空間直角坐標(biāo)系

-.z.4.3空間直角坐標(biāo)系重點難點教學(xué)重點：在空間直角坐標(biāo)系中確定點的坐標(biāo).教學(xué)難點：通過建立適當(dāng)?shù)闹苯亲鴺?biāo)系確定空間點的坐標(biāo),以及相關(guān)應(yīng)用.新知探究:①在初中,我們學(xué)過數(shù)軸是規(guī)定了原點、正方向和單位長度的直線.決定數(shù)軸的因素有原點、正方向和單位長度.這是數(shù)軸的三要素.數(shù)軸上的點可用與這個點對應(yīng)的實數(shù)*來表示.②在初中,我們學(xué)過平面直角坐標(biāo)系,平面直角坐標(biāo)系是以一點為原點O,過原點O分別作兩條互相垂直的數(shù)軸O*和Oy,*Oy稱平面直角坐標(biāo)系,平面直角坐標(biāo)系具有以下特征：兩條數(shù)軸：①互相垂直;②原點重合;③通常取向右、向上為正方向;④單位長度一般取一樣的.平面直角坐標(biāo)系上的點用它對應(yīng)的橫、縱坐標(biāo)表示,括號里橫坐標(biāo)寫在縱坐標(biāo)的前面,它們是一對有序?qū)崝?shù)(*,y).③在空間,我們也可以類比平面直角坐標(biāo)系建立一個坐標(biāo)系,即空間直角坐標(biāo)系,空間中的任意一點也可用對應(yīng)的有序?qū)崝?shù)組表示出來.④觀察圖2,OABC—D′A′B′C′是單位正方體,我們類比平面直角坐標(biāo)系的建立來建立一個坐標(biāo)系即空間直角坐標(biāo)系,以O(shè)為原點,分別以射線OA,OC,OD′的方向為正方向,以線段OA,OC,OD′的長為單位長度,建立三條數(shù)軸O*,Oy,Oz稱為*軸、y軸和z軸,這時我們說建立了一個空間直角坐標(biāo)系O—*yz,其中O叫坐標(biāo)原點,*軸、y軸和z軸叫坐標(biāo)軸.如果我們把通過每兩個坐標(biāo)軸的平面叫做坐標(biāo)平面,我們又得到三個坐標(biāo)平面*Oy平面,yOz平面,zO*平面.由此我們知道,確定空間直角坐標(biāo)系必須有三個要素,即原點、坐標(biāo)軸方向、單位長.圖1圖1表示的空間直角坐標(biāo)系也可以用右手來確定.用右手握住z軸,當(dāng)右手的四個手指從*軸正向以90°的角度轉(zhuǎn)向y軸的正向時,大拇指的指向就是z軸的正向.我們稱這種坐標(biāo)系為右手直角坐標(biāo)系.如無特別說明,我們課本上建立的坐標(biāo)系都是右手直角坐標(biāo)系.注意:在平面上畫空間直角坐標(biāo)系O—*yz時,一般使∠*Oy=135°,∠yOz=90°.即用斜二測畫法畫立體圖,這里顯然要注意在y軸和z軸上的都取原來的長度,而在*軸上的長度取原來長度的一半.同學(xué)們往往把在*軸上的長度取原來的長度,這就不符和斜二測畫法的約定,直觀性差.⑤觀察圖2,建立了空間直角坐標(biāo)系以后,空間中任意一點M就可以用坐標(biāo)來表示了.M為空間一點.過點M作三個平面分別垂直于*軸、y軸和z軸,它們與*軸、y軸和z軸的交點分別為P、Q、R,這三點在*軸、y軸和z軸上的坐標(biāo)分別為*,y,z.于是空間的一點M就唯一確定了一個有序數(shù)組*,y,z.這組數(shù)*,y,z就叫做點M的坐標(biāo),并依次稱*,y,z為點M的橫坐標(biāo).縱坐標(biāo)和豎坐標(biāo).坐標(biāo)為*,y,z的點M通常記為M(*,y,z).圖2反過來,一個有序數(shù)組*,y,z,我們在*軸上取坐標(biāo)為*的點P,在y軸上取坐標(biāo)為y的點Q,在z軸上取坐標(biāo)為z的點R,然后通過P、Q與R分別作*軸、y軸和z軸的垂直平面.這三個垂直平面的交點M即為以有序數(shù)組*,y,z為坐標(biāo)的點.數(shù)*,y,z就叫做點M的坐標(biāo),并依次稱*,y和z為點M的橫坐標(biāo)、縱坐標(biāo)和豎坐標(biāo).(如圖2所示)坐標(biāo)為*,y,z的點M通常記為M(*,y,z).我們通過這樣的方法在空間直角坐標(biāo)系建立了空間的點M和有序數(shù)組*,y,z之間的一一對應(yīng)關(guān)系.注意：坐標(biāo)面上和坐標(biāo)軸上的點,其坐標(biāo)各有一定的特征.如果點M在yOz平面上,則*=0；同樣,zO*面上的點,y=0；*Oy面上的點,z=0；如果點M在*軸上,則y=z=0；如果點M在y軸上,則*=z=0；如果點M在z軸上,則*=y=0；如果M是原點,則*=y=z=0.思路1例1如圖3,長方體OABC—D′A′B′C′中,|OA|=3,|OC|=4,|OD′|=2,寫出D′,C,A′,B′四點的坐標(biāo).圖3活動：學(xué)生閱讀題目,對照剛學(xué)的知識,先思考,再討論交流,教師適時指導(dǎo),要寫出點的坐標(biāo),首先要確定點的位置,再根據(jù)各自坐標(biāo)的含義和特點寫出.D′在z軸上,因此它的橫縱坐標(biāo)都為0,C在y軸上,因此它的橫豎坐標(biāo)都為0,A′為在zO*面上的點,y=0；B′不在坐標(biāo)面上,三個坐標(biāo)都要求.解:D′在z軸上,而|OD′|=2,因此它的豎坐標(biāo)為2,橫縱坐標(biāo)都為0,因此D′的坐標(biāo)是(0,0,2).同理C的坐標(biāo)為(0,4,0).A′在*Oz平面上,縱坐標(biāo)為0,A′的橫坐標(biāo)就是|OA|=3,A′的豎坐標(biāo)就是|OD′|=2,所以A′的坐標(biāo)就是(3,0,2).點B′在*Oy平面上的射影是點B,因此它的橫坐標(biāo)*與縱坐標(biāo)y同點B的橫坐標(biāo)*與縱坐標(biāo)y一樣,在*Oy平面上,點B的橫坐標(biāo)*=3,縱坐標(biāo)y=4;點B′在z軸上的射影是點D′,它的豎坐標(biāo)與D′的豎坐標(biāo)一樣,點D′的豎坐標(biāo)z=2,所以點B′的坐標(biāo)是(3,4,2).點評:能準(zhǔn)確地確定空間任意一點的直角坐標(biāo)是利用空間直角坐標(biāo)系的根底,一定掌握如下方法,過點M作三個平面分別垂直于*軸、y軸和z軸,確定*,y和z,同時掌握一些特殊點的坐標(biāo)的表示特征.思路2例1如圖4,點P′在*軸正半軸上,|OP′|=2,PP′在*Oz平面上,且垂直于*軸,|PP′|=1,求點P′和P的坐標(biāo).圖4例2如圖5,在正方體ABCD—A1B1C1D1中,E,F分別是BB1和D1B1的中點,棱長為1,求E,F點的坐標(biāo).圖5變式訓(xùn)練1.在上題中求B1(1,1,1)點關(guān)于平面*oy對稱的點的坐標(biāo).2.在上題中求B1(1,1,1)點關(guān)于z軸對稱的點的坐標(biāo).3.在上題中求B1(1,1,1)點關(guān)于原點D對稱的點的坐標(biāo).拓展提升1.在空間直角坐標(biāo)系中的點P(*,y,z)關(guān)于①坐標(biāo)原點;②橫軸(*軸);③縱軸(y軸);④豎軸(z軸);⑤*Oy坐標(biāo)平面;⑥yOz坐標(biāo)平面;⑦zO*坐標(biāo)平面的對稱點的坐標(biāo)是什么"解:根據(jù)平面直角坐標(biāo)系的點的對稱方法結(jié)合中點坐標(biāo)公式可知:點P(*,y,z)關(guān)于坐標(biāo)原點的對稱點為P1(-*,-y,-z);點P(*,y,z)關(guān)于橫軸(*軸)的對稱點為P2(*,-y,-z);點P(*,y,z)關(guān)于縱軸(y軸)的對稱點為P3(-*,y,-z);點P(*,y,z)關(guān)于豎軸(z軸)的對稱點為P4(-*,-y,z);點P(*,y,z)關(guān)于*Oy坐標(biāo)平面的對稱點為P5(*,y,-z);點P(*,y,z)關(guān)于yOz坐標(biāo)平面的對稱點為P6(-*,y,z);點P(*,y,z)關(guān)于zO*坐標(biāo)平面的對稱點為P7(*,-y,z).點評:其中記憶的方法為:關(guān)于誰誰不變,其余的相反.如關(guān)于橫軸(*軸)的對稱點,橫坐標(biāo)不變,縱坐標(biāo)、豎坐空間直角坐標(biāo)系習(xí)題第一卷〔選擇題，共50分〕一、選擇題：在每題給出的四個選項中，只有一項為哪一項符合題目要求的，請把正確答案的代號填在題后的括號〔每題5分，共50分〕.1．在空間直角坐標(biāo)系中，點P〔*，y，z〕，給出以下4條表達(dá)：①點P關(guān)于*軸的對稱點的坐標(biāo)是〔*，－y，z〕②點P關(guān)于yOz平面的對稱點的坐標(biāo)是〔*，－y，－z〕③點P關(guān)于y軸的對稱點的坐標(biāo)是〔*，－y，z〕④點P關(guān)于原點的對稱點的坐標(biāo)是〔－*，－y，－z〕其中正確的個數(shù)是〔〕A．3 B．2 C．1 D．02．假設(shè)A〔1，1，1〕，B〔－3，－3，－3〕，則線段AB的長為〔〕A．4B．2C．4D．33．A〔1，2，3〕，B〔3，3，m〕，C〔0，－1，0〕，D〔2，―1，―1〕，則〔〕A．>B．<C．≤D．≥4．設(shè)A〔3，3，1〕，B〔1，0，5〕，C〔0，1，0〕，AB的中點M，則〔〕A．B．C．D．5．如圖，三棱錐A－BCD中，AB⊥底面BCD，BC⊥CD，且AB=BC=1，CD=2，點E為CD的中點，則AE的長為〔〕A．B．C．D．6．點B是點A〔1，2，3〕在坐標(biāo)平面的射影，則OB等于〔〕A．B．C．D．7．ABCD為平行四邊形，且A〔4，1，3〕，B〔2，－5，1〕，C〔3，7，－5〕，則點D的坐標(biāo)為〔〕A．〔，4，－1〕B．〔2，3，1〕C．〔－3，1，5〕D．〔5，13，－3〕8．點到坐標(biāo)平面的距離是〔〕A．B．C．D．9．點，，三點共線，則的值分別是〔〕A．，4B．1，8 C．，－4 D．－1，－810．在空間直角坐標(biāo)系中，一定點到三個坐標(biāo)軸的距離都是1，則該點到原點的距離是〔〕A．B．C．D．第二卷〔非選擇題，共100分〕二、填空題：請把答案填在題中橫線上〔每題6分，共24分〕．11．如右圖，棱長為3a正方體OABC－，點M在上，且2，以O(shè)為坐標(biāo)原點，建立如圖空間直有坐標(biāo)系，則點M的坐標(biāo)為．12．如右圖，為一個正方體截下的一角P－ABC，，，，建立如圖坐標(biāo)系，求△ABC的重心G的坐標(biāo)__．13．假設(shè)O〔0，0，0〕，P〔*，y，z〕，且，則表示的圖形是__．14．點A〔－3，1，4〕，則點A關(guān)于原點的對稱點B的坐標(biāo)為；AB的長為．三、解答題：解容許寫出文字說明、證明過程或演算步驟(共76分)．15．〔12分〕如圖，長方體中，，，，設(shè)E為的中點，F(xiàn)為的中點，在給定的空間直角坐標(biāo)系D－*yz下，試寫出A，B，C，D，，，，，E，F(xiàn)各點的坐標(biāo)．16．〔12分〕如圖，在四棱錐P－ABCD中，底面ABCD為正方形，且邊長為2a，棱PD⊥底面ABCD，PD=2b，取各側(cè)棱的中點E，F(xiàn)，G，H，寫出點E，F(xiàn)，G，H的坐標(biāo)．17．〔12分〕如圖，矩形ABCD中，，．將矩形ABCD沿對角線BD折起，使得面BCD⊥面ABD．現(xiàn)以D為原點，