邏輯斯蒂方程logisicssh的應(yīng)用

邏輯斯蒂方程logisicssh的應(yīng)用

1對(duì)馬爾薩斯malthist人口模型的檢驗(yàn)1838年，數(shù)學(xué)教育家魏羅斯提出了著名的人口增長(zhǎng)模型。邏輯斯蒂方程：。dydt=ky(1-yΚ)(1)從其問(wèn)世以來(lái),它的應(yīng)用從人口增長(zhǎng)模型拓展到很多領(lǐng)域,廣泛應(yīng)用于生物學(xué)、醫(yī)學(xué)、經(jīng)濟(jì)管理學(xué)等方面。其實(shí)最早給出人口模型方程的是英國(guó)統(tǒng)計(jì)學(xué)家馬爾薩斯(Malthus)在1798年《人口原理》中所提出的馬爾薩斯(Malthus)人口模型:dydt=ky(2)該模型建立在人口增長(zhǎng)率dydt和人口數(shù)量y(t)成正比,并且處于理想狀態(tài)(如沒(méi)有天敵、免于疾病等)下,而且只考慮出生率和死亡率,沒(méi)有考慮環(huán)境因素。事實(shí)上,更有實(shí)際意義的模型應(yīng)該能反映限定環(huán)境的情況,這是由于很多種群開(kāi)始時(shí)是呈指數(shù)增長(zhǎng)的,但數(shù)量接近K(K為環(huán)境容納量,也稱為承載能力)時(shí)增長(zhǎng)率逐漸下降。顯然方程(2)只能反映第一種趨勢(shì),而方程(1)則考慮了上述兩個(gè)趨勢(shì),因此邏輯斯蒂方程的應(yīng)用就更加廣泛。一般而言,如果客觀事物的數(shù)量特征是:在時(shí)間t很小時(shí),事物呈指數(shù)型增長(zhǎng),而當(dāng)t增大時(shí),增長(zhǎng)速度逐漸下降,且越來(lái)越接近于一個(gè)確定的值(即承載能力K),此類問(wèn)題可用邏輯斯蒂方程加以解決。2y-ydy,kt邏輯斯蒂方程dydt=ky(1-yΚ)是可分離變量的常微分方程,利用此類微分方程的一般求解方法即可求得其解。對(duì)方程(1)作變換:dyy(1-yΚ)=kdt,繼續(xù)變形可得:Κy(Κ-y)dy=kdt。對(duì)上式兩邊同時(shí)積分可得:∫Κy(Κ-y)dy=k∫dt,變形后為:∫(1y+1Κ-y)dy=k∫dt。對(duì)該積分求解得到:ln|Κ-yy|=-kt+c,從而Κ-yy=±ec?e-kt。令n=±ec,由上式可解得:y=Κ1+ne-kt(3)設(shè)t=0時(shí),y=y0(也就是初始種群數(shù)量),代入(3)式可得:y0=Κ1+n,于是n=Κ-y0y0,將n代入(3)式得到邏輯斯蒂方程的解為:y(t)=Κ1+Κ-y0y0e-kt(4)實(shí)際應(yīng)用中,結(jié)合問(wèn)題建立了邏輯斯蒂模型后,可直接利用(4)式求解。3人口增長(zhǎng)模型邏輯斯蒂方程建立時(shí)是Verhulst提出的人口增長(zhǎng)模型,因此該方程在人口增長(zhǎng)和預(yù)測(cè)方面應(yīng)用較多,但在其它方面的應(yīng)用也非常廣泛。下面通過(guò)兩個(gè)案例的描述來(lái)闡述邏輯斯蒂方程在生物學(xué)和醫(yī)學(xué)中的實(shí)際應(yīng)用。3.1大比目魚(yú)群增長(zhǎng)已完全符合邏輯斯蒂方程,其典型特征當(dāng)為案例1太平洋某區(qū)域大比目魚(yú)群的增長(zhǎng)可用如下微分方程建模:dydt=ky(1-yΚ),其中y(t)表示時(shí)刻t(以年為單位)時(shí)的生物質(zhì)量(該群種的全部個(gè)體質(zhì)量之和),單位為kg,承載能力為K=8×107kg,k=0.71/年。(1)如果y(0)=4×107kg,求1年后的生物質(zhì)量。(2)需要多長(zhǎng)時(shí)間生物質(zhì)量可達(dá)6×107kg?分析:此案例已明確大比目魚(yú)群的增長(zhǎng)滿足邏輯斯蒂方程,直接應(yīng)用即可解決案例中所提問(wèn)題。解(1)方程dydt=ky(1-yΚ)為邏輯斯蒂方程,其解為(4)式。將K=8×107,k=0.71,y(0)=3×107代入(4)式可得:y(1)=8×1071+8×107-4×1074×107?e-0.71≈5.36×107。因此1年后的生物質(zhì)量大約為5.36×107kg。(2)設(shè)需t年生物質(zhì)量可達(dá)6×107kg,則由(4)式可得:6×107=8×1071+e-0.71t,于是:e0.71t=3,0.71t=ln3,從而:t=ln30.71≈1.55,即約1.55年后生物質(zhì)量可達(dá)6×107kg。太平洋大比目魚(yú)是世界上最大的魚(yú)種之一。由于大比目魚(yú)出色的質(zhì)地適合于從清蒸到油炸的多種烹飪方式,其厚而雪白的魚(yú)片很受顧客歡迎,同時(shí)也是某些昂貴魚(yú)如智利海鱸的極好替代品,因此十分暢銷,全世界年捕撈量超2.5萬(wàn)噸。從上述案例可看出,在該區(qū)域捕撈時(shí)可結(jié)合邏輯斯蒂方程預(yù)測(cè)的數(shù)據(jù)合理安排捕撈量,不僅使種群保持穩(wěn)定,還可為人類源源不斷地提供美食。3.2有被感染傳染病患者的人所占比率計(jì)算在傳染病傳播初期,被感染的人很少,但隨著時(shí)間的推移、病毒的傳播以及感染人員的傳染,被感染的人越來(lái)越多。到一定時(shí)間,由于治療和控制,感染人群趨于穩(wěn)定,此時(shí)的數(shù)量關(guān)系可用邏輯斯蒂方程來(lái)描述。案例2以下是對(duì)傳染病傳播過(guò)程建立的模型:傳染病傳染初期傳播速度和已經(jīng)感染傳染病的人所占比率y(t)(為時(shí)間t的函數(shù))與沒(méi)有被感染傳染病的人所占比率的乘積成正比。(1)寫出y(t)滿足的微分方程。(2)解此微分方程。(3)某小鎮(zhèn)有1000個(gè)居民。發(fā)現(xiàn)首例傳染病患者當(dāng)天有5人被傳染,5天后有50人患病,10天后、15天后、20天后、30天后預(yù)計(jì)會(huì)有多少人被感染?分析:由題y(t)是已經(jīng)感染傳染病的人所占比率,它是時(shí)間t的函數(shù),傳播速度為dydt,沒(méi)有被感染傳染病的人所占比率為1-y(t),結(jié)合題設(shè)可得:dydt=ky(1-y)(5)顯然感染傳染病的人所占比率最大值為1,即K=1。方程(5)為K=1時(shí)的邏輯斯蒂方程。解(1)由所建模型,設(shè)已感染傳染病的人所占比率為y(t),t為時(shí)間,則沒(méi)有被感染傳染病的人所占比率為1-y(t),傳播速度為dydt,比例系數(shù)為k,于是y(t)滿足的微分方程為:dydt=ky(1-y)。(2)感染傳染病的人所占比率最大為1,即容納量為K=1,(5)式可變形為:dydt=ky(1-y1),上式為K=1時(shí)的邏輯斯蒂方程。由(4)式直接可得所求解為:y(t)=Κ1+Κ-y0y0e-kt=y0y0+(1-y0)e-kt(6)(3)將發(fā)現(xiàn)傳染病患者當(dāng)天看成t=0的時(shí)刻,則y0=51000=0.005,5天后有50人即t=5時(shí),y(5)=0.05,代入(6)式可得:0.05=0.0050.005+(1-0.005)?e-5k,e5k=10.47,于是k=ln10.475≈0.47。從而:y(t)=0.0050.005+(1-0.005)e-0.47t=0.0050.005+0.995e0.47t(7)將t=10,t=15,t=20,t=30分別代入(7)式可得:y(10)=0.0050.005+0.995e0.47×10≈0.357,y(15)=0.0050.005+0.995e0.47×15≈0.853,y(20)=0.0050.005+0.995e0.47×20≈0.984,y(30)=0.0050.005+0.995e0.47×30≈0.9998。因此,10天后、15天后、20天后、30天后預(yù)計(jì)感染人數(shù)分別為357人,853人,984人,1000人。由上述計(jì)算數(shù)據(jù)可看出該傳染病的傳播預(yù)計(jì)在前15天速度較快,20天后被感染人數(shù)相對(duì)較少。由此根據(jù)相應(yīng)的預(yù)測(cè)數(shù)據(jù)可對(duì)傳染病的傳播速度進(jìn)行估計(jì),以便從藥品的供給、易感人群的布控和預(yù)計(jì)傳播區(qū)域的預(yù)防等方面做好充分的準(zhǔn)備,將傳染病的傳播控制在最低程度。4更多因素的模型上述討論的為邏輯斯蒂方程的兩個(gè)簡(jiǎn)單應(yīng)用,它們的建立也是在相對(duì)理想的條件下。事