北師大版九年級數(shù)學(xué)下冊 （圓周角和圓心角的關(guān)系）圓新課件(第2課時(shí))

圓周角和圓心角的關(guān)系第2課時(shí)第三章圓

知識點(diǎn)1

圓周角定理推論21.如圖,☉O的直徑AB=4,點(diǎn)C在☉上.若∠ABC=30°,則AC的長為

(D)2.如圖,AB是☉O的直徑,點(diǎn)C,D在☉O上.若∠ACD=15°,則∠BAD的度數(shù)為

(A)A.75° B.72°C.70° D.65°3.如圖,AB是☉O的直徑,C是☉O上的一點(diǎn).若BC=3,AB=5,OD⊥BC于點(diǎn)D,則OD的長為

2

.

知識點(diǎn)2

圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)4.如圖,四邊形ABCD為☉O的內(nèi)接四邊形.若∠AOC=110°,則∠ADC=(C)

A.55° B.110° C.125° D.70°【變式拓展】(淮安中考)如圖,點(diǎn)A,B,C都在☉O上.若∠AOC=140°,則∠B的度數(shù)是

(C)A.70° B.80°C.110° D.140°5.平行四邊形ABCD為圓內(nèi)接四邊形,則此平行四邊形是

矩形

.

6.(淮安中考)如圖,在圓內(nèi)接四邊形ABCD中,若∠A,∠B,∠C的度數(shù)之比為4∶3∶5,則∠D的度數(shù)是

120°

.

7.如圖,☉C過原點(diǎn),且與兩坐標(biāo)軸分別交于點(diǎn)A,B,點(diǎn)A的坐標(biāo)為(0,3),M是第三象限內(nèi)

上的一點(diǎn).若∠BMO=120°,求☉C的半徑長.解:∵四邊形ABMO是圓內(nèi)接四邊形,∠BMO=120°,∴∠BAO=60°.∵AB是☉C的直徑,∴∠AOB=90°.∵點(diǎn)A的坐標(biāo)為(0,3),∴OA=3,∴AB=2OA=6,∴☉C的半徑為3.8.如圖,圓內(nèi)接四邊形ABCD是由四個(gè)全等的等腰梯形組成的,AD是☉O的直徑,則∠BEC的度數(shù)為

(B)

A.15° B.30° C.45° D.60°9.(安順中考)如圖,半徑為3的☉A經(jīng)過原點(diǎn)O和點(diǎn)C(0,2),B是y軸左側(cè)☉A優(yōu)弧上的一點(diǎn),則tan∠OBC為

(D)10.(涼山州中考)如圖,已知四邊形ABCD內(nèi)接于半徑為4的☉O中,且∠C=2∠A,則BD=

.

11.(南京中考)如圖,四邊形ABCD是菱形,☉O經(jīng)過點(diǎn)A,C,D,與BC相交于點(diǎn)E,連接AC,AE.若∠D=78°,則∠EAC=

27°

.

13.如圖,在邊長為2的圓內(nèi)接正方形ABCD中,AC是對角線,P為邊CD的中點(diǎn),延長AP交圓于點(diǎn)E.(1)∠E=

45

度;

(2)寫出圖中現(xiàn)有的一對不全等的相似三角形,并說明理由;(3)求弦DE的長.解:(2)△ACP∽△DEP.理由:∵∠AED=∠ACD,∠APC=∠DPE,∴△ACP∽△DEP.

14.如圖,已知AB為☉O的直徑,CD為☉O的弦,與直徑相交于點(diǎn)E,tan∠D=0.5.(1)求tan∠ABC;(2)若D為半圓的中點(diǎn),CE=4,DE=5,求BD及☉O的半徑.15.如圖,AB是☉O的直徑,BC是☉O的弦,OD⊥CB于點(diǎn)E,交

于點(diǎn)D.(1)請寫出三個(gè)不同類型的正確結(jié)論;(2)連接CD,設(shè)∠CDB=α,∠ABC=β,試找出α與β之間的一種關(guān)系式并給出證明.解:(1)不同類型的正確結(jié)論不唯一,以下答案供參考:①BE=CE;②

;③∠BED=90°;④∠BOD=∠A;⑤AC∥OD;⑥AC⊥BC;⑦OE2+BE2=OB2;⑧S△ABC=BC×OE;⑨△BOD是等腰三角形;⑩△BOE∽△BAC等.(2)α與β的關(guān)系式主要有如下兩種形式,寫出其中一種即可.①α與β之間的關(guān)系式為α-β=90°.證明:∵AB為☉O的直徑,∴∠A+∠ABC=90°.又∵四邊形ACDB為圓的內(nèi)接四邊形,∴∠A+∠CDB=180°,∴180°-∠CDB+∠ABC=90°,∴∠CDB-∠ABC=90°,即α-β=90°.②α與β之間的關(guān)系式為α>2β.證明:∵OD=OB,∴∠ODB=∠OBD.又∵∠OBD=∠ABC+∠CBD,∴∠ODB>∠ABC.16.如圖,☉O的內(nèi)接四邊形ABCD的兩組對邊的延長線分別交于點(diǎn)E,F.(1)若∠E=∠F,求證:∠ADC=∠ABC;(2)若∠E=∠F=42°,求∠A的度數(shù);(3)若∠E=α,∠F=β,且α≠β,請你用含有α,β的代數(shù)式表示∠A的大小.解:(1)∵∠DCE=∠BCF,∠E=∠F,又∵∠ADC=∠E+∠DCE,∠ABC=∠F+∠BCF,∴∠ADC=∠ABC.(2)由(1)知∠ADC=∠ABC,∵四邊形ABCD內(nèi)接于☉O,∴∠ADC+∠ABC=180°,∴∠ADC=90°.在Rt△ADF中,∠A=90°-∠F=90°-42°=48°.(3)連接EF.∵四邊形ABCD為圓的內(nèi)接四邊形,∴∠ECD=∠A.∵∠ECD=∠CEF+∠CFE,∴∠A=∠CEF+∠CFE.∵∠A+∠CEF+∠CFE+∠DEC+∠BFC=180°,∴2∠A+α+β=180°,∴∠A=90°-.第三章圓4圓周角和圓心角的關(guān)系第1課時(shí)

目錄CONTENTS1

學(xué)習(xí)目標(biāo)2

新課導(dǎo)入3

新課講解4

課堂小結(jié)5

當(dāng)堂小練6

拓展與延伸1.圓周角的定義2.圓周角和圓心角的關(guān)系3.圓周角和弧的關(guān)系.（重點(diǎn)、難點(diǎn)）學(xué)習(xí)目標(biāo)新課導(dǎo)入什么是圓心角？它具有哪些性質(zhì)？新課講解

知識點(diǎn)1圓周角的定義圖中∠ACB的頂點(diǎn)和邊有哪些特點(diǎn)？AOBC頂點(diǎn)在圓上，并且兩邊都和圓相交的角叫圓周角．如∠ACB．新課講解圓周角的特征：①角的頂點(diǎn)在圓上；②角的兩邊都與圓相交，這兩個(gè)特征是判定圓周角

不可缺少的條件．新課講解例典例分析連接OC，如圖所示.∵BC=BD，∴∠BOC=∠BOD=50°.∴∠A=∠BOC=×50°=25°.解：如圖所示，AB

是⊙O

的直徑，弦BC=BD，若∠BOD=50°，求∠A

的度數(shù).新課講解練一練下列四個(gè)圖中，∠x為圓周角的是(

)C新課講解

知識點(diǎn)2圓周角和圓心角的關(guān)系如圖,∠AOB=80°.(1)請你畫出幾個(gè)

所對的圓周角，這幾

個(gè)圓周角有什么關(guān)系？與同伴進(jìn)行交流.(2)這些圓周角與圓心角∠AOB的大小有什么關(guān)系？你是

怎樣發(fā)現(xiàn)的？與同伴進(jìn)行交流.

在圖中，改變∠AOB的度數(shù)，你得到的結(jié)論還成立嗎？新課講解圓周角定理：圓周角的度數(shù)等于它所對弧上的圓心角度數(shù)的一半.新課講解1.圓周角定理的證明：

已知：如圖,∠C是

所對的圓周角，∠AOB是

所對的圓心角.

求證：∠C=∠AOB

分析：根據(jù)圓周角和圓心的位置關(guān)系，分三種情況討論：新課講解(1)圓心O在∠C的一條邊上，如圖(1);(2)圓心O在∠C的內(nèi)部，如圖(2);(3)圓心O在∠C的外部，如圖(3).

在三種位置關(guān)系中，我們選擇(1)給出證明，其他情況可以

轉(zhuǎn)化為(1)的情況進(jìn)行證明.(1)圓心O在∠C的一條邊上，如圖(1).

∵∠AOB是△AOC的外角，∴∠AOB=∠

A+∠C.∵

OA=OC，∴∠A=∠C.∴∠AOB=2∠C,即∠C=∠AOB.

請你完成圖(2)和圖(3)兩種情況的證明.證明：新課講解例典例分析如圖，A，B，C，D是同一圓上的點(diǎn)，∠1＝68°，∠A＝40°，則∠D＝________．由圓周角定理的推論1可知∠C＝∠A＝40°，由三角形的外角性質(zhì)得∠D＝∠1－∠C＝68°－40°＝28°.分析：28°新課講解例典例分析如圖，在⊙O中，∠AOC＝150°，求∠ABC，∠ADC的度數(shù)，并判斷∠ABC和∠ADC，∠EBC和∠ADC之間的度數(shù)關(guān)系．解題的關(guān)鍵是分清同弧所對的圓心角和圓周角，如

所對的圓心角是∠AOC，所對的圓周角是∠ABC，所對的圓心角是大于平角的∠α，所對的圓周角是∠ADC.分析：新課講解∵∠AOC＝150°，∴∠ABC＝∠AOC＝75°.∵∠α＝360°－∠AOC＝360°－150°＝210°，∴∠ADC＝∠α＝105°.∵∠EBC＝180°－∠ABC＝180°－75°＝105°，∴∠EBC＝∠ADC，即∠EBC與∠ADC相等．又∵∠ABC＋∠ADC＝75°＋105°＝180°，∴∠ABC和∠ADC互補(bǔ)．解：新課講解練一練如圖，在⊙O中，∠O

=50°，求∠A的度數(shù).解：∵∠BAC與∠BOC

所對的弧都是

，∴∠BAC＝∠BOC＝×50°

＝25°.新課講解知識點(diǎn)3圓周角和弧的關(guān)系

在如圖的射門游戲中，當(dāng)球員在B，D，E處射門時(shí)，所形成的三個(gè)張角∠ABC，∠ADC，∠AEC的大小有什么關(guān)系？你能用圓周角定理證明你的結(jié)論嗎？新課講解例典例分析

如圖所示，A，P，B，C是圓上的四個(gè)點(diǎn)，∠APC=∠CPB=60°．求證：△ABC是等邊三角形.分析：緊扣“同弧所對的圓周角相等”解決.新課講解解：∵A，P，B，C

是圓上的四個(gè)點(diǎn)，∴∠ABC=∠APC，∠CPB=∠BAC.又∵∠APC=∠CPB=60°，∴∠ABC=∠BAC=60°.∴AC=BC.又∠BAC=60°，∴△ABC

是等邊三角形.新課講解練一練如圖，哪個(gè)角與∠BAC相等？你還