三高考()高考數(shù)試題分項解析專題28離散性隨機(jī)變量與期望理(含解析)

PAGEPAGE6。。。內(nèi)部文件，版權(quán)追溯專題28離散性隨機(jī)變量與期望考綱解讀明方向考點內(nèi)容解讀要求高考示例常考題型預(yù)測熱度1.離散型隨機(jī)變量及其分布列①理解取有限個值的離散型隨機(jī)變量及其分布列的概念,了解分布列對于刻畫隨機(jī)現(xiàn)象的重要性;②理解超幾何分布及其導(dǎo)出過程,并能進(jìn)行簡單的應(yīng)用理解2017課標(biāo)全國Ⅲ,18;2016課標(biāo)全國Ⅰ,19;2015天津,16;2013課標(biāo)全國Ⅰ,19解答題★★★2.離散型隨機(jī)變量的均值與方差理解取有限個值的離散型隨機(jī)變量均值、方差的概念,能計算簡單離散型隨機(jī)變量的均值、方差,并能解決一些實際問題掌握2017浙江,8;2014湖南,17;2015福建,16選擇題解答題★★★分析解讀1.會求簡單的離散型隨機(jī)變量的分布列,理解超幾何分布.2.理解數(shù)學(xué)期望與方差的概念,熟練掌握期望與方差的求解方法.3.分布列、期望及方差均為高考的必考內(nèi)容.本節(jié)在高考中一般以解答題形式出現(xiàn),分值約為12分,屬中高檔題.1.條件概率、相互獨立事件及二項分布了解條件概率和兩個事件相互獨立的概念,理解n次獨立重復(fù)試驗的模型及二項分布,考綱解讀考點內(nèi)容解讀要求高考示例常考題型預(yù)測熱度并能解決一些簡單的實際問題掌握2017課標(biāo)全國Ⅱ,13;2015課標(biāo)Ⅰ,4;2014課標(biāo)Ⅱ,5選擇題解答題★★★2.正態(tài)分布及其應(yīng)用利用實際問題的直方圖,了解正態(tài)分布曲線的特點及曲線所表示的意義了解2017課標(biāo)全國Ⅰ,19;2015湖南,7;2015湖北,4選擇題解答題★☆☆分析解讀1.了解條件概率和兩個事件相互獨立的概念,掌握求條件概率的步驟,會求條件概率.2.掌握獨立事件的概率求法,能用二項分布解決實際問題.3.了解正態(tài)分布與正態(tài)曲線的概念,掌握正態(tài)曲線的性質(zhì).4.獨立事件的概率及正態(tài)分布均為近幾年高考的熱點.本節(jié)在高考中一般以選擇題、解答題形式出現(xiàn),難度為易或中等,分值約為5分或12分.2018年高考全景展示1.【2018年浙江卷】設(shè)0<p<1，隨機(jī)變量ξ的分布列是ξ012P則當(dāng)p在（0，1）內(nèi)增大時，A.D（ξ）減小B.D（ξ）增大C.D（ξ）先減小后增大D.D（ξ）先增大后減小【答案】D【解析】分析:先求數(shù)學(xué)期望，再求方差，最后根據(jù)方差函數(shù)確定單調(diào)性.詳解：，，，∴先增后減,因此選D.點睛：2．【2018年全國卷Ⅲ理】某群體中的每位成員使用移動支付的概率都為，各成員的支付方式相互獨立，設(shè)為該群體的10位成員中使用移動支付的人數(shù)，，，則A.0.7B.0.6C.0.4D.0.3【答案】B點睛：本題主要考查二項分布相關(guān)知識，屬于中檔題。3．【2018年理數(shù)天津卷】已知某單位甲、乙、丙三個部門的員工人數(shù)分別為24，16，16.現(xiàn)采用分層抽樣的方法從中抽取7人，進(jìn)行睡眠時間的調(diào)查.（I）應(yīng)從甲、乙、丙三個部門的員工中分別抽取多少人？（II）若抽出的7人中有4人睡眠不足，3人睡眠充足，現(xiàn)從這7人中隨機(jī)抽取3人做進(jìn)一步的身體檢查.（i）用X表示抽取的3人中睡眠不足的員工人數(shù)，求隨機(jī)變量X的分布列與數(shù)學(xué)期望；（ii）設(shè)A為事件“抽取的3人中，既有睡眠充足的員工，也有睡眠不足的員工”，求事件A發(fā)生的概率.【答案】（Ⅰ）從甲、乙、丙三個部門的員工中分別抽取3人，2人，2人．（Ⅱ）（i）答案見解析；（ii）．C．>，< D．>，>【答案】A【解析】試題分析：，選A．【考點】兩點分布【名師點睛】求離散型隨機(jī)變量的分布列，首先要根據(jù)具體情況確定的取值情況，然后利用排列，組合與概率知識求出取各個值時的概率．對于服從某些特殊分布的隨機(jī)變量，其分布列可以直接應(yīng)用公式給出，其中超幾何分布描述的是不放回抽樣問題，隨機(jī)變量為抽到的某類個體的個數(shù)．由已知本題隨機(jī)變量服從兩點分布，由兩點分布均值與方差公式可得A正確．2.【2017課標(biāo)II，理13】一批產(chǎn)品的二等品率為，從這批產(chǎn)品中每次隨機(jī)取一件，有放回地抽取次，表示抽到的二等品件數(shù)，則?！敬鸢浮俊窘馕觥吭囶}分析：由題意可得，抽到二等品的件數(shù)符合二項分布，即，由二項分布的期望公式可得?！究键c】二項分布的期望與方差【名師點睛】判斷一個隨機(jī)變量是否服從二項分布，要看兩點：一是是否為n次獨立重復(fù)試驗。在每次試驗中事件A發(fā)生的概率是否均為p。二是隨機(jī)變量是否為在這n次獨立重復(fù)試驗中某事件發(fā)生的次數(shù)。且表示在獨立重復(fù)試驗中，事件A恰好發(fā)生k次的概率。3.【2017山東，理18】（本小題滿分12分）在心理學(xué)研究中，常采用對比試驗的方法評價不同心理暗示對人的影響，具體方法如下：將參加試驗的志愿者隨機(jī)分成兩組，一組接受甲種心理暗示，另一組接受乙種心理暗示，通過對比這兩組志愿者接受心理暗示后的結(jié)果來評價兩種心理暗示的作用，現(xiàn)有6名男志愿者A1，A2，A3，A4，A5，A6和4名女志愿者B1，B2，B3，B4，從中隨機(jī)抽取5人接受甲種心理暗示，另5人接受乙種心理暗示.（I）求接受甲種心理暗示的志愿者中包含A1但不包含的頻率。（II）用X表示接受乙種心理暗示的女志愿者人數(shù)，求X的分布列與數(shù)學(xué)期望EX.【答案】（I）(II)X的分布列為X01234PX的數(shù)學(xué)期望是.【解析】試題分析：（I）記接受甲種心理暗示的志愿者中包含但不包含的事件為M，計算即得(II)由題意知X可取的值為：.利用超幾何分布概率計算公式得X的分布列為X01234P進(jìn)一步計算X的數(shù)學(xué)期望.試題解析：（I）記接受甲種心理暗示的志愿者中包含但不包含的事件為M，則(II)由題意知X可取的值為：.則因此X的分布列為X01234PX的數(shù)學(xué)期望是=【考點】1.古典概型.2.隨機(jī)變量的分布列與數(shù)學(xué)期望.3.超幾何分布.【名師點睛】本題主要考查古典概型的概率公式和超幾何分布概率計算公式、隨機(jī)變量的分布列和數(shù)學(xué)期望.解答本題，首先要準(zhǔn)確確定所研究對象的基本事件空間、基本事件個數(shù)，利用超幾何分布的概率公式.本題屬中等難度的題目，計算量不是很大，能很好的考查考生數(shù)學(xué)應(yīng)用意識、基本運(yùn)算求解能力等.4.【2017北京，理17】為了研究一種新藥的療效，選100名患者隨機(jī)分成兩組，每組各50名，一組服藥，另一組不服藥.一段時間后，記錄了兩組患者的生理指標(biāo)x和y的數(shù)據(jù)，并制成下圖，其中“*”表示服藥者，“+”表示未服藥者.（Ⅰ）從服藥的50名患者中隨機(jī)選出一人，求此人指標(biāo)y的值小于60的概率；（Ⅱ）從圖中A，B，C，D四人中隨機(jī).選出兩人，記為選出的兩人中指標(biāo)x的值大于1.7的人數(shù)，求的分布列和數(shù)學(xué)期望E（）；（Ⅲ）【答案】（Ⅰ）0.3；（Ⅱ）詳見解析；（Ⅲ）在這100名患者中，服藥者指標(biāo)數(shù)據(jù)的方差大于未服藥者指標(biāo)數(shù)據(jù)的方差.【解析】（Ⅱ）由圖知，A,B,C,D四人中，指標(biāo)的值大于1.7的有2人：A和C.所以的所有可能取值為0,1,2..所以的分布列為012故的期望.（Ⅲ）在這100名患者中，服藥者指標(biāo)數(shù)據(jù)的方差大于未服藥者指標(biāo)數(shù)據(jù)的方差.【考點】1.古典概型；2.超幾何分布；3.方差的定義.【名師點睛】求分布列的三種方法1．由統(tǒng)計數(shù)據(jù)得到離散型隨機(jī)變量的分布列；2．由古典概型求出離散型隨機(jī)變量的分布列；3．由互斥事件的概率、相互獨立事件同時發(fā)生的概率及n次獨立重復(fù)試驗有k次發(fā)生的概率求離散型隨機(jī)變量的分布列．5.【2017天津，理16】從甲地到乙地要經(jīng)過3個十字路口，設(shè)各路口信號燈工作相互獨立，且在各路口遇到紅燈的概率分別為.（Ⅰ）設(shè)表示一輛車從甲地到乙地遇到紅燈的個數(shù)，求隨機(jī)變量的分布列和數(shù)學(xué)期望；（Ⅱ）若有2輛車獨立地從甲地到乙地，求這2輛車共遇到1個紅燈的概率.【答案】(1)(2)【解析】試題分析：表示一輛車從甲地到乙地遇到紅燈的個數(shù),的所有可能取值為0,1,2,3.分別求出相應(yīng)的概率值，列出隨機(jī)變量的分布列并計算數(shù)學(xué)期望，表示第一輛車遇到紅燈的個數(shù)，表示第二輛車遇到紅燈的個數(shù)，這2輛車共遇到1個紅燈就是包括第一輛遇到1次紅燈且第2輛沒遇上和第一輛沒遇上紅燈且第2輛遇上1次紅燈兩個事件的概率的和.試題解析：（Ⅰ）隨機(jī)變量的所有可能取值為0,1,2,3.，，，.所以，隨機(jī)變量的分布列為0123隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望.（Ⅱ）設(shè)表示第一輛車遇到紅燈的個數(shù)，表示第二輛車遇到紅燈的個數(shù)，則所求事件的概率為.所以，這2輛車共遇到1個紅燈的概率為.【考點】離散型隨機(jī)變量概率分布列及數(shù)學(xué)期望【名師點睛】求離散型隨機(jī)變量概率分布列問題首先要清楚離散型隨機(jī)變量的可取值有那些？當(dāng)隨機(jī)變量取這些值時所對應(yīng)的事件的概率有是多少，計算出概率值后，列出離散型隨機(jī)變量概率分布列，最后按照數(shù)學(xué)期望公式計算出數(shù)學(xué)期望.；列出離散型隨機(jī)變量概率分布列及計算數(shù)學(xué)期望是理科高考數(shù)學(xué)必考問題.6.【2017課標(biāo)3，理18】某超市計劃按月訂購一種酸奶，每天進(jìn)貨量相同，進(jìn)貨成本每瓶4元，售價每瓶6元，未售出的酸奶降價處理，以每瓶2元的價格當(dāng)天全部處理完.根據(jù)往年銷售經(jīng)驗，每天需求量與當(dāng)天最高氣溫（單位：℃）有關(guān).如果最高氣溫不低于25，需求量為500瓶；如果最高氣溫位于區(qū)間[20，25），需求量為300瓶；如果最高氣溫低于20，需求量為200瓶．為了確定六月份的訂購計劃，統(tǒng)計了前三年六月份各天的最高氣溫數(shù)據(jù)，得下面的頻數(shù)分布表：最高氣溫[10，15）[15，20）[20，25）[25，30）[30，35）[35，40）天數(shù)216362574以最高氣溫位于各區(qū)間的頻率代替最高氣溫位于該區(qū)間的概率.（1）求六月份這種酸奶一天的需求量X（單位：瓶）的分布列；（2）設(shè)六月份一天銷售這種酸奶的利潤為Y（單位：元）.當(dāng)六月份這種酸奶一天的進(jìn)貨量n（單位：瓶）為多少時，Y的數(shù)學(xué)期望達(dá)到最大值？【答案】(1)分布列略；(2)n=300時，Y的數(shù)學(xué)期望達(dá)到最大值，最大值為520元.【解析】試題分析：(1)所有的可能取值為200,300,500，利用題意求得概率即可得到隨機(jī)變量的分布列；(2)由題中所給條件分類討論可得n=300時，Y的數(shù)學(xué)期望達(dá)到最大值520元.試題解析：（1）由題意知，所有的可能取值為200,300,500，由表格數(shù)據(jù)知，，.因此的分布列為0.20.40.4 ⑵由題意知，這種酸奶一天的需求量至多為500，至少為200，因此只需考慮當(dāng)時，若最高氣溫不低于25，則，若最高氣溫位于區(qū)間，則;若最高氣溫低于20，則;因此.當(dāng)時，若最高氣溫不低于20，則;若最高氣溫低于20，則;因此.所以n=300時，Y的數(shù)學(xué)期望達(dá)到最大值，最大值為520元.【考點】離散型隨機(jī)變量的分布列；數(shù)學(xué)期望；【名師點睛】離散型隨機(jī)變量的分布列指出了隨機(jī)變量X的取值范圍以及取各值的概率；要理解兩種特殊的概率分布——兩點分布與超幾何分布；并善于靈活運(yùn)用兩性質(zhì)：一是pi≥0(i＝1,2，…)；二是p1＋p2＋…＋pn＝1檢驗分布列的正誤.7.【2017江蘇，23】已知一個口袋有個白球,個黑球(),這些球除顏色外全部相同.現(xiàn)將口袋中的球隨機(jī)的逐個取出，并放入如圖所示的編號為的抽屜內(nèi)，其中第次取出的球放入編號為的抽屜.123（1）試求編號為2的抽屜內(nèi)放的是黑球的概率;（2）隨機(jī)變量表示最后一個取出的黑球所在抽屜編號的倒數(shù),是的數(shù)學(xué)期望,證明:【答案】（1）（2）見解析【解析】解:(1)

編號為2的抽屜內(nèi)放的是黑球的概率為:.

(2)

隨機(jī)變量

X

的概率分布為:X……P……隨機(jī)變量

X

的期望為：.所以.【考點】古典概型概率、隨機(jī)變量及其分布、數(shù)學(xué)期望【名師點睛】求解離散型隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望的一般步驟為：第一步是“判斷取值”，即判斷隨機(jī)變量的所有可能取值，以及取每個值所表示的意義；第二步是“探求概率”，即利用排列組合、枚舉法、概率公式(常見的有古典概型公式、幾何概型公式、互斥事件的概率和公式、獨立事件的概率積公式，以及對立事件的概率公式等)，求出隨機(jī)變量取每個值時的概率；第三步是“寫分布列”，即按規(guī)范形式寫出分布列，并注意用分布列的性質(zhì)檢驗所求的分布列或某事件的概率是否正確；第四步是“求期望值”，一般利用離散型隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望的定義求期望的值，對于有些實際問題中的隨機(jī)變量，如果能夠斷定它服從某常見的典型分布(如二項分布)，則此隨機(jī)變量的期望可直接利用這種典型分布的期望公式()求得.因此，應(yīng)熟記常見的典型分布的期望公式，可加快解題速度.2016年高考全景展示1.【2016高考新課標(biāo)1卷】（本小題滿分12分）某公司計劃購買2臺機(jī)器,該種機(jī)器使用三年后即被淘汰.機(jī)器有一易損零件,在購進(jìn)機(jī)器時,可以額外購買這種零件作為備件,每個200元.在機(jī)器使用期間,如果備件不足再購買,則每個500元.現(xiàn)需決策在購買機(jī)器時應(yīng)同時購買幾個易損零件,為此搜集并整理了100臺這種機(jī)器在三年使用期內(nèi)更換的易損零件數(shù),得下面柱狀圖：以這100臺機(jī)器更換的易損零件數(shù)的頻率代替1臺機(jī)器更換的易損零件數(shù)發(fā)生的概率,記表示2臺機(jī)器三年內(nèi)共需更換的易損零件數(shù),表示購買2臺機(jī)器的同時購買的易損零件數(shù).（I）求的分布列；（II）若要求,確定的最小值；（III）以購買易損零件所需費(fèi)用的期望值為決策依據(jù),在與之中選其一,應(yīng)選用哪個？【答案】（I）見解析（II）19（III）【解析】試題分析：（I）先確定X的取值分別為16,17,18,18,20,21,22,,再用相互獨立事件概率模型求概率,然后寫出分布列；（II）通過頻率大小進(jìn)行比較；（III）分別求出n=9,n=20的期望,根據(jù)時所需費(fèi)用的期望值小于時所需費(fèi)用的期望值,應(yīng)選.試題解析：（Ⅰ）由柱狀圖并以頻率代替概率可得,一臺機(jī)器在三年內(nèi)需更換的易損零件數(shù)為8,9,10,11的概率分別為0.2,0.4,0.2,0.2,從而；；；；；；.所以的分布列為16171819202122（Ⅱ）由（Ⅰ）知,,故的最小值為19.（Ⅲ）記表示2臺機(jī)器在購買易損零件上所需的費(fèi)用（單位：元）.當(dāng)時,.當(dāng)時,.可知當(dāng)時所需費(fèi)用的期望值小于時所需費(fèi)用的期望值,故應(yīng)選.考點：概率與統(tǒng)計、隨機(jī)變量的分布列【名師點睛】本題把隨機(jī)變量的分布列與統(tǒng)計及函數(shù)結(jié)合在一起進(jìn)行考查,有一定綜合性但難度不是太大大,求解關(guān)鍵是讀懂題意,所以提醒考生要重視數(shù)學(xué)中的閱讀理解問題.2.【2016高考新課標(biāo)2理數(shù)】某險種的基本保費(fèi)為（單位：元），繼續(xù)購買該險種的投保人稱為續(xù)保人，續(xù)保人的本年度的保費(fèi)與其上年度的出險次數(shù)的關(guān)聯(lián)如下：上年度出險次數(shù)012345保費(fèi)0.851.251.51.752設(shè)該險種一續(xù)保人一年內(nèi)出險次數(shù)與相應(yīng)概率如下：一年內(nèi)出險次數(shù)012345概率0.300.150.200.200.100.05（Ⅰ）求一續(xù)保人本年度的保費(fèi)高于基本保費(fèi)的概率；（Ⅱ）若一續(xù)保人本年度的保費(fèi)高于基本保費(fèi)，求其保費(fèi)比基本保費(fèi)高出60%的概率；（Ⅲ）求續(xù)保人本年度的平均保費(fèi)與基本保費(fèi)的比值．【答案】（Ⅰ）0.55；（Ⅱ）；（Ⅲ）.【解析】試題分析：（Ⅰ）根據(jù)互斥事件的概率公式求一續(xù)保人本年度的保費(fèi)高于基本保費(fèi)的概率；（Ⅱ）一續(xù)保人本年度的保費(fèi)高于基本保費(fèi)，當(dāng)且僅當(dāng)一年內(nèi)出險次數(shù)大于3，由條件概率公式求解；（Ⅲ）記續(xù)保人本年度的保費(fèi)為，求的分布列，再根據(jù)期望公式求解.（Ⅲ）記續(xù)保人本年度的保費(fèi)為，則的分布列為因此續(xù)保人本年度的平均保費(fèi)與基本保費(fèi)的比值為考點：條件概率，隨機(jī)變量的分布列、期望.【名師點睛】條件概率的求法：(1)定義法：先求P(A)和P(AB)，再由P(B|A)＝eq\f(PAB,PA)，求P(B|A)；(2)基本事件法：當(dāng)基本事件適合有限性和等可能性時，可借助古典概型概率公式，先求事件A包含的基本事件數(shù)n(A)，再在事件A發(fā)生的條件下求事件B包含的基本事件數(shù)n(AB)，得P(B|A)＝eq\f(nAB,nA).求離散型隨機(jī)變量均值的步驟：(1)理解隨機(jī)變量X的意義，寫出X可能取得的全部值；(2)求X的每個值的概率；(3)寫出X的分布列；(4)由均值定義求出E(X)．3.【2016年高考北京理數(shù)】（本小題13分）A、B、C三個班共有100名學(xué)生，為調(diào)查他們的體育鍛煉情況，通過分層抽樣獲得了部分學(xué)生一周的鍛煉時間，數(shù)據(jù)如下表（單位：小時）；A班66.577.58B班6789101112C班34.567.5910.51213.5（1）試估計C班的學(xué)生人數(shù)；（2）從A班和C班抽出的學(xué)生中，各隨機(jī)選取一人，A班選出的人記為甲，C班選出的人記為乙，假設(shè)所有學(xué)生的鍛煉時間相對獨立，求該周甲的鍛煉時間比乙的鍛煉時間長的概率；（3）再從A、B、C三個班中各隨機(jī)抽取一名學(xué)生，他們該周的鍛煉時間分別是7，9，8.25（單位：小時），這3個新數(shù)據(jù)與表格中的數(shù)據(jù)構(gòu)成的新樣本的平均數(shù)記，表格中數(shù)據(jù)的平均數(shù)記為，試判斷和的大小，（結(jié)論不要求證明）【答案】（1）40；（2）；（3）.【解析】試題分析：（Ⅰ）根據(jù)圖表判斷C班人數(shù)，由分層抽樣的抽樣比計算C班的學(xué)生人數(shù)；（Ⅱ）根據(jù)題意列出“該周甲的鍛煉時間比乙的鍛煉時間長”的所有事件，由獨立事件概率公式求概率.（Ⅲ）根據(jù)平均數(shù)公式進(jìn)行判斷即可.設(shè)事件為“該周甲的鍛煉時間比乙的鍛煉時間長”，由題意知，因此（3）根據(jù)平均數(shù)計算公式即可知，.考點：1.分層抽樣；2.獨立事件的概率；3.平均數(shù)【名師點睛】求復(fù)雜的互斥事件的概率的方法：一是直接法，將所求事件的概率分解為一些彼此互斥事件概率的和，運(yùn)用互斥事件的求和公式計算；二是間接法，先求此事件的對立事件的概率，再用公式，即運(yùn)用逆向思維的方法(正難則反)求解，應(yīng)用此公式時，一定要分清事件的對立事件到底是什么事件，不能重復(fù)或遺漏.特別是對于含“至多”“至少”等字眼的題目，用第二種方法往往顯得比較簡便.4.【2016高考山東理數(shù)】（本小題滿分12分）甲、乙兩人組成“星隊”參加猜成語活動，每輪活動由甲、乙各猜一個成語，在一輪活動中，如果兩人都猜對，則“星隊”得3分；如果只有一個人猜對，則“星隊”得1分；如果兩人都沒猜對，則“星隊”得0分.已知甲每輪猜對的概率是，乙每輪猜對的概率是；每輪活動中甲、乙猜對與否互不影響，各輪結(jié)果亦互不影響.假設(shè)“星隊”參加兩輪活動，求：（I）“星隊”至少猜對3個成語的概率；（Ⅱ）“星隊”兩輪得分之和為X的分布列和數(shù)學(xué)期望EX.【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）分布列見解析，【解析】試題分析：（Ⅰ）找出“星隊”至少猜對3個成語所包含的基本事件，由獨立事件的概率公式和互斥事件的概率加法公式求解；（Ⅱ）由題意，隨機(jī)變量X的可能取值為0,1,2,3,4,6.由事件的獨立性與互斥性，得到X的分布列，根據(jù)期望公式求解.試題解析：(Ⅰ)記事件A:“甲第一輪猜對”，記事件B：“乙第一輪猜對”，記事件C：“甲第二輪猜對”，記事件D：“乙第二輪猜對”，記事件E