第8章相關回歸分析

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第一章統計學導論第二章統計調查第三章統計整理第四章綜合指標第五章動態(tài)數列第六章統計指數第七章抽樣推斷第八章相關回歸分析

第八章相關回歸分析內容提要本章內容第一節(jié)

相關分析第二節(jié)回歸分析本章重點相關系數的計算及回歸方程的建立本章難點相關系數的計算及回歸方程的建立具體要求理解－相關分析的有關概念、特點等。掌握－相關系數的計算及回歸方程的建立內容提要第一節(jié)相關分析一、相關分析概述

（一）相關關系的概念

※廣義的相關關系就是指社會經濟現象中普遍存在的依存關系和制約關系。這一點可以從唯物辯證法的高度去理解。而且社會經濟現象之間的這種依存制約關系通常都可以通過數量關系表現出來。但統計所指的不是廣義的相關關系，而是狹義的相關關系。

※狹義的相關關系是指現象之間確實存在的，而關系數值不固定的相互依存關系。

※從廣義的相關關系概念出發(fā)，社會經濟現象普遍存在的依存制約關系可以區(qū)分為兩大類型。

一是函數關系，即現象之間存在著嚴格的關系值確定的依存關系。函數關系的特點如下：1、在這種關系中，對于某一變量的每一個數值，都有另一個變量的確定值與之相對應。2、這種關系一般都可以用一個數學表達式反映出來?！緟?69面例子】

二是相關關系，即前面所指的狹義相關關系。這種關系也就包括書中170面所講到的因果關系（單向因果和雙向因果）和關聯關系（同因異果和異果同因）。此相關關系才是統計上所指的相關關系。相關關系的特點如下：

1、它是指現象之間確實存在著數量上的相互依存關系。對具有這樣關系的兩個變量，要能區(qū)分自變量和因變量。

2、現象之間的數量依存關系的具體關系值不是固定的，即自變量與因變量之間并非一一對應。

【參書中例子】※相關關系和函數關系有區(qū)別也有聯系：1、實際現象中，函數關系往往通過相關關系表現出來。2、在研究相關關系時，常常使用函數關系的形式來表現，它是相關分析的工具。

（二）相關關系的種類

1、按相關關系涉及的因素多少劃分

（1）一元（單）相關：兩個因素之間的相關。

（2）多元（復）相關：三個及三個以上因素之間的相關。2、按相關關系變化的方向劃分

（1）正相關：變量的變動方向一致（同增同減）。

（2）負相關：變量的變動方向相反（一增一減）。3、按相關關系的表現形態(tài)劃分

（1）線性(直線)相關：在坐標圖上兩個變量對應的散布點近似地呈直線形式。

（2）非線性(曲線)相關：在坐標圖上兩個變量對應的散布點近似地呈某種曲線形式。

xyyx例：線性相關非線性相關4、按相關的程度劃分

（1）完全相關：即變量之間存在函數關系。

（2）不完全相關：即狹義上的相關關系。

（3）不相關：即變量相互獨立，互不影響。（三）相關分析的主要內容相關分析亦可從廣義和狹義兩方面理解，從廣義上來說，相關分析包括：

1、狹義相關分析：僅研究變量或現象之間關系的緊密程度及方向。2、回歸分析：即用數學式子表現自變量和因變量之間的相關關系。相關和回歸既有區(qū)別又有聯系，本節(jié)上述內容是把二者合在一起討論，下面將分開討論。二、簡單線性相關分析即：線性單相關分析或直線相關分析

（一）相關關系的一般判斷：即初步定性分析現象之間有無相關關系。若有，即可采用相關表、相關圖和計算相關系數的方法進一步精確定量分析。

（二）相關了解相關關系的形式和程度。表：用于初步

1、簡單相關表2、分組相關表（1）單變量分組相關表（2）雙變量分組相關表（二）相關圖：相關表上資料的圖示化。其圖形的表現形式有很多種。以上相關表和相關圖對相關關系的分析是初步的，不精確的，沒有也不能從數量上表現相關關系的密切程度。

（三）相關系數的計算和應用

1、含義：相關系數是一個用于從定量方面測定兩個變量之間線性相關程度和方向的最重要的指標。即用于線性單相關（簡單線性相關或直線相關）的測定。

2、相關系數的計算：

（1）基本計算公式（“積差法”公式）

由相關系數的基本計算公式可變化為：

（2）積差法相關系數的簡捷計算公式....①已知：因為：....②即：

同理：....④....③

把②③④式代入①式，即可得到積差法相關系數的簡捷計算公式：利用此公式不用計算x和y的平均值，直接用x和y的值計算即可

3、相關系數的特點及應用

（1）相關系數的取值范圍為：（2）當γ為正值時，兩變量呈正相關；當γ為負值時，兩變量呈負相關。

（3）相關系數γ的絕對值愈大，表示兩變量之間相關程度愈密切；γ＝﹢1為完全正相關；γ＝﹣1為完全負相關。

（4）相關系數γ的絕對值愈小，愈接近0，表示兩變量之間相關程度愈低，當γ＝0時，兩變量完全沒有直線相關。（5）線性相關的一般判斷準則：

使用此原則的前提條件是計算相關系數的原始根據要比較多，否則相關系數的可信程度會降低。

※以上相關系數的計算等內容可參書181－182頁的例子或下面的例子。

[例]

為了解營業(yè)員每人月平均銷售額（萬元）和利潤率（%）之間的關系，特從100家商店中隨機抽取10家，得到如下資料，試計算樣本相關系數。計算過程如下：

因此：

※人均銷售額與利潤率之間存在著高度的正相關關系。第二節(jié)回歸分析一、回歸分析概述

1、概念：回歸分析就是對具有相關關系的兩個或兩個以上變量之間數量變化的一般關系進行測定，確定一個相應的數學表達式，以便從一個已知量來推測另一個未知量，為估計預測提供一個重要的方法。

※關于回歸方程(回歸模型)和回歸曲線(配合曲線)回歸方程：回歸分析中建立的反映變量間相關關系的數學表達式?；貧w曲線：根據回歸方程配合得到的曲線，其表現形式有直線和曲線等。2、回歸分析與相關分析的比較

（1）回歸和相關都是研究兩個變量相互關系的分析方法。但相關分析是研究兩個變量之間相關的方向和相關的密切程度，它不能指出兩變量相互關系的具體形式，也無法從一個變量的變化來推測另一個變量的變化關系。而回歸分析則是通過一定的數學方程來反映變量之間相互關系的具體形式，以便從一個已知量來推測另一個未知量，為估算預測提供一個重要的方法。

（2）相關分析既可以研究因果關系的現象也可以研究共變的現象，不必確定兩變量中誰是自變量，誰是因變量。而回歸分析是研究兩變量具有因果關系的數學形式，因此必須事先確定變量中自變量與因變量的地位。

（3）在相關分析中計算相關系數的兩變量是對等的，改變兩變量的地位并不影響相關系數的數值。在回歸分析中因變量是隨機的，自變量是可控制的解釋變量，不是隨機變量，二者地位不對等。因此回歸分析只能用自變量來估計因變量，而不允許由因變量來推測自變量。

（4）回歸分析和相關分析都屬于廣義的相關分析，二者是互相補充、密切聯系的。相關分析需要回歸分析來表明現象數量相關的具體形式，而回歸分析則應該建立在相關分析的基礎上。依靠相關分析表明現象的數量變化具有密切相關，進行回歸分析求其相關的具體形式才有意義。在相關程度很低的情況下，回歸函數的表達式代表性就很差。3、回歸分析的種類（1）按自變量的多少分

①簡單（一元）回歸：自變量只有一個。[例]

y=a+bx一元回歸方程

②復（多元）回歸：自變量為2個或2個以上。

[例]

y=0+1x1+2x2+…+nxn

（2）按回歸方程式的特征分①線性回歸：因變量為自變量的線性函數。

[例]y=a+bx一元線性回歸方程※

②非線性回歸：因變量為自變量的非線性函數。

[例]4、回歸分析的步驟（內容）

（1）確定自變量和因變量；[例]糧食產量（y）施肥量（x）；消費支出（y）國民收入（x）；

(2）確定回歸方程；※

（3）統計檢驗；（4）預測或控制。[例]消費與收入的回歸方程：y=a+bx=200+0.15x已知x確定y：估計或預測已知y確定x：控制二、簡單線性回歸分析

即：一元線性回歸分析或直線回歸分析（一）簡單線性回歸分析的特點

簡單線性回歸分析是回歸分析中最簡單最基本的一種，因此前面“回歸分析與相關分析的比較”中涉及到的回歸分析的特點同樣適用于它。其它的特點有：1、在簡單回歸分析中，自變量只有一個，所擬合的回歸方程實際上就是直線方程。

2、在現象互為根據的情況下，可以有兩個回歸方程－－y倚x的方程和x倚y的方程。（二）直線回歸方程的確定

※建立直線回歸方程是直線回歸分析中最為關鍵最為重要的事情，其根本的任務就是設法在分散的具有線性關系的相關點之間配合一條最優(yōu)的直線，以表明兩變量之間具體的變動關系，并可以據以進行預測等。

那么如何來建立或者說找到一條這樣的直線呢？首先：用作相關圖或計算相關系數的辦法確定變量間是不是確實存在大致的線性相關關系。