第五講：級數(shù)分解

#第四單元函數(shù)的冪級數(shù)展開一、泰勒級數(shù)f(n)(X0)(X-X)n+…⑴f(n)(X0)(X-X)n+…⑴n!0f(x°)+屮x-x0)+筈x-x0)2+…+稱之為函數(shù)f(x)在x=x0處的泰勒級數(shù)。特別地，當(dāng)x0二0時，f(x)=f(0)+斗二X+^-22°X2+…+fW(0)xn+???01!2!n!這時，我們稱函數(shù)f(X)可展開成麥克勞林級數(shù)。將函數(shù)f(X)在X=X0處展開成泰勒級數(shù)，可通過變量替換t=X-X0，化歸為函數(shù)f(X)=f(t+X0)AF(t)在t=0處的麥克勞林展開。0=二、函數(shù)展開成冪級數(shù)1、直接展開法?求出函數(shù)的各階導(dǎo)數(shù)及函數(shù)值f(0),f'(0),f〃(0),…,f(n)(0),…若函數(shù)的某階導(dǎo)數(shù)不存在，則函數(shù)不能展開；?寫出麥克勞林級數(shù)f(0)+廣(°)X+廠(0)X2+???+f(n)(0)Xn+…并求其收斂半徑R。TOC\o"1-5"\h\z1!2!n!2、間接展開法利用一些已知的函數(shù)展開式以及冪級數(shù)的運算性質(zhì)(如：加減，逐項求導(dǎo)，逐項求積)將所給函數(shù)展開。XX2XneX=1+—++???++???(—<x<+<x>)1!2!n!XX3X5X2n—1sinx=—+—???+(—1)n—1+?…x(—x>,+x>)1!3!5!(2n—1)!

COSx=1-蘭+X4—???+(―1)n—1X2"―2+???xG(—8,+8)2!4!(2n—2)!ln(1+X)=X—身+斗一…+(一1)"器+…(—1<X-1)(1+x)a=1+??x+a(a—1)x2+..嚴-皿-n+1)xn+...1!2!n!【例1】將函數(shù)f(x)二1展開成(x―1)的冪級數(shù)。x2+4x+3解：作變量替換t=x—1，則x=t+1，有111111f(x)===——二—(x+3)(x+1)(t+4)(t+2)2(t+2)2(t+4)4(1+L)8(1+—)24在=4￥i〔2)"-1<2<12于是4為(-1)nn于是4為(-1)nn=08紜-1)nn=0=￥(—1)nn=012n+2122n+3?(x—1)n—1<x<32005年浙江省普通高?！皩Ｉ尽甭?lián)考《高等數(shù)學(xué)（一）》試卷二．選擇題5.設(shè)級數(shù)藝a和級數(shù)藝b都發(fā)散，則級數(shù)藝（a+b）是（）?nnnnn=1n=1n=1（A）發(fā)散，（B）條件收斂，（C）絕對收斂，（D）可能發(fā)散或者可能收斂.三．計算題：18?把函數(shù)y=丄展開成x-1的冪級數(shù)，并求出它的收斂區(qū)間.x+12006年浙江省普通高?！皩Ｉ尽甭?lián)考《高等數(shù)學(xué)（一）》試卷三．計算題：將函數(shù)f（x）=ln（x2+3x+2）展開成x的冪級數(shù)，并指出收斂半徑。2007年浙江省普通高?！皩Ｉ尽甭?lián)考《高等數(shù)學(xué)（一）》試卷三．計算題：10.將函數(shù)f（x）=□在點x=1處展開成冪級數(shù)，并指出收斂區(qū)間（端點不考慮）。3-x02008年浙江省普通高校“專升本”聯(lián)考《高等數(shù)學(xué)（一）》試卷三.計算題8.將函數(shù)f（x）=x2InG+x）展開成x的冪級數(shù).

2009年浙江省普通高?！皩Ｉ尽甭?lián)考《高等數(shù)學(xué)(一)》試卷三、計算題．10.求冪函數(shù)藝丄X2n一1的收斂域.3nn=12010年浙江省普通高校“專升本”聯(lián)考《高等數(shù)學(xué)(一)》試卷一、選擇題5.下列正項級數(shù)收斂的是A.藝丄3nA.藝丄3n+1n=2二、填空題B.藝丄nlnnn=2C.藝丄n(lnn)2n=2D.藝一nnnn=2冪級數(shù)xn的收斂半徑R=.nnn=1三、計算題1將函數(shù)f(x)=-展開成(x-1)的冪級數(shù).x2+4x+32011年浙江省專升本《高等數(shù)學(xué)》試卷一、選擇題5.下列級數(shù)中，條件收斂的是()A.為sin71n2A.為sin71n2n=1二、填空題、、B.藝(-1)n-1n=11<'