無(wú)窮大量與無(wú)窮小量與極限的運(yùn)算法則

PAGE第PAGE４頁(yè)共6頁(yè)第五講Ⅰ授課題目：§2.4無(wú)窮大量與無(wú)窮小量；§2.5極限的運(yùn)算法則。Ⅱ教學(xué)目的與要求：1、理解無(wú)窮大與無(wú)窮小的概念，弄清無(wú)窮大與無(wú)窮小的關(guān)系；2、掌握極限的運(yùn)算法則。Ⅲ教學(xué)重點(diǎn)與難點(diǎn)：1、無(wú)窮大與無(wú)窮小的概念、相互關(guān)系；2、用極限的運(yùn)算法則求極限。Ⅳ講授內(nèi)容：§2.4無(wú)窮大量與無(wú)窮小量一、無(wú)窮大的概念：引例：討論函數(shù)，當(dāng)時(shí)的變化趨勢(shì)。當(dāng)時(shí)，越來(lái)越大(任意大)，即：，要，也即：，，當(dāng)時(shí)，有：。定義2.9：，變量在其變化過(guò)程中，總有一時(shí)刻，在那個(gè)時(shí)刻以后，成立，則稱變量是無(wú)窮大量，或稱變量趨于無(wú)窮大，記：。如：，，。注1.若：，則習(xí)慣地稱此時(shí)的極限為無(wú)窮(大)；2.無(wú)窮大不能與很大的數(shù)混淆；3.無(wú)窮大與無(wú)界變量的區(qū)別；例如：當(dāng)時(shí)，，無(wú)界，但非無(wú)窮大，時(shí)，為有限數(shù)。例1函數(shù)又當(dāng)時(shí)，此函數(shù)是否為無(wú)窮大？為什么？解用反證法若：當(dāng)時(shí)，非無(wú)窮大，，取，當(dāng)充分大時(shí)必有，而與(1)式矛盾。時(shí)，，非無(wú)窮大。4.無(wú)窮大運(yùn)算的結(jié)論：(1)有界變量與無(wú)窮大量之和是無(wú)窮大量；(2)兩個(gè)無(wú)窮大量之積是無(wú)窮大量；(3)有限個(gè)無(wú)窮大量之積是無(wú)窮大量。二、無(wú)窮小量：1.概念：定義2.10以零為極限的變量稱為無(wú)窮小量。例如：，則稱時(shí)，變量是無(wú)窮小量。注無(wú)窮小量非很小的數(shù)，但零是可作為無(wú)窮小量的唯一的數(shù)。2.兩個(gè)重要結(jié)論：結(jié)論1定理2.9，，。例如：，，而：，。結(jié)論2定理2.10若：，且：，推論若：為常數(shù)，。例如：，，。三、無(wú)窮大量與無(wú)窮小量的關(guān)系：定理2.11若：，；若：。例如：，。注無(wú)窮大、無(wú)窮小與極限過(guò)程有關(guān)。四、無(wú)窮小的階(無(wú)窮小的比較)：1.概念：定義2.11設(shè)是關(guān)于同一過(guò)程的無(wú)窮小，也是關(guān)于同一過(guò)程的極限，若：，則稱是比較高階的無(wú)窮小，記：；若：，則稱是比低階的無(wú)窮小；推論5，()，。定理2.15若：，。例1求：。解注若：是一多項(xiàng)式，則：。例2求：若：是。解注若：是多項(xiàng)式，則：=。例3研究：解，。例4求：。解例5求：。()解例6求：。解例7求：。解例8求：。解例9求：。解注(是常數(shù)，且：，)。例10已知：，研究：，，。解，，；又：；。例11求：解。例12求：解====。Ⅴ小結(jié)與提問(wèn):1.無(wú)窮小與無(wú)窮大是相對(duì)于過(guò)程而言的主要內(nèi)容：兩個(gè)定義，三個(gè)定理，一個(gè)推論；幾點(diǎn)注意：五點(diǎn)注意。2.無(wú)窮小的階意義：同一過(guò)程的無(wú)窮小的比較，比較趨于零的快慢；應(yīng)用：等價(jià)無(wú)窮小在求極限中有非常巧妙的應(yīng)用。3.極限的運(yùn)算法則在極限存