吉林省長春市市第六十九中學(xué)高三數(shù)學(xué)文下學(xué)期摸底試題含解析

吉林省長春市市第六十九中學(xué)高三數(shù)學(xué)文下學(xué)期摸底試題含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有是一個(gè)符合題目要求的1.從拋物線上一點(diǎn)P引拋物線準(zhǔn)線的垂線，垂足為M，且|PM|=5，設(shè)拋物線的焦點(diǎn)為F，則△MPF的面積為

A．5

B．10

C．20

D．參考答案：B2.已知是函數(shù)的零點(diǎn)，若，則的值滿足(

）A．

B．

C．

D．的符號不能確定參考答案：C3.若關(guān)于x不等式xlnx﹣x3+x2≤aex恒成立，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（）A．[e，+∞） B．[0，+∞） C．[，+∞) D．[1，+∞）參考答案：B【分析】x∈R時(shí)，ex＞0恒成立，把不等式xlnx﹣x3+x2≤aex化為a≥；設(shè)f（x）=，x∈（0，+∞）；求出f（x）的最大值即可得出a的取值范圍．【解答】解：x∈R時(shí)，ex＞0恒成立，∴關(guān)于x不等式xlnx﹣x3+x2≤aex化為a≥；設(shè)f（x）=，其中x∈（0，+∞）；則f′（x）=，設(shè)g（x）=lnx+1﹣xlnx+x3﹣4x2+2x，其中x∈（0，+∞）；則g′（x）=﹣lnx﹣1+3x2﹣8x+2=3x2﹣8x+1+﹣lnx＜0，∴g（x）是單調(diào)減函數(shù)，且g（1）=0，∴x=1時(shí)，f（x）取得最大值0，∴實(shí)數(shù)a的取值范圍是[0，+∞）．故選：B．【點(diǎn)評】本題考查了不等式恒成立問題，也考查了利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性與求最值問題，是綜合題．4.已知，則（

）A．

B．

C．D．

參考答案：C略5.已知f(x)是定義在R上的偶函數(shù)，且x≤0時(shí)，，若f(x)≥x+a“對于任意x∈R恒成立，則常數(shù)a的取值范圍是（A）（B）（C）（D）參考答案：C略6.已知函數(shù)f(x)＝|lgx|，若a≠b，且f(a)＝f(b)，則a＋b的取值范圍是()A．(1，＋∞)

B．1，＋∞)C．(2，＋∞)

D．2，＋∞)參考答案：C7.下列圖形中，不是三棱柱展開圖的是（

）A. B. C. D.參考答案：C【分析】根據(jù)三棱柱的展開圖的可能情況選出選項(xiàng).【詳解】由圖可知，ABD選項(xiàng)可以圍成三棱柱，C選項(xiàng)不是三棱柱展開圖.故選：C【點(diǎn)睛】本小題主要考查三棱柱展開圖的判斷，屬于基礎(chǔ)題.8.如果等差數(shù)列中，，那么等于（A）21 （B）30 （C）35 （D）40參考答案：C15.函數(shù)（x≥0）的反函數(shù)為f-1(x)，則f-1(2)的值是（

）（A）（B）－（C）1+（D）1－參考答案：A10.設(shè)是虛數(shù)單位，是復(fù)數(shù)的共軛復(fù)數(shù).若復(fù)數(shù)滿足，則（

）A.

B.

C.

D.

參考答案：B二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.在同一平面直角坐標(biāo)系中，直線變成直線的伸縮變換是

.參考答案：略12.在平面直角坐標(biāo)系xOy中，A為直線上在第一象限內(nèi)的點(diǎn)，，以AB為直徑的圓C與直線l交于另一點(diǎn)D．若，則點(diǎn)A的橫坐標(biāo)為

．參考答案：313.設(shè)△ABC三個(gè)內(nèi)角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，若a2sinC=4sinA，（ca+cb）（sinA﹣sinB）=sinC（2﹣c2），則△ABC的面積為．參考答案：【考點(diǎn)】余弦定理；正弦定理．【分析】由正弦定理化簡已知可得ac=4，a2+c2﹣b2=2，繼而利用余弦定理可得cosB，利用同角三角函數(shù)基本關(guān)系式可求sinB，根據(jù)三角形面積公式即可計(jì)算得解．【解答】解：∵a2sinC=4sinA，∴由正弦定理可得：a2c=4a，解得：ac=4，∵（ca+cb）（sinA﹣sinB）=sinC（2﹣c2），∴c（a+b）（a﹣b）=c（2﹣c2），整理可得：a2+c2﹣b2=2，∴由余弦定理可得：cosB===，可得：sinB==，∴S△ABC=acsinB==．故答案為：．【點(diǎn)評】本題主要考查了正弦定理，余弦定理可，同角三角函數(shù)基本關(guān)系式，三角形面積公式在解三角形中的綜合應(yīng)用，考查了計(jì)算能力和轉(zhuǎn)化思想，屬于基礎(chǔ)題．14.設(shè)函數(shù)，其中表示不超過的最大整數(shù)，如，，，若直線（）與函數(shù)的圖象恰好有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，則的取值范圍是

．參考答案：15.(理)函數(shù)圖像的頂點(diǎn)是，且成等比數(shù)列，則_____．參考答案：1416.若函數(shù)f（x）=﹣1+log（n+1）（x+1）經(jīng)過的定點(diǎn)（與m無關(guān)）恰為拋物線y=ax2的焦點(diǎn)，則a=_________．參考答案：17.如圖，在棱長為2的正方體ABCD﹣A1B1C1D1中，O為底面ABCD的中心，E為CC1的中點(diǎn)，那么異面直線OE與AD1所成角的余弦值等于．參考答案：【考點(diǎn)】異面直線及其所成的角．【專題】空間角．【分析】首先通過做平行線把異面直線的夾角轉(zhuǎn)化為共面直線的夾角，進(jìn)一步利用解直角三角形知識求得結(jié)果．【解答】解：取BC的中點(diǎn)F，連接EF，OF由于O為底面ABCD的中心，E為CC1的中點(diǎn)，所以：EF∥BC1∥AD1所以：異面直線OE與AD1所成角，即OE與EF所成的角．平面ABCD⊥平面BCC1B1OF⊥BC所以：OF⊥平面BCC1B1EF?平面BCC1B1所以：EF⊥OFcos故答案為：【點(diǎn)評】本題考查的知識要點(diǎn)：異面直線所成的角的應(yīng)用，線面垂直與面面垂直及線線垂直之間的轉(zhuǎn)化，屬于基礎(chǔ)題型．三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.已知曲線（為參數(shù)），曲線，將的橫坐標(biāo)伸長為原來的2倍，縱坐標(biāo)縮短為原來的得到曲線，（1）求曲線的普通方程，曲線的直角坐標(biāo)方程；（2）若點(diǎn)P為曲線上的任意一點(diǎn)，Q為曲線上的任意一點(diǎn)，求線段的最小值，并求此時(shí)的P的坐標(biāo)。參考答案：（1）曲線：，曲線：（2）設(shè)P（），則線段的最小值為點(diǎn)P到直線的距離。

19.已知橢圓的左焦點(diǎn)F1與拋物線的焦點(diǎn)重合，橢圓E的離心率為，過點(diǎn)作斜率不為0的直線l，交橢圓E于A，B兩點(diǎn)，點(diǎn)，且為定值．（1）求橢圓E的方程；（2）求△OAB面積的最大值．參考答案：解：（1）設(shè)F1（﹣c，0），∵拋物線y2=﹣4x的焦點(diǎn)坐標(biāo)為（﹣1，0），且橢圓E的左焦點(diǎn)F與拋物線y2=﹣4x的焦點(diǎn)重合，∴c=1，又橢圓E的離心率為，得a=，于是有b2=a2﹣c2=1．故橢圓E的標(biāo)準(zhǔn)方程為：．（2）設(shè)A（x1，y1），B（x2，y2），直線l的方程為：x=ty+m，由整理得（t2+2）y2+2tmy+m2﹣2=0，，，==（t2+1）y1y2+（tm﹣t）（y1+y2）+m2﹣=．要使?為定值，則，解得m=1或m=（舍）當(dāng)m=1時(shí)，|AB|=|y1﹣y2|=，點(diǎn)O到直線AB的距離d=，△OAB面積s==．∴當(dāng)t=0，△OAB面積的最大值為.

20.設(shè)函數(shù)，其中，e是自然對數(shù)的底數(shù).（1）若f(x)在(0,+∞)上存在兩個(gè)極值點(diǎn)，求a的取值范圍；（2）若，證明：.參考答案：(1)(2)見證明【分析】（1）在上存在兩個(gè)極值點(diǎn)等價(jià)于在有兩個(gè)根，分離參數(shù)，分析函數(shù)的單調(diào)性及極值，即可得出取值；范圍.（2）即，等價(jià)于,令，利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的最值，證明最大值小于0即可.【詳解】（1）由題意可知，，，在上存在兩個(gè)極值點(diǎn)等價(jià)于在有兩個(gè)根，由可得，，令，則，令，可得，當(dāng)時(shí)，，所以在上單調(diào)遞減，且，當(dāng)時(shí)，，，單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，，，單調(diào)遞減；所以是的極大值也是最大值，又當(dāng)，當(dāng)大于趨向于，要使在有兩個(gè)根，只需，所以的取值范圍為；（2）證明：即，等價(jià)于，令,，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增，所以，當(dāng)時(shí)，，令，，又，取，且使，即，則有，因?yàn)?，故存在唯一零點(diǎn)，即有唯一的極值點(diǎn)且為極小值點(diǎn)，由可得，，故，因?yàn)?，故為上的增函?shù)，所以，所以．綜上，當(dāng)時(shí)，總有．21. 已知函數(shù)

（Ⅰ）若上是增函數(shù)，求實(shí)數(shù)的取值范圍。

（Ⅱ）若的一個(gè)極值點(diǎn)，求上的最大值。參考答案：解：（I）上是增函數(shù)

即上恒成立

則必有

（II）依題意，即

令得則當(dāng)變化時(shí)，的變化情況如下表：1（1，3）3（3，4）4

—0+

—6

—18

—12在[1，4]上的最大值是略22.在直角梯形ABCD中，，，，E，F(xiàn)分別為AD，BC的中點(diǎn)（如圖1）．沿EF將四邊形EFCD折起，使得（如圖2）．

（1）求證：平面平面EFCD；（2）若，求二面角的余弦值．參考答案：(1)見證明；(2)【分析】（1）證明平面，利用面面垂直的判