傅立葉變換的原理、意義和應(yīng)用

./傅立葉變換的原理、意義和應(yīng)用1概念：編輯傅里葉變換是一種分析信號(hào)的方法,它可分析信號(hào)的成分,也可用這些成分合成信號(hào)。許多波形可作為信號(hào)的成分,比如正弦波、方波、鋸齒波等,傅里葉變換用正弦波作為信號(hào)的成分。參考《數(shù)字信號(hào)處理》毅明著p.89,機(jī)械工業(yè)20XX發(fā)行。定義f<t是t的周期函數(shù),如果t滿足狄里赫萊條件：在一個(gè)周期具有有限個(gè)間斷點(diǎn),且在這些間斷點(diǎn)上,函數(shù)是有限值；在一個(gè)周期具有有限個(gè)極值點(diǎn)；絕對(duì)可積。則有下圖①式成立。稱為積分運(yùn)算f<t的傅里葉變換,②式的積分運(yùn)算叫做F〔ω的傅里葉逆變換。F〔ω叫做f<t的像函數(shù),f<t叫做F〔ω的像原函數(shù)。F〔ω是f<t的像。f<t是F〔ω原像。①傅里葉變換②傅里葉逆變換中文譯名Fouriertransform或TransforméedeFourier有多個(gè)中文譯名,常見(jiàn)的有"傅里葉變換"、"付立葉變換"、"傅立葉轉(zhuǎn)換"、"傅氏轉(zhuǎn)換"、"傅氏變換"、等等。為方便起見(jiàn),本文統(tǒng)一寫作"傅里葉變換"。應(yīng)用傅里葉變換在物理學(xué)、電子類學(xué)科、數(shù)論、組合數(shù)學(xué)、信號(hào)處理、概率論、統(tǒng)計(jì)學(xué)、密碼學(xué)、聲學(xué)、光學(xué)、海洋學(xué)、結(jié)構(gòu)動(dòng)力學(xué)等領(lǐng)域都有著廣泛的應(yīng)用〔例如在信號(hào)處理中,傅里葉變換的典型用途是將信號(hào)分解成幅值譜——顯示與頻率對(duì)應(yīng)的幅值大小。相關(guān)*傅里葉變換屬于諧波分析。*傅里葉變換的逆變換容易求出,而且形式與正變換非常類似;*正弦基函數(shù)是微分運(yùn)算的本征函數(shù),從而使得線性微分方程的求解可以轉(zhuǎn)化為常系數(shù)的代數(shù)方程的求解.在線性時(shí)不變的物理系統(tǒng),頻率是個(gè)不變的性質(zhì),從而系統(tǒng)對(duì)于復(fù)雜激勵(lì)的響應(yīng)可以通過(guò)組合其對(duì)不同頻率正弦信號(hào)的響應(yīng)來(lái)獲取；*卷積定理指出：傅里葉變換可以化復(fù)雜的卷積運(yùn)算為簡(jiǎn)單的乘積運(yùn)算,從而提供了計(jì)算卷積的一種簡(jiǎn)單手段；*離散形式的傅立葉變換可以利用數(shù)字計(jì)算機(jī)快速地算出〔其算法稱為快速傅里葉變換算法〔FFT>>.[1]2性質(zhì)編輯線性性質(zhì)傅里葉變換的線性,是指兩函數(shù)的線性組合的傅里葉變換,等于這兩個(gè)函數(shù)分別做傅里葉變換后再進(jìn)行線性組合的結(jié)果。具體而言,假設(shè)函數(shù)和的傅里葉變換和都存在,和為任意常系數(shù),則有尺度變換性質(zhì)若函數(shù)的傅里葉變換為,則對(duì)任意的非零實(shí)數(shù),函數(shù)的傅里葉變換存在,且等于對(duì)于的情形,上式表明,若將的圖像沿橫軸方向壓縮倍,則其傅里葉變換的圖像將沿橫軸方向展寬倍,同時(shí)高度變?yōu)樵瓉?lái)的。對(duì)于的情形,還會(huì)使得傅里葉變換的圖像關(guān)于縱軸做鏡像對(duì)稱。平移性質(zhì)若函數(shù)的傅里葉變換為,則對(duì)任意實(shí)數(shù),函數(shù)也存在傅里葉變換,且其傅里葉變換等于也就是說(shuō),可由向右平移得到。微分關(guān)系若函數(shù)的傅里葉變換為,且其導(dǎo)函數(shù)的傅里葉變換存在,則有即導(dǎo)函數(shù)的傅里葉變換等于原函數(shù)的傅里葉變換乘以因子。更一般地,若的階導(dǎo)數(shù)的傅里葉變換存在,則即階導(dǎo)數(shù)的傅里葉變換等于原函數(shù)的傅里葉變換乘以因子。卷積特性若函數(shù)以及都在上絕對(duì)可積,則卷積函數(shù)的傅里葉變換存在,且Parseval定理以及Plancherel定理若函數(shù)以及平方可積,二者的傅里葉變換分別為與,則有上式被稱為Parseval定理。特別地,對(duì)于平方可積函數(shù),有上式被稱為Plancherel定理。這兩個(gè)定理表明,傅里葉變換是平方可積空間上的一個(gè)運(yùn)算符〔若不考慮因子。3特殊變換編輯連續(xù)傅里葉變換一般情況下,若"傅里葉變換"一詞的前面未加任何限定語(yǔ),則指的是"連續(xù)傅里葉變換"。"連續(xù)傅里葉變換"將平方可積的函數(shù)表示成復(fù)指數(shù)函數(shù)的積分形式：上式其實(shí)表示的是連續(xù)傅里葉變換的逆變換,即將時(shí)間域的函數(shù)表示為頻率域的函數(shù)的積分。反過(guò)來(lái),其正變換恰好是將頻率域的函數(shù)表示為時(shí)間域的函數(shù)的積分形式。一般可稱函數(shù)為原函數(shù),而稱函數(shù)為傅里葉變換的像函數(shù),原函數(shù)和像函數(shù)構(gòu)成一個(gè)傅里葉變換對(duì)〔transformpair。當(dāng)為奇函數(shù)〔或偶函數(shù)時(shí),其余弦〔或正弦分量為零,而可以稱這時(shí)的變換為余弦變換〔或正弦變換。傅里葉級(jí)數(shù)主條目：傅里葉級(jí)數(shù)連續(xù)形式的傅里葉變換其實(shí)是傅里葉級(jí)數(shù)的推廣,因?yàn)榉e分其實(shí)是一種極限形式的求和算子而已。對(duì)于周期函數(shù),它的傅里葉級(jí)數(shù)〔Fourierseries表示被定義為：其中為函數(shù)的周期,為傅里葉展開系數(shù),它們等于對(duì)于實(shí)值函數(shù),函數(shù)的傅里葉級(jí)數(shù)可以寫成：其中和是實(shí)頻率分量的振幅。離散時(shí)間傅里葉變換主條目：離散時(shí)間傅里葉變換離散時(shí)間傅里葉變換〔discrete-timeFouriertransform,DTFT針對(duì)的是定義域?yàn)榈臄?shù)列。設(shè)為某一數(shù)列,則其DTFT被定義為相應(yīng)的逆變換為DTFT在時(shí)域上離散,在頻域上則是周期的,它一般用來(lái)對(duì)離散時(shí)間信號(hào)進(jìn)行頻譜分析。DTFT可以被看作是傅里葉級(jí)數(shù)的逆。離散傅里葉變換為了在科學(xué)計(jì)算和數(shù)字信號(hào)處理等領(lǐng)域使用計(jì)算機(jī)進(jìn)行傅里葉變換,必須將函數(shù)定義在離散點(diǎn)上而非連續(xù)域,且須滿足有限性或周期性條件。這種情況下,序列的離散傅里葉變換〔discreteFouriertransform,DFT為其逆變換為直接使用DFT的定義計(jì)算的計(jì)算復(fù)雜度為,而快速傅里葉變換〔fastFouriertransform,FFT可以將復(fù)雜度改進(jìn)為。計(jì)算復(fù)雜度的降低以及數(shù)字電路計(jì)算能力的發(fā)展使得DFT成為在信號(hào)處理領(lǐng)域十分實(shí)用且重要的方法。在阿貝爾群上的統(tǒng)一描述以上各種傅里葉變換可以被更統(tǒng)一的表述成任意局部緊致的阿貝爾群上的傅里葉變換。這一問(wèn)題屬于調(diào)和分析的疇。在調(diào)和分析中,一個(gè)變換從一個(gè)群變換到它的對(duì)偶群〔dualgroup。此外,將傅里葉變換與卷積相聯(lián)系的卷積定理在調(diào)和分析中也有類似的結(jié)論。傅里葉變換家族下表列出了傅里葉變換家族的成員。容易發(fā)現(xiàn),函數(shù)在時(shí)〔頻域的離散對(duì)應(yīng)于其像函數(shù)在頻〔時(shí)域的周期性,反之連續(xù)則意味著在對(duì)應(yīng)域的信號(hào)的非周期性。變換時(shí)間域頻率域連續(xù)傅里葉變換連續(xù),非周期性連續(xù),非周期性傅里葉級(jí)數(shù)連續(xù),周期性離散,非周期性離散時(shí)間傅里葉變換離散,非周期性連續(xù),周期性離散傅里葉變換離散,周期性離散,周期性4相關(guān)編輯[2]變換提出傅里葉是一位法國(guó)數(shù)學(xué)家和物理學(xué)家的名字,英語(yǔ)原名是JeanBaptisteJosephFourier<1768-1830>,Fourier對(duì)熱傳遞很感興趣,于1807年在法國(guó)科學(xué)學(xué)會(huì)上發(fā)表了一篇論文,運(yùn)用正弦曲線來(lái)描述溫度分布,論文里有個(gè)在當(dāng)時(shí)具有爭(zhēng)議性的決斷：任何連續(xù)周期信號(hào)可以由一組適當(dāng)?shù)恼仪€組合而成。當(dāng)時(shí)審查這個(gè)論文的人,其中有兩位是歷史上著名的數(shù)學(xué)家拉格朗日<JosephLouisLagrange,1736-1813>和拉普拉斯<PierreSimondeLaplace,1749-1827>,當(dāng)拉普拉斯和其它審查者投票通過(guò)并要發(fā)表這個(gè)論文時(shí),拉格朗日?qǐng)?jiān)決反對(duì),在他此后生命的六年中,拉格朗日?qǐng)?jiān)持認(rèn)為傅里葉的方法無(wú)法表示帶有棱角的信號(hào),如在方波中出現(xiàn)非連續(xù)變化斜率。法國(guó)科學(xué)學(xué)會(huì)屈服于拉格朗日的威望,拒絕了傅里葉的工作,幸運(yùn)的是,傅里葉還有其它事情可忙,他參加了政治運(yùn)動(dòng),隨拿破侖遠(yuǎn)征埃及,法國(guó)大革命后因會(huì)被推上斷頭臺(tái)而一直在逃避。直到拉格朗日死后15年這個(gè)論文才被發(fā)表出來(lái)。拉格朗日是對(duì)的：正弦曲線無(wú)法組合成一個(gè)帶有棱角的信號(hào)。但是,我們可以用正弦曲線來(lái)非常逼近地表示它,逼近到兩種表示方法不存在能量差別,基于此,傅里葉是對(duì)的。用正弦曲線來(lái)代替原來(lái)的曲線而不用方波或三角波來(lái)表示的原因在于,分解信號(hào)的方法是無(wú)窮的,但分解信號(hào)的目的是為了更加簡(jiǎn)單地處理原來(lái)的信號(hào)。用正余弦來(lái)表示原信號(hào)會(huì)更加簡(jiǎn)單,因?yàn)檎嘞覔碛性盘?hào)所不具有的性質(zhì)：正弦曲線保真度。一個(gè)正弦曲線信號(hào)輸入后,輸出的仍是正弦曲線,只有幅度和相位可能發(fā)生變化,但是頻率和波的形狀仍是一樣的。且只有正弦曲線才擁有這樣的性質(zhì),正因如此我們才不用方波或三角波來(lái)表示。變換分類根據(jù)原信號(hào)的不同類型,我們可以把傅里葉變換分為四種類別：1非周期性連續(xù)信號(hào)傅里葉變換〔FourierTransform2周期性連續(xù)信號(hào)傅里葉級(jí)數(shù)<FourierSeries>3非周期性離散信號(hào)離散時(shí)域傅里葉變換〔DiscreteTimeFourierTransform4周期性離散信號(hào)離散傅里葉變換<DiscreteFourierTransform>下圖是四種原信號(hào)圖例：這四種傅里葉變換都是針對(duì)正無(wú)窮大和負(fù)無(wú)窮大的信號(hào),即信號(hào)的的長(zhǎng)度是無(wú)窮大的,我們知道這對(duì)于計(jì)算機(jī)處理來(lái)說(shuō)是不可能的,那么有沒(méi)有針對(duì)長(zhǎng)度有限的傅里葉變換呢？沒(méi)有。因?yàn)檎嘞也ū欢x成從負(fù)無(wú)窮大到正無(wú)窮大,我們無(wú)法把一個(gè)長(zhǎng)度無(wú)限的信號(hào)組合成長(zhǎng)度有限的信號(hào)。面對(duì)這種困難,方法是把長(zhǎng)度有限的信號(hào)表示成長(zhǎng)度無(wú)限的信號(hào),可以把信號(hào)無(wú)限地從左右進(jìn)行延伸,延伸的部分用零來(lái)表示,這樣,這個(gè)信號(hào)就可以被看成是非周期性離解信號(hào),我們就可以用到離散時(shí)域傅里葉變換的方法。還有,也可以把信號(hào)用復(fù)制的方法進(jìn)行延伸,這樣信號(hào)就變成了周期性離解信號(hào),這時(shí)我們就可以用離散傅里葉變換方法進(jìn)行變換。這里我們要學(xué)的是離散信號(hào),對(duì)于連續(xù)信號(hào)我們不作討論,因?yàn)橛?jì)算機(jī)只能處理離散的數(shù)值信號(hào),我們的最終目的是運(yùn)用計(jì)算機(jī)來(lái)處理信號(hào)的。但是對(duì)于非周期性的信號(hào),我們需要用無(wú)窮多不同頻率的正弦曲線來(lái)表示,這對(duì)于計(jì)算機(jī)來(lái)說(shuō)是不可能實(shí)現(xiàn)的。所以對(duì)于離散信號(hào)的變換只有離散傅里葉變換〔DFT才能被適用,對(duì)于計(jì)算機(jī)來(lái)說(shuō)只有離散的和有限長(zhǎng)度的數(shù)據(jù)才能被處理,對(duì)于其它的變換類型只有在數(shù)學(xué)演算中才能用到,在計(jì)算機(jī)面前我們只能用DFT方法,后面我們要理解的也正是DFT方法。這里要理解的是我們使用周期性的信號(hào)目的是為了能夠用數(shù)學(xué)方法來(lái)解決問(wèn)題,至于考慮周期性信號(hào)是從哪里得到或怎樣得到是無(wú)意義的。每種傅里葉變換都分成實(shí)數(shù)和復(fù)數(shù)兩種方法,對(duì)于實(shí)數(shù)方法是最好理解的,但是復(fù)數(shù)方法就相對(duì)復(fù)雜許多了,需要懂得有關(guān)復(fù)數(shù)的理論知識(shí),不過(guò),如果理解了實(shí)數(shù)離散傅里葉變換<realDFT>,再去理解復(fù)數(shù)傅里葉就更容易了,所以我們先把復(fù)數(shù)的傅里葉放到一邊去,先來(lái)理解實(shí)數(shù)傅里葉變換,在后面我們會(huì)先講講關(guān)于復(fù)數(shù)的基本理論,然后在理解了實(shí)數(shù)傅里葉變換的基礎(chǔ)上再來(lái)理解復(fù)數(shù)傅里葉變換。如上圖所示,實(shí)信號(hào)四種變換在時(shí)域和頻域的表現(xiàn)形式。還有,這里我們所要說(shuō)的變換<transform>雖然是數(shù)學(xué)意義上的變換,但跟函數(shù)變換是不同的,函數(shù)變換是符合一一映射準(zhǔn)則的,對(duì)于離散數(shù)字信號(hào)處理〔DSP,有許多的變換：傅里葉變換、拉普拉斯變換、Z變換、希爾伯特變換、離散余弦變換等,這些都擴(kuò)展了函數(shù)變換的定義,允許輸入和輸出有多種的值,簡(jiǎn)單地說(shuō)變換就是把一堆的數(shù)據(jù)變成另一堆的數(shù)據(jù)的方法。變換意義傅里葉變換是數(shù)字信號(hào)處理領(lǐng)域一種很重要的算法。要知道傅里葉變換算法的意義,首先要了解傅里葉原理的意義。傅里葉原理表明：任何連續(xù)測(cè)量的時(shí)序或信號(hào),都可以表示為不同頻率的正弦波信號(hào)的無(wú)限疊加。而根據(jù)該原理創(chuàng)立的傅里葉變換算法利用直接測(cè)量到的原始信號(hào),以累加方式來(lái)計(jì)算該信號(hào)中不同正弦波信號(hào)的頻率、振幅和相位。和傅里葉變換算法對(duì)應(yīng)的是反傅里葉變換算法。該反變換從本質(zhì)上說(shuō)也是一種累加處理,這樣就可以將單獨(dú)改變的正弦波信號(hào)轉(zhuǎn)換成一個(gè)信號(hào)。因此,可以說(shuō),傅里葉變換將原來(lái)難以處理的時(shí)域信號(hào)轉(zhuǎn)換成了易于分析的頻域信號(hào)〔信號(hào)的頻譜,可以利用一些工具對(duì)這些頻域信號(hào)進(jìn)行處理、加工。最后還可以利用傅里葉反變換將這些頻域信號(hào)轉(zhuǎn)換成時(shí)域信號(hào)。從現(xiàn)代數(shù)學(xué)的眼光來(lái)看,傅里葉變換是一種特殊的積分變換。它能將滿足一定條件的某個(gè)函數(shù)表示成正弦基函數(shù)的線性組合或者積分。在不同的研究領(lǐng)域,傅里葉變換具有多種不同的變體形式,如連續(xù)傅里葉變換和離散傅里葉變換。在數(shù)學(xué)領(lǐng)域,盡管最初傅里葉分析是作為熱過(guò)程的解析分析的工具,但是其思想方法仍然具有典型的還原論和分析主義的特征。"任意"的函數(shù)通過(guò)一定的分解,都能夠表示為正弦函數(shù)的線性組合的形式,而正弦函數(shù)在物理上是被充分研究而相對(duì)簡(jiǎn)單的函數(shù)類：1.傅里葉變換是線性算子,若賦予適當(dāng)?shù)臄?shù),它還是酉算子;2.傅里葉變換的逆變換容易求出,而且形式與正變換非常類似;3.正弦基函數(shù)是微分運(yùn)算的本征函數(shù),從而使得線性微分方程的求解可以轉(zhuǎn)化為常系數(shù)的代數(shù)方程的求解.在線性時(shí)不變雜的卷積運(yùn)算為簡(jiǎn)單的乘積運(yùn)算,從而提供了計(jì)算卷積的一種簡(jiǎn)單手段;4.離散形式的傅里葉的物理系統(tǒng),頻率是個(gè)不變的性質(zhì),從而系統(tǒng)對(duì)于復(fù)雜激勵(lì)的響應(yīng)可以通過(guò)組合其對(duì)不同頻率正弦信號(hào)的響應(yīng)來(lái)獲取;5.著名的卷積定理指出:傅里葉變換可以化復(fù)變換可以利用數(shù)字計(jì)算機(jī)快速的算出<其算法稱為快速傅里葉變換算法<FFT>>。正是由于上述的良好性質(zhì),傅里葉變換在物理學(xué)、數(shù)論、組合數(shù)學(xué)、信號(hào)處理、概率、統(tǒng)計(jì)、密碼學(xué)、聲學(xué)、光學(xué)等領(lǐng)域都有著廣泛的應(yīng)用。圖像傅里葉變換圖像的頻率是表征圖像中灰度變化劇烈程度的指標(biāo),是灰度在平面空間上的梯度。如：大面積的沙漠在圖像中是一片灰度變化緩慢的區(qū)域,對(duì)應(yīng)的頻率值很低；而對(duì)于地表屬性變換劇烈的邊緣區(qū)域在圖像中是一片灰度變化劇烈的區(qū)域,對(duì)應(yīng)的頻率值較高。傅里葉變換在實(shí)際中有非常明顯的物理意義,設(shè)f是一個(gè)能量有限的模擬信號(hào),則其傅里葉變換就表示f的譜。從純粹的數(shù)學(xué)意義上看,傅里葉變換是將一個(gè)函數(shù)轉(zhuǎn)換為一系列周期函數(shù)來(lái)處理的。從物理效果看,傅里葉變換是將圖像從空間域轉(zhuǎn)換到頻率域,其逆變換是將圖像從頻率域轉(zhuǎn)換到空間域。換句話說(shuō),傅里葉變換的物理意義是將圖像的灰度分布函數(shù)變換為圖像的頻率分布函數(shù),傅里葉逆變換是將圖像的頻率分布函數(shù)變換為灰度分布函數(shù)。傅里葉變換以前,圖像〔未壓縮的位圖是由對(duì)在連續(xù)空間〔現(xiàn)實(shí)空間上的采樣得到一系列點(diǎn)的集合,我們習(xí)慣用一個(gè)二維矩陣表示空間上各點(diǎn),則圖像可由z=f<x,y>來(lái)表示。由于空間是三維的,圖像是二維的,因此空間中物體在另一個(gè)維度上的關(guān)系就由梯度來(lái)表示,這樣我們可以通過(guò)觀察圖像得知物體在三維空間中的對(duì)應(yīng)關(guān)系。為什么要提梯度？因?yàn)閷?shí)際上對(duì)圖像進(jìn)行二維傅里葉變換得到頻譜圖,就是圖像梯度的分布圖,當(dāng)然頻譜圖上的各點(diǎn)與圖像上各點(diǎn)并不存在一一對(duì)應(yīng)的關(guān)系,即使在不移頻的情況下也是沒(méi)有。傅里葉頻譜圖上我們看到的明暗不一的亮點(diǎn),實(shí)際上圖像上某一點(diǎn)與鄰域點(diǎn)差異的強(qiáng)弱,即梯度的大小,也即該點(diǎn)的頻率的大小〔可以這么理解,圖像中的低頻部分指低梯度的點(diǎn),高頻部分相反。一般來(lái)講,梯度大則該點(diǎn)的亮度強(qiáng),否則該點(diǎn)亮度弱。這樣通過(guò)觀察傅里葉變換后的頻譜圖,也叫功率圖,我們首先就可以看出,圖像的能量分布,如果頻譜圖中暗的點(diǎn)數(shù)更多,那么實(shí)際圖像是比較柔和的〔因?yàn)楦鼽c(diǎn)與鄰域差異都不大,梯度相對(duì)較小,反之,如果頻譜圖中亮的點(diǎn)數(shù)多,那么實(shí)際圖像一定是尖銳的,邊界分明且邊界兩邊像素差異較大的。對(duì)頻譜移頻到原點(diǎn)以后,可以看出圖像的頻率分布是以原點(diǎn)為圓心,對(duì)稱分布的。將頻譜移頻到圓心除了可以清晰地看出圖像頻率分布以外,還有一個(gè)好處,它可以分離出有周期性規(guī)律的干擾信號(hào),比如正弦干擾,一副帶有正弦干擾,移頻到原點(diǎn)的頻譜圖上可以看出除了中心以外還存在以某一點(diǎn)為中心,對(duì)稱分布的亮點(diǎn)集合,這個(gè)集合就是干擾噪音產(chǎn)生的,這時(shí)可以很直觀的通過(guò)在該位置放置帶阻濾波器消除干擾。另外說(shuō)明以下幾點(diǎn)：1、圖像經(jīng)過(guò)二維傅里葉變換后,其變換系數(shù)矩陣表明：若變換矩陣Fn原點(diǎn)設(shè)在中心,其頻譜能量集中分布在變換系數(shù)短陣的中心附近〔圖中陰影區(qū)。若所用的二維傅里葉變換矩陣Fn的原點(diǎn)設(shè)在左上角,那么圖像信號(hào)能量將集中在系數(shù)矩陣的四個(gè)角上。這是由二維傅里葉變換本身性質(zhì)決定的。同時(shí)也表明一股圖像能量集中低頻區(qū)域。2、變換之后的圖像在原點(diǎn)平移之前四角是低頻,最亮,平移之后中間部分是低頻,最亮,亮度大說(shuō)明低頻的能量大〔幅角比較大。5例子編輯一個(gè)關(guān)于實(shí)數(shù)離散傅里葉變換<RealDFT>實(shí)例先來(lái)看一個(gè)變換實(shí)例,一個(gè)原始信號(hào)的長(zhǎng)度是16,于是可以把這個(gè)信號(hào)分解9個(gè)余弦波和9個(gè)正弦波〔一個(gè)長(zhǎng)度為N的信號(hào)可以分解成N/2+1個(gè)正余弦信號(hào),這是為什么呢？結(jié)合下面的18個(gè)正余弦圖,我想從計(jì)算機(jī)處理精度上就不難理解,一個(gè)長(zhǎng)度為N的信號(hào),最多只能有N/2+1個(gè)不同頻率,再多的頻率就超過(guò)了計(jì)算機(jī)所能所處理的精度圍,如下圖：9個(gè)正弦信號(hào)：9個(gè)余弦信號(hào)：把以上所有信號(hào)相加即可得到原始信號(hào),至于是怎么分別變換出9種不同頻率信號(hào)的,我們先不急,先看看對(duì)于以上的變換結(jié)果,在程序中又是該怎么表示的,我們可以看看下面這個(gè)示例圖：上圖中左邊表示時(shí)域中的信號(hào),右邊是頻域信號(hào)表示方法,從左向右表示正向轉(zhuǎn)換<ForwardDFT>,從右向左表示逆向轉(zhuǎn)換<InverseDFT>,用小寫x[]表示信號(hào)在每個(gè)時(shí)間點(diǎn)上的幅度值數(shù)組,用大寫X[]表示每種頻率的幅度值數(shù)組,因?yàn)橛蠳/2+1種頻率,所以該數(shù)組長(zhǎng)度為N/2+1,X[]數(shù)組又分兩種,一種是表示余弦波的不同頻率幅度值：ReX[],另一種是表示正弦波的不同頻率幅度值：ImX[],Re是實(shí)數(shù)<Real>的意思,Im是虛數(shù)<Imagine>的意思,采用復(fù)數(shù)的表示方法把正余弦波組合起來(lái)進(jìn)行表示,但這里我們不考慮復(fù)數(shù)的其它作用,只記住是一種組合方法而已,目的是為了便于表達(dá)〔在后面我們會(huì)知道,復(fù)數(shù)形式的傅里葉變換長(zhǎng)度是N,而不是N/2+1。用Matlab進(jìn)行傅里葉變換FFT是離散傅里葉變換的快速算法,可以將一個(gè)信號(hào)變換到頻域。有些信號(hào)在時(shí)域上是很難看出什么特征的,但是如果變換到頻域之后,就很容易看出特征了。這就是很多信號(hào)分析采用FFT變換的原因。另外,FFT可以將一個(gè)信號(hào)的頻譜提取出來(lái),這在頻譜分析方面也是經(jīng)常用的。FFT結(jié)果的具體物理意義。一個(gè)模擬信號(hào),經(jīng)過(guò)ADC采樣之后,就變成了數(shù)字信號(hào)。采樣定理告訴我們,采樣頻率要大于信號(hào)頻率的兩倍。采樣得到的數(shù)字信號(hào),就可以做FFT變換了。N個(gè)采樣點(diǎn),經(jīng)過(guò)FFT之后,就可以得到N個(gè)點(diǎn)的FFT結(jié)果。為了方便進(jìn)行FFT運(yùn)算,通常N取2的整數(shù)次方。假設(shè)采樣頻率為Fs,信號(hào)頻率F,采樣點(diǎn)數(shù)為N。那么FFT之后結(jié)果就是一個(gè)為N點(diǎn)的復(fù)數(shù)。每一個(gè)點(diǎn)就對(duì)應(yīng)著一個(gè)頻率點(diǎn)。這個(gè)點(diǎn)的模值,就是該頻率值下的幅度特性。具體跟原始信號(hào)的幅度有什么關(guān)系呢？假設(shè)原始信號(hào)的峰值為A,那么FFT的結(jié)果的每個(gè)點(diǎn)〔除了第一個(gè)點(diǎn)直流分量之外的模值就是A的N/2倍。而第一個(gè)點(diǎn)就是直流分量,它的模值就是直流分量的N倍。而每個(gè)點(diǎn)的相位呢,就是在該頻率下的信號(hào)的相位。第一個(gè)點(diǎn)表示直流分量〔即0Hz,而最后一個(gè)點(diǎn)N的再下一個(gè)點(diǎn)〔實(shí)際上這個(gè)點(diǎn)是不存在的,這里是假設(shè)的第N+1個(gè)點(diǎn),也可以看做是將第一個(gè)點(diǎn)分做兩半分,另一半移到最后則表示采樣頻率Fs,這中間被N-1個(gè)點(diǎn)平均分成N等份,每個(gè)點(diǎn)的頻率依次增加。例如某點(diǎn)n所表示的頻率為：Fn=<n-1>*Fs/N。由上面的公式可以看出,Fn所能分辨到頻率為為Fs/N,如果采樣頻率Fs為1024Hz,采樣點(diǎn)數(shù)為1024點(diǎn),則可以分辨到1Hz。1024Hz的采樣率采樣1024點(diǎn),剛好是1秒,也就是說(shuō),采樣1秒時(shí)間的信號(hào)并做FFT,則結(jié)果可以分析到1Hz,如果采樣2秒時(shí)間的信號(hào)并做FFT,則結(jié)果可以分析到0.5Hz。如果要提高頻率分辨力,則必須增加采樣點(diǎn)數(shù),也即采樣時(shí)間。頻率分辨率和采樣時(shí)間是倒數(shù)關(guān)系。假設(shè)FFT之后某點(diǎn)n用復(fù)數(shù)a+bi表示,那么這個(gè)復(fù)數(shù)的模就是An=根號(hào)a*a+b*b,相位就是Pn=atan2<b,a>。根據(jù)以上的結(jié)果,就可以計(jì)算出n點(diǎn)〔n≠1,且n<=N/2對(duì)應(yīng)的信號(hào)的表達(dá)式為：An/<N/2>*cos<2*pi*Fn*t+Pn>,即2*An/N*cos<2*pi*Fn*t+Pn>。對(duì)于n=1點(diǎn)的信號(hào),是直流分量,幅度即為A1/N。由于FFT結(jié)果的對(duì)稱性,通常我們只使用前半部分的結(jié)果,即小于采樣頻率一半的結(jié)果。下面以一個(gè)實(shí)際的信號(hào)來(lái)做說(shuō)明。假設(shè)我們有一個(gè)信號(hào),它含有2V的直流分量,頻率為50Hz、相位為-30度、幅度為3V的交流信號(hào),以及一個(gè)頻率為75Hz、相位為90度、幅度為1.5V的交流信號(hào)。用數(shù)學(xué)表達(dá)式就是如下：S=2+3*cos<2*pi*50*t-pi*30/180>+1.5*cos<2*pi*75*t+pi*90/180>。式中cos參數(shù)為弧度,所以-30度和90度要分別換算成弧度。我們以256Hz的采樣率對(duì)這個(gè)信號(hào)進(jìn)行采樣,總共采樣256點(diǎn)。按照我們上面的分析,Fn=<n-1>*Fs/N,我們可以知道,每?jī)蓚€(gè)點(diǎn)之間的間距就是1Hz,第n個(gè)點(diǎn)的頻率就是n-1。我們的信號(hào)有3個(gè)頻率：0Hz、50Hz、75Hz,應(yīng)該分別在第1個(gè)點(diǎn)、第51個(gè)點(diǎn)、第76個(gè)點(diǎn)上出現(xiàn)峰值,其它各點(diǎn)應(yīng)該接近0。實(shí)際情況如何呢？我們來(lái)看看FFT的結(jié)果的模值如圖所示。從圖中我們可以看到,在第1點(diǎn)、第51點(diǎn)、和第76點(diǎn)附近有比較大的值。我們分別將這三個(gè)點(diǎn)附近的數(shù)據(jù)拿上來(lái)細(xì)看：1點(diǎn)：512+0i2點(diǎn)：-2.6195E-14-1.4162E-13i3點(diǎn)：-2.8586E-14-1.1898E-13i50點(diǎn)：-6.2076E-13-2.1713E-12i51點(diǎn)：332.55-192i52點(diǎn)：-1.6707E-12-1.5241E-12i75點(diǎn)：-2.2199E-13-1.0076E-12i76點(diǎn)：3.4315E-12+192i77點(diǎn)：-3.0263E-14+7.5609E-13i很明顯,1點(diǎn)、51點(diǎn)、76點(diǎn)的值都比較大,它附近的點(diǎn)值都很小,可以認(rèn)為是0,即在那些頻率點(diǎn)上的信號(hào)幅度為0。接著,我們來(lái)計(jì)算各點(diǎn)的幅度值。分別計(jì)算這三個(gè)點(diǎn)的模值,結(jié)果如下：1點(diǎn)：51251點(diǎn)：38476點(diǎn)：192按照公式,可以計(jì)算出直流分量為：512/N=512/256=2；50Hz信號(hào)的幅度為：384/<N/2>=384/<256/2>=3；75Hz信號(hào)的幅度為192/<N/2>=192/<256/2>=1.5?？梢?jiàn),從頻譜分析出來(lái)的幅度是正確的。然后再來(lái)計(jì)算相位信息。直流信號(hào)沒(méi)有相位可言,不用管它。先計(jì)算50Hz信號(hào)的相位,atan2<-192,332.55>=-0.5236,結(jié)果是弧度,換算為角度就是180*<-0.5236>/pi=-30.0001。再計(jì)算75Hz信號(hào)的相位,atan2<192,3.4315E-12>=1.5708弧度,換算成角度就是180*1.5708/pi=90.0002?？梢?jiàn),相位也是對(duì)的。根據(jù)FFT結(jié)果以及上面的分析計(jì)算,我們就可以寫出信號(hào)的表達(dá)式了,它就是我們開始提供的信號(hào)。總結(jié)：假設(shè)采樣頻率為Fs,采樣點(diǎn)數(shù)為N,做FFT之后,某一點(diǎn)n〔n從1開始表示的頻率為：Fn=<n-1>*Fs/N；該點(diǎn)的模值除以N/2就是對(duì)應(yīng)該頻率下的信號(hào)的幅度〔對(duì)于直流信號(hào)是除以N；該點(diǎn)的相位即是對(duì)應(yīng)該頻率下的信號(hào)的相位。相位的計(jì)算可用函數(shù)atan2<b,a>計(jì)算。atan2<b,a>是求坐標(biāo)為<a,b>點(diǎn)的角度值,圍從-pi到pi。要精確到xHz,則需要采樣長(zhǎng)度為1/x秒的信號(hào),并做FFT。要提高頻率分辨率,就需要增加采樣點(diǎn)數(shù),這在一些實(shí)際的應(yīng)用中是不現(xiàn)實(shí)的,需要在較短的時(shí)間完成分析。解決這個(gè)問(wèn)題的方法有頻率細(xì)分法,比較簡(jiǎn)單的方法是采樣比較短時(shí)間的信號(hào),然后在后面補(bǔ)充一定數(shù)量的0,使其長(zhǎng)度達(dá)到需要的點(diǎn)數(shù),再做FFT,這在一定程度上能夠提高頻率分辨力。具體的頻率細(xì)分法可參考相關(guān)文獻(xiàn)。6應(yīng)用編輯盡管最初傅里葉分析是作為熱過(guò)程的解析分析的工具,但是其思想方法仍然具有典型的還原論和分析主義的特征。"任意"的函數(shù)通過(guò)一定的分解,都能夠表示為正弦函數(shù)的線性組合的形式,而正弦函數(shù)在物理上是被充分研究而相對(duì)簡(jiǎn)單的函數(shù)類,這一想法跟化學(xué)上的原子論想法何其相似！奇妙的是,現(xiàn)代數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)傅里葉變換具有非常好的性質(zhì),使得它如此的好用和有用,讓人不得不感嘆造物的神奇：傅里葉變換是線性算子,若賦予適當(dāng)?shù)臄?shù),它還是酉算子；傅里葉變換的逆變換容易求出,而且形式與正變換非常類似；正弦基函數(shù)是微分運(yùn)算的本征函數(shù),從而使得線性微分方程的求解可以轉(zhuǎn)化為常系數(shù)的代數(shù)方程的求解.在線性時(shí)不變的物理系統(tǒng),頻率是個(gè)不變的性質(zhì),從而系統(tǒng)對(duì)于復(fù)雜激勵(lì)的響應(yīng)可以通過(guò)組合其對(duì)不同頻率正弦信號(hào)的響應(yīng)來(lái)獲??；著名的卷積定理指出：傅里葉變換可以化復(fù)雜的卷積運(yùn)算為簡(jiǎn)單的乘積運(yùn)算,從而提供了計(jì)算卷積的一種簡(jiǎn)單手段；離散形式的傅里葉變換可以利用數(shù)字計(jì)算機(jī)快速的算出〔其算法稱為快速傅里葉變換算法〔FFT>>.正是由于上述的良好性質(zhì),傅里葉變換在物理學(xué)、數(shù)論、組合數(shù)學(xué)、信號(hào)處理、概率、統(tǒng)計(jì)、密碼學(xué)、聲學(xué)、光學(xué)等領(lǐng)域都有著廣泛的應(yīng)用。有關(guān)傅里葉變換的FPGA實(shí)現(xiàn)傅里葉變換是數(shù)字信號(hào)處理中的基本操作,廣泛應(yīng)用于表述及分析離散時(shí)域信號(hào)領(lǐng)域。但由于其運(yùn)算量與變換點(diǎn)數(shù)N的平方成正比關(guān)系,因此,在N較大時(shí),直接應(yīng)用DFT算法進(jìn)行譜變換是不切合實(shí)際的。然而,快速傅里葉變換技術(shù)的出現(xiàn)使情況發(fā)生了根本性的變化。本文主要描述了采用FPGA來(lái)實(shí)現(xiàn)2k/4k/8k點(diǎn)FFT的設(shè)計(jì)方法。整體結(jié)構(gòu)一般情況下,N點(diǎn)的傅里葉變換對(duì)為：其中,WN=exp〔－2pi/N>。X<k和x<n都為復(fù)數(shù)。與之相對(duì)的快速傅里葉變換有很多種,如DIT〔時(shí)域抽取法、DIF〔頻域抽取法、Cooley－Tukey和Winograd等。對(duì)于2n傅里葉變換,Cooley－Tukey算法可導(dǎo)出DIT和DIF算法。本文運(yùn)用的基本思想是Cooley－Tukey算法,即將高點(diǎn)數(shù)的傅里葉變換通過(guò)多重低點(diǎn)數(shù)傅里葉變換來(lái)實(shí)現(xiàn)。雖然DIT與DIF有差別,但由于它們?cè)诒举|(zhì)上都是一種基于標(biāo)號(hào)分解的算法,故在運(yùn)算量和算法復(fù)雜性等方面完全一樣,而沒(méi)有性能上的優(yōu)劣之分,所以可以根據(jù)需要任取其中一種,本文主要以DIT方法為對(duì)象來(lái)討論。N=8192點(diǎn)DFT的運(yùn)算表達(dá)式為：式中,m=<4n1+n2><2048k1+k2><n=4n1+n2,k=2048k1+k2其中n1和k2可取0,1,．．．,2047,k1和n2可取0,1,2,3。由式〔3可知,8k傅里葉變換可由4×2k的傅立葉變換構(gòu)成。同理,4k傅立葉變換可由2×2k的傅里葉變換構(gòu)成。而2k傅里葉變換可由128×16的傅立葉變換構(gòu)成。128的傅里葉變換可進(jìn)一步由16×8的傅里葉變換構(gòu)成,歸根結(jié)底,整個(gè)傅里葉變換可由基2、基4的傅里葉變換構(gòu)成。2k的FFT可以通過(guò)5個(gè)基4和1個(gè)基2變換來(lái)實(shí)現(xiàn)；4k的FFT變換可通過(guò)6個(gè)基4變換來(lái)實(shí)現(xiàn)；8k的FFT可以通過(guò)6個(gè)基4和1個(gè)基2變換來(lái)實(shí)現(xiàn)。也就是說(shuō)：FFT的基本結(jié)構(gòu)可由基2/4模塊、復(fù)數(shù)乘法器、存儲(chǔ)單元和存儲(chǔ)器控制模塊構(gòu)成,其整體結(jié)構(gòu)如圖1所示。圖1中,RAM用來(lái)存儲(chǔ)輸入數(shù)據(jù)、運(yùn)算過(guò)程中的中間結(jié)果以及運(yùn)算完成后的數(shù)據(jù),ROM用來(lái)存儲(chǔ)旋轉(zhuǎn)因子表。蝶形運(yùn)算單元即為基2/4模塊,控制模塊可用于產(chǎn)生控制時(shí)序及地址信號(hào),以控制中間運(yùn)算過(guò)程及最后輸出結(jié)果。蝶形運(yùn)算器基4和基2的信號(hào)流如圖2所示。圖中,若A=r0+j*i0,B=r1+j*i1,C=r2+j*i2,D=r3+j*i3是要進(jìn)行變換的信號(hào),Wk0=c0+j*s0=1,Wk1=c1+j*s1,Wk2=c2+j*s2,Wk3=c3+j*s3為旋轉(zhuǎn)因子,將其分別代入圖2中的基4蝶形運(yùn)算單元,則有：A′=[r0+<r1×c1－i1×s1>+<r2×c2－i2×s2>+<r3×c3－i3×s3>]+j[i0+<i1×c1+r1×s1>+<i2×c2+r2×s2>+<i3×c3+r3×s3>]?〔4B′=[r0+<i1×c1+r1×s1－〔r2×c2－i2×s2－〔i3×c3+r3×s3>]+j[i0－〔r1×c1－i1×s1－〔i2×c2+r2×s2>+<r3×c3－i3×s3>]<5C′=[r0－〔r1×c1－i1×s1>+<r2×c2－i2×s2－〔r3×c3－i3×s3>]+j[i0－〔i1×c1+r1×s1>+<i2×c2+r2×s2－〔i3×c3+r3×s3>]〔6D′=[r0－〔i1×c1+r1×s1－〔r2×c2－i2×s2>+<i3×c3+r3×s3>]+j[i0+<r1×c1－i1×s1－〔i2×c2+r2×s2－〔r3×c3－i3×s3>]?〔7而在基2蝶形中,Wk0和Wk2的值均為1,這樣,將A,B,C和D的表達(dá)式代入圖2中的基2運(yùn)算的四個(gè)等式中,則有：A′=r0+<r1×c1－i1×s1>+j[i0+<i1×c1+r1×s1>]?〔8B′=r0－<r1×c1－i1×s1>+j[i0－〔i1×c1+r1×s1>]〔9C′=r2+<r3×c3－i3×s3>+j[i0+<i3×c3+r3×s3>]?〔10D′=r2－〔r3×c3－i3×s3>+j[i0－〔i3×c3+r3×s3>]?〔11在上述式〔4～〔11中有很多類同項(xiàng),如i1×c1+r1×s1和r1×c1－i1×s1等,它們僅僅是加減號(hào)的不同,其結(jié)構(gòu)和運(yùn)算均類似,這就為簡(jiǎn)化電路提供了可能。同時(shí),在蝶形運(yùn)算中,復(fù)數(shù)乘法可以由實(shí)數(shù)乘法以一定的格式來(lái)表示,這也為設(shè)計(jì)復(fù)數(shù)乘法器提供了一種實(shí)現(xiàn)的途徑。以基4為例,在其運(yùn)算單元中,實(shí)際上只需做三個(gè)復(fù)數(shù)乘法運(yùn)算,即只須計(jì)算BWk1、CWk2和DWk3的值即可,這樣在一個(gè)基4蝶形單元里面,最多只需要3個(gè)復(fù)數(shù)乘法器就可以了。在實(shí)際過(guò)程中,在不提高時(shí)鐘頻率下,只要將時(shí)序控制好?便可利用流水線〔Pipeline技術(shù)并只用一個(gè)復(fù)數(shù)乘法器就可完成這三個(gè)復(fù)數(shù)乘法,大大節(jié)省了硬件資源。圖2基2和基4蝶形算法的信號(hào)流圖FFT的地址FFT變換后輸出的結(jié)果通常為一特定的倒序。因此,幾級(jí)變換后對(duì)地址的控制必須準(zhǔn)確無(wú)誤。倒序的規(guī)律是和分解的方式密切相關(guān)的,以基8為例,其基本倒序規(guī)則如下：基8可以用2×2×2三級(jí)基2變換來(lái)表示,則其輸入順序則可用二進(jìn)制序列〔n1n2n3來(lái)表示,變換結(jié)束后,其順序?qū)⒆優(yōu)椤瞡3n2n1,如：X?011→x?110,即輸入順序?yàn)?,輸出時(shí)順序變?yōu)?。更進(jìn)一步,對(duì)于基16的變換,可由2×2×2×2,4×4,4×2×2等形式來(lái)構(gòu)成,相對(duì)于不同的分解形式,往往會(huì)有不同的倒序方式。以4×4為例,其輸入順序可以用二進(jìn)制序列〔n1n2n3n4來(lái)表示變換結(jié)束后,其順序可變?yōu)椤病瞡3n4〔n1n2,如：X?0111→x?1101。即輸入順序?yàn)?,輸出時(shí)順序變?yōu)?3。在2k/4k/8k的傅里葉變換中,由于要經(jīng)過(guò)多次的基4和基2運(yùn)算,因此,從每次運(yùn)算完成后到進(jìn)入下一次運(yùn)算前,應(yīng)對(duì)運(yùn)算的結(jié)果進(jìn)行倒序,以保證運(yùn)算的正確性。旋轉(zhuǎn)因子N點(diǎn)傅里葉變換的旋轉(zhuǎn)因子有著明顯的周期性和對(duì)稱性。其周期性表現(xiàn)為：FFT之所以可使運(yùn)算效率得到提高,就是利用了對(duì)稱性和周期性把長(zhǎng)序列的DFT逐級(jí)分解成幾個(gè)序列的