方法，提高學(xué)生的數(shù)學(xué)運(yùn)算和直觀想象能力?！窘虒W(xué)重難點(diǎn)】（1）利用函數(shù)的圖象判斷單調(diào)性、尋找函數(shù)單調(diào)區(qū)間；（2）函數(shù)的單調(diào)性的定義，用定義證明函數(shù)的單調(diào)性的方法，及作差結(jié)果符號(hào)的判斷方法；（3）常見函數(shù)（絕對(duì)值函數(shù)、二次函數(shù)、分段函數(shù)等）的單調(diào)性及簡(jiǎn)單應(yīng)用?！菊n前準(zhǔn)備】多媒體課件【教學(xué)過程】一、知識(shí)引入初中學(xué)習(xí)了一次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，當(dāng)時(shí)，直線是向右上，即函數(shù)值y隨x的增大而增大，當(dāng)時(shí)，直線向右下，即函數(shù)值隨的增大而減小。同樣二次函數(shù)、反比例函數(shù)等，也有類似的性質(zhì)。思考討論：（1）如圖，是某位同學(xué)從高一到高三上學(xué)期的考試成績(jī)的統(tǒng)計(jì)圖，從圖中，你可以得出該同學(xué)成績(jī)是怎樣變化的呢？提示：高一時(shí)成績(jī)?cè)谙陆?，高一下期期末降到最低名?2名，以后各次考試成績(jī)逐步提高，到高三上期時(shí)已經(jīng)進(jìn)入前五名。（2）如圖，是函數(shù)的圖象，說出在各個(gè)區(qū)間函數(shù)值隨的值的變化情況。提示：在區(qū)間上，函數(shù)值都是隨x的值的增大而增大；在區(qū)間上，函數(shù)值fx都是隨x的值的增大而減小。二、新知識(shí)一般地，在函數(shù)定義域內(nèi)的一個(gè)區(qū)間A上。如果對(duì)于任意的，當(dāng)時(shí)，都有，那么就稱函數(shù)在區(qū)間A上是增函數(shù)或遞增的；如果對(duì)于任意的，當(dāng)時(shí)，都有，那么就稱函數(shù)在區(qū)間A上是減函數(shù)或遞減的。注意：=1\*GB3①函數(shù)在區(qū)間上是增函數(shù)（減函數(shù)），那么就稱函數(shù)在區(qū)間A上是單調(diào)函數(shù)，或稱在區(qū)間上具有單調(diào)性，區(qū)間稱為函數(shù)單調(diào)區(qū)間。如：一元二次函數(shù)在區(qū)間上是單調(diào)增函數(shù)（單調(diào)遞增），區(qū)間是函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間；=2\*GB3②增函數(shù)的圖象是上升的，減函數(shù)的圖象是下降的；=3\*GB3③“函數(shù)在區(qū)間上單增”與“函數(shù)的單增區(qū)間是A”兩種敘述含義是不同的。如：函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為，則對(duì)稱軸；函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，則對(duì)稱軸。=4\*GB3④函數(shù)的定義域?yàn)?，由函?shù)圖象可知，在兩個(gè)區(qū)間上函數(shù)都是單調(diào)遞減的，但不能說成“函數(shù)在定義域內(nèi)遞減”或“函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間是”，而只能說“函數(shù)在區(qū)間和區(qū)間上都是遞減的”。例1．設(shè)，畫出函數(shù)的圖象，并通過圖象直觀判斷它的單調(diào)性。解：函數(shù)，其圖象是函數(shù)的圖象向左平移3個(gè)單位得到，如圖，該函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減。例2．根據(jù)函數(shù)圖象直觀判斷的單調(diào)性。解：函數(shù)y=|x?1|=1?xx≤1x?1x>1，畫出該函數(shù)的圖象，如圖，函數(shù)在區(qū)間上是減函數(shù)，在區(qū)間上是增函數(shù)例3．判斷函數(shù)的單調(diào)性，并給出證明．解：畫出函數(shù)的圖象，如圖，可以看出函數(shù)在R上是減函數(shù)．下面用定義證明這一單調(diào)性．任取，且，則，即所以函數(shù)在上是減函數(shù)．思考討論（綜合練習(xí)）（1）二次函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍；（2）設(shè)函數(shù)，證明：當(dāng)時(shí)，函數(shù)在區(qū)間上是減函數(shù)；（3）已知，函數(shù)是區(qū)間上的單調(diào)函數(shù)，求實(shí)數(shù)的取值范圍；（4）設(shè)實(shí)數(shù)，函數(shù)在區(qū)間上的最小值是，求并畫出的圖象。提示：（1）二次函數(shù)，圖象拋物線開口向上，對(duì)稱軸函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)，則或，所以a的取值范圍為或．（2）設(shè)，且．因?yàn)椋?，，，所以．．即函?shù)在區(qū)間上是減函數(shù)（3）任取，且．，得根據(jù)題意，的符號(hào)恒正或恒負(fù)，故所以實(shí)數(shù)的取值范圍是．（4）畫出函數(shù)的圖象，如圖，拋物線對(duì)稱軸為當(dāng)時(shí)，函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，；當(dāng)時(shí)，函數(shù)在區(qū)間上的最小值為；當(dāng)時(shí)，函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，．綜上，gt三、課堂練習(xí)教材P60，練習(xí)1、2、3。四、課后作業(yè)教材P62，習(xí)題2-3：A組第1、2、3、4題?！窘虒W(xué)反思】函數(shù)的單調(diào)性是函數(shù)的重要性質(zhì)之一，它反映了函數(shù)的變化趨勢(shì)，通過函數(shù)圖象，可以直觀、定性地進(jìn)行初步判斷，要精確地判斷函數(shù)的單調(diào)性，還是要根據(jù)定義證明，今后還要學(xué)習(xí)其他方法（導(dǎo)數(shù)等）判斷函數(shù)的單調(diào)性。在函數(shù)的很多問題中（求值域、求極值等）都要用到函數(shù)的單調(diào)性?！镜诙n時(shí)】【教學(xué)分析】上一節(jié)，同學(xué)們已經(jīng)可以利用函數(shù)圖象判斷函數(shù)的單調(diào)性，學(xué)習(xí)了函數(shù)單調(diào)性的定義以及用定義證明函數(shù)的單調(diào)性、找出函數(shù)單調(diào)區(qū)間，本節(jié)課在此基礎(chǔ)上繼續(xù)學(xué)習(xí)復(fù)雜函數(shù)（雙曲函數(shù)、分式函數(shù)、復(fù)合函數(shù)等）單調(diào)性的分析和證明，達(dá)到熟練運(yùn)用函數(shù)單調(diào)性，解決有關(guān)函數(shù)性質(zhì)的綜合問題?！窘虒W(xué)目標(biāo)與核心素養(yǎng)】（1）知識(shí)目標(biāo)：利用函數(shù)的單調(diào)性定義證明函數(shù)的單調(diào)性；復(fù)雜函數(shù)（雙曲函數(shù)、分式函數(shù)、復(fù)合函數(shù)等）單調(diào)性的分析和證明；熟練利用函數(shù)的單調(diào)性解決函數(shù)、不等式等函數(shù)綜合問題。（2）核心素養(yǎng)目標(biāo)：通過函數(shù)單調(diào)性的應(yīng)用，體會(huì)數(shù)形結(jié)合、分類討論等基本的數(shù)學(xué)思想方法，提高學(xué)生的數(shù)學(xué)運(yùn)算和直觀想象能力?！窘虒W(xué)重難點(diǎn)】1．利用定義證明函數(shù)的單調(diào)性；2．復(fù)雜函數(shù)（雙曲函數(shù)、分式函數(shù)、復(fù)合函數(shù)等）單調(diào)性的分析和證明；3．利用函數(shù)的單調(diào)性解決函數(shù)、不等式等函數(shù)綜合問題?！菊n前準(zhǔn)備】多媒體課件【教學(xué)過程】思考討論：（1）增函數(shù)和減函數(shù)的定義是什么？提示：在函數(shù)y=fx定義域內(nèi)的一個(gè)區(qū)間A上，如果對(duì)于任意的x1,x2∈A，當(dāng)x1<x2（2）如果有兩個(gè)函數(shù)y=fx和y=gx，在同一個(gè)區(qū)間提示：函數(shù)y=fx例4．判斷函數(shù)fx解：畫出函數(shù)的圖象，可以看出，函數(shù)在定義域內(nèi)是增函數(shù)．下面給出證明：設(shè)x1,x2∈[0,+∞）fx1）?f（x即fx1）<f（例5．試用定義證明：函數(shù)fx=x+1解：設(shè)x1,x2fx∵x1,x2∈（0,1]，∴fx1）?f（同理可證，函數(shù)fx=x注意：=1\*GB3①函數(shù)y=x+1x在區(qū)間（0,1]上是減函數(shù)，在區(qū)間在區(qū)間（0,+∞）上，由函數(shù)的單調(diào)性或由均值不等式x+1x≥2，可得當(dāng)x=1時(shí)，函數(shù)y形如fx=ax+bx（a>0,b>0）=2\*GB3②設(shè)y是u的函數(shù)y=fu，u是x的函數(shù)u=g（x），其中函數(shù)u=g（x復(fù)合函數(shù)單調(diào)性常采用分層分析的方法：如：函數(shù)y=x2+1當(dāng)x∈（?∞,0）時(shí)，x↗,u=x當(dāng)x∈（0,+∞）時(shí)，x↗,u=x其中“↗”代表增大，“↘”代表減?。?3\*GB3③有些函數(shù)問題中（如求值域、求最值等），如果要用到函數(shù)的單調(diào)性，而又不需證明，可以通過分析的方法，得到函數(shù)的單調(diào)性．如：求函數(shù)fx=1?2fx當(dāng)x∈[2,3]時(shí)，隨著x↗，?1所以fxmin=思考討論（綜合練習(xí)）（1）如果函數(shù)fx=x2+bx+c，對(duì)任意實(shí)數(shù)x都有（2）函數(shù)fx=2x+1（3）求函數(shù)y=（4）已知定義在區(qū)間（0,+∞）上的函數(shù)fx，滿足：=1\*romani）對(duì)任意x,y∈（0,+∞），都有fxy=fx+f（y）；=1\*GB3①判斷并證明fx在區(qū)間（0,+∞）上的單調(diào)性；=2\*GB3②解關(guān)于a的不等式f1?2a?f提示：（1）根據(jù)題意，對(duì)任意實(shí)數(shù)x都有f2+x=f（2?x）（2）函數(shù)在R上單調(diào)遞增，則在x>0時(shí)單增，且在分界點(diǎn)x=0處，右側(cè)函數(shù)值不小于左側(cè)函數(shù)值，即a>0且a?1≥1，得a≥2（3）函數(shù)有意義，則3?2x?x2設(shè)u=3?2x?x當(dāng)x∈[?3,?1]時(shí)，x↗,u↗,y=u↗，函數(shù)的遞增區(qū)間為當(dāng)x∈[?1,1]時(shí)，x↗,u↘,y=u↘，函數(shù)的遞減區(qū)間為所以，函數(shù)的遞增區(qū)間為[?3,?1]；遞減區(qū)間為[?1,1]．（4）=1\*GB3①：設(shè)x1,x2∈（0,+∞）fx因x1<x2fx1?f=2\*GB3②不等式f1?2a?f4?a