第二章 被控對(duì)象的數(shù)學(xué)模型

第二章被控過(guò)程的數(shù)學(xué)模型§1.過(guò)程建模的基本概念1.1.過(guò)程的數(shù)學(xué)模型（被控對(duì)象的特性）被控過(guò)程的輸出量與輸入量之間的關(guān)系的數(shù)學(xué)描述。1.靜態(tài)（穩(wěn)態(tài)）：當(dāng)輸入恒定不變時(shí)，被控參數(shù)處于相對(duì)靜止?fàn)顟B(tài)，這種狀態(tài)就是靜態(tài)。2.動(dòng)態(tài)：系統(tǒng)受到外來(lái)擾動(dòng)的影響或在改變了設(shè)定值后，原來(lái)的穩(wěn)態(tài)遭到破壞，被控量隨時(shí)間而變化，系統(tǒng)未處于平衡工況的狀態(tài)。3.過(guò)渡過(guò)程：從一個(gè)穩(wěn)態(tài)到達(dá)另一個(gè)穩(wěn)態(tài)的歷程。4.控制系統(tǒng)過(guò)渡過(guò)程的形式(b).穩(wěn)定的隨動(dòng)系統(tǒng)過(guò)渡過(guò)程(a).定值控制系統(tǒng)過(guò)渡過(guò)程的五種形式C(t)t單調(diào)發(fā)散0C(t)t發(fā)散振蕩0衰減振蕩C(t)t0等幅振蕩C(t)t0單調(diào)衰減C(t)t0C(t)t01.2過(guò)程控制系統(tǒng)建模概念被控對(duì)象＋過(guò)程檢測(cè)控制儀表按被控對(duì)象特性控制系統(tǒng)控制效果的好壞，在很大程度上取決于對(duì)被控對(duì)象動(dòng)態(tài)特性了解的程度。過(guò)程控制系統(tǒng)控制方案選擇測(cè)量控制儀表組成控制系統(tǒng)1.選擇輸入量與輸出量A.多輸入單輸出的被控對(duì)象液位控制器給水控制閥鍋爐汽鼓液位變送器液位給定值e(t)u(t)+-蒸汽流量給水壓力選擇可控性好的給水流量信號(hào)為控制信號(hào)。通道：輸入信號(hào)與輸出信號(hào)之間的信號(hào)聯(lián)系。控制通道：控制作用至被控參數(shù)之間的信號(hào)聯(lián)系。干擾通道：干擾作用至被控參數(shù)之間的信號(hào)聯(lián)系。a.將復(fù)雜對(duì)象劃分成若干個(gè)獨(dú)立的被控區(qū)域，每個(gè)執(zhí)行機(jī)構(gòu)只對(duì)一個(gè)被控參數(shù)起作用。B.多輸入多輸出對(duì)象燃料

送風(fēng)機(jī)

引風(fēng)機(jī)

噴水

壓力

風(fēng)燃比

負(fù)壓

溫度

水位

給水

給水流量給水壓力蒸汽流量水位汽鼓引風(fēng)量爐膛壓力爐膛爐膛送風(fēng)量爐排轉(zhuǎn)速蒸汽壓力對(duì)于每個(gè)獨(dú)立的被控區(qū)域?qū)ο蟮姆治?，可按只有一個(gè)被控參數(shù)的對(duì)象處理。…u1up…d1dny1yp…b.綜合控制具有多個(gè)被控參數(shù)的對(duì)象有相應(yīng)個(gè)數(shù)的控制作用。1.3數(shù)學(xué)模型的作用與要求1.設(shè)計(jì)過(guò)程控制系統(tǒng)及整定調(diào)節(jié)器參數(shù)2.指導(dǎo)生產(chǎn)工藝及其設(shè)備的設(shè)計(jì)與操作3.對(duì)被控過(guò)程進(jìn)行仿真研究過(guò)程控制中實(shí)際應(yīng)用的數(shù)學(xué)模型傳遞函數(shù)的階次一般不超過(guò)三階，最常用的是帶有時(shí)滯的一階慣性傳遞函數(shù)形式1.4建立過(guò)程數(shù)學(xué)模型的途徑建立被控過(guò)程數(shù)學(xué)模型的方法機(jī)理演繹法實(shí)驗(yàn)辨識(shí)方法機(jī)理演繹與實(shí)驗(yàn)辨識(shí)相結(jié)合的混合方法開(kāi)環(huán)辨識(shí)與閉環(huán)辨識(shí)1.用機(jī)理演繹法(解析法)建立被控過(guò)程的數(shù)學(xué)模型根據(jù)被控過(guò)程的內(nèi)在機(jī)理,運(yùn)用已知的靜態(tài)和動(dòng)態(tài)物料平衡、能量平衡等關(guān)系，用數(shù)學(xué)推理的方法求取被控過(guò)程的數(shù)學(xué)模型。2.實(shí)驗(yàn)辨識(shí)方法(系統(tǒng)辨識(shí)與參數(shù)估計(jì)方法)根據(jù)過(guò)程輸入、輸出的實(shí)驗(yàn)測(cè)試數(shù)據(jù)，通過(guò)過(guò)程辨識(shí)和參數(shù)估計(jì)得出數(shù)學(xué)模型。A.明確數(shù)學(xué)模型的應(yīng)用目的及相應(yīng)要求B.掌握足夠的驗(yàn)前知識(shí)對(duì)過(guò)程內(nèi)在物理化學(xué)規(guī)律的了解、事先的測(cè)試數(shù)據(jù)、日常操作記錄分析等。C.實(shí)驗(yàn)設(shè)計(jì)輸入信號(hào)的幅值和頻譜、采樣周期、總的測(cè)試時(shí)間、信號(hào)發(fā)生、數(shù)據(jù)存儲(chǔ)、計(jì)算裝置、開(kāi)環(huán)或閉環(huán)辨識(shí)、離線或在線辨識(shí)、信號(hào)濾波及漂移處理方法。D.信號(hào)發(fā)生、測(cè)量、數(shù)據(jù)存儲(chǔ)由信號(hào)發(fā)生器、特性測(cè)試儀或計(jì)算機(jī)產(chǎn)生輸入信號(hào)，用記錄儀、測(cè)試儀或計(jì)算機(jī)對(duì)輸出信號(hào)進(jìn)行測(cè)量處理，將結(jié)果存儲(chǔ)起來(lái)。E.辨識(shí)方法用階躍響應(yīng)、頻率響應(yīng)、頻譜分析、相關(guān)函數(shù)或參數(shù)估計(jì)方法來(lái)建立過(guò)程的模型。F.模型結(jié)構(gòu)模型形式、時(shí)滯情況、方程階次的確定G.模型驗(yàn)證自身驗(yàn)證：把在測(cè)試時(shí)所得同一輸入下實(shí)際過(guò)程的輸出與模型的計(jì)算輸出加以比較。交叉驗(yàn)證：多進(jìn)行一次驗(yàn)證，把另一組輸入下的過(guò)程實(shí)際輸出與模型的計(jì)算輸出加以比較。采用以上步驟后，若所得模型不能滿足精度要求，則要重新修正實(shí)驗(yàn)設(shè)計(jì)，修正假定結(jié)構(gòu)，反復(fù)幾次，直到達(dá)到要求為止。3.機(jī)理演繹與實(shí)驗(yàn)辨識(shí)相結(jié)合的混合方法4.開(kāi)環(huán)辨識(shí)與閉環(huán)辨識(shí)A.多級(jí)過(guò)程，部分采用機(jī)理演繹方法推導(dǎo)出相應(yīng)的數(shù)學(xué)模型。對(duì)于尚不熟悉的部分采用實(shí)驗(yàn)辨識(shí)的方法得出其相應(yīng)的數(shù)學(xué)描述。B.先通過(guò)機(jī)理分析確定模型的結(jié)構(gòu)形式，再通過(guò)實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)來(lái)確定模型中各個(gè)參數(shù)的大小。目前常用開(kāi)環(huán)辨識(shí)。若工作中無(wú)法除去反饋、開(kāi)環(huán)辨識(shí)有可能破壞生產(chǎn)的正常進(jìn)行時(shí)需采用閉環(huán)辨識(shí)。閉環(huán)辨識(shí)的實(shí)驗(yàn)條件:在調(diào)節(jié)器輸出端施加外部信號(hào)、在調(diào)節(jié)器輸入端施加外部信號(hào)、改變線性反饋規(guī)律（如調(diào)節(jié)器的放大系數(shù)）等。§2.解析法建立過(guò)程數(shù)學(xué)模型根據(jù)生產(chǎn)過(guò)程中實(shí)際發(fā)生的物理化學(xué)變化機(jī)理，寫(xiě)出物質(zhì)平衡方程，能量平衡方程，動(dòng)量平衡方程以及反映流體流動(dòng)、傳熱、傳質(zhì)、化學(xué)反應(yīng)等基本規(guī)律的運(yùn)動(dòng)方程、特性參數(shù)方程和某些設(shè)備的特性方程等，從中獲得所需的數(shù)學(xué)模型。2.1單容過(guò)程的建模單容過(guò)程：指只有一個(gè)貯蓄容量的過(guò)程。由于不同的物理背景的若干過(guò)程都遵循同一變化規(guī)律，故單容過(guò)程可代表一類過(guò)程。單容過(guò)程可分為：有自平衡單容過(guò)程無(wú)自平衡單容過(guò)程有自平衡過(guò)程：指被控過(guò)程在擾動(dòng)作用下，平衡狀態(tài)被破壞后，不需要操作人員或儀表的干預(yù)，依靠自身能夠恢復(fù)平衡的過(guò)程。1.單容水槽水位的動(dòng)特性Q1：輸入水流量的穩(wěn)態(tài)值m3/sΔQ1:輸入水流量的增量m3/sQ2：輸出水流量的穩(wěn)態(tài)值m3/sΔQ2:輸出水流量的增量m3/sh0：液位的穩(wěn)態(tài)值mΔh:液位的增量mΔu1：閥門(mén)1開(kāi)度增量m2ΔQ1＝Ku?Δu1Ku：閥門(mén)1流量系數(shù)m/sQ20+ΔQ2Q20h0+Δhh0Rs:液阻S/m2C稱為水槽的容量系數(shù)，又稱液容.K＝Ku?

RsT＝A?

Rs對(duì)象的響應(yīng)曲線：輸入量作階躍變化時(shí)，輸出量對(duì)時(shí)間的變化曲線。（對(duì)象的飛升曲線）A.放大系數(shù)KB.時(shí)間常數(shù)TtThh0KΔu1Δu1tu（靜態(tài)參數(shù)）（動(dòng)態(tài)參數(shù)）2.對(duì)象的自衡特性對(duì)象在擾動(dòng)作用下，平衡狀態(tài)被破壞以后，不需要任何外力作用，依靠自身的能力，被控參數(shù)可以自發(fā)地恢復(fù)平衡的特性。A.有自衡能力對(duì)象

1

Q1

h

Q2（直到

Q2=Q1）自衡率（ρ）：對(duì)象的ρ大，表示即使加上一個(gè)很大的擾動(dòng)Δu1，h變化也會(huì)很小。B.無(wú)自衡能力對(duì)象對(duì)象在擾動(dòng)作用下，平衡狀態(tài)被破壞以后，被調(diào)量以固定的速度一直變化下去而不會(huì)自動(dòng)地在新的水平上恢復(fù)平衡的對(duì)象。

1

Q1

Q2不變(

Q2<

Q1)

h

0QQ10Q20Q2Q1h0htt0無(wú)自衡特性水槽的飛升曲線3.純滯后單容對(duì)象的特性h0+hLQ10+Q1Q20+Q2A.有自衡能力對(duì)象干擾發(fā)生處與測(cè)定被控參數(shù)點(diǎn)之間有一定距離（由信號(hào)傳輸引起）產(chǎn)生純滯后現(xiàn)象原因：B.無(wú)自衡能力對(duì)象h0+hLQ10+Q1Q20純滯后、容量滯后對(duì)系統(tǒng)的調(diào)節(jié)品質(zhì)會(huì)帶來(lái)不利影響。2.2多容過(guò)程的建模1.雙容對(duì)象的特性A.調(diào)節(jié)對(duì)象具有兩個(gè)儲(chǔ)蓄容器(稱為雙容對(duì)象)B.由兩個(gè)一階慣性環(huán)節(jié)串聯(lián)起來(lái)(被調(diào)量是第二個(gè)水槽的水位)C.對(duì)于擾動(dòng)的響應(yīng)在時(shí)間上存在滯后（容量滯后

c，由對(duì)象儲(chǔ)蓄容量引起）圖中P為拐點(diǎn)，過(guò)拐點(diǎn)作切線交于時(shí)間軸A點(diǎn)，可求T、

c。2.多容對(duì)象的飛升曲線A.多容對(duì)象的飛升曲線若中間容積不止兩個(gè)，則對(duì)象的慣性將隨之增大B.多容對(duì)象的數(shù)學(xué)模型a.有自衡能力對(duì)象的數(shù)學(xué)模型無(wú)純滯后對(duì)象有純滯后對(duì)象b.無(wú)自衡能力對(duì)象的數(shù)學(xué)模型無(wú)純滯后對(duì)象有純滯后對(duì)象例2-6

2.3測(cè)試法建模若對(duì)于復(fù)雜的工藝過(guò)程，要求出其數(shù)學(xué)模型（微分方程）很困難。復(fù)雜對(duì)象錯(cuò)綜復(fù)雜的相互作用可能會(huì)對(duì)結(jié)果產(chǎn)生估計(jì)不到的影響，即使能用機(jī)理法得到數(shù)學(xué)模型，但仍希望通過(guò)實(shí)驗(yàn)測(cè)定來(lái)驗(yàn)證，可采用實(shí)驗(yàn)和測(cè)試方法來(lái)求取對(duì)象數(shù)學(xué)模型。方法：時(shí)域法頻域法相關(guān)統(tǒng)計(jì)法1.概述§3響應(yīng)曲線法辨識(shí)過(guò)程的數(shù)學(xué)模型1.階躍響應(yīng)曲線法脈沖響應(yīng)曲線法階躍響應(yīng)曲線法在對(duì)象上人為地加一瞬變擾動(dòng)，測(cè)定對(duì)象的響應(yīng)曲線，然后根據(jù)此響應(yīng)曲線，推求出對(duì)象的傳遞函數(shù)。缺點(diǎn)：被控參數(shù)的偏差往往會(huì)超出實(shí)際生產(chǎn)所允許的數(shù)值。tu(t)ty(t)y(0)u(0)2.脈沖響應(yīng)曲線法u(t)：矩形脈沖輸入u1(t)：階躍輸入u(t)＝u1(t)－u1(t－T)tu(t)ty(t)

uu1(t)T2T4T3TY’(t)u(t)Y’(t)u1(t)y(t)Y’(t)＝y(tǒng)(t)－y(t－T)y(t)＝Y(jié)’(t)＋y(t－T)0<tT

y(t)＝Y(jié)’(t)t＝Ty(T)＝Y(jié)’(T)t=2Ty(2T)＝Y(jié)’(2T)+y(T)

t＝3Ty(3T)＝Y(jié)’(3T)+y(2T)實(shí)驗(yàn)中應(yīng)注意的問(wèn)題：a.將對(duì)象調(diào)整到相對(duì)穩(wěn)定的工況，采取一切措施防止其他干擾的發(fā)生b.在相同條件下應(yīng)重復(fù)多做幾次試驗(yàn)，從幾次試驗(yàn)中選擇兩次以上比較接近的響應(yīng)曲線作為分析依據(jù)。c.進(jìn)行正、反方向?qū)嶒?yàn)以檢驗(yàn)對(duì)象的非線性特性，擾動(dòng)量要適量d.測(cè)試應(yīng)進(jìn)行到被控參數(shù)接近的穩(wěn)態(tài)值e.應(yīng)在被控對(duì)象最小、最大及平均負(fù)荷下重復(fù)測(cè)試n條響應(yīng)曲線3.實(shí)驗(yàn)結(jié)果的數(shù)據(jù)處理將測(cè)試的曲線與標(biāo)準(zhǔn)的一、二階對(duì)象的階躍響應(yīng)曲線比較，確定其相應(yīng)曲線對(duì)應(yīng)的傳遞函數(shù)形式作為數(shù)據(jù)處理的模型。對(duì)一條曲線：用低階傳遞函數(shù)擬合：數(shù)據(jù)處理簡(jiǎn)單。準(zhǔn)確程度較低。用高階傳遞函數(shù)擬合：數(shù)據(jù)處理復(fù)雜。擬合精度高。由于閉環(huán)控制尤其是PID控制并不要求非常精確的數(shù)學(xué)模型，故在滿足精度要求的情況下盡量使用低階的傳遞函數(shù)來(lái)擬合。A.飛升曲線確定一階環(huán)節(jié)的參數(shù)yy0tu(t)ty(t)y(0)u(0)

uTy0.63[yy0]a.飛升曲線在輸入發(fā)生階躍的瞬間斜率最大b.飛升曲線在輸入發(fā)生階躍的瞬間斜率不是最大，而是呈一條S形的非周期曲線（a）直角坐標(biāo)圖解法（b）計(jì)算法（兩點(diǎn)法）ty(0)u(t)tu(0)y(t)

uy

(t)ty(0)100%39.3%t163.2%t2選由曲線找到t1、t2值代入下述方程，求T、

。y

(t)ty(0)100%39.3%t163.2%t2（c）.半對(duì)數(shù)坐標(biāo)圖解法采用半對(duì)數(shù)坐標(biāo)圖解法的最大優(yōu)點(diǎn)：可很方便地判斷所辨識(shí)的過(guò)程究竟是不是一階無(wú)時(shí)延環(huán)節(jié)。一階無(wú)時(shí)延環(huán)節(jié)：階躍響應(yīng)是一條直線。B.由S形飛升曲線確定二階環(huán)節(jié)的參數(shù)a.由飛升曲線求k、T1、T2、

u(t)tu(0)

uy(

)ty(0)y(t)t20.8t10.4ty(0)y

(t)1b.半對(duì)數(shù)坐標(biāo)圖解法C.二階時(shí)延環(huán)節(jié)參數(shù)的確定二階時(shí)延環(huán)節(jié)的傳遞函數(shù)D.無(wú)自衡過(guò)程的參數(shù)確定方法Y(t)可按一階時(shí)延環(huán)節(jié)的參數(shù)確定方法求取T1、T2和的值將y(t)曲線n等份，每份的時(shí)間間隔為Δt然后按一階時(shí)延環(huán)節(jié)的參數(shù)確定方法求取各個(gè)參數(shù)?！?相關(guān)函數(shù)法辨識(shí)過(guò)程的數(shù)學(xué)模型對(duì)于大多數(shù)系統(tǒng)只能進(jìn)行離線辨識(shí)。由階躍響應(yīng)和頻率響應(yīng)辨識(shí)對(duì)象傳遞函數(shù)的局限性：影響控制系統(tǒng)的正常工作狀態(tài)，有時(shí)甚至有破壞設(shè)備的危險(xiǎn)；認(rèn)為被測(cè)試對(duì)象的動(dòng)態(tài)特征是不變化的，若發(fā)生變化，就必須重新進(jìn)行一套反復(fù)的測(cè)試計(jì)算工作，實(shí)驗(yàn)、分析計(jì)算過(guò)程較長(zhǎng)；一般不易消除各種干擾的影響；A.基本概念1.平穩(wěn)隨機(jī)過(guò)程、相關(guān)函數(shù)、功率譜密度相關(guān)函數(shù)法測(cè)定動(dòng)態(tài)特性的基本思路：a.隨機(jī)信號(hào)：隨時(shí)間隨機(jī)地變化的信號(hào)。x1(t),x2(t)，…,xk(t)是隨時(shí)間隨機(jī)地變化的信號(hào),它們的集合就稱為隨機(jī)過(guò)程。在被測(cè)對(duì)象上加隨機(jī)信號(hào)x(t)，測(cè)量被控參數(shù)y(t)，計(jì)算出自相關(guān)函數(shù)Rxx(

)和x(t)與y(t)的互相關(guān)函數(shù)Rxy(

)，然后再根據(jù)Rxy(

)與對(duì)象脈沖響應(yīng)函數(shù)間的關(guān)系求出對(duì)象脈沖響應(yīng)g(t)，對(duì)象的傳遞函數(shù)為G(s）＝L〔g(t)〕。b.平均值、均方值平均值均方值c.平穩(wěn)隨機(jī)過(guò)程若一個(gè)隨機(jī)過(guò)程，它的統(tǒng)計(jì)特性在各個(gè)時(shí)刻都不變，則稱之為平穩(wěn)隨機(jī)過(guò)程d.自相關(guān)函數(shù)e.互相關(guān)函數(shù)f.功率譜密度g.白噪聲2.相關(guān)分析法識(shí)別對(duì)象動(dòng)態(tài)特性的原理線性對(duì)象脈沖響應(yīng)函數(shù)g(t)x(t)y(t)

一個(gè)線性對(duì)象的輸入函數(shù)x(t)是一個(gè)平穩(wěn)的隨機(jī)過(guò)程，那么相應(yīng)的輸出y(t)亦是一個(gè)平穩(wěn)的隨機(jī)過(guò)程，由輸入x(t)與輸出y(t)的互相關(guān)函數(shù)來(lái)確定脈沖響應(yīng)函數(shù)g(t)。原理：A.wiener-hopf方程X(t)看作是無(wú)數(shù)脈沖的疊加Y1(t)、Y2(t)……是x1(t)、x2(t)………的響應(yīng)。y(t)＝y(tǒng)1(t)＋y2(t)+????將x(t)分解為許多脈沖之和。每個(gè)脈沖的面積為這是維納－何甫方程，是相關(guān)分析法辨識(shí)線性對(duì)象動(dòng)態(tài)特性的重要依據(jù)B.用白噪聲測(cè)定對(duì)象的動(dòng)態(tài)特性代入上式采用白噪聲作為輸入信號(hào)時(shí)，對(duì)象輸入與輸出之間的互相關(guān)函數(shù)Rxy

與該對(duì)象的脈沖響應(yīng)函數(shù)g

成正比。x(t-）實(shí)驗(yàn)可在正常運(yùn)行狀態(tài)下進(jìn)行；要得到較精確的互相關(guān)函數(shù)，必須在較長(zhǎng)一段時(shí)間內(nèi)進(jìn)行積分，于是會(huì)產(chǎn)生信號(hào)漂移和記錄儀器的零點(diǎn)漂移。白噪聲是隨機(jī)信號(hào)，要使兩個(gè)周期內(nèi)的信號(hào)形式和狀態(tài)完全相同，這幾乎是不可能的。方法的特點(diǎn)：優(yōu)點(diǎn)：缺點(diǎn)：用偽隨機(jī)信號(hào)識(shí)別對(duì)象的動(dòng)態(tài)特性3.用偽隨機(jī)信號(hào)識(shí)別對(duì)象的動(dòng)態(tài)特性A.偽隨機(jī)信號(hào)的特點(diǎn)a.信號(hào)中有二個(gè)數(shù)值＋a和－a，在t＝kt瞬間由一個(gè)值切換到另一個(gè)值，其中－a個(gè)數(shù)為2n－1，＋a個(gè)數(shù)為2n－1－1。b.若干個(gè)＋a（或－a）連在一起稱為“游程”.一個(gè)游程中的＋a（或－a）的個(gè)數(shù)稱為游程長(zhǎng)度.長(zhǎng)度為t的游程為總數(shù)的1/2，長(zhǎng)度為2t的游程為總數(shù)的1/4，長(zhǎng)度為3t的游程約占總數(shù)的1/8…。在同樣長(zhǎng)度的所有游程中＋a的游程與－a的游程約各占半數(shù)。初態(tài)1111，第3、4位作模2運(yùn)算11110111111100010011010——一個(gè)周期（15）偽隨機(jī)信號(hào)是一種周期為T(mén)的信號(hào)序列，它的自相關(guān)函數(shù)偽隨機(jī)信號(hào)的自相關(guān)函數(shù)與白噪聲的自相關(guān)函數(shù)相同，只是它有重復(fù)周期Tc.偽隨機(jī)信號(hào)中最常用的是M序列M序列信號(hào)有以下性質(zhì):M序列周期為N=2n-11出現(xiàn)的個(gè)數(shù)為（N+1）/20出現(xiàn)的個(gè)數(shù)