專題6.1+反比例函數(shù)（知識梳理與考點(diǎn)分類講解）-2023-2024學(xué)年九年級數(shù)學(xué)上冊基礎(chǔ)知識專項(xiàng)突破講與練（北師大版）

第第頁專題6.1反比例函數(shù)（知識梳理與考點(diǎn)分類講解）【知識點(diǎn)一】反比例函數(shù)的定義定義一般地，如果兩個變量x,y之間的對應(yīng)關(guān)系可以表示成的形式，那么稱y是x的反比例函數(shù)。反比例函數(shù)的三種形式：；；.特別提醒：形如【知識點(diǎn)二】反比例關(guān)系與反比例函數(shù)的關(guān)系如果,那么x與y這兩個量成么反比例關(guān)系，這里的x和y可能代表單項(xiàng)式，也可以代表多項(xiàng)式，當(dāng)x與y只代表一次單項(xiàng)式時，x與y這兩個量才成反比例函數(shù)關(guān)系；成反比例關(guān)系不一定是反比例函數(shù)關(guān)系，但反比例函數(shù)中兩個變量關(guān)系一定是反比例函數(shù)關(guān)系；反比例函數(shù)中兩個變量分別為自變量與因變量，但是反比例關(guān)系中沒有兩個變量的區(qū)別.【知識點(diǎn)三】反比例函數(shù)的表達(dá)式（1）確定反比例函數(shù)表達(dá)式的方法是待定系數(shù)法由于在反比例函數(shù)中只有一個待定系數(shù),因此只需要一對x,y的對應(yīng)值或圖象上一個點(diǎn)的坐標(biāo),即可求出k的值,從而確定表達(dá)式。（2）用待定系數(shù)法求反比例函數(shù)表達(dá)式的一般步驟一設(shè)：根據(jù)題意,設(shè)反比例函數(shù)的表達(dá)式為二代：把x,y的對應(yīng)值代入中,得到關(guān)于k的方程；三解：解關(guān)于k的方程；四寫：把k的值代入反比例函數(shù)的表達(dá)式中即可寫出表達(dá)式。特別提醒：用待足系數(shù)法求反比例函數(shù)的表達(dá)式的實(shí)質(zhì)是代入一對對應(yīng)值,解一元一次方程題目中己經(jīng)明確y是x的反比例函數(shù)“或"y與x成反比例關(guān)系時可直接談函數(shù)的表達(dá)式為【考點(diǎn)一】利用反比例函數(shù)的定義識別反比例函數(shù)【例1】（2023春·全國·八年級專題練習(xí)）已知反比例函數(shù)．（1）說出比例系數(shù)．（2）求當(dāng)時函數(shù)的值．（3）求當(dāng)時自變量x的值．【答案】（1）比例系數(shù)是；（2）；（3）【分析】（1）根據(jù)反比例函數(shù)的定義可進(jìn)行求解；（2）把代入函數(shù)解析式進(jìn)行求解即可；（3）把代入函數(shù)解析式進(jìn)行求解即可．（1）解：由反比例函數(shù)可知比例系數(shù)為；（2）解：把代入得：；（3）解：把代入得：，解得：．【點(diǎn)撥】本題主要考查反比例函數(shù)的定義，熟練掌握反比例函數(shù)的定義是解題的關(guān)鍵．【舉一反三】【變式1】（2022春·湖北武漢·九年級?？茧A段練習(xí)）在平面直角坐標(biāo)系中，反比例函數(shù)的圖象經(jīng)過兩點(diǎn)，則代數(shù)式的值是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)題意得到，，從而得到，進(jìn)一步得到，代入變形后的代數(shù)式即可求得．解：反比例函數(shù)的圖象經(jīng)過兩點(diǎn)，，，∴，，，，，故選：C．【點(diǎn)撥】本題考查了反比例函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征，反比例函數(shù)圖象上的點(diǎn)的坐標(biāo)適合解析式是解題的關(guān)鍵．【變式2】（2023春·全國·八年級專題練習(xí)）已知反比例函數(shù)，若，則y的取值范圍是．【答案】或【分析】先求出x=-2時y的值，根據(jù)反比例函數(shù)性質(zhì)得出即可．解：把x=-2代入得：y=-4，∵8＞0，∴在每個象限內(nèi)，y隨x的增大而減小，圖象在第一、三象限，∴當(dāng)x≥-2時，函數(shù)y的取值范圍是y≤-4或y＞0，故答案為：y≤-4或y＞0．【點(diǎn)撥】本題考查了反比例函數(shù)的圖象和性質(zhì)，能熟記反比例函數(shù)的性質(zhì)是解此題的關(guān)鍵．【考點(diǎn)二】利用反比例函數(shù)的關(guān)系求反比例函數(shù)的表達(dá)式【例2】（2022春·九年級課時練習(xí)）已知，與成反比例，與成正比例，并且當(dāng)時，；當(dāng)時，．求：y關(guān)于x的函數(shù)解析式．【答案】【分析】首先根據(jù)題意，分別表示出y1與x，y2與x的函數(shù)關(guān)系式，再進(jìn)一步表示出y與x的函數(shù)關(guān)系式；然后根據(jù)已知條件，得到方程組，即可求解．解：設(shè)=，=（x+2），∵，∴y=+（x+2），由時，；時，，得，解得，∴y關(guān)于x的函數(shù)解析式是．【點(diǎn)撥】此題考查正比例函數(shù)的定義，反比例函數(shù)的定義，求函數(shù)解析式，熟記正比例函數(shù)及反比例函數(shù)的定義，設(shè)出函數(shù)解析式進(jìn)行計算是解題的關(guān)鍵．【舉一反三】【變式1】（2022秋·全國·九年級專題練習(xí)）已知，與成正比例，與成反比例，當(dāng)時，；時，．求：關(guān)于的函數(shù)解析式【答案】【分析】設(shè)，，得到，將x與y的兩組對應(yīng)值代入得到二元一次方程組，求出解集即可得到答案.解：設(shè)，，則，根據(jù)題意得：，解得：，則函數(shù)解析式是：.【點(diǎn)撥】此題考查正比例函數(shù)的定義，反比例函數(shù)的定義，求出二元一次方程組的解，正確理解正比例函數(shù)與反比例函數(shù)的定義并正確計算是解題的關(guān)鍵.【變式2】（2021春·全國·九年級專題練習(xí)）已知兩個變量x與y之間的對應(yīng)值如下表，則y與x之間的函數(shù)解析式可能是（

）x…12…y…126…A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)反比例函數(shù)的定義即可得．解：由表格可知，，則y與x之間的函數(shù)解析式可能是，故選：C．【點(diǎn)撥】本題考查了反比例函數(shù)，熟練掌握定義是解題關(guān)鍵．【考點(diǎn)三】反比例函數(shù)的綜合題【例3】（2023秋·九年級課時練習(xí)）如圖，點(diǎn)是平面直角坐標(biāo)系的原點(diǎn)，直線與反比例函數(shù)的圖象相交于點(diǎn)，與反比例函數(shù)的圖象相交于點(diǎn)，其中，．（1）試求出，的值；（2）已知點(diǎn)為軸正半軸上的動點(diǎn)，過點(diǎn)作軸的垂線，交函數(shù)的圖象于點(diǎn)，交函數(shù)的圖象于點(diǎn)，過點(diǎn)作軸交的圖象于點(diǎn)．①連結(jié)，，，的面積是否隨點(diǎn)的運(yùn)動變化而變化？請說明理由．②當(dāng)與互相垂直時，試求出點(diǎn)的坐標(biāo)．【答案】（1），；（2）①的面積隨點(diǎn)的運(yùn)動變化沒有發(fā)生變化，見分析；②【分析】（1）根據(jù)題意求得，求得點(diǎn)，待定系數(shù)法求得反比例函數(shù)的系數(shù)即可；（2）①延長交軸于點(diǎn)．設(shè)點(diǎn)，則點(diǎn)，，求得，推得點(diǎn)，點(diǎn)，，，根據(jù)割補(bǔ)法求得即可；②待定系數(shù)法求得直線的解析式為：，根據(jù)反比例函數(shù)的性質(zhì)可得點(diǎn)，關(guān)于直線對稱；根據(jù)，求得的值，即可得到點(diǎn)的坐標(biāo)．（1）解：∵點(diǎn)在函數(shù)的圖象上，將代入得：，∴點(diǎn)，∵點(diǎn)在函數(shù)的圖象上，將代入得：；（2）解：①的面積隨點(diǎn)的運(yùn)動變化沒有發(fā)生變化，理由如下：．

延長交軸于點(diǎn)．設(shè)點(diǎn)，則點(diǎn)，．∴∵軸∴點(diǎn)，點(diǎn)．∴，．∴，∴的面積是一個固定值，不會隨點(diǎn)的運(yùn)動變化而變化．②∵點(diǎn)，點(diǎn)，設(shè)直線的解析式為：，將代入，解得：，∴直線的解析式為：；∴直線是函數(shù)圖象的對稱軸，又∵，∴點(diǎn)，關(guān)于直線對稱；∴，∵點(diǎn)，，∴解得：，（不合題意，舍去）；∴點(diǎn)的坐標(biāo)為．【點(diǎn)撥】本題考查了求反比例函數(shù)的系數(shù)，三角形的面積公式，求一次函數(shù)解析式，反比例函數(shù)的性質(zhì)，兩點(diǎn)間距離公式等，熟練掌握反比例函數(shù)的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．【舉一反三】【變式1】（2022秋·廣西貴港·九年級統(tǒng)考期中）如圖，已知點(diǎn)在雙曲線上，動點(diǎn)P在y軸正半軸上，將點(diǎn)A繞點(diǎn)P逆時針旋轉(zhuǎn)90°，點(diǎn)A的對應(yīng)點(diǎn)為B，若點(diǎn)B恰好落在雙曲線上，則點(diǎn)P的坐標(biāo)為（

）A． B．或 C．或 D．或【答案】D【分析】先把代入反比例函數(shù)求出的值，分別過、兩點(diǎn)作軸的垂線，，由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)證明，再設(shè)，即可得出的坐標(biāo)，由雙曲線上的點(diǎn)橫坐標(biāo)與縱坐標(biāo)的積即相等，列方程求的值，確定點(diǎn)坐標(biāo)．解：分別過、兩點(diǎn)作軸，軸，垂足為、，是雙曲線上一點(diǎn)，，反比例函數(shù)的解析式為，，，又，，在和中，，，，，設(shè)，,,，點(diǎn)在雙曲線上，，解得或，或．故選：D．【點(diǎn)撥】本題考查的是反比例函數(shù)圖象的性質(zhì)，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，全等三角形的性質(zhì)與判定，熟練掌握反比例函數(shù)圖象的性質(zhì)是解答此題的關(guān)鍵．【變式2】（2023春·浙江·八年級專題練習(xí)）如圖，矩形的邊與y軸平行，頂點(diǎn)A的坐標(biāo)為，頂點(diǎn)C的坐標(biāo)為，若反比例函數(shù)的圖像與矩形有公共點(diǎn)，則k的值可以是．（寫出一個即可）【答案】2（答案不唯一）【分析】根據(jù)矩形寫出B，D兩點(diǎn)坐標(biāo)