等差數(shù)列的前n項和教學設計

2．3等差數(shù)列的前n項和（一）教學目標1、知識與技能：掌握等差數(shù)列前n項和公式及其獲取思路；會用等差數(shù)列的前n項和公式解決一些簡單的與前n項和有關的問題2、過程與方法：通過公式的推導和公式的運用，使學生體會從特殊到一般，再從一般到特殊的思維規(guī)律，初步形成認識問題，解決問題的一般思路和方法；通過公式推導的過程教學，對學生進行思維靈活性與廣闊性的訓練，發(fā)展學生的思維水平.3、情感態(tài)度與價值觀：通過公式的推導過程，展現(xiàn)數(shù)學中的對稱美（二）教學重、難點重點：等差數(shù)列前n項和公式的推導和應用.難點：等差數(shù)列前n項和公式的推導過程中滲透倒序相加的思想方法。（三）學法與教學用具學法：講練結合教學用具：投影儀教學過程[創(chuàng)設情景]（多媒體展示，讓學生將實際生活中的問題抽象成數(shù)學問題并思考如何去解決）教師：很高興和大家一起學習等差數(shù)列的前n項和，下面請大家看這樣一個問題：一個堆放小球的V形架最下面一層放一個小球，往上每一層都比它下面一層多放一個，最上面一層放100個.這個V形架上共放著多少個小球？學生思考發(fā)現(xiàn)問題一：1+2+…100=?”教師：很好，對于這個問題大家如何解決？（教師提出疑問，學生踴躍回答，課堂氣氛活躍）生1：逐項相加生2：也可以這樣做1+100=101；2+99=101；…50+51=101，所以101×50=5050教師：同學們說的非常棒，下面我們一起來看在200多年前10歲的高斯是如何解決這個問題的，請大家欣賞視頻.（多媒體播放，讓學生通過“看”和“思”進一步了解數(shù)學家高斯及其算法，提高學生的學習興趣，激發(fā)學生的求知欲.）教師：這個故事告訴我們什么？（學生爭先恐后的回答，課堂氣氛異?；钴S）生1：作為數(shù)學王子的高斯從小就善于觀察，敢于思考.（不錯，希望同學們在日常生活中也善于發(fā)現(xiàn)，思考.還有其他發(fā)現(xiàn)嗎？）生2：將首末兩項配對，第二項與倒數(shù)第二項配對，以此類推，每一對的和都相等，且都等于51，50個51就是5050.生3：他是將100個數(shù)分成50組，每一組的和為51,50個51就是5050.教師：非常好.（同學們對幾位同學的回答予以鼓掌激勵.教師多媒體展示高斯算法的過程）這種方法就叫首尾配對相加法或高斯算法.請同學們思考一下：高斯的算法妙在哪里？生4：將不同數(shù)的求和問題轉化成相同數(shù)的求和問題，即將加法問題轉化為乘法問題，可以減少運算量.教師：下面看問題2：1+2+3+…+n=?大家想想能否利用剛才介紹的首尾配對相加法？生5：可以，將首末兩項配對，第二項與倒數(shù)第二項配對，以此類推，每一對的和都為n+1.教師：很好，你類比前面問題的解決方法這樣考慮的，但還有一點欠缺，其他同學有不同意見嗎？生6：需要對n取值的奇偶進行討論.當n為偶數(shù)時剛好配對成功。當n奇數(shù)時，中間的一項落單了。（教師提出疑問，學生討論激烈，有些學生認為生1的表述正確，也有認為生2的表述正確，究竟怎樣做？學生感到茫然）學生思維受阻，教師因勢利導多媒體展示對n進行分類討論的過程（.學生會覺得這樣做比較麻煩）教師：有沒有更簡便的方法？（學生結合課本，小組討論、交流）生7：由1+2+…+n-1+nn+n-1+…+2+1（n+1）+（n+1）+…+（n+1）+（n+1）可知教師：非常好.這也就是下面我要介紹的“倒序相加”法.這種方法是可以推廣到求一般等差數(shù)列的前n項和的.[新課教學]1.數(shù)列前n項和的定義：一般地，稱為數(shù)列的前n項的和，用表示，教師：下面請大家根據(jù)倒序相加法和數(shù)列前n項和定義推導等差數(shù)列的前項和公式.（學生活動：動腦思考、動手操作、合作交流，達成共識）2.等差數(shù)列的前項和公式：①②①+②：∵∴由此得：公式1用上述公式要求必須具備三個條件：但代入公式1即得：公式2此公式要求必須已知三個條件：（教師將上述學生寫的過程放在投影儀下向全班同學展示并引導學生思考這兩個公式的結構特征得到：第一個公式反映了等差數(shù)列的任意的第k項與倒數(shù)第k項的和等于首項與末項的和這個內在性質。第二個公式反映了等差數(shù)列的前n項和與它的首項、公差之間的關系，而且是關于n的“二次函數(shù)”，可以與二次函數(shù)進行比較。這兩個公式的共同點都是知道和n，不同點是第一個公式還需知道，而第二個公式是要知道d，解題時還需要根據(jù)已知條件決定選用哪個公式.）[公式運用]教師：下面，老師給大家準備了幾個數(shù)學問題，考考同學們對本節(jié)課的掌握情況，你們有信心解決嗎？（用激勵性的語言把課堂推向了又一次高峰，學生個個摩拳擦掌，準備迎戰(zhàn)）（運用等差數(shù)列前n項和公式）（教師給出下面三個基礎知識問題，學生搶著上黑板演示）例1、等差數(shù)列－10，－6，－2,2，…的前______項的和為54？（請三位學生黑板寫出計算過程，教師對幾位同學的做法給予評價和表揚）教師：這幾道題同學們參與很積極，成功率也很高，接下來的問題請大家繼續(xù)努力.(課堂氣氛依然活躍，乘勝追擊，給出下列兩個問題)例2、2000年11月14日教育部下發(fā)了《關于在中小學實施“校校通”工程的統(tǒng)治》.某市據(jù)此提出了實施“校校通”工程的總目標：從2022年起用10年時間，在全市中小學建成不同標準的校園網.據(jù)測算，2022年該市用于“校校通”工程的經費為500萬元.為了保證工程的順利實施，計劃每年投入的資金都比上一年增加50萬元.那么從2022年起的未來10年內，該市在“校校通”工程中的總投入是多少？先閱讀題目；引導學生提取有用的信息，構件等差數(shù)列模型；寫這個等差數(shù)列的首項和公差，并根據(jù)首項和公差選擇前n項和公式進行求解。解：根據(jù)題意，從2022-2022年，該市每年投入“校校通”工程的經費都比上一年增加50萬元.所以，可以建立一個等差數(shù)列，表示從2022年起各年投入的資金，其中，d=50.那么，到2022年（n=10），投入的資金總額為（萬元）答：從2022~2022年，該市在“校校通”工程中的總投入是7250萬元.例3．已知一個等差數(shù)列前10項的和是310，前20項的和是1220.由這些條件能確定這個等差數(shù)列的前n項和的公式嗎？引導學生分析得到：等差數(shù)列前n項和公式就是一個關于的方程。若要確定其前n項求和公式，則要確定的關系式，從而求得。分析：將已知條件代入等差數(shù)列前n項和的公式后，可得到兩個關于與d的二元一次方程，由此可以求得與d，從而得到所求前n項和的公式.解一：由題意知，將它們代入公式得到解這個關于與d的方程組，得到=4，d=6，所以解二：得所以②②-①，得，所以代入①得：所以有例題評述：此例題目的是建立等差數(shù)列前n項和與解方程之間的聯(lián)系.已知幾個量，通過解方程，得出其余的未知量.引導分析得出：觀察等差數(shù)列兩個前n項和公式，和，公式本身就不含常數(shù)項。所以得到：如果一個數(shù)列前n項和公式是常數(shù)項為0，且關于n的二次型函數(shù)，則這個數(shù)列一定是等差數(shù)列.[隨堂練習]課本45頁“練習”第1、2、3題[課堂小結]教師：通過這節(jié)課的學習你有什么收獲？（學生活動：學生自由發(fā)揮，口述本節(jié)課所學內容）1、等差數(shù)列的前n項和的公式和方法：倒序相加法思想：轉化思想、方程思想點評：學生自由發(fā)揮，培養(yǎng)學生反思的習慣，鼓勵學生運用自己理解的語言對問題進行質疑和概括.數(shù)學學習過程的梳理有助于加深學生對數(shù)學抽象、邏輯推理、數(shù)學建模的理解，提高和升華學生的數(shù)學核心素養(yǎng).[作業(yè)]課本46頁A組第2、3思考：課本46頁B組第4題[板書設計]

2．3等差數(shù)列的前n項和數(shù)列的前n項和定義：等差數(shù)列的前項和公式：例2、例3、（五）評價設計成功之處1．本節(jié)課充分發(fā)揮課件的優(yōu)勢，并吸取其他老師講本節(jié)課的經驗，將自己的想法充分融入課件中，使內容更加充實。既融合了所要學的知識，又充分考慮到了學生的接受能力，使得學生在學習過程中積極主動，動腦思考、動手計算，及時鞏固知識。2．通過具體的例子，用課件直觀、形象地呈現(xiàn)“倒序”，讓學生能更好地理解倒序相加法，而第二個公式讓學生自己推導，這樣記憶會更深刻。3．在教學過程中不斷向學生滲透基本思想及方程（組）思想，讓學生在解題中能夠靈活地去分析、思考問題，并感受數(shù)學思想方法之美、體會數(shù)學思