2022-2023學(xué)年廣東省汕頭市高一年級下冊學(xué)期期末數(shù)學(xué)試題【含答案】

2022-2023學(xué)年廣東省汕頭市高一下學(xué)期期末數(shù)學(xué)試題一、單選題1．設(shè)全集，集合，，則圖中陰影部分表示的集合為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】觀察出圖中陰影部分表示的集合為，結(jié)合交集的定義即可求解.【詳解】由得，圖中陰影部分表示的集合是，故.故選：A2．設(shè)復(fù)數(shù)（為虛數(shù)單位），則（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】利用復(fù)數(shù)的四則運算及模的運算即可得解.【詳解】因為，所以．故選：A．3．甲、乙兩人獨立解某一道數(shù)學(xué)題，已知該題被甲獨立解出的概率為0.7，被甲或乙解出的概率為0.94，則該題被乙獨立解出的概率為（

）A．0.9 B．0.8 C．0.7 D．0.6【答案】B【分析】由題意，表示出該題未被解出的概率，然后列出方程，即可得到結(jié)果.【詳解】設(shè)乙獨立解出該題的概率為，由題意可得，∴．故選：B.4．如圖，點D、E分別AC、BC的中點，設(shè)，，F(xiàn)是DE的中點，則（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)向量的運算，利用基底向量表示即可.【詳解】因為點D、E分別AC、BC的中點，F(xiàn)是DE的中點，所以.即.故選：C.5．著名數(shù)學(xué)家華羅庚先生曾說過：“數(shù)缺形時少直觀，形缺數(shù)時難入微，數(shù)形結(jié)合百般好，隔裂分家萬事休.”在數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)和研究中，我們經(jīng)常用函數(shù)的圖象來研究函數(shù)的性質(zhì)，也經(jīng)常用函數(shù)的解析式來琢磨函數(shù)的圖象特征，如某體育品牌的LOGO為，可抽象為如圖所示的軸對稱的優(yōu)美曲線，下列函數(shù)中，其圖象大致可“完美”局部表達(dá)這條曲線的函數(shù)是（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】首先根據(jù)圖像判斷函數(shù)是一個偶函數(shù)，再根據(jù)圖像趨勢知道區(qū)間一開始是單調(diào)遞減的，由此判斷選項中哪個符合即可.【詳解】由圖可知，該函數(shù)是一個偶函數(shù)，是奇函數(shù)，是偶函數(shù)，是奇函數(shù)，是偶函數(shù)，根據(jù)，可知BD錯誤；在區(qū)間先是單調(diào)遞減的，在區(qū)間是單調(diào)遞減的，因此符合圖形先單調(diào)遞減.故選:C6．在平面直角坐標(biāo)系中，角的頂點在坐標(biāo)原點，始邊與的非負(fù)半軸重合，將角的終邊按逆時針旋轉(zhuǎn)后，得到的角終邊與圓心在坐標(biāo)原點的單位圓交于點，則（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】由題設(shè)易知，利用誘導(dǎo)公式、倍角余弦公式有，即可求值.【詳解】由題設(shè)，由.故選：A7．已知，，是直線，是平面，若，，則“，”是“”的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件【答案】B【分析】舉反例判斷充分性，再證明必要性得解.【詳解】若∥，，如果，則“”不一定成立.如圖所示，所以“，”是“”非充分條件.如果“”，又，所以，因為，所以，所以“，”是“”的必要條件.所以“，”是“”的必要非充分條件.故選：B8．設(shè)是定義在上的奇函數(shù)，對任意的，滿足：，且，則不等式的解集為（

）A． B．C． D．【答案】A【解析】先由，判斷出在上是增函數(shù)，然后再根據(jù)函數(shù)的奇偶性以及單調(diào)性即可求出的解集.【詳解】解：對任意的，都有，在上是增函數(shù)，令，則，為偶函數(shù)，在上是減函數(shù)，且，，當(dāng)時，，即，解得：，當(dāng)時，，即，解得：，綜上所述：的解集為：.故選：A.【點睛】方法點睛：函數(shù)的單調(diào)性是函數(shù)的重要性質(zhì)之一，它的應(yīng)用貫穿于整個高中數(shù)學(xué)的教學(xué)之中.某些數(shù)學(xué)問題從表面上看似乎與函數(shù)的單調(diào)性無關(guān)，但如果我們能挖掘其內(nèi)在聯(lián)系，抓住其本質(zhì)，那么運用函數(shù)的單調(diào)性解題，能起到化難為易、化繁為簡的作用.因此對函數(shù)的單調(diào)性進行全面、準(zhǔn)確的認(rèn)識，并掌握好使用的技巧和方法，這是非常必要的.根據(jù)題目的特點，構(gòu)造一個適當(dāng)?shù)暮瘮?shù)，利用它的單調(diào)性進行解題，是一種常用技巧.許多問題，如果運用這種思想去解決，往往能獲得簡潔明快的思路，有著非凡的功效.二、多選題9．在黨中央、國務(wù)院決策部署下，近一年來我國經(jīng)濟運行呈現(xiàn)企穩(wěn)回升態(tài)勢．如圖為2022年2月至2023年1月社會消費品零售總額增速月度同比折線圖，月度同比指的是與去年同期相比，圖中縱坐標(biāo)為增速百分比．就圖中12個月的社會消費品零售總額增速而言，以下說法正確的是（

）A．12個月的月度同比增速百分比的中位數(shù)為1%B．12個月的月度同比增速百分比的平均值大于0C．圖中前6個月的月度同比增速百分比波動比后6個月的大D．共有8個月的月度同比增速百分比大于12個月的月度同比增速百分比的平均值【答案】AC【分析】根據(jù)題意結(jié)合相關(guān)概念逐項分析判斷.【詳解】由折線圖可得增速百分比（%）由小到大依次為：，對于A：12個月的月度同比增速百分比的中位數(shù)為，故A正確；對于B：因為，所以12個月的月度同比增速百分比的平均值小于0，故B錯誤；對于C：由折線圖可得前6個月的月度同比增速百分比先大幅度波動后漸漸趨于穩(wěn)定，后6個月的大波動整體較小，所以前6個月的月度同比增速百分比波動比后6個月的大，故C正確；對于D：因為，可知大于的有，共有6個，所以共有6個月的月度同比增速百分比大于12個月的月度同比增速百分比的平均值，故D錯誤；故選：AC.10．已知函數(shù)的部分圖像如圖所示，下列說法正確的是（

）

A．的圖像關(guān)于點對稱B．的圖像關(guān)于直線對稱C．將函數(shù)的圖像向右平移個單位長度得到函數(shù)的圖像D．若方程在上有兩個不相等的實數(shù)根，則的取值范圍是【答案】BCD【分析】根據(jù)圖中的信息求出，再根據(jù)正弦函數(shù)的性質(zhì)逐項分析.【詳解】由圖可知：，的周期，當(dāng)時，，，；對于A，，錯誤；對于B，，正確；對于C，將向右平移：，正確；對于D，的大致圖像如下：

欲使得在內(nèi)方程有2個不相等的實數(shù)根，則，正確；故選：BCD.11．陀螺是中國民間最早的娛樂工具之一，也作陀羅，閩南語稱作“干樂”，北方叫作“冰尜（gá）”或“打老?！保畟鹘y(tǒng)古陀螺大致是木制或鐵制的倒圓錐形．現(xiàn)有一圓錐形陀螺（如圖所示），其底面半徑為3，將其放倒在一平面上，使圓錐在此平面內(nèi)繞圓錐頂點S滾動，當(dāng)圓錐在平面內(nèi)轉(zhuǎn)回原位置時，圓錐本身恰好滾動了3周，則（

）A．圓錐的母線長為9 B．圓錐的表面積為C．圓錐的側(cè)面展開圖（扇形）的圓心角為 D．圓錐的體積為【答案】AB【分析】對于A，利用圓錐在平面內(nèi)轉(zhuǎn)回原位置求解以S為圓心，為半徑的圓的面積，再求解圓錐的側(cè)面積，根據(jù)圓錐本身恰好滾動了3周列出方程求解結(jié)果；對于B，利用圓錐的表面積公式進行計算；對于C，圓錐的底面圓周長即為圓錐側(cè)面展開圖(扇形)的弧長，根據(jù)弧長公式求解圓心角；對于D，求解圓錐的高，利用圓錐體積公式求解.【詳解】對于A，設(shè)圓錐的母線長為，以S為圓心，為半徑的圓的面積為，圓錐的側(cè)面積為，當(dāng)圓錐在平面內(nèi)轉(zhuǎn)回原位置時，圓錐本身恰好滾動了3周，則，所以圓錐的母線長為，故A正確；對于B，圓錐的表面積，故B正確；對于C，圓錐的底面圓周長為，設(shè)圓錐側(cè)面展開圖(扇形)的圓心角為，則，解得，即，故C錯誤；對于D，圓錐的高，所以圓錐的體積為,故D錯誤.故選：AB.12．已知實數(shù)a，b，滿足a＞b＞0，，則（

）A． B． C． D．【答案】BCD【分析】對于選項A：根據(jù)題意結(jié)合基本不等式分析判斷；對于選項B：利用作差法分析判斷；對于選項C：分析可得，結(jié)合指數(shù)函數(shù)單調(diào)性分析判斷；對于選項D：結(jié)合冪函數(shù)單調(diào)性分析判斷.【詳解】對于選項A：因為，即，解得或，所以或，故A錯誤；對于選項B：，因為a＞b＞0，則，即，且，所以，即，故B正確；對于選項C：因為a＞b＞0，且，可得同號，則有：若同正，可得，則，可得；若同負(fù)，可得，則，可得；綜上所述：，又因為在定義域內(nèi)單調(diào)遞減，所以，故C正確；對于選項D：因為a＞b＞0，則，可得在內(nèi)單調(diào)遞增，可得，且，所以，故D正確；故選：BCD.三、填空題13．若，且，則的取值范圍為.【答案】【分析】根據(jù)元素與集合間的關(guān)系即可求解.【詳解】由于，所以，解得，故答案為：14．已知向量，則下列說法正確的是.（1）（2）（3）向量在向量上投影向量的模長是（4）與向量方向相同的單位向量是【答案】（1）（4）【分析】根據(jù)向量的數(shù)量積的坐標(biāo)運算，向量的幾何意義，向量的投影向量的計算，單位向量的計算方法，逐項判定，即可求解.【詳解】由題意，向量，由，則，所以，故（1）正確；由，可得，故（2）錯誤；由向量在向量方向上的投影向量為，故其模長為，故（3）錯誤；由，所以與向量方向相同的單位向量是，故（4）正確；故答案為：（1）（4）.15．半正多面體亦稱“阿基米德體”，是以邊數(shù)不全相同的正多邊形為面的多面體．如圖，將正方體沿交于一頂點的三條棱的中點截去一個三棱錐，如此共可截去八個三棱錐，得到一個有十四個面的半正多面體，它的各棱長都相等，其中八個面為正三角形，六個面為正方形，稱這樣的半正多面體為二十四等邊體．若該二十四等邊體的體積為，則原正方體的外接球的表面積為．【答案】【分析】令原正方體的棱長為，原正方體的外接球的半徑為，由該二十四等邊體是由棱長為的正方體沿各棱中點截去8個三棱錐所得，可得，解得，再根據(jù)正方體的體對角線就是外接球的直徑可以求得，從而可求表面積.【詳解】令原正方體的棱長為，原正方體的外接球的半徑為，因為該二十四等邊體是由棱長為的正方體沿各棱中點截去8個三棱錐所得，所以.解得，即，因為正方體的體對角線就是外接球的直徑，所以，即，所以則原正方體的外接球的表面積為.故答案為：16．已知，則的取值范圍是.【答案】【分析】根據(jù)與的關(guān)系，換元得二次函數(shù)，根據(jù)正弦函數(shù)的性質(zhì)可得，結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)即可求解.【詳解】設(shè)，則，由于，故，故，則，，整理得；，，由于在單調(diào)遞增，故，故.故答案為：四、解答題17．已知某公司計劃生產(chǎn)一批產(chǎn)品總共萬件（），其成本為（萬元/萬件），其廣告宣傳總費用為萬元，若將其銷售價格定為萬元/萬件．(1)將該批產(chǎn)品的利潤（萬元）表示為的函數(shù)；(2)當(dāng)廣告宣傳總費用為多少萬元時，該公司的利潤最大?最大利潤為多少萬元?【答案】(1)，(2)宣傳費用為萬元時，利潤最大為萬元．【分析】（1）根據(jù)利潤與成本及產(chǎn)量的關(guān)系直接列式；（2）利用基本不等式求最值.【詳解】（1），；（2），，，當(dāng)即宣傳費用為萬元時，利潤最大為萬元．18．記的內(nèi)角的對邊分別為，已知．(1)求的值；(2)點在線段上，，求的面積．【答案】(1)；(2).【分析】（1）根據(jù)正弦定理、三角函數(shù)的和差角公式將條件變形可得答案；（2）由可得，然后由余弦定理可解出，即可得答案；

或利用正弦定理結(jié)合結(jié)合條件求，然后再利用余弦定理及三角形面積公式即得.【詳解】（1）由正弦定理得：．所以所以．所以，因為，所以；（2）法1；因為，即，又，所以，即．在中，由余弦定理得，，所以，所以，所以.法2：設(shè)，在中，由正弦定理得：，同理，在中，，所以，所以，所以，又，所以，即.在中，由余弦定理得，得，所以.所以.19．某市為了了解人們對“中國夢”的偉大構(gòu)想的認(rèn)知程度，針對本市不同年齡和不同職業(yè)的人舉辦了一次“一帶一路”知識競賽，滿分100分（95分及以上為認(rèn)知程度高），結(jié)果認(rèn)知程度高的有人，按年齡分成5組，其中第一組：，第二組：，第三組：，第四組：，第五組：，得到如圖所示的頻率分布直方圖，已知第一組有10人.（1）根據(jù)頻率分布直方圖，估計這人的平均年齡和第80百分位數(shù)；（2）現(xiàn)從以上各組中用分層隨機抽樣的方法抽取20人，擔(dān)任本市的“中國夢”宣傳使者.（i）若有甲（年齡38），乙（年齡40）兩人已確定人選宣傳使者，現(xiàn)計劃從第四組和第五組被抽到的使者中，再隨機抽取2名作為組長，求甲、乙兩人至少有一人被選上的概率；（ii）若第四組宣傳使者的年齡的平均數(shù)與方差分別為37和，第五組宣傳使者的年齡的平均數(shù)與方差分別為43和1，據(jù)此估計這人中35~45歲所有人的年齡的方差.【答案】（1）32.25歲；37.5；（2）（i）；（ii）10.【分析】(1)根據(jù)頻率分布直方圖，利用組中值乘以相應(yīng)的頻率，即可的這人的平均年齡；設(shè)第80百分位數(shù)為，計算從左到右頻率和為或計算從右到左頻率和為，即可求出；(2)（i）由題意可得，第四組應(yīng)抽取4人，記為，，，甲，第五組抽取2人，記為，乙，根據(jù)古典概型計算方法求解即可；（ii）根據(jù)方差的計算原理計算合并后方差即可.【詳解】解：（1）設(shè)這人的平均年齡為，則（歲）.設(shè)第80百分位數(shù)為，方法一：由，解得.方法二：由，解得.（2）（i）由題意得，第四組應(yīng)抽取4人，記為，，，甲，第五組抽取2人，記為，乙，對應(yīng)的樣本空間為：，共15個樣本點.設(shè)事件“甲、乙兩人至少一人被選上”，則，共有9個樣本點.所以，.（ii）設(shè)第四組、第五組的宣傳使者的年齡的平均數(shù)分別為，，方差分別為，，則，，，，設(shè)第四組和第五組所有宣傳使者的年齡平均數(shù)為，方差為.則，，因此，第四組和第五組所有宣傳使者的年齡方差為10，據(jù)此，可估計這人中年齡在35~45歲的所有人的年齡方差約為10.20．如圖，在四棱錐中，，為棱的中點，平面.(1)證明：平面(2)求證：平面平面(3)若二面角的大小為，求直線與平面所成角的正切值.【答案】(1)證明見解析(2)證明見解析(3)【分析】（1）因為且，所以為平行四邊形，則，利用線面平行的判定定理即可得證；（2）由已知可得，，由線面垂直的判定定理可得面，進而即可證得結(jié)論；（3）由平面可得，作于，可知面，所以為直線與平面所成角，在直角中求解即可．【詳解】（1）∵且，∴四邊形為平行四邊形，∴，又平面，平面，所以平面.（2）∵平面，平面，∴，連接，∵且，∴四邊形為平行四邊形，∵，，∴平行四邊形為正方形，∴，又，∴，又，面，∴面，∵面，∴平面平面.（3）∵平面，平面，∴，又，，平面，∴平面，因為平面，∴∴為二面角的平面角，從而，所以，作于，連接，∵平面平面，平面，平面平面，∴面，所以為直線與平面所成角，在直角中，，，，∴，因為面，面，所以，在直角中，，，∴，則直線與平面所成角的正切值為.21．已知函數(shù)的圖象經(jīng)過點.(1)若的最小正周期為，求的解析式；(2)若，，是否存在實數(shù)，使得在上單調(diào)？若存在，求出的取值集合；若不存在，請說明理由.【答案】(1)(2)存在，【分析】（1）根據(jù)最小正周期為得到，再根據(jù)的圖象過點，得到，即可得到的解析式；（2）根據(jù)得到是的一條對稱軸，代入得到，，再根據(jù)的圖象過點