第一節(jié)二重積分的概念與性質(zhì)

第一節(jié)二重積分的概念與性質(zhì)第1頁，課件共30頁，創(chuàng)作于2023年2月三、二重積分的性質(zhì)第一節(jié)一、引例二、二重積分的定義二重積分的概念與性質(zhì)第十章第2頁，課件共30頁，創(chuàng)作于2023年2月1.曲頂柱體的體積一、引例x0z

yDS曲頂柱體:底:xoy

面上的閉區(qū)域

D;頂:S:側(cè)面:以D

的邊界為準(zhǔn)線,母線平行于

z軸的柱面;回顧第3頁，課件共30頁，創(chuàng)作于2023年2月x0z

y

DSS:z=f(x,y)元素法(1)分割(化整為零);(2)近似(以平代曲):1.

曲頂柱體的體積

i第4頁，課件共30頁，創(chuàng)作于2023年2月x0z

yD(3)求和(積零為整):.

i

S:z=f(x,y)元素法(1)分割(化整為零);(2)近似(以平代曲):1.

曲頂柱體的體積第5頁，課件共30頁，創(chuàng)作于2023年2月x0z

yD(4)取極限令分法無限變細(xì)

i.(3)求和(積零為整):

S:z=f(x,y)元素法(1)分割(化整為零);1.

曲頂柱體的體積(2)近似(以平代曲):第6頁，課件共30頁，創(chuàng)作于2023年2月x0z

yD.(4)取極限令分法無限變細(xì)(3)求和(積零為整):

S:z=f(x,y)元素法(1)分割(化整為零);1.

曲頂柱體的體積(2)近似(以平代曲):第7頁，課件共30頁，創(chuàng)作于2023年2月x0z

yV..(4)取極限令分法無限變細(xì)V=(3)求和(積零為整):

S:z=f(x,y)元素法(1)分割(化整為零);1.

曲頂柱體的體積(2)近似(以平代曲):第8頁，課件共30頁，創(chuàng)作于2023年2月2.平面薄片的質(zhì)量平面薄片:

在xoy

平面上占有區(qū)域

D,計(jì)算該薄片的質(zhì)量M.面密度:D的面積為

,則若非常數(shù)

,則用元素法:(1)分割(化整為零):D:(均勻薄片)第9頁，課件共30頁，創(chuàng)作于2023年2月(2)近似(以不變代變):(3)求和(積零為整):(4)取極限:第10頁，課件共30頁，創(chuàng)作于2023年2月兩個(gè)問題的共性：(1)解決問題的思想和步驟相同:(2)所求量的結(jié)構(gòu)式相同:“分割,近似,求和,取極限”.曲頂柱體體積:平面薄片的質(zhì)量:乘積和的極限.第11頁，課件共30頁，創(chuàng)作于2023年2月二、二重積分的定義定義:二重積分:(1)任意分割D:第12頁，課件共30頁，創(chuàng)作于2023年2月積分區(qū)域積分和被積函數(shù)積分變量被積表達(dá)式面積元素說明：第13頁，課件共30頁，創(chuàng)作于2023年2月

在直角坐標(biāo)系下用平行于坐標(biāo)軸的直線網(wǎng)來劃分區(qū)域D，故二重積分可寫為D則面積元素為引例1中曲頂柱體體積:引例2中平面薄板的質(zhì)量:第14頁，課件共30頁，創(chuàng)作于2023年2月二重積分的幾何意義:表示以f(x,y)為頂以D

為底的曲頂柱體的體積.第15頁，課件共30頁，創(chuàng)作于2023年2月表示曲頂柱體的體積的負(fù)值．(3)當(dāng)f(x,y)在D

上有正有負(fù)時(shí),二重積分表示曲頂柱體體積的代數(shù)和.第16頁，課件共30頁，創(chuàng)作于2023年2月例1.根據(jù)二重積分的幾何意義求積分的值.解:積分區(qū)域被積函數(shù)-aaD上半球面,圓域.第17頁，課件共30頁，創(chuàng)作于2023年2月三、二重積分的性質(zhì)

為D的面積,則2.

積分區(qū)域可加性.第18頁，課件共30頁，創(chuàng)作于2023年2月特別,由于則4.若在D上5.設(shè)D的面積為

,則二重積分估值不等式第19頁，課件共30頁，創(chuàng)作于2023年2月解:三角形斜邊方程例2.x+y=2x+y=1第20頁，課件共30頁，創(chuàng)作于2023年2月解：例3.第21頁，課件共30頁，創(chuàng)作于2023年2月例4.解:第22頁，課件共30頁，創(chuàng)作于2023年2月6.

(積分中值定理)證:

由性質(zhì)5可知,由連續(xù)函數(shù)介值定理,至少有一點(diǎn)在閉區(qū)域D上

為D的面積,則至少存在一點(diǎn)使使連續(xù),第23頁，課件共30頁，創(chuàng)作于2023年2月內(nèi)容小結(jié)1.二重積分的定義2.二重積分的性質(zhì)(與定積分性質(zhì)相似)第24頁，課件共30頁，創(chuàng)作于2023年2月被積函數(shù)相同,且非負(fù),思考與練習(xí)解:由它們的積分域范圍可知1.

比較下列積分值的大小關(guān)系:第25頁，課件共30頁，創(chuàng)作于2023年2月2.

設(shè)D

是第二象限的一個(gè)有界閉域,且0<y<1,則的大小順序?yàn)?)提示:因0<y<1,故故在D上有第26頁，課件共30頁，創(chuàng)作于2023年2月作業(yè)P137:4(1)(4),5(2)(3).

第27頁，課件共30頁，創(chuàng)作于2023年2月(1)分割(化整為零)(2)近似(以直代曲)(3)作和(積零為整)yxoy=f(x)ab分法越細(xì)，越接近精確值f(

i)元素法回顧:曲邊梯形的面積第28頁，課件共30頁，創(chuàng)作于2023年2月(4)取極限yxoy=f(x)令分法無限變細(xì).ab.f(

i)(1)分割(化整為零)(2)近似(以直代曲)(3)作和(積零為整).分法越細(xì)，越接近精確值元素法第29頁，課件共30頁，創(chuàng)作于2023年2月yxoy=f