2017屆高考數(shù)學理二輪復習提優(yōu)導學案江蘇專用第一部分課時專題六數(shù)列與歸納法3講版含答案

第3講第3講(本講對應學生用書第62~64頁1.(選修2-2P88練習2改編)用數(shù)學歸納法證明在驗證n=1時，左邊計算所得的式子 【答案】

【解析】n=1時，左邊的最高次數(shù)為1，即最后一項為a，所以左邊是的值，可以猜想f(n)能被數(shù) 【答案】想f(n)能被8整除 -a 1通過求a1，a2，a3的值猜想出

n 6n-2n- 6n-【解析】由a1=1，a23，a3=5，a4=7進行猜想，可得an=2n-14.(選修2-2P98復習題7改編)從1=12，2+3+4=32，3+4+5+6+7=52中得出的一般 1，1，1，5.(選修2-2P10313改編)

13355779，…1 n2n 【解析】S1=3=211，S2=5=221，S3=7=231，推測Sn=2n1例1 已知

(n∈N*).求證：1)=n[f(n)-值【解答】當n=2時，左邊1

左邊=右邊，等式成立=(k+1)f(k)-f(k1)-1=(k+1) 所以當n=k+1時結論仍然成立變 1-2+3-4+…+2n-1-2n=n1+n2+n3+…+2n-1+2n 【解答】①當n=1時，左邊=1-2=2，右邊11=2，左邊=右邊.n=1時，等式成立 即1234+…2k-1-2kk1k2k3+…+2k 左邊=1234+…2k-1-2k2k12(k =k1+k2+k3+…+2k+2k1-2(k =k2+k3+…+2k1

k1

=(k1)1+(k1)2+…+2k+2k1+2(k所以當n=k+1時，等式也成立 由①②知1-2+3-4+…+2n-1-2n=n1+n2n3+…+2n-1+2n，1例 (2016揚州期末)已知函數(shù)f(x)=2x-3x2，設數(shù)列{an}滿足a1=41n∈N*，都有0<an3 【解答】(1)①當n=1時，a14，有0<a13，1②假設當n=k(k∈N*)時，不等式成立，即0<ak3a a a a 3k k3則當n=k+1時，ak+1=f(ak)=2ak-3k=-3 =-3 +3，于 3-

2 23-ak

因為0<ak<3，所以0<3 <3，即0<3-ak+1<3，可得0<ak+1<3，1由①②可知，對任意的正整數(shù)n，都有0<an<3

由

-

-a =3 n1 3nlog3 =1+2log3

n1 1log33-an =2 1log33-an

1所以數(shù)列 是以log34為首項、2為公比的等比數(shù)列

12n--an

1

所以1+log3

=2n-1log34，化簡求得3-an=3×4 ，所 n=3×42 Cn- n-1 n-1 n-1 當n=1時，2n-1所以n∈N*時，2n-1≥n，所以 =342≥34n1

1+ 2+…+ n=3(42+42+…+42)≥3(41+42+…+4n)=4n+1- 313120162611 當x42時，f(x8 設0<a1<2，an+1=f(an)，n∈N*，求證：an<n1 3x-a 【解答】(1)由題意，知f(x)=ax-2x2=-2 3+63 3又f(x)max≤6，所以f =6≤6所以11 又x42時，f(x8 a a 2 f1

28 a-3所以 8即4 所以

解得1①當n=1時，0<a1<2，結論顯然成立01

，2時，0<f(x)≤6 所以0<a2=f(a1)≤6<3故n=2時，原不等式也成立1②假設當n=k(k≥2，k∈N*)時，不等式0<ak<k1成立3由(1)知a=1，f(x)=x-2 因為f(x)=x-2x2的對稱軸為直線x=3所以當

1 所以由0<akk1≤3，得0<f(ak)<fk1 k k

k

+k

-k2

k2

2(k1)2(k

<k2所以當n=k+1時，原不等式也成立1根據(jù)①②知對任意的n∈N*，不等式an<n1成立 1 例 2015b1b1b2

n并給出證明

a1a2a1a2a3a1a2…an【分析】利用bn=n1+

推測出a1a2…an=(n+1)n，再用數(shù)學歸納法進行證明. 11 1 【解答】1 1212b b1212

1aa a

12=12 =(2+1)=312b12

bb

1123aaa aaa 123123=123=3 =(3+1)=4a1a2…an①當n=1時，左邊=右邊=2，等式成立

bk aa…a aa…a

k

12 kk1=12 kk1=(k+1)(k+1)· =(k+2)，根據(jù)①②可知猜想對一切正整數(shù)n都成立變式2014a2a(1)當n=2，3nan-1an+1的值

判斷

【解答】(1)由題得a2a所以n=2nan-1an+1=-a2a當n=3時，nan-1an+1=-

=-猜想：

①當n=2時，結論成立a2a即kak-1ak+1=-a2a可得k

2aa 則當n=k+1時，k1-akak+2=k1-ak(3ak+1-ak)=k1-3akak+1+ka2anan-1an+1=-500(n≥2)為定值.2k+1+2=22k+2=2(2k+2)-2>2k2- 2.(2016淮陰信息卷)已知f(n)=1233343+…n3，g(n)22n2 當n=2時，f(2)8，g(2)=8，所以 當n=3時，f(3)216，g(3)216，所以 1+23+33+43+…+k3<2-2k2 那么當n=k+1時，f(k+1)=f(k)(k1)322k2(k1)3 21

13

k3 1

2(k 2k-(k1) 1) 2(k1)k因 - -2k 所以f(k+1)22(k1)23.(2016新海中學月考)S2=2+3=5，S3=4+5+6=15，…當n=3 所以當n=k+1時，等式也成立第3講

用數(shù)學歸納法證明：對n∈N*，都有12+2334+…n(n1)=n1

11n(n 23 1n(n3.(2016f(n)=(2n+7)3n+94.(2016泰州三校聯(lián)考)設f(x)=x2，x1=1，xn=f(xn- 5.(2016蘇北四市期末)已知數(shù)列{an}滿足an=3n-2，函數(shù)f(n)=a1+a2+…+an1求證：g(2)31求證：當n≥3時，g(n)36.(2016 7.(2016點A(0，-1)，P(xn，yn)， 8.(2016蘇錫常鎮(zhèn)二模)設實數(shù)a1a2ana1+a2+…+an=0，且an |a1|+|a2|+…+|an|≤1(n∈N*且n≥2)，令bnn(n∈N*).求證：|b1+b2+…+bn|22n第3講 ①當n=1時，左邊12=2 右邊11=2，左邊=右邊所以n=1時，等式成立

②假設當n=k時成立，即12+23+…+k(k1)=k1， 12+23+…+k(k1)+(k2)(k =k1+(k2)(kk(k2)k22k=(k1)(k(k=(k1)(kk=(k1)1所以當n=k+1時，等式也成立 由①②知12+2334+…+n(n1)n1 <1，不等式成立1 23 1(k1(k1)(k1(k1)(k 231(k1)(k

1k1 k1 即證明(k1)(k2) (k1)(k2)2k又

2k12k(k1)=k2+3k+2- k(kk(k 于是有(k1)(k2)> 由f(n)=(2n+7)3n+9得f(1)=36，f(2)=3×36，f(3)=10×36，f(4)=34×36想f(k)=(2k+7)3k+9=t36.f(k+1)=[2(k+1)+7]3k+1+9=(2k+7)3k+1+23k+1+9=3[(2k+7)3k+9]+18(3k-=336t+182s所以當n=k+1時結論成立由①②可知，對一切正整數(shù)n，f(n)=(2n+7)3n+9能被36整除，m的最大值為23 2

21 2(1)x2=f(x1)=3，x3=f(x2)= =2=4，x4=f(x3)=2根據(jù)(1)的計算結果，可以歸納猜想xn=n1

=52①當n=1時，x111=1，與已知相符，歸納出的公式成立2②假設當n=k(k≥1，k∈N*)時成立，即xk=k12x2xk則當n=k+1時，有xk+1=f(xk)=kx

k2 =k =2k4=k112由①②知，對任意n∈N*，有xn=n1(1)由題意知an=3n- g(n)=an+an1+an2+…+an2 當n=2時，g(2)a2a3a447101403(2) =7+10+13+16+19+22+

1 1 1 =7+ +

1 1 1 >8+ + =8+16+32>8+16+16>3所以當n=3時，結論成立1②假設當n=k(k≥3，k∈N*)時，結論成立，即g(k)3， g(k+1)=g(k)+ak21+ak22+…+a(k1)2- 1 a ak2

a a>3+

k 2k1 1>3+3(k1)2-2-3k-1=31

(2k1)(3k-2)-[3(k1)2-=3+[3(k1)2-2](3k-2)1由k≥3可知，3k2-7k-3>0，即g(k+1)>3所以當n=k+1時，結論也成立1綜合①②可得，當n≥3時，g(n)>3(1)因為fn(x)為fn-1(x)所以f1(x)=f'0(x)=(sinx+cosx)+x(cosx-sinx)=(x+1)cosx+(x-1)(-sinx)，同理，f2(x)=-(x+2)sinx-(x-2)cosx.(2)由(1)得f3(x)=f'2(x)=-(x+3)cosx+(x-3)sinx，x x πx x 2 2 +(x- x x 2πx x 2 2 x x x x 2 2f3(x)=(x+3)sin +(x- x x nπ x x 2 2猜測 +(x- 下面用數(shù)學歸納法證明上述等式x x x x 2 2 +(x- x2 x2 x2 -sinx2 +(x+k)cos +cos +(x-k) k x2 -sinx2 x +k+1)cos xk1

=[x+(k+1)]sin +[x-xnπ xnπ 2 2 +(x- (1)因為k1=2

y0x0

x2 x0 解得x0=1，y0=1，所以點P1的坐標為x1

xn1 xn (2)因為 0 = +yn x2n

+0+0x 0 x00

1

x0

1 k

0+0=

0-

1-k2k①因為k1是偶數(shù)，所以k2=1-2也是偶數(shù)1所以2|a1|=|a1|+|a2|≤1，即|a1|2|a a1 =2