第二章連續(xù)小波變換

第二章連續(xù)小波變換第1頁，課件共26頁，創(chuàng)作于2023年2月2.1連續(xù)小波變換及其性質(zhì)2.1.1連續(xù)小波基函數(shù)小波，即小區(qū)域的波，是一種特殊的長(zhǎng)度有限、平均值為零的波形。小波的可容許條件：第2頁，課件共26頁，創(chuàng)作于2023年2月小波特點(diǎn)：（一）“小”。即在時(shí)域都具有緊支集或近似緊支集。（二）正負(fù)交替的“波動(dòng)性”。即直流分量為零。信號(hào)可分解為一系列由同一個(gè)母小波函數(shù)經(jīng)平移與尺度伸縮得到的小波函數(shù)的疊加。優(yōu)點(diǎn)：第3頁，課件共26頁，創(chuàng)作于2023年2月將小波母函數(shù)進(jìn)行伸縮和平移，就可以得到函數(shù)：小波函數(shù)基，它們是由同一母函數(shù)經(jīng)伸縮和平移后得到的一組函數(shù)序列。第4頁，課件共26頁，創(chuàng)作于2023年2月伸縮和平移的含義1.尺度伸縮2.時(shí)間平移第5頁，課件共26頁，創(chuàng)作于2023年2月由于小波基函數(shù)在時(shí)間、頻率域都具有有限或近似有限的定義域，顯然，經(jīng)過伸縮平移后的函數(shù)在時(shí)、頻域仍是局部性的。小波基函數(shù)的窗口隨尺度因子的不同而伸縮，當(dāng)a逐漸增大時(shí)，基函數(shù)的時(shí)間窗口也逐漸增大，而其對(duì)應(yīng)的頻域窗口逐漸減小；反之亦然。第6頁，課件共26頁，創(chuàng)作于2023年2月定量分析-時(shí)域假定小波母函數(shù)窗口寬度為△t，窗口中心為t0，則相應(yīng)可求出連續(xù)小波的窗口中心為at0+τ，窗口寬度為a·△t。即信號(hào)限制在時(shí)間窗內(nèi)：[at0+τ-△t·a/2,at0+τ+△t·a/2]第7頁，課件共26頁，創(chuàng)作于2023年2月定量分析-頻域同樣，對(duì)于小波母函數(shù)的頻域變換，其頻域窗口中心為ω0，窗口寬度為△ω，則相應(yīng)的連續(xù)小波的傅立葉變換為：其頻域窗口中心為：窗口寬度為：信號(hào)在頻域窗內(nèi)：第8頁，課件共26頁，創(chuàng)作于2023年2月從上面的時(shí)頻域的討論可見，連續(xù)小波的時(shí)頻域窗口中心及其寬度都隨a的變化而伸縮，如果我們稱△t·△ω為窗口函數(shù)的窗口面積，則：可見：連續(xù)小波基函數(shù)的窗口面積不隨參數(shù)的變化而變化。第9頁，課件共26頁，創(chuàng)作于2023年2月幾點(diǎn)結(jié)論：（1）尺度的倒數(shù)1/a在一定意義上對(duì)應(yīng)于頻率ω。即尺度越小，對(duì)應(yīng)的頻率越高。如果我們將尺度理解為時(shí)間窗口的話，則小尺度信號(hào)為短時(shí)間信號(hào)，大尺度信號(hào)為長(zhǎng)時(shí)間信號(hào)。（2）在任何τ值上，小波的時(shí)頻窗口大小△t和△ω都隨頻率ω（或a）的變化而變化。與短時(shí)傅立葉變換中的基不同。第10頁，課件共26頁，創(chuàng)作于2023年2月（3）在任何尺度a，時(shí)間點(diǎn)τ上，窗口面積保持不變，也可以說時(shí)間、尺度分辨率是相互制約的，不可能同時(shí)得到提高。（4）品質(zhì)因素不隨尺度變化而變化。第11頁，課件共26頁，創(chuàng)作于2023年2月2.1.2連續(xù)小波變換的定義和性質(zhì)1.連續(xù)小波變換的定義將任意L2（R）空間中的函數(shù)f(t)在小波基下展開，稱這種展開為函數(shù)f(t)的連續(xù)小波變換（CWT）。其表達(dá)式為：其中：第12頁，課件共26頁，創(chuàng)作于2023年2月從定義可以看出：小波變換和傅立葉變換一樣，也是一種變換，為小波變換系數(shù)。也可見其與傅立葉變換的區(qū)別。第13頁，課件共26頁，創(chuàng)作于2023年2月逆變換若小波滿足容許條件，則連續(xù)小波變換存在著逆變換。容許條件：逆變換公式：第14頁，課件共26頁，創(chuàng)作于2023年2月說明：（1）必須滿足“容許條件”，反變換才存在。（2）在實(shí)際應(yīng)用中，對(duì)基本小波的要求往往不局限于滿足容許條件，對(duì)還要施加所謂“正則性條件”，使在頻域上表現(xiàn)出較好的局域性能。為了在頻域上有較好的局域性，要求隨a的減小而迅速減小，所以這就要求的前n階原點(diǎn)距為0，且n值越高越好。即：第15頁，課件共26頁，創(chuàng)作于2023年2月2.連續(xù)小波變換的性質(zhì)（1）線性（2）時(shí)移共變性（3）時(shí)標(biāo)定理。第16頁，課件共26頁，創(chuàng)作于2023年2月性質(zhì)（4）微分運(yùn)算（5）能量守恒（6）冗余度第17頁，課件共26頁，創(chuàng)作于2023年2月2.2幾種常用的小波小波分類的標(biāo)準(zhǔn)（1）的支撐長(zhǎng)度，即當(dāng)時(shí)間或頻率趨向于無窮大時(shí)，它們從一個(gè)有限值收斂到0。（2）對(duì)稱性。它在圖像處理中可以有效的避免移相。第18頁，課件共26頁，創(chuàng)作于2023年2月（3）的消失矩陣數(shù)。這對(duì)于壓縮非常有用。（4）正則性。它在對(duì)信號(hào)或圖像的重構(gòu)獲得較好的平滑效果作用上是非常有用的。具有對(duì)稱性的小波不易產(chǎn)生相位畸變；具有好的正則性的小波，易于獲得光滑的重構(gòu)曲線和圖像，從而減小誤差。第19頁，課件共26頁，創(chuàng)作于2023年2月常用的小波1.Haar小波。第20頁，課件共26頁，創(chuàng)作于2023年2月2.Daubechies（dbN）小波第21頁，課件共26頁，創(chuàng)作于2023年2月3.MexicanHat(mexh)小波其函數(shù)為Gauss函數(shù)的二階導(dǎo)數(shù)：第22頁，課件共26頁，創(chuàng)作于2023年2月4.Morlet小波它是高斯包絡(luò)下的單頻率復(fù)正弦函數(shù)第23頁，課件共26頁，創(chuàng)作于2023年2月2.3連續(xù)小波變換的步驟（1）選擇小波函數(shù)及其尺度a值。（2）從信號(hào)的起始位置開始，將小波函數(shù)和信號(hào)進(jìn)行比較，即計(jì)算小波系數(shù)。（3）沿時(shí)間軸移動(dòng)小波函數(shù)，即改變參數(shù)b，在新的位置計(jì)算小波系數(shù)，直至信號(hào)的終點(diǎn)。（4）改變尺度a值，重復(fù)（2）、（3）步。第24頁，