分解因式知識(shí)點(diǎn)總結(jié)及例題

第二章分解因式一.分解因式1.把一個(gè)多項(xiàng)式化成幾個(gè)整式的積的形式,這種變形叫做把這個(gè)多項(xiàng)式分解因式.2.因式分解與整式乘法是互逆關(guān)系。因式分解與整式乘法的區(qū)別和聯(lián)系:(1)整式乘法是把幾個(gè)整式相乘,化為一個(gè)多項(xiàng)式;(2)因式分解是把一個(gè)多項(xiàng)式化為幾個(gè)因式相乘.二.提公共因式法1.如果一個(gè)多項(xiàng)式的各項(xiàng)含有公因式,那么就可以把這個(gè)公因式提出來,從而將多項(xiàng)式化成兩個(gè)因式乘積的形式.這種分解因式的方法叫做提公因式法.如:2.概念內(nèi)涵:(1)因式分解的最后結(jié)果應(yīng)當(dāng)是“積”;(2)公因式可能是單項(xiàng)式,也可能是多項(xiàng)式;(3)提公因式法的理論依據(jù)是乘法對(duì)加法的分配律,即:3.易錯(cuò)點(diǎn)點(diǎn)評(píng):(1)注意項(xiàng)的符號(hào)與冪指數(shù)是否搞錯(cuò);(2)公因式是否提“干凈”;(3)多項(xiàng)式中某一項(xiàng)恰為公因式,提出后,括號(hào)中這一項(xiàng)為+1,不漏掉.三.運(yùn)用公式法1.如果把乘法公式反過來,就可以用來把某些多項(xiàng)式分解因式.這種分解因式的方法叫做運(yùn)用公式法.2.主要公式:(1)平方差公式:(2)完全平方公式:補(bǔ)充：歐拉公式：特別地：（1）當(dāng)時(shí)，有（2）當(dāng)時(shí)，歐拉公式變?yōu)閮蓴?shù)立方和公式。3.因式分解要分解到底.如就沒有分解到底.4.運(yùn)用公式法:(1)平方差公式:①應(yīng)是二項(xiàng)式或視作二項(xiàng)式的多項(xiàng)式;②二項(xiàng)式的每項(xiàng)(不含符號(hào))都是一個(gè)單項(xiàng)式(或多項(xiàng)式)的平方;③二項(xiàng)是異號(hào).(2)完全平方公式:①應(yīng)是三項(xiàng)式;②其中兩項(xiàng)同號(hào),且各為一整式的平方;③還有一項(xiàng)可正負(fù),且它是前兩項(xiàng)冪的底數(shù)乘積的2倍.5.因式分解的思路與解題步驟:(1)先看各項(xiàng)有沒有公因式,若有,則先提取公因式;(2)再看能否使用公式法;(3)用分組分解法,即通過分組后提取各組公因式或運(yùn)用公式法來達(dá)到分解的目的;(4)因式分解的最后結(jié)果必須是幾個(gè)整式的乘積,否則不是因式分解;(5)因式分解的結(jié)果必須進(jìn)行到每個(gè)因式在有理數(shù)范圍內(nèi)不能再分解為止.四.分組分解法:1.分組分解法:利用分組來分解因式的方法叫做分組分解法.如:2.概念內(nèi)涵:分組分解法的關(guān)鍵是如何分組,要嘗試通過分組后是否有公因式可提,并且可繼續(xù)分解,分組后是否可利用公式法繼續(xù)分解因式.3.注意:分組時(shí)要注意符號(hào)的變化.五.十字相乘法:1.對(duì)于二次三項(xiàng)式,將a和c分別分解成兩個(gè)因數(shù)的乘積,,,且滿足,往往寫成的形式,將二次三項(xiàng)式進(jìn)行分解.如:2.二次三項(xiàng)式的分解:3.規(guī)律內(nèi)涵:(1)理解:把分解因式時(shí),如果常數(shù)項(xiàng)q是正數(shù),那么把它分解成兩個(gè)同號(hào)因數(shù),它們的符號(hào)與一次項(xiàng)系數(shù)p的符號(hào)相同.(2)如果常數(shù)項(xiàng)q是負(fù)數(shù),那么把它分解成兩個(gè)異號(hào)因數(shù),其中絕對(duì)值較大的因數(shù)與一次項(xiàng)系數(shù)p的符號(hào)相同,對(duì)于分解的兩個(gè)因數(shù),還要看它們的和是不是等于一次項(xiàng)系數(shù)p.4.易錯(cuò)點(diǎn)點(diǎn)評(píng):(1)十字相乘法在對(duì)系數(shù)分解時(shí)易出錯(cuò);(2)分解的結(jié)果與原式不等,這時(shí)通常采用多項(xiàng)式乘法還原后檢驗(yàn)分解的是否正確.提公因式法1.把下列各式因式分解（1）（2）2.利用提公因式法簡(jiǎn)化計(jì)算過程例：計(jì)算3.在多項(xiàng)式恒等變形中的應(yīng)用例：不解方程組，求代數(shù)式的值。4.在代數(shù)證明題中的應(yīng)用例：證明：對(duì)于任意自然數(shù)n，一定是10的倍數(shù)。5、中考點(diǎn)撥：例1。因式分解例2．分解因式：題型展示：例1.計(jì)算：例2.已知：（b、c為整數(shù)）是及的公因式，求b、c的值。例3.設(shè)x為整數(shù)，試判斷是質(zhì)數(shù)還是合數(shù)，請(qǐng)說明理由?！緦?shí)戰(zhàn)模擬】1.分解因式：（1）（2）（n為正整數(shù)）（3）2.計(jì)算：的結(jié)果是（）A. B. C. D.3.已知x、y都是正整數(shù)，且，求x、y。4.證明：能被45整除。5.化簡(jiǎn)：，且當(dāng)時(shí)，求原式的值。公式法【分類解析】1.把分解因式的結(jié)果是（）A. B.C. D.2.在簡(jiǎn)便計(jì)算、求代數(shù)式的值、解方程、判斷多項(xiàng)式的整除等方面的應(yīng)用例：已知多項(xiàng)式有一個(gè)因式是，求的值。3.在幾何題中的應(yīng)用。例：已知是的三條邊，且滿足，試判斷的形狀。4.在代數(shù)證明題中應(yīng)用例：兩個(gè)連續(xù)奇數(shù)的平方差一定是8的倍數(shù)。5、中考點(diǎn)撥：例1：因式分解：________。例2：分解因式：_________。題型展示：例1.已知：，求的值。例2.已知，求證：例3.若，求的值。【實(shí)戰(zhàn)模擬】1.分解因式：（1）（2）（3）2.已知：，求的值。3.若是三角形的三條邊，求證：4.已知：，求的值。5.已知是不全相等的實(shí)數(shù)，且，試求（1）的值；（2）的值。分組分解法【分類解析】1.在數(shù)學(xué)計(jì)算、化簡(jiǎn)、證明題中的應(yīng)用例1.把多項(xiàng)式分解因式，所得的結(jié)果為（）例2.分解因式2.在幾何學(xué)中的應(yīng)用例：已知三條線段長(zhǎng)分別為a、b、c，且滿足證明：以a、b、c為三邊能構(gòu)成三角形3.在方程中的應(yīng)用例：求方程的整數(shù)解4、中考點(diǎn)撥例1.分解因式：_____________。例2．分解因式：____________例3.分解因式：____________5、題型展示：例1.分解因式：例2.已知：，求ab+cd的值。例3.分解因式：【實(shí)戰(zhàn)模擬】1.填空題：2.已知：3.分解因式：4.已知：，試求A的表達(dá)式。5.證明：十字相乘法【分類解析】1.在方程、不等式中的應(yīng)用例1.已知：，求x的取值范圍。例2.如果能分解成兩個(gè)整數(shù)系數(shù)的二次因式的積，試求m的值，并把這個(gè)多項(xiàng)式分解因式。2.在幾何學(xué)中的應(yīng)用例.已知：長(zhǎng)方形的長(zhǎng)、寬為x、y，周長(zhǎng)為16cm，且滿足，求長(zhǎng)方形的面積。3、在代數(shù)證明題中的應(yīng)用例.證明：若是7的倍數(shù)，其中x，y都是整數(shù)，則是49的倍數(shù)。4、中考點(diǎn)撥例1.把分解因式的結(jié)果是________________。例2.因式分解：_______________5、題型展示例1.若能分解為兩個(gè)一次因式的積，則m的值為（）A.1 B.-1 C. D.2例2.已知：a、b、c為互不相等的