第五講-最大公約數(shù)與最小公倍數(shù)

第五講最大公約數(shù)與最小公倍數(shù)【知識(shí)導(dǎo)引】一、約數(shù)的概念與最大公約數(shù)約數(shù)又叫因數(shù)(在正整數(shù)范圍內(nèi)）整數(shù)a能被整數(shù)b整除，a叫做b的倍數(shù)，b就叫做a的約數(shù)。最大公約數(shù):如果一個(gè)數(shù)既是數(shù)a的約數(shù)，又是數(shù)b的約數(shù)，稱為[a,b]的約數(shù)。幾個(gè)數(shù)公有的因數(shù)，叫做這幾個(gè)數(shù)的公因數(shù),其中最大的一個(gè)叫做這幾個(gè)數(shù)的最大公因數(shù)。1.求最大公約數(shù)的方法①分解質(zhì)因數(shù)法：先分解質(zhì)因數(shù)，然后把相同的因數(shù)連乘起來。例如：，，所以；②短除法：先找出所有共有的約數(shù)，然后相乘。例如：，所以；③輾轉(zhuǎn)相除法：每一次都用除數(shù)和余數(shù)相除，能夠整除的那個(gè)余數(shù)，就是所求的最大公約數(shù)。用輾轉(zhuǎn)相除法求兩個(gè)數(shù)的最大公約數(shù)的步驟如下：先用小的一個(gè)數(shù)除大的一個(gè)數(shù)，得第一個(gè)余數(shù)；再用第一個(gè)余數(shù)除小的一個(gè)數(shù)，得第二個(gè)余數(shù)；又用第二個(gè)余數(shù)除第一個(gè)余數(shù)，得第三個(gè)余數(shù)；這樣逐次用后一個(gè)余數(shù)去除前一個(gè)余數(shù)，直到余數(shù)是0為止。那么，最后一個(gè)除數(shù)就是所求的最大公約數(shù)(如果最后的除數(shù)是1，那么原來的兩個(gè)數(shù)是互質(zhì)的)。例如，求600和1515的最大公約數(shù)：；；；；；所以1515和600的最大公約數(shù)是15。2.最大公約數(shù)的性質(zhì)①幾個(gè)數(shù)都除以它們的最大公約數(shù)，所得的幾個(gè)商是互質(zhì)數(shù)；②幾個(gè)數(shù)的公約數(shù)，都是這幾個(gè)數(shù)的最大公約數(shù)的約數(shù)；③幾個(gè)數(shù)都乘以一個(gè)自然數(shù)，所得的積的最大公約數(shù)等于這幾個(gè)數(shù)的最大公約數(shù)乘以。3.求一組分?jǐn)?shù)的最大公約數(shù)先把帶分?jǐn)?shù)化成假分?jǐn)?shù)，其他分?jǐn)?shù)不變；求出各個(gè)分?jǐn)?shù)的分母的最小公倍數(shù)a；求出各個(gè)分?jǐn)?shù)的分子的最大公約數(shù)b；即為所求。二、倍數(shù)的概念與最小公倍數(shù)對(duì)于整數(shù)m，能被n整除（n/m）,那么m就是n的倍數(shù)。如15能夠被3或5整除，我們就說15是3的倍數(shù)，也是5的倍數(shù)。幾個(gè)數(shù)公有的倍數(shù)叫做這幾個(gè)數(shù)的公倍數(shù),其中最小的一個(gè)叫做這幾個(gè)數(shù)的最小公倍數(shù)。1.求最小公倍數(shù)的方法①分解質(zhì)因數(shù)法求最小公倍數(shù)例如：，，所以；②短除法求最小公倍數(shù)例如：，所以；③公式法：2.最小公倍數(shù)的性質(zhì)①兩個(gè)數(shù)的任意公倍數(shù)都是它們最小公倍數(shù)的倍數(shù)。②兩個(gè)互質(zhì)的數(shù)的最小公倍數(shù)是這兩個(gè)數(shù)的乘積。③兩個(gè)數(shù)具有倍數(shù)關(guān)系，則它們的最大公約數(shù)是其中較小的數(shù)，最小公倍數(shù)是較大的數(shù)。3.求一組分?jǐn)?shù)的最小公倍數(shù)方法步驟先將各個(gè)分?jǐn)?shù)化為假分?jǐn)?shù)；求出各個(gè)分?jǐn)?shù)分子的最小公倍數(shù)；求出各個(gè)分?jǐn)?shù)分母的最大公約數(shù)；即為所求。例如：注意：兩個(gè)最簡分?jǐn)?shù)的最大公約數(shù)不能是整數(shù)，最小公倍數(shù)可以是整數(shù)。例如：三、最大公約數(shù)與最小公倍數(shù)的常用性質(zhì)1.兩個(gè)自然數(shù)分別除以它們的最大公約數(shù)，所得的商互質(zhì)。如果為、的最大公約數(shù)，且，，那么互質(zhì)，所以、的最小公倍數(shù)為，所以最大公約數(shù)與最小公倍數(shù)有如下一些基本關(guān)系：①，即兩個(gè)數(shù)的最大公約數(shù)與最小公倍數(shù)之積等于這兩個(gè)數(shù)的積；②最大公約數(shù)是、、、及最小公倍數(shù)的約數(shù)。2.兩個(gè)數(shù)的最大公約和最小公倍的乘積等于這兩個(gè)數(shù)的乘積，即。3.對(duì)于任意3個(gè)連續(xù)的自然數(shù)，如果三個(gè)連續(xù)數(shù)的奇偶性為：①奇偶奇，那么這三個(gè)數(shù)的乘積等于這三個(gè)數(shù)的最小公倍數(shù)，例如：，210就是567的最小公倍數(shù)。答：花圃周長是2160厘米?！玖?xí)題精選】【A組——基礎(chǔ)夯實(shí)】1.①用短除法求120、48和56的最小公倍數(shù)；②用分解質(zhì)因數(shù)法求35、98、112的最大公約數(shù)和最小公倍數(shù)。2.已知a=44，b=12，c=82，求（a，b，c）和[a，b，c]。3.兩個(gè)自然數(shù)的最大公約數(shù)是6，最小公倍數(shù)是504，如果其中一個(gè)數(shù)是42，那么另一個(gè)數(shù)是。4.8路車每隔8分鐘發(fā)一次車，12路每隔6分鐘發(fā)一次車，在某一時(shí)刻這兩路車同時(shí)從一個(gè)車站發(fā)車，至少再過________分鐘這兩路車才又同時(shí)發(fā)車。5.甲數(shù)是36，甲、乙兩數(shù)最大公約數(shù)是4，最小公倍數(shù)是288，那么乙數(shù)是________。6.四個(gè)連續(xù)自然數(shù)的和等于54，那么這四個(gè)連續(xù)自然數(shù)的最小公倍數(shù)是。7.一個(gè)房間長450厘米，寬330厘米?，F(xiàn)計(jì)劃用方磚鋪地，需要用邊長最大為________厘米的方磚塊(整塊)，才能正好把房間地面鋪滿。8.教師節(jié)那天，某校工會(huì)買了320個(gè)蘋果、240個(gè)桔子、200個(gè)鴨梨，用來慰問退休的教職工，問用這些果品，最多可以分成________份同樣的禮物(同樣的禮物指的是每份禮物中蘋果、桔子、鴨梨的個(gè)數(shù)彼此相等)。在每份禮物中，蘋果有________個(gè)，桔子有________個(gè)，鴨梨有________個(gè)。9.三個(gè)質(zhì)數(shù)的和是62，這三個(gè)質(zhì)數(shù)的積是________。10.一包糖，平均分給2人，3人，4人，或5人，正好都余一塊，這包糖至少有________塊?！綛組——能力提升】1.有三根繩子，第一根長12米，第二根長18米，第三根長24米，現(xiàn)在要把它們剪成同樣長的小段，每段最長________米。2.有一批樹苗，9棵一捆多7棵，10棵一捆多8棵，12棵一捆多10棵，這批樹苗在150－200之間。共有________棵樹苗。3.同學(xué)們訓(xùn)練廣播操，每行8人、10人、15人，都能正好排成整行，并且沒有多余的學(xué)生，至少有________人參加了廣播操訓(xùn)練。4.已知兩個(gè)自然數(shù)的積為240，最小公倍數(shù)為60，這兩個(gè)數(shù)為_____________。5.已知兩數(shù)的最大公約數(shù)是21，最小公倍數(shù)是126，這兩個(gè)數(shù)的和是__________。6.一個(gè)長方形的周長是40厘米，它的長和寬的厘米數(shù)是由一個(gè)質(zhì)數(shù)與一個(gè)合數(shù)組成，它的面積最大是___________，最小是___________。7.幼兒園一個(gè)班節(jié)約圖書，如借35本，平均發(fā)給