中考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)滿分突破（全國通用）：專題33 圖形的相似（原卷版）

專題33圖形的相似【考查題型】【知識要點】知識點一相似圖形相似圖形的概念：我們把形狀相同的圖形稱為相似圖形?！咀⒁馐马棥?）相似圖形的形狀相同，大小不一定相同，全等圖形是特殊的相似圖形；2）兩個圖形相似，其中一個圖形可以看作由另一個圖形放大或縮小得到；3）圖形的相似與圖形的位置無關(guān)。相似多邊形的概念：若兩個邊數(shù)相同的多邊形，它們的對應(yīng)角相等、對應(yīng)邊成比例，則這兩個多邊形叫做相似多邊形。相似多邊形的性質(zhì)：對應(yīng)角相等，對應(yīng)邊成比例?！咀⒁馐马棥?）相似多邊形對應(yīng)邊的比稱為相似比,一般用k表示；2）若已知四邊形與四邊形的相似比是,那么四邊形與四邊形的相似比是。知識點二比例線段的概念及性質(zhì)比例線段的定義：對于四條線段a、b、c、d，如果其中兩條線段的比（即它們的長度的比)與另兩條線段的比相等，如（即），我們就說這四段線段是成比例線段，簡稱比例線段。其中a、b、c、d叫組成比例的項；a、d叫比的外項，b、c叫比的內(nèi)項，【補充】當(dāng)比的內(nèi)項相等時，即ab=b【解題思路】1）判斷四條線段是否成比例，需要將這四條線段從小到大依次排列，再判斷前兩條線段的比與后兩條線段的比是否相等即可；2）成比例的線段是有順序的，比如：a、b、c、d是成比例的線段，則成比例線段只能寫成（即：第一條第二條=第三條第四條）比例的性質(zhì)：①基本性質(zhì)：②變形：核心內(nèi)容：③合、分比性質(zhì)：【注意】實際上，比例的合比性質(zhì)可擴展為：比例式中等號左右兩個比的前項，后項之間發(fā)生同樣和差變化比例仍成立．如：④等比性質(zhì)：如果，那么⑤黃金分割：點C把線段AB分割成AC和CB兩段,如果,那么線段AB被點C黃金分割，點C叫做線段AB的黃金分割點，AC與AB的比叫做黃金比。【注意】1）(叫做黃金分割值).簡記為：2）一條線段的黃金分割點有兩個。3）黃金三角形的概念：頂角是360的等腰三角形。4）黃金矩形的概念：寬與長的比等于黃金數(shù)的矩形?！緮U展】作一條線段的黃金分割點：如圖，已知線段AB，按照如下方法作圖：（1）經(jīng)過點B作BD⊥AB，使BD=AB.（2）連接AD，在DA上截取DE=DB.（3）在AB上截取AC=AE.則點C為線段AB的黃金分割點。知識點三平行線段成比例定理平行線分線段成比例定理:三條平行線截兩條直線,所截得的對應(yīng)線段成比例。1）已知l3∥l4∥l5,可得等2）把平行線分線段成比例的定理運用到三角形中，會出現(xiàn)下面的兩種情況：

把l4（圖1）或l3（圖2）看作平行底邊BC的直線，再根據(jù)平分線分線段成比例的定理，我們可以得出，平行于三角形一邊的直線和其兩邊相交（或其兩邊的延長線相交），所構(gòu)成的三角形和原三角形相似。知識點四相似三角形的判定相似三角形的概念：對應(yīng)角相等、對應(yīng)邊成比例的兩個三角形叫做相似三角形。相似用符號“∽”，讀作“相似于”。相似三角形的判定:判斷定理一：三邊成比例的兩個三角形相似，即：若，則∽【技巧】判斷網(wǎng)格中三角形是否相似，先運用勾股定理計算出三邊的長度，再看對應(yīng)邊的比例是否相等。判斷定理二：兩邊成比例并且夾角相等的兩個三角形相似。即：若，且∠C＝則∽判斷定理三：兩個角分別相等的兩個三角形相似。

即：若，,則∽判斷定理四：斜邊和直角邊成比例的兩個直角三角形相似。即：在中，若或,則【小結(jié)】三角形全等三角形相似兩角夾一邊對應(yīng)相等(ASA)

兩角一對邊對應(yīng)相等(AAS)

兩邊及夾角對應(yīng)相等(SAS)

三邊對應(yīng)相等(SSS)、斜邊和一直角邊相等(HL）兩角對應(yīng)相等

兩邊對應(yīng)成比例，且夾角相等

三邊對應(yīng)成比例斜邊和一直角邊對應(yīng)成比例【常見的相似三角形】見附件pdf知識點五相似三角形的性質(zhì)1）相似三角形的對應(yīng)角相等，對應(yīng)邊的比相等。2）相似三角形對應(yīng)高，對應(yīng)中線，對應(yīng)角平分線的比都等于相似比。3）相似三角形周長的比等于相似比。4）相似三角形面積比等于相似比的平方。知識點六位似位似圖形的定義:如果兩個圖形不僅是相似圖形,且對應(yīng)點連線相交于一點,對應(yīng)線段相互平行,那么這樣的兩個圖形叫做位似圖形,位似圖形對應(yīng)點連線的交點是位似中心。【注意事項】1）位似圖形是相似圖形的一種特殊形式。2）位似圖形一定是相似圖形，具有相似圖形的所有性質(zhì)，但相似圖形不一定是位似圖形。常見的位似圖形：畫位似圖形的方法：兩個位似圖形可能位于位似中心的兩側(cè)，也可能位于位似中心的同側(cè)。（即畫位似圖形時，注意關(guān)于某點的位似圖形有兩個。）判斷位似圖形的方法：首先看這兩個圖形是否相似，再看對應(yīng)點的連線是否經(jīng)過位似中心。位似圖形的性質(zhì)：1)位似圖形的對應(yīng)頂點的連線所在直線相交與一點，位似圖形的對應(yīng)邊互相平行或者共線。2)位似圖形上任意一對對應(yīng)點到位似中心的距離之比等于相似比。3)在平面直角坐標(biāo)系中，如果以原點為位似中心，畫一個與原圖形的位似圖形，使它與原圖形的相似比為k，若原圖形上點的坐標(biāo)為(x，y)，則位似圖形上與它對應(yīng)的點的坐標(biāo)為(kx，ky)或(-kx，-ky)。畫位似圖形的步驟：1）確定位似中心,找原圖形的關(guān)鍵點。2）確定位似比。3）以位似中心為端點向各關(guān)鍵點作射線。4）順次連結(jié)各截取點，即可得到要求的新圖形。平移、軸對稱、旋轉(zhuǎn)、位似的區(qū)別：平移：和原圖形一模一樣（和原圖形全等且能與原圖形重合）軸對稱：面積和原圖形一樣也是全等，和平移的不同點就是軸對稱之后的圖形不能與原圖形重合，雖然它們?nèi)龋┬D(zhuǎn)：面積和原圖形一樣，也是全等，和軸對稱的不同點是軸對稱只有一個和原圖形軸對稱的圖形，而旋轉(zhuǎn)可以旋轉(zhuǎn)出無數(shù)個。位似：位似出的圖形只和原圖形的角相等邊就不一定相等了?！究偨Y(jié)】平移軸對稱旋轉(zhuǎn)位似原圖形全等全等全等相似考查題型一比例的性質(zhì)典例1．（2022·江蘇鎮(zhèn)江·統(tǒng)考中考真題）《九章算術(shù)》中記載，戰(zhàn)國時期的銅衡桿，其形式既不同于天平衡桿，也異于稱桿衡桿正中有拱肩提紐和穿線孔，一面刻有貫通上、下的十等分線．用該衡桿稱物，可以把被稱物與砝碼放在提紐兩邊不同位置的刻線上，這樣，用同一個砝碼就可以稱出大于它一倍或幾倍重量的物體．圖為銅衡桿的使用示意圖，此時被稱物重量是砝碼重量的_________倍．變式1-1．（2021·黑龍江大慶·統(tǒng)考中考真題）已知，則________變式1-3．（2021·四川內(nèi)江·統(tǒng)考中考真題）已知非負實數(shù)，，滿足，設(shè)的最大值為，最小值為，則的值為__．考查題型二成比例線段典例2．（2022·湖南衡陽·統(tǒng)考中考真題）在設(shè)計人體雕像時，使雕像上部（腰部以上）與下部（腰部以下）的高度比，等于下部與全部的高度比，可以增加視覺美感．如圖，按此比例設(shè)計一座高度為的雷鋒雕像，那么該雕像的下部設(shè)計高度約是（

）（結(jié)果精確到．參考數(shù)據(jù)：，，）A． B． C． D．變式2-1．（2021·四川德陽·統(tǒng)考中考真題）我們把寬與長的比是的矩形叫做黃金矩形．黃金矩形給我們以協(xié)調(diào)、勻稱的美感，世界各國許多著名的建筑，為取得最佳的視覺效果，都采用了黃金矩形的設(shè)計．已知四邊形ABCD是黃金矩形，邊AB的長度為1，則該矩形的周長為__________________．變式2-2．（2022·湖南常德·統(tǒng)考中考真題）在四邊形中，的平分線交于，延長到使，是的中點，交于，連接．(1)當(dāng)四邊形是矩形時，如圖，求證：①；②．(2)當(dāng)四邊形是平行四邊形時，如圖，（1）中的結(jié)論都成立，請給出結(jié)論②的證明．考查題型三黃金分割典例3．（2022·山西·中考真題）神奇的自然界處處蘊含著數(shù)學(xué)知識．動物學(xué)家在鸚鵡螺外殼上發(fā)現(xiàn)，其每圈螺紋的直徑與相鄰螺紋直徑的比約為0.618．這體現(xiàn)了數(shù)學(xué)中的（

）A．平移 B．旋轉(zhuǎn) C．軸對稱 D．黃金分割變式3-1（2021·四川巴中·統(tǒng)考中考真題）兩千多年前，古希臘數(shù)學(xué)家歐多克索斯發(fā)現(xiàn)了黃金分割，即：如圖，點P是線段AB上一點（AP＞BP），若滿足，則稱點P是AB的黃金分割點．黃金分割在日常生活中處處可見，例如：主持人在舞臺上主持節(jié)目時，站在黃金分割點上，觀眾看上去感覺最好．若舞臺長20米，主持人從舞臺一側(cè)進入，設(shè)他至少走x米時恰好站在舞臺的黃金分割點上，則x滿足的方程是（）A．（20﹣x）2＝20x B．x2＝20（20﹣x）C．x（20﹣x）＝202 D．以上都不對變式3-2（2020·甘肅金昌·統(tǒng)考中考真題）生活中到處可見黃金分割的美，如圖，在設(shè)計人體雕像時，使雕像的腰部以下與全身的高度比值接近0．618，可以增加視覺美感，若圖中為2米，則約為（

）A．1．24米 B．1．38米 C．1．42米 D．1．62米變式3-3（2022·湖北黃石·統(tǒng)考中考真題）如圖，圓中扇子對應(yīng)的圓心角（）與剩余圓心角的比值為黃金比時，扇子會顯得更加美觀，若黃金比取0.6，則的度數(shù)是__________．變式3-4（2022·陜西·統(tǒng)考中考真題）在20世紀70年代，我國著名數(shù)學(xué)家華羅庚教授將黃金分割法作為一種“優(yōu)選法”，在全國大規(guī)模推廣，取得了很大成果．如圖，利用黃金分割法，所做將矩形窗框分為上下兩部分，其中E為邊的黃金分割點，即．已知為2米，則線段的長為______米．考查題型四相似多邊形的性質(zhì)典例4．（2022·廣西梧州·統(tǒng)考中考真題）如圖，以點O為位似中心，作四邊形的位似圖形﹐已知，若四邊形的面積是2，則四邊形的面積是（

）A．4 B．6 C．16 D．18變式4-1（2021·廣西百色·統(tǒng)考中考真題）下列四個命題：①直徑是圓的對稱軸；②若兩個相似四邊形的相似比是1：3，則它們的周長比是1：3，面積比是1：6；③同一平面內(nèi)垂直于同一直線的兩條直線互相平行；④對角線相等且互相垂直的平行四邊形是正方形．其中真命題有（

）A．①③ B．①④ C．③④ D．②③④變式4-2（2021·黑龍江牡丹江·統(tǒng)考中考真題）如圖，矩形OABC的面積為36，它的對角線OB與雙曲線y相交于點D，且OD：OB＝2：3，則k的值為（

）A．12 B．﹣12 C．16 D．﹣16考查題型五平行線分線段成比例定理典例5（2022·四川巴中·統(tǒng)考中考真題）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，為的邊上一點，，過作交于點，、兩點縱坐標(biāo)分別為1、3，則點的縱坐標(biāo)為（

）A．4 B．5 C．6 D．7變式5-1（2022·山東東營·統(tǒng)考中考真題）如圖，點D為邊上任一點，交于點E，連接相交于點F，則下列等式中不成立的是（

）A． B． C． D．變式5-2（2022·浙江麗水·統(tǒng)考中考真題）如圖，五線譜是由等距離、等長度的五條平行橫線組成的，同一條直線上的三個點A，B，C都在橫線上．若線段，則線段的長是（

）A． B．1 C． D．2變式5-3（2021·廣西貴港·統(tǒng)考中考真題）如圖，在正方形ABCD中，E，F(xiàn)是對角線AC上的兩點，且EF＝2AE＝2CF，連接DE并延長交AB于點M，連接DF并延長交BC于點N，連接MN，則（

）A． B． C．1 D．變式5-4（2022·湖北襄陽·統(tǒng)考中考真題）如圖，在△ABC中，D是AC的中點，△ABC的角平分線AE交BD于點F，若BF：FD＝3：1，AB+BE＝3，則△ABC的周長為_____．變式5-5（2022·上?！そy(tǒng)考中考真題）如圖，在△ABC中，∠A=30°，∠B=90°，D為AB中點，E在線段AC上，，則_____．變式5-6（2021·遼寧錦州·統(tǒng)考中考真題）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，?OABC的頂點A，B在第一象限內(nèi)，頂點C在y軸上，經(jīng)過點A的反比例函數(shù)y＝（x＞0）的圖象交BC于點D．若CD＝2BD，?OABC的面積為15，則k的值為______．考查題型六相似三角形的判定典例6．（2022·山東菏澤·統(tǒng)考中考真題）如圖，在中，，E是邊AC上一點，且，過點A作BE的垂線，交BE的延長線于點D，求證：．變式6-1（2022·江蘇鹽城·統(tǒng)考中考真題）如圖，在與中，點、分別在邊、上，且，若___________，則．請從①；②；③這三個選項中選擇一個作為條件（寫序號），并加以證明．變式6-2（2022·山東泰安·統(tǒng)考中考真題）如圖，矩形中，點E在上，，與相交于點O．與相交于點F．(1)若平分，求證：；(2)找出圖中與相似的三角形，并說明理由;(3)若，，求的長度．變式6-3（2020·廣西柳州·統(tǒng)考中考真題）如圖，AB為⊙O的直徑，C為⊙O上的一點，連接AC、BC，OD⊥BC于點E，交⊙O于點D，連接CD、AD，AD與BC交于點F，CG與BA的延長線交于點G．（1）求證：△ACD∽△CFD；（2）若∠CDA＝∠GCA，求證：CG為⊙O的切線；（3）若sin∠CAD＝，求tan∠CDA的值．變式6-4（2020·湖北荊州·統(tǒng)考中考真題）如圖矩形ABCD中，AB=20，點E是BC上一點，將沿著AE折疊，點B剛好落在CD邊上的點G處，點F在DG上，將沿著AF折疊，點D剛好落在AG上點H處，此時．（1）求證：（2）求AD的長；（3）求的值．考查題型七相似三角形的性質(zhì)典例7．（2022·甘肅蘭州·統(tǒng)考中考真題）已知，，若，則（

）A．4 B．6 C．8 D．16變式7-1（2022·云南·中考真題）如圖，在ABC中，D、E分別為線段BC、BA的中點，設(shè)ABC的面積為S，EBD的面積為S．則=（

）A． B． C． D．變式7-2（2022·江蘇連云港·統(tǒng)考中考真題）的三邊長分別為2，3，4，另有一個與它相似的三角形，其最長邊為12，則的周長是（

）A．54 B．36 C．27 D．21變式7-3（2022·山東威?！そy(tǒng)考中考真題）由12個有公共頂點O的直角三角形拼成如圖所示的圖形，∠AOB＝∠BOC＝∠COD＝…＝∠LOM＝30°．若S△AOB＝1，則圖中與△AOB位似的三角形的面積為(

)A．（）3 B．（）7 C．（）6 D．（）6變式7-4．（2022·湖南常德·統(tǒng)考中考真題）如圖，已知是內(nèi)的一點，，，若的面積為2，，，則的面積是________．變式7-5（2022·浙江杭州·統(tǒng)考中考真題）如圖，在ABC中，點D，E，F(xiàn)分別在邊AB，AC，BC上，連接DE，EF，已知四邊形BFED是平行四邊形，．(1)若，求線段AD的長．(2)若的面積為1，求平行四邊形BFED的面積．考查題型八利用相似三角形相關(guān)知識解決實際問題典例8．（2022·湖北十堰·統(tǒng)考中考真題）如圖，某零件的外徑為10cm，用一個交叉卡鉗（兩條尺長AC和BD相等）可測量零件的內(nèi)孔直徑AB．如果OA：OC=OB：OD=3，且量得CD=3cm，則零件的厚度x為（

）A． B． C． D．變式8-1（2022·廣西賀州·統(tǒng)考中考真題）某餐廳為了追求時間效率，推出一種液體“沙漏”免單方案（即點單完成后，開始倒轉(zhuǎn)“沙漏”，“沙漏”漏完前，客人所點的菜需全部上桌，否則該桌免費用餐）．“沙漏”是由一個圓錐體和一個圓柱體相通連接而成．某次計時前如圖（1）所示，已知圓錐體底面半徑是，高是；圓柱體底面半徑是，液體高是．計時結(jié)束后如圖（2）所示，求此時“沙漏”中液體的高度為（

）A． B． C． D．變式8-2（2022·江蘇鹽城·統(tǒng)考中考真題）“跳眼法”是指用手指和眼睛估測距離的方法步驟：第一步：水平舉起右臂，大拇指緊直向上，大臂與身體垂直；第二步：閉上左眼，調(diào)整位置，使得右眼、大拇指、被測物體在一條直線上；第三步：閉上右眼，睜開左眼，此時看到被測物體出現(xiàn)在大拇指左側(cè)，與大拇指指向的位置有一段橫向距離，參照被測物體的大小，估算橫向距離的長度；第四步：將橫向距離乘以10（人的手臂長度與眼距的比值一般為10），得到的值約為被測物體離觀測，點的距離值．如圖是用“跳眼法”估測前方一輛汽車到觀測點距離的示意圖，該汽車的長度大約為4米，則汽車到觀測點的距離約為（

）A．40米 B．60米 C．80米 D．100米變式8-3（2022·廣西·中考真題）數(shù)學(xué)興趣小組通過測量旗桿的影長來求旗桿的高度，他們在某一時刻測得高為2米的標(biāo)桿影長為1.2米，此時旗桿影長為7.2米，則旗桿的高度為______米．變式8-4（2022·廣西·統(tǒng)考中考真題）古希臘數(shù)學(xué)家泰勒斯曾利用立桿測影的方法，在金字塔影子的頂部直立一根木桿，借助太陽光測金字塔的高度．如圖，木桿EF長2米，它的影長FD是4米，同一時刻測得OA是268米，則金字塔的高度BO是________米．變式8-5（2022·江蘇徐州·統(tǒng)考中考真題）如圖，公園內(nèi)有一個垂直于地面的立柱AB，其旁邊有一個坡面，坡角．在陽光下，小明觀察到在地面上的影長為，在坡面上的影長為．同一時刻，小明測得直立于地面長60cm的木桿的影長為90cm（其影子完全落在地面上）．求立柱AB的高度．變式8-6（2022·內(nèi)蒙古鄂爾多斯·統(tǒng)考中考真題）旗桿及升旗臺的剖面如圖所示，MN、CD為水平線，旗桿AB⊥CD于點B．某一時刻，旗桿AB的一部分影子BD落在CD上，另一部分影子DE落在坡面DN上，已知BD＝1.2m，DE＝1.4m．同一時刻，測得豎直立在坡面DN上的1m高的標(biāo)桿影長為0.25m（標(biāo)桿影子在坡面DN上），此時光線AE與水平線的夾角為80.5°，求旗桿AB的高度．（參考數(shù)據(jù)：sin80.5°≈0.98，cos80.5°≈0.17，tan80.5°≈6）變式8-7（2022·上?！そy(tǒng)考中考真題）我們經(jīng)常會采用不同方法對某物體進行測量，請測量下列燈桿AB的長．(1)如圖1所示，將一個測角儀放置在距離燈桿AB底部a米的點D處，測角儀高為b米，從C點測得A點的仰角為α，求燈桿AB的高度．（用含a，b，ａ的代數(shù)式表示）(2)我國古代數(shù)學(xué)家趙爽利用影子對物體進行測量的方法，在至今仍有借鑒意義圖2所示，現(xiàn)將一高度為2米的木桿CG放在燈桿AB前，測得其影長CH為1米，再將木桿沿著BC方向移動1.8米至DE的位置，此時測得其影長DF為3米，求燈桿AB的高度變式8-8（2022·江蘇連云港·統(tǒng)考中考真題）我市的花果山景區(qū)大圣湖畔屹立著一座古塔——阿育王塔，是蘇北地區(qū)現(xiàn)存最高和最古老的寶塔．小明與小亮要測量阿育王塔的高度，如圖所示，小明在點處測得阿育王塔最高點的仰角，再沿正對阿育王塔方向前進至處測得最高點的仰角，；小亮在點處豎立標(biāo)桿，小亮的所在位置點、標(biāo)桿頂、最高點在一條直線上，，．（注：結(jié)果精確到，參考數(shù)據(jù)：，，）(1)求阿育王塔的高度；(2)求小亮與阿育王塔之間的距離．考查題型九位似圖形典例9．（2022·寧夏·中考真題）如圖，將三角尺直立舉起靠近墻面，打開手機手電筒照射三角尺，在墻面上形成影子．則三角尺與影子之間屬于以下哪種圖形變換（

）A．平移 B．軸對稱 C．旋轉(zhuǎn) D．位似變式9-1（2022·廣西·中考真題）已知△ABC與△A1B1C1是位似圖形，位似比是1：3，則△ABC與△A1B1C1的面積比（

）A．1：3 B．1：6 C．1：9 D．3：1變式9-2（2022·重慶·統(tǒng)考中考真題）如圖，與位似，點O是它們的位似中心，且位似比為1∶2，則與的周長之比是（

）A．1∶2 B．1∶4 C．1∶3 D．1∶9變式9-3（2022·四川成都·統(tǒng)考中考真題）如圖，和是以點為位似中心的位似圖形．若，則與的周長比是_________．考查題型十坐標(biāo)系與位似中心典例10．（2021·山東東營·統(tǒng)考中考真題）如圖，中，A、B兩個頂點在x軸的上方，點C的坐標(biāo)是（1，0），以點C為位似中心，在x軸的下方作的位似圖形，并把的邊長放大到原來的2倍，設(shè)點B的橫坐標(biāo)是a，則點B的對應(yīng)點的橫坐標(biāo)是（

）A． B． C． D．變式10-1（2021·重慶·統(tǒng)考中考真題）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，將以原點O為位似中心放大后得到，若，，則與的相似比是（

）A．2：1 B．1：2 C．3：1 D．1：3變式10-2（2021·浙江嘉興·統(tǒng)考中考真題）如圖，在直角坐標(biāo)系中，與是位似圖形，則位似中心的坐標(biāo)為__________________．變式10-3（2022·廣西河池·統(tǒng)考中考真題）如圖、在平面直角坐標(biāo)系中，△ABC的三個頂點的坐標(biāo)分別為A（4，1），B（2，3），C（1，2）．(1)畫出與△A