八年級數(shù)學(xué)培優(yōu)專題講解勾股定理

.z.八年級數(shù)學(xué)培優(yōu)專題講解《勾股定理》【培優(yōu)圖解】【技法透析】勾股定理是幾何中重要的定理之一，它是把直角三角形的“形”與三邊關(guān)系這一“數(shù)”結(jié)合起來，是數(shù)形結(jié)合思想方法的典．1．勾股定理反逆定理的應(yīng)用主要用于計(jì)算和證明等．2．勾股數(shù)的推算公式①若任取兩個(gè)正整數(shù)m、n(m>n)，則m2－n2，2mn，m2＋n2是一組勾股數(shù)．②如果k是大于1的奇數(shù)，則k，，是一組勾股數(shù)．③如果k是大于2的偶數(shù)，則k，，是一組勾股數(shù)，④如果a，b，c是勾股數(shù)，則na，nb，nc(n是正整數(shù))也是勾股數(shù)．3．創(chuàng)設(shè)勾股定理運(yùn)用條件當(dāng)勾股定理不能直接運(yùn)用時(shí)，常需要通過等線段代換、作輔助線段等途徑，為勾股定理的運(yùn)用創(chuàng)造必要的條件，有時(shí)又需要由線段的數(shù)量關(guān)系去判斷線段的位置關(guān)系．在有等邊三角形、正方形的條件下，可將圖形旋轉(zhuǎn)60°或90°，旋轉(zhuǎn)過程中角度、線段的長度保持不變，在新的位置上分散條件相對集中，以便挖掘隱含條件，探求解題思路．【名題精講】考點(diǎn)1運(yùn)用勾股定理解有關(guān)＂折疊＂問題例1如圖，折疊長方形ABCD一邊，點(diǎn)D落在BC邊的點(diǎn)F處，若AB＝8cm，BC＝10cm，求EC的長．【切題技巧】由圖形易知△ADF≌△AFE，從而AD＝AF，DE＝EF．先在Rt△ABF中用勾股定理求出BF，再在Rt△EFC中由勾骰定理列方程可求EC的長．【規(guī)解答】【借題發(fā)揮】圖形折疊問題一般是“全等形”，或“等腰三角形”等對稱圖形問題，勾股定理是常常用到的計(jì)算方法，體現(xiàn)了勾股定理作為主要計(jì)算工具在解決與直角三角形相關(guān)圖形變換的綜合題中的具體應(yīng)用．【同類拓展】1．把一長方形紙片(長方形ABCD)按如圖17－2所示的方式折疊，使頂點(diǎn)B和點(diǎn)D重合，折痕為EF．若AB＝3cm，BC＝5cm，則重疊部分△DEF的面積是_______cm2．考點(diǎn)2運(yùn)用勾股定理的逆定理求角度例2如圖，在正方形ABCD中，PA＝1，PB＝2，PC＝3，P在正方形部，試求∠APB的度數(shù)． 【切題技巧】 【規(guī)解答】【借題發(fā)揮】旋轉(zhuǎn)變換后再運(yùn)用勾股定理及逆定理是求三角形角的度數(shù)的常見方法，即用恰當(dāng)?shù)男D(zhuǎn)變換方式來構(gòu)建直角三角形．能夠使用旋轉(zhuǎn)法的條件是旋轉(zhuǎn)后的圖形與原圖形有邊相等能夠重合．2．如圖，等邊△ABC有一點(diǎn)P，若點(diǎn)P到頂點(diǎn)A、B、C的距離分別為3、4、5，求∠APB的度數(shù)．考點(diǎn)3求立體圖形中的兩點(diǎn)之間的最短距離例3如圖所示，一只螞蟻如果沿長方體的表面從A點(diǎn)爬到B'點(diǎn)，則沿哪條路線最短？最短路程是多少？已知長方體的長為2cm、寬為1cm、高為4cm．【切題技巧】由于螞蟻沿長方體的表面爬行，故需把長方體展開成平面圖形，根據(jù)兩點(diǎn)之間線段最短和“勾股定理”可求解．【規(guī)解答】【借題發(fā)揮】“最短路線”是勾股定理在實(shí)際生活中的具體應(yīng)用，一般地，求“最短路線”要“立體問題”轉(zhuǎn)化為“平面問題”，這類問題涉及到的幾何體主要有長方體、正方體、圓柱、圓錐等．在將幾何體的表面展開時(shí)，要注意確定展開圖中兩點(diǎn)的相應(yīng)位置．同時(shí)，由于將幾何體的表面展開時(shí)可能有幾種不同的情況，因此，有些問題可能會求得幾個(gè)不同的結(jié)果，這就需要通過分析比較后才能確定適合題意的答案．【同類拓展】3．如圖是一個(gè)三級臺階，它的每一級的長、寬和高分別等于5cm、3cm和lcm，A和B是這個(gè)臺階的兩個(gè)相對的端點(diǎn)，A點(diǎn)上有一只螞蟻，它想到B點(diǎn)去吃可口的食物．請你想一想，這只螞蟻從A點(diǎn)出發(fā)，沿著臺階面爬到B點(diǎn)，最短路線的長是多少？考點(diǎn)4勾股定理反其逆定理的綜合運(yùn)用例4如圖所示，正方形ABCD中，E是AD中點(diǎn)，點(diǎn)F在DC上，且DF＝DC，試判斷BE和EF的位置關(guān)系？并說明你的理由．【切題技巧】觀察圖，會給我們BE與EF垂直的直觀印象．若直接證明BE與EF垂直，則十分困難．若連接BF，設(shè)DF＝a，利用勾股定理及其逆定理證明△BEF為直角三角形，得到BE⊥EF．【規(guī)解答】BF和EF的位置關(guān)系是：BE⊥EF．【借題發(fā)揮】勾股定理及其逆定理在解決一些實(shí)際問題或具體的幾何問題時(shí)是密不可分的，通常既要通過勾股定理求出三角形邊長，又要通過逆定理判斷一個(gè)三角形是直角三角形，兩者相輔相成．4．如圖，在四邊形ABCD中，∠ABC＝30°，∠ADC＝60°，AD＝CD，求證：BD2＝AB2＋BC2．考點(diǎn)5勾股定理在實(shí)際問題中應(yīng)用例5如圖(1)，護(hù)城河在CC'處直角轉(zhuǎn)彎，寬度保持4米，從A處往B處，經(jīng)過兩座橋：DD'、EE'．設(shè)護(hù)城河是東西——南北方向的，A、B在東西向相距64米，南北方向相距84米，恰當(dāng)?shù)丶芎涌墒笰D、D'E'、EB的路程最短，這個(gè)最短距離是_______米．【切題技巧】要判斷最短路程，需先確定兩座橋的位置，確定橋的位置后，再根據(jù)護(hù)城河的直角轉(zhuǎn)彎形成的直角三角形利用勾股定理求解．【規(guī)解答】如圖(2)，作AA'⊥CD，AA'＝DD'，BB'⊥CE，BB'＝EE'，則折線ADD'E'EB的長度等于折線AA，D'E'B'B的長度，即等于折線A'D'E'B'的長度＋AA'＋BB'．而折線A'D'E'B'以線段A'B'最短，故題目所求最短路程S＝A'B'＋8，而A'、B'在東西方向上相距為64－4＝60（米），在南北方向上相距84－8＝80（米）由勾股定理可知，A'B'＝＝100(米)，S＝108（米）【借題發(fā)揮】實(shí)際問題中，最短路程問題等常常在構(gòu)造直角三角形后，利用勾股定理計(jì)算求解．5．如圖所示的長方體是*種飲料的紙質(zhì)包裝盒，規(guī)格為5×6×10(單位：cm)，在上蓋中開有一孔便于插吸管，吸管長為13cm，小孔到圖中邊AB距離為1cm，到上蓋中與AB相鄰的的兩邊距離相等，設(shè)插入吸管后露在盒外面的長為hcm，則h的最小值大約為_______cm．（精確到個(gè)位，參考數(shù)據(jù)：＝1.4，＝1.7，＝2.2）．考點(diǎn)6勾股定理與函數(shù)的綜合問題例6如圖①，在平面直角坐標(biāo)系中，雙曲線y＝與直線y＝交于點(diǎn)A、B．(1)求AB的長．(2)若點(diǎn)P是第一象限雙曲線上一動點(diǎn)，如圖②所示，BC⊥AP于點(diǎn)C，交*軸于點(diǎn)F，AP交y軸于點(diǎn)E，試判斷的值是否為定值？并加以證明．【切題技巧】(1)因?yàn)锳、B為雙曲線與直線的交點(diǎn)，所以只需將兩個(gè)已知函數(shù)的解析式成方程組，它們的解即交點(diǎn)A、B的坐標(biāo)．(2)從結(jié)論入手，聯(lián)想勾股定理，通過作輔助線將AE、BF、EF這三條線段轉(zhuǎn)移到同一直角三角形中．【規(guī)解答】【借題發(fā)揮】(1)當(dāng)題目中涉及線段平方時(shí)應(yīng)聯(lián)想到勾股定理，若這些線段不在直角三角形中則應(yīng)添加輔助線，將分散的線段集中在同一直角三角形中，本題還可以過點(diǎn)B作BN∥AE交y軸于點(diǎn)N，將三條線段收集在Rt△BNF中，如圖17－11③所示．(2)利用“中點(diǎn)”能構(gòu)成多種輔助線，要根據(jù)題目的需要進(jìn)行構(gòu)造．【同類拓展】6．已知△OMN中，OM＝ON，∠MON＝90°，點(diǎn)B為MN的延長線上一點(diǎn)，OC⊥OB．且OC＝OB，OG⊥BC于G，交MN于點(diǎn)A．(1)如圖①所示，①求證：∠CMB＝90°；②求證：AM2＋BN2＝AB2；(2)如圖②，在條件(1)上，過A作AE⊥OM于E，過B作BF⊥ON于F，EA、BF的延長線交于點(diǎn)P，則PA、AE、BF之間的數(shù)量關(guān)系為_______；△A