杠桿式回轉(zhuǎn)儀運(yùn)動現(xiàn)象的理論分析與實驗驗證

杠桿式回轉(zhuǎn)儀運(yùn)動現(xiàn)象的理論分析與實驗驗證

如果沒有外部矩的功能，物體的旋轉(zhuǎn)軸的方向?qū)⒈３植蛔?。迅速轉(zhuǎn)動的陀螺受外力矩(如重力力矩)作用時,它并不是立即傾倒,而是轉(zhuǎn)動軸繞著某固定軸緩緩轉(zhuǎn)動。一個自轉(zhuǎn)的物體受外力矩作用導(dǎo)致其自轉(zhuǎn)軸繞豎直軸旋轉(zhuǎn),這種現(xiàn)象稱為進(jìn)動。杠桿式回轉(zhuǎn)儀是一種最常見的進(jìn)動演示儀器,該儀器可以直觀地演示出剛體的進(jìn)動和陀螺的定軸性這一物理現(xiàn)象,幾乎所有學(xué)校用它來演示進(jìn)動,以加深學(xué)生對剛體角動量與力矩的關(guān)系的理解。也有人提出了一些改進(jìn)的回轉(zhuǎn)儀來更清楚的演示這一現(xiàn)象,但是這些基本上都停留在定性的演示。如果能夠?qū)@一現(xiàn)象進(jìn)行定量分析,學(xué)生通過測量各運(yùn)動狀態(tài)量,并經(jīng)過自己動手計算各運(yùn)動量之間的關(guān)系,將會對這一現(xiàn)象有更加深刻的認(rèn)識,也培養(yǎng)了他們的動手能力與科學(xué)計算的素養(yǎng)。1分析杠桿回轉(zhuǎn)機(jī)的運(yùn)動現(xiàn)象1.1配重塊的位置杠桿式回轉(zhuǎn)儀的結(jié)構(gòu)見圖1,裝有圓輪的鐵桿既能夠繞著水平軸轉(zhuǎn)動,又能和水平軸繞豎直軸旋轉(zhuǎn)。配重塊能沿著鐵桿移動。如果對杠桿式回轉(zhuǎn)儀進(jìn)行仔細(xì)觀察,會發(fā)現(xiàn)有如下主要現(xiàn)象:(1)調(diào)節(jié)配重塊的位置,使系統(tǒng)的重心通過支點,圓輪的自轉(zhuǎn)軸處于水平方位,整個系統(tǒng)處于平衡狀態(tài)。使圓輪快速轉(zhuǎn)動,可以看到無論怎樣旋轉(zhuǎn)鐵桿,圓輪的轉(zhuǎn)軸方位始終保持不變,即角動量不變。(2)調(diào)節(jié)配重物的位置,使系統(tǒng)的重心不過支點,即整個系統(tǒng)對支點軸受有重力矩作用。如果讓圓輪繞鐵桿旋轉(zhuǎn)起來時,杠桿式回轉(zhuǎn)儀就會產(chǎn)生進(jìn)動現(xiàn)象。增大圓輪自轉(zhuǎn)速度,進(jìn)動速度將會減慢。改變圓輪的自轉(zhuǎn)方向,鐵桿的水平擺動角速度方向也隨之改變。(3)圓輪自轉(zhuǎn)速度一定,如果移動配重塊位置,進(jìn)動速度也將發(fā)生變化。配重塊越靠近旋轉(zhuǎn)軸,進(jìn)動速度也越大。1.2旋轉(zhuǎn)角度和進(jìn)動角速度下面對以上各現(xiàn)象進(jìn)行理論解釋,并推導(dǎo)出各運(yùn)動量之間的計算關(guān)系。為了使得計算符號統(tǒng)一,這里我們規(guī)定,圓輪的自轉(zhuǎn)速度為ω,φ為水平轉(zhuǎn)動角度(即為進(jìn)動角度),ωp為進(jìn)動角速度,L為角動量,M為系統(tǒng)受到對支點O的外力距。當(dāng)系統(tǒng)不平衡時,整個系統(tǒng)受到對支點O的外力矩M的作用,則角動量不守恒。由角動量定律知,在時間內(nèi)轉(zhuǎn)輪對支點的自旋角動量L的增量為dL=Mdt。在系統(tǒng)轉(zhuǎn)軸水平情況下,轉(zhuǎn)輪受到外力矩方向為水平向內(nèi),dt時間后,圓輪的角動量變成L+dL=L+Mdt由于M,L和L+dL的方向均在水平面內(nèi),所以自旋軸的方向不會向下傾斜,而僅是水平向內(nèi)偏轉(zhuǎn)。連續(xù)不斷的偏轉(zhuǎn),就形成了進(jìn)動。對于杠桿式回轉(zhuǎn)儀所受力矩可以視為配重塊和圓輪重力產(chǎn)生力矩之和,表示為:M=M2M1=m2gl2m1gl1,(1)其中:M1,M2分別為圓輪和配重塊重力所產(chǎn)生的力矩;m1,m2分別為圓輪和配重塊質(zhì)量;l1,l2分別為圓輪和配重塊到支點O的距離。對于圓輪的角動量增量可以表示為:dL=Ldφ=Iωdφ,(2)其中:I為圓輪繞鐵桿轉(zhuǎn)動的轉(zhuǎn)動慣量;I=∑iΔmir2i?Ι=∑iΔmiri2?對于圓輪,可以近視認(rèn)為是一個圓環(huán),其轉(zhuǎn)動慣量為12mR212mR2;m為圓輪質(zhì)量;R為圓輪半徑。由角動量定理有Iωdφ=Mdt,(3)則進(jìn)動角速度為由角動量定理有ωp=dφdt=MIω=2MmR2ωωp=dφdt=ΜΙω=2ΜmR2ω,(4)由上式可見,當(dāng)力矩M一定時,圓輪自轉(zhuǎn)速度越大,進(jìn)動角速度越小;同時當(dāng)圓輪自轉(zhuǎn)速度一定,力矩M越大,進(jìn)動角速度也將越大。以上理論的推導(dǎo)是建立在角動量定理的基礎(chǔ)之上,為了加深對角動量和力矩關(guān)系的理解,根據(jù)角動量定理,角動量的增量是力矩對時間的積累,則有:t2t1t1t2Mdt=φ2φ1φ1φ2Iωdφ。(5)其中:φ2,φ1分別為t1和t2時刻鐵桿旋轉(zhuǎn)時所處角度。變換式(5),則有:Δφ=φ1φ2=M(t2t1)Iωφ2=Μ(t2t1)Ιω。(6)用式(4)、(6)就能夠?qū)剞D(zhuǎn)儀各參數(shù)之間的關(guān)系以及角動量定理進(jìn)行定量的討論。2圓輪繞豎直旋轉(zhuǎn)軸z轉(zhuǎn)動的進(jìn)動角速度和進(jìn)動角度杠桿式回轉(zhuǎn)儀的運(yùn)動量主要為圓輪的自轉(zhuǎn)速度,圓輪繞豎直旋轉(zhuǎn)軸Z轉(zhuǎn)動的進(jìn)動角速度和圓輪進(jìn)動的角度,我們分別使用霍爾傳感器、光電傳感器和電位器型角度傳感器來完成這些量的測定。2.1小磁傳感器檢測失效自轉(zhuǎn)角速度的測定可以采用霍爾式傳感器,測量方法如圖3所示。在圓輪上按一定角度固定若干小磁鐵,霍爾傳感器固定在鐵桿上,圓輪旋轉(zhuǎn)時帶動磁鐵旋轉(zhuǎn)。當(dāng)磁鐵經(jīng)過霍爾傳感器時,霍爾傳感器產(chǎn)生電脈沖,通過記錄各電脈沖之間的間隔時間可以間接測量出圓輪旋轉(zhuǎn)角速度。即:ω1=2πn1Δt1ω1=2πn1Δt1,(7)其中:n1=4為小磁鐵的數(shù)量,小磁鐵的數(shù)量不宜太多,太多會使傳感器無法分辨,而導(dǎo)致檢測失效。Δt1為檢測到相鄰電磁鐵的時間間隔。2.2豎直旋轉(zhuǎn)軸轉(zhuǎn)動進(jìn)動角速度的測量采用光電式傳感器,在豎直軸軸套上固定一個光電傳感器,在豎直旋轉(zhuǎn)軸上固定擋片,擋片間隔為90°,豎直旋轉(zhuǎn)軸轉(zhuǎn)動時帶動擋片旋轉(zhuǎn),其結(jié)構(gòu)如圖1所示。擋片依次通過光電傳感器,光電傳感器產(chǎn)生一個脈沖。通過計算相鄰脈沖間隔時間就能準(zhǔn)確的實現(xiàn)進(jìn)動角速度的測量,即:ωp1=2πn2Δt2ωp1=2πn2Δt2,(8)其中:n2=4為均勻分布固定擋片數(shù)目,Δt2為相鄰傳感器擋光時間間隔,如果判斷擋片擋光的順序還能判斷出進(jìn)動的方向。2.3進(jìn)動角度的設(shè)定對于進(jìn)動角度的測量可以選用電位器型角度傳感器,傳感器固定部分連接到豎直軸軸套上,滑動端接在豎直旋轉(zhuǎn)軸上,如果在固定端兩端加上固定電壓U,則進(jìn)動角度可以表示為:φ1=2πU?U1φ1=2πU?U1,(9)其中:U1為角度傳感器輸出電壓,經(jīng)放大、V/F變換后為數(shù)字量,由單片機(jī)計數(shù)。3量表的建立和測量根據(jù)實驗結(jié)果對理論分析進(jìn)行驗證。第一組依據(jù)式(6)來驗證角動量定理,實驗方法是:固定配重塊,在不同自轉(zhuǎn)角速度下,選取1s的時間驗證進(jìn)動角度的變化;在圓輪自轉(zhuǎn)速度一定的條件下,移動配重塊,驗證1s時間進(jìn)動角度的變化。第二組依據(jù)式(4)來驗證力矩與進(jìn)動速度之間的關(guān)系、自轉(zhuǎn)速度和進(jìn)動速度之間的關(guān)系,其中:車輪質(zhì)量m1=3.2kg,車輪半徑R=600mm,配重塊質(zhì)量為m2=4kg,實驗的結(jié)果見表1～表2。通過杠桿式回轉(zhuǎn)儀的定量演示,使學(xué)生們對力矩和角動量等有了