第二章矩陣的運(yùn)算及與矩陣的秩

第二章矩陣的運(yùn)算與矩陣的秩

本章要點(diǎn)流程:

首先介紹矩陣的基本運(yùn)算進(jìn)一步了解分塊矩陣重點(diǎn)學(xué)習(xí)可逆矩陣

最后對(duì)齊次線性方程組解的作討論認(rèn)識(shí)矩陣的秩第二章矩陣的運(yùn)算與矩陣的秩§2.1矩陣的基本運(yùn)算一、矩陣的線性運(yùn)算定義2.1設(shè)都是矩陣，為給定的數(shù)．（1）稱矩陣為矩陣A與B相加的和，記作A+B；（2）稱矩陣為數(shù)與矩陣A相乘的積，記作.其中第二章矩陣的運(yùn)算與矩陣的秩§2.1矩陣的基本運(yùn)算稱矩陣為矩陣A的負(fù)矩陣，記為-A．利用負(fù)矩陣及矩陣的加法，定義矩陣的減法為：稱為數(shù)量矩陣.第二章矩陣的運(yùn)算與矩陣的秩§2.1矩陣的基本運(yùn)算矩陣的線性運(yùn)算滿足以下規(guī)律（設(shè)A,B,C為同型矩陣）：1)A+B=B+A

2)(A+B)+C=A+(B+C),(ks)A=k(sA)=s(kA)

3)k(A+B)=kA+kB,(k+s)A=kA+sA第二章矩陣的運(yùn)算與矩陣的秩§2.1矩陣的基本運(yùn)算例2.1：已知，且，求矩陣X.二、矩陣的乘法第二章矩陣的運(yùn)算與矩陣的秩§2.1矩陣的基本運(yùn)算1、引例成本明細(xì)某工廠生產(chǎn)三種產(chǎn)品A,B,C，各種產(chǎn)品所需的生產(chǎn)成本估計(jì)以及各個(gè)季度每一個(gè)產(chǎn)品的生產(chǎn)件數(shù)如下：產(chǎn)品成本ABC原材料勞動(dòng)量0.100.300.100.300.400.20季度產(chǎn)品ABC夏秋冬春400045004000450026002000240022005800620060006000給出：指明各季度所需各類成本的明細(xì)表第二章矩陣的運(yùn)算與矩陣的秩§2.1矩陣的基本運(yùn)算已知：原材料勞動(dòng)量夏秋冬春則明細(xì)表為矩陣：0.1×4000+0.3×2000+0.1×5800原材料勞動(dòng)量夏秋冬春18501770166031603630351032801580********＝1580ABCABC第二章矩陣的運(yùn)算與矩陣的秩§2.1矩陣的基本運(yùn)算2、矩陣乘法的定義為元素的矩陣為A（自左）乘B之積，記作C=AB,亦即定義：設(shè),則以第二章矩陣的運(yùn)算與矩陣的秩§2.1矩陣的基本運(yùn)算例2.2注：要使乘積AB有意義，矩陣A的列數(shù)必須等于矩陣B的行數(shù)。第二章矩陣的運(yùn)算與矩陣的秩§2.1矩陣的基本運(yùn)算3×3練習(xí)：求AB與BA、AC與CA.(2)設(shè)（1）設(shè)求AB與AC.第二章矩陣的運(yùn)算與矩陣的秩§2.1矩陣的基本運(yùn)算解：

（1）（2）CA無(wú)意義第二章矩陣的運(yùn)算與矩陣的秩§2.1矩陣的基本運(yùn)算注：矩陣乘法與數(shù)的乘法的區(qū)別（1）矩陣的乘法一般不滿足交換律，所以矩陣的乘法有左乘和右乘之分。若兩個(gè)矩陣A,B恰好滿足AB=BA，則稱A,B是可交換的．兩個(gè)可交換的矩陣必然是同階方陣．顯然單位矩陣I、數(shù)量矩陣與任何同階方陣可交換．（2）矩陣的乘法一般也不滿足消去律，即：當(dāng)AB=AC時(shí)，即使也未必有B=C成立．特別地，當(dāng)AB=O時(shí)，未必有A=O或B=O第二章矩陣的運(yùn)算與矩陣的秩§2.1矩陣的基本運(yùn)算3.矩陣乘法的運(yùn)算法則(2)結(jié)合律：(4)設(shè)A是m×n矩陣，則(3),k為數(shù).(5)兩個(gè)n階上三角陣之積仍是n階上三角陣。兩個(gè)n階下三角陣之積仍是n階下三角陣。(1)分配律：第二章矩陣的運(yùn)算與矩陣的秩§2.1矩陣的基本運(yùn)算例2.3：矩陣乘法運(yùn)算應(yīng)用之一

——線性方程組的矩陣表示對(duì)線性方程組若記則此方程組借助矩陣的乘法可記為：4.矩陣乘法應(yīng)用舉例第二章矩陣的運(yùn)算與矩陣的秩§2.1矩陣的基本運(yùn)算例2.4：矩陣乘法應(yīng)用之二——初等變換過(guò)程運(yùn)算化引例：設(shè)，觀察下列初等矩陣與A的乘積：第二章矩陣的運(yùn)算與矩陣的秩§2.1矩陣的基本運(yùn)算定理2.1：對(duì)矩陣作一次行初等變換相當(dāng)于A左乘一個(gè)相應(yīng)的的初等矩陣；對(duì)矩陣作一次列初等變換相當(dāng)于A右乘一個(gè)相應(yīng)的的初等矩陣；初等矩陣使得推論：若矩陣A與B等價(jià)，則存在若干個(gè)初等矩陣和若干個(gè)第二章矩陣的運(yùn)算與矩陣的秩§2.1矩陣的基本運(yùn)算例3：矩陣乘法應(yīng)用之二——連續(xù)線性變換的關(guān)系在平面解析幾何中，常用到坐標(biāo)旋轉(zhuǎn)。假設(shè)x軸繞原點(diǎn)旋轉(zhuǎn)角o即xy即則新舊坐標(biāo)的關(guān)系是再將

軸繞原點(diǎn)旋轉(zhuǎn)角，則又有第二章矩陣的運(yùn)算與矩陣的秩§2.1矩陣的基本運(yùn)算則連接兩次代換的結(jié)果為：這正與用原坐標(biāo)代換式得到的結(jié)果是一致的，而用矩陣乘法表出，不僅簡(jiǎn)單，而且適用面更廣。第二章矩陣的運(yùn)算與矩陣的秩§2.1矩陣的基本運(yùn)算5.方陣的冪設(shè)A為n階方陣，定義A的正整數(shù)冪為命題：?jiǎn)栴}：等式成立嗎？矩陣的多項(xiàng)式：設(shè)m次多項(xiàng)式則稱為n階方陣A的m次多項(xiàng)式第二章矩陣的運(yùn)算與矩陣的秩§2.1矩陣的基本運(yùn)算例5：計(jì)算，其中n為正整數(shù)。法一：（歸納法）因?yàn)榈诙戮仃嚨倪\(yùn)算與矩陣的秩§2.1矩陣的基本運(yùn)算歸納可得：然后用數(shù)學(xué)歸納法證明（略）第二章矩陣的運(yùn)算與矩陣的秩§2.1矩陣的基本運(yùn)算法二：令當(dāng)n≥3時(shí)，第二章矩陣的運(yùn)算與矩陣的秩§2.1矩陣的基本運(yùn)算一般地，第二章矩陣的運(yùn)算與矩陣的秩§2.1矩陣的基本運(yùn)算注：運(yùn)用此法的前提是：B是冪零陣，即存在k使得Bk=O第二章矩陣的運(yùn)算與矩陣的秩§2.1矩陣的基本運(yùn)算思考：設(shè)A、B為同階方陣。試問(wèn)在什么條件下以下等式成立？第二章矩陣的運(yùn)算與矩陣的秩§2.1矩陣的基本運(yùn)算結(jié)束語(yǔ)矩陣的乘法運(yùn)算并沒(méi)有采用“華而不實(shí)”的常規(guī)思路，而是采用了較為復(fù)雜的“行乘列”的運(yùn)算法則，由此還喪失了普通乘法的一些性質(zhì)，然而，它廣泛的實(shí)際應(yīng)用和在理論上的重要作用，使它在線性代數(shù)中不但生根發(fā)芽而且繁花似錦。由此可見：實(shí)際中的應(yīng)用和理論上的價(jià)值才是數(shù)學(xué)發(fā)展的強(qiáng)大生命力第二章矩陣的運(yùn)算與矩陣的秩§2.1矩陣的基本運(yùn)算三、矩陣的轉(zhuǎn)置1定義：把m×n的矩陣A的行列互換所得到的n×m的矩陣稱為A的轉(zhuǎn)置，記作或第二章矩陣的運(yùn)算與矩陣的秩§2.1矩陣的基本運(yùn)算例1：解：第二章矩陣的運(yùn)算與矩陣的秩§2.1矩陣的基本運(yùn)算2、相關(guān)性質(zhì)：第二章矩陣的運(yùn)算與矩陣的秩§2.1矩陣的基本運(yùn)算根據(jù)矩陣相等的定義，容易得到下列結(jié)論：為對(duì)稱陣的充要條件是:為反對(duì)稱陣的充要條件是:

3對(duì)稱矩陣與反對(duì)稱矩陣定義：假設(shè)A為n階方陣，如果AT=A,則稱A是對(duì)稱矩陣；如果AT=－A,則稱A是反對(duì)稱矩陣。注：反對(duì)稱陣的主對(duì)角線上的元素第二章矩陣的運(yùn)算與矩陣的秩§2.1矩陣的基本運(yùn)算例2：A,B為任意階方陣，證明：BAT+ABT是對(duì)稱矩陣。例3：已知n階方陣A，B都是對(duì)稱矩陣，證明AB也是對(duì)稱矩陣的充要條件是：AB=BA第二章矩陣的運(yùn)算與矩陣的秩§2.1矩陣的基本運(yùn)算§2.2分塊矩陣一、分塊矩陣的概念

定義：矩陣的分塊就是將矩陣A用若干縱線和橫線分成幾個(gè)小矩陣，每一小矩陣稱為A的子塊，以子塊為元素的形式上的矩陣，稱為分塊矩陣。例如第二章矩陣的運(yùn)算與矩陣的秩§2.2分塊矩陣又如，第二章矩陣的運(yùn)算與矩陣的秩§2.2分塊矩陣常用的矩陣分塊方法：(3)按行或列分塊(1)分塊對(duì)角陣(2)分塊上（下）三角陣第二章矩陣的運(yùn)算與矩陣的秩§2.2分塊矩陣二、分塊矩陣的運(yùn)算1．分塊矩陣相加、減

設(shè)A、B是兩個(gè)用相同方法分塊的同型矩陣其中的行數(shù)和列數(shù)分別相等，則第二章矩陣的運(yùn)算與矩陣的秩§2.2分塊矩陣2.數(shù)與分塊矩陣相乘設(shè)是一個(gè)實(shí)數(shù)，則第二章矩陣的運(yùn)算與矩陣的秩§2.2分塊矩陣3．分塊矩陣相乘設(shè)，并作如下分塊其中的列數(shù)分別等于的行數(shù)，則第二章矩陣的運(yùn)算與矩陣的秩§2.2分塊矩陣其中C是p×t的分塊矩陣，且

相乘的條件：

(1)A分出的列子塊數(shù)＝B分出的行子塊數(shù)(2)A中每一個(gè)子塊的列數(shù)＝B中相應(yīng)的子塊的行數(shù)第二章矩陣的運(yùn)算與矩陣的秩§2.2分塊矩陣分塊對(duì)角陣乘法：其中，是同階的子方陣（i=1,2,…,l)，則有第二章矩陣的運(yùn)算與矩陣的秩§2.2分塊矩陣?yán)涸O(shè)求kA及AB。第二章矩陣的運(yùn)算與矩陣的秩§2.2分塊矩陣4．分塊矩陣的轉(zhuǎn)置設(shè)則第二章矩陣的運(yùn)算與矩陣的秩§2.2分塊矩陣在信息通訊中，常將字符（信號(hào)）與數(shù)字對(duì)應(yīng)，如例如信息“are”對(duì)應(yīng)一個(gè)矩陣。但在軍事通訊中如果按這種方式傳輸，則很容易被敵人破譯.于是必須采取加密措施，即用一個(gè)約定的加密矩陣A乘以原信號(hào)BT,輸出信號(hào)為C=ABT（加密），收到信號(hào)的一方再將信號(hào)還原（破譯）。一、引入§2.3可逆矩陣第二章矩陣的運(yùn)算與矩陣的秩§2.3可逆矩陣當(dāng)數(shù)a不等于零時(shí)，便有一個(gè)數(shù)使得對(duì)于除法運(yùn)算可以用乘法運(yùn)算和來(lái)表示。對(duì)矩陣來(lái)說(shuō)，單位矩陣I在矩陣中的地位類似于數(shù)1在數(shù)中的地位。問(wèn)題：對(duì)一個(gè)非零矩陣A來(lái)說(shuō)，能否找到一個(gè)與a-1地位相似的矩陣B，使得AB=BA=I成立呢?回憶：第二章矩陣的運(yùn)算與矩陣的秩§2.3可逆矩陣二、可逆矩陣的概念與性質(zhì)1、定義設(shè)A為n階方陣，若存在同階方陣B，使AB=BA=I成立，則稱B是A的逆矩陣，記作A-1,這時(shí)稱A為可逆矩陣。注：(1)若矩陣A可逆，則其逆矩陣必是唯一的。(2)初等矩陣都是可逆的，而且初等矩陣的逆仍是初等矩陣。第二章矩陣的運(yùn)算與矩陣的秩§2.3可逆矩陣則例2:判斷是否可逆，若可逆，求A-1

解：設(shè)A可逆，是的逆矩陣,第二章矩陣的運(yùn)算與矩陣的秩§2.3可逆矩陣又因?yàn)樗訟可逆，且注：此法稱為待定參數(shù)求逆法。第二章矩陣的運(yùn)算與矩陣的秩§2.3可逆矩陣2.可逆矩陣的性質(zhì)性質(zhì)1：若矩陣A可逆，則(1)A-1可逆，且(A-1)-1=A(2)

時(shí)，可逆，且(3)

AT可逆，且(4)若AB=O,(5)若AB=AC,則B=O則B=C第二章矩陣的運(yùn)算與矩陣的秩§2.3可逆矩陣性質(zhì)2：設(shè)A和B是兩個(gè)同階的可逆方陣，推論2：若A和B是等價(jià)的方陣，推論1：若均為n階的可逆方陣，則可逆，且則AB也可逆，且則他們的可逆性相同。第二章矩陣的運(yùn)算與矩陣的秩§2.3可逆矩陣問(wèn)題：（1）什么樣的方陣A是可逆的？（2）如果可逆，如何求其逆矩陣？已知：等價(jià).(2)與形如(1)等價(jià)矩陣的可逆性相同.A可逆易推知：A與單位矩陣等價(jià)。第二章矩陣的運(yùn)算與矩陣的秩§2.3可逆矩陣定理：n階方陣A可逆的充分必要條件是：A與單位矩陣等價(jià)，即：存在若干個(gè)初等矩陣使得三可逆矩陣與初等矩陣的關(guān)系

——矩陣可逆的充要條件四初等變換求逆法行初等變換第二章矩陣的運(yùn)算與矩陣的秩§2.3可逆矩陣推論：m×n矩陣A與B等價(jià)的充要條件是存在m階可逆矩陣P和n階可逆矩陣Q,使得PAQ=B.分析：A可逆，其中Pi是初等矩陣可逆第二章矩陣的運(yùn)算與矩陣的秩§2.3可逆矩陣

解例2第二章矩陣的運(yùn)算與矩陣的秩§2.3可逆矩陣第二章矩陣的運(yùn)算與矩陣的秩§2.3可逆矩陣?yán)?

解矩陣方程：思考：能否用列變換求逆，如果可以，該怎么做？第二章矩陣的運(yùn)算與矩陣的秩§2.3可逆矩陣練習(xí)：密碼問(wèn)題（續(xù)）某日有人使用下述代碼，給你發(fā)了一條信息，編碼為：21,27,37,22；30,40,36,