導(dǎo)數(shù)的幾何意義

113導(dǎo)數(shù)的幾何意義1割線斜率與切線斜率設(shè)函數(shù)y＝f的圖象如圖所示，直線AB是過(guò)點(diǎn)A0，f0與點(diǎn)B0＋Δ，f0＋Δ的一條割線，此割線的斜率是知識(shí)點(diǎn)一導(dǎo)數(shù)的幾何意義當(dāng)點(diǎn)B沿曲線趨近于點(diǎn)A時(shí)，割線AB繞點(diǎn)A轉(zhuǎn)動(dòng)，它的極限位置為直線AD，直線AD叫做此曲線在點(diǎn)A處的于是，當(dāng)Δ→0時(shí)，割線AB的斜率無(wú)限趨近于過(guò)點(diǎn)A的切線AD的斜率，即＝＝切線f′02導(dǎo)數(shù)的幾何意義函數(shù)y＝f在＝0處的導(dǎo)數(shù)的幾何意義是曲線y＝f在點(diǎn)P0，f0處的切線的斜率也就是說(shuō)，曲線y＝f在點(diǎn)P0，f0處的切線的斜率是相應(yīng)地，切線方程為思考曲線的切線與曲線的交點(diǎn)是否一定唯一？答案曲線的切線不一定與曲線只有一個(gè)交點(diǎn)，可以有多個(gè)甚至無(wú)窮多個(gè)f′0y－f0＝f′0－0從求函數(shù)f在＝0處導(dǎo)數(shù)的過(guò)程可以看出，當(dāng)＝0時(shí)，f′0是一個(gè)確定的數(shù)這樣，當(dāng)變化時(shí)，f′便是的一個(gè)函數(shù)，我們稱它為f的簡(jiǎn)稱導(dǎo)數(shù)y＝f的導(dǎo)函數(shù)有時(shí)也記作，即f′＝y(tǒng)′＝知識(shí)點(diǎn)二導(dǎo)函數(shù)的定義導(dǎo)函數(shù)y′特別提醒：

區(qū)別聯(lián)系f′(x0)f′(x0)是具體的值，是數(shù)值在x＝x0處的導(dǎo)數(shù)f′(x0)是導(dǎo)函數(shù)f′(x)在x＝x0處的函數(shù)值，因此求函數(shù)在某一點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)，一般先求導(dǎo)函數(shù)，再計(jì)算導(dǎo)函數(shù)在這一點(diǎn)的函數(shù)值f′(x)f′(x)是函數(shù)f(x)在某區(qū)間I上每一點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)組成的一個(gè)新函數(shù)，是函數(shù)′0是一個(gè)常數(shù)＝f在＝0處的導(dǎo)數(shù)f′0就是導(dǎo)函數(shù)f′在＝0處的函數(shù)值3直線與曲線相切，則直線與已知曲線只有一個(gè)公共點(diǎn)4“直線l與曲線C相切”是“l(fā)與C有一個(gè)交點(diǎn)”的必要不充分條件

思考辨析判斷正誤SIAOBIANIPANDUANHENGWU√×√×例11如圖，直線l是曲線y＝f在＝4處的切線，則f′4等于一、利用圖象理解導(dǎo)數(shù)的幾何意義AB3C4D5√解析根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義知f′4是曲線y＝f在＝4處的切線的斜率，2已知函數(shù)f在R上可導(dǎo)，其部分圖象如圖所示，設(shè)＝，則下列不等式正確的是A<f′1<f′2 Bf′1<<f′2Cf′2<f′1< Df′1<f′2<√解析函數(shù)的增長(zhǎng)越來(lái)越快，所以函數(shù)在該點(diǎn)的斜率越來(lái)越大，所以f′1<<f′2反思感悟?qū)?shù)的幾何意義就是切線的斜率，所以比較導(dǎo)數(shù)大小的問(wèn)題可以用數(shù)形結(jié)合思想來(lái)解決跟蹤訓(xùn)練1已知函數(shù)y＝f的圖象如圖所示，則其導(dǎo)函數(shù)y＝f′的圖象可能是√解析由y＝f的圖象及導(dǎo)數(shù)的幾何意義可知，當(dāng)<0時(shí)，f′>0；當(dāng)＝0時(shí)，f′＝0；當(dāng)>0時(shí)，f′<0，只有B適合條件2如圖，函數(shù)y＝f的圖象在點(diǎn)P2，y處的切線是l，則f2＋f′2等于A－4 B3C－2 D1√解析由圖象可得函數(shù)y＝f的圖象在點(diǎn)P處的切線是l，與軸交于點(diǎn)4,0，與y軸交于點(diǎn)0,4，則可知l：＋y＝4，∴f2＝2，f′2＝－1，∴f2＋f′2＝1，故選D12345678910111213141516例21求函數(shù)y＝21在點(diǎn)P1,2處的切線方程;二、求切線方程2求函數(shù)y＝32在點(diǎn)1,3處的切線方程反思感悟求曲線在某點(diǎn)處的切線方程的步驟過(guò)某點(diǎn)的曲線的切線典例求過(guò)點(diǎn)－1,0與曲線y＝2＋＋1相切的直線方程＝20＋1解得0＝0或0＝－2當(dāng)0＝0時(shí)，切線斜率＝1，過(guò)－1,0的切線方程為y－0＝＋1，即－y＋1＝0當(dāng)0＝－2時(shí)，切線斜率＝－3，過(guò)－1,0的切線方程為y－0＝－3＋1，即3＋y＋3＝0故所求切線方程為－y＋1＝0或3＋y＋3＝0素養(yǎng)提升1首先要理解過(guò)某點(diǎn)的含義，切線過(guò)某點(diǎn)，這點(diǎn)不一定是切點(diǎn)2過(guò)點(diǎn)1，y1的曲線y＝f的切線方程的求法步驟①設(shè)切點(diǎn)0，f0②建立方程f′0＝③解方程得＝f′0，0，y0，從而寫出切線方程3本例考查了切線的含義及切線方程的求法體現(xiàn)了直觀想象和數(shù)學(xué)運(yùn)算的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)例31設(shè)曲線f＝a2在點(diǎn)1，a處的切線與直線2－y－6＝0平行，則a等于三、求切點(diǎn)坐標(biāo)√所以2a＝2，所以a＝12多選已知函數(shù)f＝在＝0處的切線的傾斜角為135°，則0等于A1B－1C2D3可得0＝±1√√反思感悟求切點(diǎn)坐標(biāo)的一般步驟1設(shè)出切點(diǎn)坐標(biāo)2利用導(dǎo)數(shù)或斜率公式求出斜率3利用斜率關(guān)系列方程，求出切點(diǎn)的橫坐標(biāo)4把橫坐標(biāo)代入曲線或切線方程，求出切點(diǎn)的縱坐標(biāo)變式：若點(diǎn)P是拋物線y＝2上任意一點(diǎn)，則點(diǎn)P到直線y＝－2的最小距離為_(kāi)____，此時(shí)P點(diǎn)坐標(biāo)為_(kāi)___