時滯系統(tǒng)動力學(xué)研究進(jìn)展

時滯系統(tǒng)動力學(xué)研究進(jìn)展

1基于時滯系統(tǒng)的時滯動力系統(tǒng)動態(tài)力是力學(xué)最古老、最基本的部分，但它也是一個不斷發(fā)現(xiàn)和更新的領(lǐng)域?，F(xiàn)代動態(tài)動態(tài)的發(fā)展表現(xiàn)出兩個非常明顯的特征。（1）隨著動態(tài)控制技術(shù)的快速發(fā)展，人們越來越關(guān)注力學(xué)系統(tǒng)的各種性能指標(biāo)和動力學(xué)性質(zhì)?；诳諝鈩恿W(xué)特性的飛機(jī)動態(tài)系統(tǒng)、動態(tài)軸系統(tǒng)、基于空氣動力學(xué)特性的翼翼、各種智能結(jié)構(gòu)等現(xiàn)代動態(tài)系統(tǒng)都可以在控制的參與下工作。高速或低速運(yùn)動下的大量動態(tài)系統(tǒng)和人類控制下的動態(tài)系統(tǒng)可能會產(chǎn)生明顯的延遲效果。例如，在車輛的主動單元中的運(yùn)動記錄和金屬切割振動等控制環(huán)節(jié)中有明顯的延遲。由于控制信號的傳輸和控制設(shè)備本身的不可避免缺陷，控制和系統(tǒng)之間的時間差或延遲，因此形成的系統(tǒng)已經(jīng)成為時卡系統(tǒng)。隨著對控制系統(tǒng)動態(tài)行為要求的越來越精確，它已經(jīng)成為一個系統(tǒng)。盡管在過去的處理方法中經(jīng)常忽視了中斷，但隨著對控制系統(tǒng)動態(tài)行為的要求越來越精確，因此有必要考慮中斷系統(tǒng)的影響。因此，即使它是絲狀的，也會導(dǎo)致復(fù)雜的動態(tài)行為。另一方面，在許多延遲系統(tǒng)中，如果忽視了時間延遲，錯誤的結(jié)論也會導(dǎo)致。（2）重要特征是力學(xué)和其他學(xué)科的融合和相互滲透。例如，生物力學(xué)是一個新興的交叉學(xué)科，它的研究主要是基于力學(xué)理論和方法研究生物運(yùn)動的機(jī)械控制。例如，人體運(yùn)動的姿勢和控制是生物力學(xué)的一個重要研究內(nèi)容。假設(shè)處于平衡狀態(tài)的人的運(yùn)動軌跡是復(fù)雜的，這種擾動將導(dǎo)致從原始平衡中釋放的能量。在整個過程中，神經(jīng)系統(tǒng)反應(yīng)系統(tǒng)的輸出導(dǎo)致時間差的負(fù)反饋，因此，人體運(yùn)動的整體模式可以被視為非線性的時卡行動力系統(tǒng)，姿態(tài)控制是一個優(yōu)化過程，避免可能的振動（霍弗斷裂）。已有充分的證據(jù)表明,時滯系統(tǒng)普遍存在于自然和工程實(shí)際中,它的普遍性在于時滯的普遍性.從自然界到人類社會、從自然科學(xué)、工程技術(shù)到社會科學(xué),時間滯后(delay,timedelay,lag,簡稱時滯)現(xiàn)象無處不在.無論何種時滯系統(tǒng),隨時間的演化不僅依賴于系統(tǒng)當(dāng)前的狀態(tài),而且依賴于系統(tǒng)過去某一段時間的狀態(tài).換句話說,系統(tǒng)過去某一段時間的狀態(tài)對系統(tǒng)目前狀態(tài)的影響存在一個時間上的滯后(時滯).系統(tǒng)中的時滯可以被歸結(jié)為下列情況之一或幾種情況的組合:(1)系統(tǒng)變量的測量;(2)系統(tǒng)中的物理和化學(xué)性質(zhì);(3)信號傳送(傳送時滯).于是,一個非常直觀并且容易理解的問題被提出來,即時滯或時滯長短是否會影響系統(tǒng)的動力學(xué)行為呢?另一方面,在幾乎所有的受控系統(tǒng)中,特別是對于一個大系統(tǒng),由于傳輸和測量的時間滯后,是否會對系統(tǒng)的群體動力學(xué)行為產(chǎn)生本質(zhì)的影響?因此,深入研究含時滯的力學(xué)系統(tǒng)的動力學(xué)特性不僅對認(rèn)識這些系統(tǒng)本身具有重要的意義,也會對生物、生態(tài)、神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)、物理學(xué)、電子與信息科學(xué)、機(jī)械工程、燃燒動力學(xué)、化學(xué)工程和經(jīng)濟(jì)等研究領(lǐng)域的研究起到促進(jìn)作用.基于上述動機(jī),本文針對與力學(xué)有關(guān)一些研究領(lǐng)域,對1999年以后時滯系統(tǒng)動力學(xué)的研究進(jìn)展進(jìn)行分類綜述,總結(jié)了其中的研究方法.針對研究中出現(xiàn)的問題,對時滯非線性動力學(xué)今后幾年的發(fā)展方向提出了建議和展望,同時指出了在理論上急需解決的一些科學(xué)問題.對1999年以前的研究動態(tài),可以參看文獻(xiàn).2續(xù)函數(shù)泛函空間與用映射和微分方程所描述的動力系統(tǒng)相比,時滯動力系統(tǒng)的運(yùn)動不僅依賴于當(dāng)前的系統(tǒng)狀態(tài),而且與過去一段時間的系統(tǒng)狀態(tài)有關(guān):決定系統(tǒng)行為的初始狀態(tài)不再是系統(tǒng)在零時刻的狀態(tài),而依賴于零時刻之前某一時間段或者若干時間段的系統(tǒng)狀態(tài),這樣的時間段稱為“時滯”.時滯動力系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型是時滯微分方程,它是一類泛函微分方程,這類方程有其明顯的特點(diǎn):一方面,初值空間是全體連續(xù)函數(shù)泛函空間,以往的微分方程理論已經(jīng)不適用;另一方面,由于時滯的出現(xiàn),系統(tǒng)在平衡點(diǎn)附近的線性近似系統(tǒng)的特征方程就由一般的有限次多項(xiàng)式代數(shù)方程變?yōu)槌椒匠?特征根也由有限個變?yōu)闊o限多個,解空間也成為無限維.對于時滯動力系統(tǒng),即使是最簡單的情形,其動力學(xué)也可能非常復(fù)雜.例如,線性時滯動力系統(tǒng)的特征方程是含有指數(shù)函數(shù)的超越方程,即使是一階時滯動力系統(tǒng),其特征方程也可能有一對純虛根、兩對純虛根、甚至更多對純虛根.相應(yīng)的非線性時滯系統(tǒng)可以發(fā)生Hopf分岔、Hopf-Hopf分岔、Hopf-Hopf-Hopf分岔等等,在這些Hopf分岔相互作用下的系統(tǒng)運(yùn)動可能極為復(fù)雜.又如,在無時滯情況下,一些簡單非線性振動系統(tǒng)(如無外激勵的Duffing振子)的動力學(xué)行為并不復(fù)雜,但只要對Duffing振子實(shí)施狀態(tài)反饋控制,控制過程中的時滯就會使振子產(chǎn)生非常復(fù)雜的動力學(xué)行為,如出現(xiàn)多個周期運(yùn)動共存、周期運(yùn)動與擬周期運(yùn)動共存、混沌運(yùn)動等現(xiàn)象.時滯微分方程的特點(diǎn)使得對時滯動力系統(tǒng)研究難度大大增加,以往工程界通常采用忽略時滯的影響來簡化問題,從20世紀(jì)90年代起,國內(nèi)外工程界和學(xué)術(shù)界開始更加關(guān)注對時滯系統(tǒng)的研究.根據(jù)時滯系統(tǒng)的特點(diǎn)和所研究的問題,國內(nèi)外學(xué)者主要采用以下一些方法.2.1基于lyapunov函數(shù)的分塊估值法利用M-矩陣和同胚映射研究時滯動力系統(tǒng)平衡點(diǎn)的存在唯一性,如文.時滯微分動力系統(tǒng)的平衡點(diǎn)的局部穩(wěn)定性的研究方法有:(1)Rouché定理、Cooke和Grossman方法,如文;(2)Nyquist判定準(zhǔn)則,如文;(3)Hughes和Hong門點(diǎn)(gatepoints)定理:可以判斷哪個特征根最先穿越虛軸;(4)Lyapunov泛函,如文;(5)線性矩陣不等式(linearmatrixinequalities,LMI)方法,如文;(6)描述(descriptor)型、“中立型表達(dá)”等變換,并構(gòu)造Lyapunov-Krasovskii泛函,得到滯后型、中立型微分方程組的穩(wěn)定性條件,如文;(7)迭代分析法:直接根據(jù)系統(tǒng)的系數(shù)之間的積分估計(jì),給出穩(wěn)定性的代數(shù)判據(jù),由此發(fā)展了大系統(tǒng)的分塊估值比較法.這種方法避免了構(gòu)造Lyapunov函數(shù)之難,省去了大量繁難的計(jì)算,如文;(8)維數(shù)劃分法(D-subdivisionmethod):對單時滯線性時不變系統(tǒng),可以得到時滯參數(shù)空間上的穩(wěn)定性區(qū)域,如文.平衡點(diǎn)穩(wěn)定性分析最基本的方法仍然是考察特征方程根的變化.2.2基于經(jīng)典lyapunom泛函的分岔方法時滯動力系統(tǒng)的Hopf分岔問題是時滯系統(tǒng)研究的主要問題之一,包括Hopf分岔?xiàng)l件、分岔的方向、分岔周期解求解及其穩(wěn)定性等.研究方法有:(1)中心流形定理和規(guī)范形理論:該方法是一種經(jīng)典方法,由于有著嚴(yán)密的數(shù)學(xué)基礎(chǔ),一直受到數(shù)學(xué)家的青睞,方法不但可以得到分岔點(diǎn)領(lǐng)域內(nèi)解的分類動力學(xué)拓?fù)湫再|(zhì),而且可以得到近似周期解的解析形式.然而,方法要求研究人員有相當(dāng)好的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識,在工程應(yīng)用研究領(lǐng)域內(nèi)受到一定限制.(2)離散Lyapunov泛函和不變流形理論:該方法是Chen在研究時滯Hopfield人工網(wǎng)絡(luò)模型時提出的,用以求Hopf分岔產(chǎn)生的鎖相周期解的極小不穩(wěn)定性(minimalinstability)和不穩(wěn)定集.方法基于經(jīng)典的Lyapunov泛函方法,通過結(jié)合穩(wěn)定流形、不穩(wěn)定流形理論,拓展了經(jīng)典Lyapunov泛函的應(yīng)用范圍.(3)弧長路徑跟蹤算法(path-following):該方法是數(shù)值計(jì)算技巧方面的,將弧長作為參數(shù),利用其連續(xù)性,并結(jié)合對周期運(yùn)動的穩(wěn)定性判定,可以有效的獲取分岔圖,確認(rèn)通向混沌的道路.方法于1999年前已經(jīng)被廣泛應(yīng)用于非線性動力學(xué)的研究,而Raghothama等于2002年將方法改進(jìn)后,推廣到時滯動力學(xué)的研究中.(4)特征函數(shù)方法(describingfunction):方法是U?ar針對純量時滯方程于2003年提出的,主要是利用系統(tǒng)的勢能,類似于求線性系統(tǒng)的傳遞函數(shù)那樣,得到非線性時滯項(xiàng)的特征函數(shù),以便利用Nyquist判劇用以研究分岔周期解的存在性和特征,預(yù)測其振幅和頻率.方法繼承了傳遞函數(shù)法的優(yōu)點(diǎn),然而,方法對高維時滯系統(tǒng)的推廣有相當(dāng)?shù)碾y度,原因在于很難找到特征函數(shù);(5)多尺度法和IHB(incrementalharmonicbalance)方法:這兩種方法都是經(jīng)典的方法,共同的優(yōu)點(diǎn)在于無需進(jìn)行煩瑣的中心流形約化,如文.但是,方法有其明顯的缺陷.多尺度方法應(yīng)用的前提必須是弱非線性,而且分岔參數(shù)的變化只能限制在分岔點(diǎn)的某個領(lǐng)域內(nèi).而IHB方法需要解一組非線性代數(shù)方程,能否得到解強(qiáng)烈依賴于初始迭代值的選取,在實(shí)際應(yīng)用中這樣的選取完全取決于研究者的經(jīng)驗(yàn);此外,方法是否適用于時滯系統(tǒng),至今沒有嚴(yán)格的數(shù)學(xué)證明.(6)攝動-增量法:該方法繼承了多尺度方法的優(yōu)點(diǎn),既無需計(jì)算中心流形和規(guī)范型,同時克服了IHB方法的缺點(diǎn),如文,該方法目前仍然處于完善階段.2.3分析方法的發(fā)展目前對同步的分析方法是考察同步流形之差,將問題轉(zhuǎn)化為對平凡平衡點(diǎn)穩(wěn)定性分析.理論上成熟的分析方法仍然是Krasovskii-Lyapunov泛函分析方法,相當(dāng)多的研究工作是采用數(shù)值方法,值得注意的方法是所謂的反概形(retroactivescheme)方法和預(yù)測-反饋法.這兩種方法的背景、思路以及解決的問題范圍將在本文第5節(jié)介紹.2.4時滯反饋的應(yīng)用對于時滯連續(xù)系統(tǒng)、時滯隨機(jī)系統(tǒng)動力學(xué)以及利用時滯反饋對混沌進(jìn)行控制的研究,也出現(xiàn)了一些有價值的理論研究方法,可參考文獻(xiàn)[14,27,28,29,30,31].3基于時滯的時滯系統(tǒng)在工程技術(shù)研究和應(yīng)用領(lǐng)域中(如機(jī)械、航空航天、燃燒動力學(xué)等),時滯微分動力系統(tǒng)也得到廣泛的應(yīng)用.主動質(zhì)量阻尼系統(tǒng)可以采取混合質(zhì)量阻尼(hybridmassdamper,HMD)的形式或完全主動質(zhì)量阻尼(activemassdamper,AMD)的形式.在主動質(zhì)量阻尼系統(tǒng)中使用主動力,通過增大設(shè)備的頻率范圍,限制質(zhì)量塊的必要移動,可以提高系統(tǒng)的有效性,以減小動力響應(yīng)和增強(qiáng)在風(fēng)和地震等環(huán)境負(fù)載下結(jié)構(gòu)的實(shí)用性.但是在主動控制中,現(xiàn)有的技術(shù)還不能避免或消除主動力中的時滯.時滯包括兩部分:由于數(shù)字控制處理器內(nèi)部數(shù)字?jǐn)?shù)據(jù)的在線數(shù)據(jù)收集(on-linedataacquisition)、過濾(filtering)、處理而引起的固定時滯;依賴于和受控系統(tǒng)耦合的激勵器的特定動力學(xué)的浮動時滯(floatingdelay).這些時滯對控制系統(tǒng)的性能有至關(guān)重要的影響.Chu等研究了時滯對受控質(zhì)量阻尼單自由度系統(tǒng)的穩(wěn)定性影響以及修正問題.這個系統(tǒng)具有優(yōu)化直接輸出反饋,取得了導(dǎo)致系統(tǒng)失穩(wěn)的最大時滯(即臨界時滯)的顯式解和數(shù)值解,然后用連續(xù)時間的方法分別定性描述了具有時滯和沒有時滯的兩自由度混合質(zhì)量阻尼(HMD)或完全主動質(zhì)量阻尼(AMD)標(biāo)準(zhǔn)系統(tǒng).為了和實(shí)踐中計(jì)算機(jī)控制系統(tǒng)的數(shù)字操作相適應(yīng),通過離散化來克服時滯造成的控制效應(yīng)退化,控制增益得到了補(bǔ)償.Liao和Chen研究了兩時滯的諧波振子系統(tǒng)平凡平衡點(diǎn)的局部穩(wěn)定性,利用中心流形定理和規(guī)范型理論分析了其Hopf分岔,發(fā)現(xiàn)了共振雙Hopf分岔.弱耦合振子中鎖相解的解析方法對于研究、揭示生物振子之間的脈沖放電有重要意義.Bressloff和Coombes針對沿有局部時滯耦合的吸收-釋放(integrate-and-fire)振子鏈的行波解,提出了行波解的研究方法.結(jié)果表明,行波解的定性性態(tài)與固有頻率的分布有關(guān).通過對鎖相解的線性分析,發(fā)現(xiàn)當(dāng)振子間的耦合強(qiáng)度足夠大時,行波會失穩(wěn).時滯無論大小都可以導(dǎo)致混沌.Wirkus和Rand研究了弱耦合的時滯vanderPol振子模型的動力學(xué).首先利用平均法把系統(tǒng)轉(zhuǎn)化為一個三維慢變ODE(ordinarydifferentialequation)系統(tǒng),然后由系統(tǒng)的對稱性研究其平衡點(diǎn)的穩(wěn)定性,再利用中心流形約化和規(guī)范型理論得到其完整的分岔集.經(jīng)典的Chua電路只能產(chǎn)生具有一個正Lyapunov指數(shù)的低維混沌,但是在時滯反饋下卻可能產(chǎn)生高維混沌.Wang等提出了一種時滯混沌判別方法,通過向Chua電路中加入小振幅的時滯反饋電壓,發(fā)現(xiàn)產(chǎn)生了混沌.通過這種方法,可以證明標(biāo)準(zhǔn)的Chua電路在指數(shù)穩(wěn)定平衡點(diǎn)處混沌的魯棒穩(wěn)定性,并且時滯反饋電路的維數(shù)與時滯成正比,即大時滯可以產(chǎn)生高維混沌.當(dāng)?shù)孛嬖趯︼w行中的航天飛機(jī)進(jìn)行控制時,數(shù)據(jù)的上下行傳輸會產(chǎn)生很大的時滯.這個時滯對飛行速度極快的航天飛機(jī)來說是不可忽略的,它可能會降低飛機(jī)的性能,導(dǎo)致失穩(wěn).因此,時滯對航天飛機(jī)動力學(xué)的影響和修正是一個非常重要的問題.Hong和Hughes研究了航天飛機(jī)駕駛系統(tǒng)中的時滯對其穩(wěn)定性的影響.首先研究了具有時滯速度反饋的單阻尼諧振子系統(tǒng),得到了其閉型解.通過研究門點(diǎn)(gatepoint)的穿越方向,得到了特征根穿越虛軸的條件,然后研究根的軌跡,得到時滯的穩(wěn)定區(qū)間,畫出了穩(wěn)定性邊界,發(fā)現(xiàn)了Bellman和Cooke結(jié)果中的錯誤,并把此結(jié)果推廣到了多模態(tài)情況.依賴于時滯的記憶狀態(tài)反饋控制可以應(yīng)用于鎮(zhèn)定線性時滯系統(tǒng).從時滯系統(tǒng)的無限維狀態(tài)空間的觀點(diǎn)來看,記憶控制器可以有無限種可能,可以期望比無記憶狀態(tài)反饋控制器性能更好.但是在進(jìn)行計(jì)算和操作時,其無限維數(shù)是一個困難.Azuma等通過有限個線性矩陣不等式(LMI)研究了時滯線性系統(tǒng)的記憶狀態(tài)反饋綜合問題.首先通過構(gòu)造Lyapunov泛函,得到了系統(tǒng)和其閉環(huán)系統(tǒng)的穩(wěn)定性充分條件,得到了無限維與參數(shù)有關(guān)的線性矩陣不等式(LMI)控制器綜合條件.但是這些條件在實(shí)際中卻難以應(yīng)用.于是又將無限維的線性矩陣不等式(LMI)約化為有限維的,進(jìn)而求解.研究非線性動力系統(tǒng)的周期運(yùn)動和亞諧運(yùn)動對于揭示混沌的奧秘非常重要.人們發(fā)展和改進(jìn)了brute-force數(shù)值積分、數(shù)值-解析方法、IHB方法等來研究周期運(yùn)動和亞諧運(yùn)動.Raghothama和Narayanan利用IHB方法等研究了具有二次、三次、參數(shù)激勵剛度項(xiàng)(即時滯項(xiàng))的單自由度非線性系統(tǒng)的周期運(yùn)動.這個系統(tǒng)描述了非線性梁和板的一階模態(tài)振動,利用IHB方法得到其周期解.通過具有弧長參數(shù)的連續(xù)過程路徑跟蹤算法,得到了其響應(yīng)圖,并求解了這個系統(tǒng)倍周期分岔解.非時滯參數(shù)對時滯微分動力系統(tǒng)也會有重要影響.Varela等用數(shù)值模擬方法研究了小噪音對Langevin率方程時滯音叉分岔的影響.在平均情況下,所得結(jié)果與已有結(jié)果非常吻合,同時發(fā)現(xiàn)了在特定參數(shù)區(qū)域中,噪音水平會影響到系統(tǒng)的后驗(yàn)(posterior)演化和時滯.在機(jī)械制造中,削片的移動過程常常伴隨著稱為再生顫振(regenerativechatter)的劇烈不穩(wěn)定性,這種顫振對工件表面的拋光、工具和工件的幾何形狀都是有害的.在研究中,人們發(fā)現(xiàn)當(dāng)削片厚度變化較大時,顫振就會很顯著.但是對隨機(jī)情況下的回轉(zhuǎn)顫振則研究較少.Fofana研究了隨機(jī)情況下,單自由度系統(tǒng)機(jī)械模型中回轉(zhuǎn)顫振的影響.首先由穩(wěn)定性態(tài)的解析表達(dá)式,得到多時滯的穩(wěn)定和不穩(wěn)定區(qū)域.利用Hopf分岔定理和中心流形定理,將描述隨機(jī)顫振的方程組約化為二維ODE,再通過積分平均法和Lyapunov指數(shù)來研究該隨機(jī)微分動力系統(tǒng)的穩(wěn)定性.已有結(jié)果表明,液體單推進(jìn)劑火箭發(fā)動機(jī)艙中的燃燒動力學(xué)模型是一個不穩(wěn)定的分布時滯系統(tǒng).Zheng和Frank研究了分布時滯不確定的線性系統(tǒng)魯棒穩(wěn)定性問題和魯棒穩(wěn)定化問題,得到了分布時滯系統(tǒng)魯棒穩(wěn)定性條件,并給出了不確定系統(tǒng)的魯棒穩(wěn)定控制律設(shè)計(jì)方法.這種方法被應(yīng)用于液體單推進(jìn)劑火箭發(fā)動機(jī)艙中的燃燒問題,發(fā)現(xiàn)當(dāng)壓力指數(shù)和最大時滯在特定區(qū)間變化時,燃燒可以被穩(wěn)定化.我國力學(xué)界學(xué)者在時滯系統(tǒng)動力學(xué)研究已經(jīng)開展了近10年的工作.早在20世紀(jì)90年代中期,徐鑒和陸啟韶通過理論研究,發(fā)現(xiàn)時滯作為參量對非線性振動系統(tǒng)的動力學(xué)行為有本質(zhì)的影響.此后,徐鑒和他的合作者[18,24,40,41,42,43,44,45,46,47,48,49,50,51,52,53,54,55,56]利用中心流形和攝動理論對非線性時滯系統(tǒng)進(jìn)行約化,從理論上得到空間慢變量、時滯經(jīng)外部擾動聯(lián)合作用下的漸近解析解;發(fā)現(xiàn)時滯量可以作為“控制開關(guān)”,導(dǎo)致系統(tǒng)出現(xiàn)復(fù)雜運(yùn)動,也可以使復(fù)雜運(yùn)動變成簡單的運(yùn)動,同時發(fā)現(xiàn)時滯動力系統(tǒng)通過倍周期分岔通向混沌的道路;發(fā)現(xiàn)時滯量對非線性系統(tǒng)具有類似周期性的作用影響;通過時滯量的調(diào)節(jié),可以得到Lorenz系統(tǒng)蝴蝶狀的混沌吸引子、螺旋狀的Chen吸引子,同時還發(fā)現(xiàn)一種新的具有更高維數(shù)的“蝸?！睜畹钠婀治?此外,也詳細(xì)地研究了時滯導(dǎo)致的雙Hopf分岔,構(gòu)造了一種適應(yīng)于強(qiáng)非線性系統(tǒng)的周期解和周期2解的漸近分析方法.胡海巖和他的合作者[57,58,59,60,61,62,63,64,65,66,67,68,69,70]也對時滯系統(tǒng)動力學(xué)進(jìn)行了數(shù)年深入地探索和研究,主要的研究成果有:對于具有反饋時滯的非線性系統(tǒng),采用基因算法構(gòu)造了抗噪能力達(dá)10%的參數(shù)辨識方法;針對車輛懸架系統(tǒng)包含剛-柔耦合子系統(tǒng)的特點(diǎn),提出基于奇異攝動理論和慢變流形概念,對高維非線性時滯系統(tǒng)進(jìn)行降維,形成了有效的剛?cè)狁詈舷到y(tǒng)約化方法;基于多項(xiàng)式理論,系統(tǒng)地研究了時滯受控系統(tǒng)(特別是高維多時滯受控系統(tǒng))的穩(wěn)定性,包括全時滯穩(wěn)定性、短時滯穩(wěn)定性、穩(wěn)定性切換、區(qū)間穩(wěn)定性,給出了一系列代數(shù)判據(jù),成功地用于車輛主動底盤等時滯受控系統(tǒng)的動力學(xué)分析;對具有時滯狀態(tài)反饋的受迫Duffing系統(tǒng),給出了主共振、亞諧共振及其穩(wěn)定性,提出Poincaré板和不動弧段等概念,構(gòu)造了求解非線性時滯受控系統(tǒng)周期運(yùn)動的打靶法,將其與多尺度法相結(jié)合,確定非線性時滯受控系統(tǒng)的周期運(yùn)動等.4基于時滯的傳染病動力學(xué)模型在種群動力學(xué)、傳染病動力學(xué)、生物力學(xué)、神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的研究中,出現(xiàn)了為數(shù)眾多的時滯微分方程模型.時滯對系統(tǒng)的影響,包括了對平衡點(diǎn)(全局、局部)穩(wěn)定性的影響、對平衡點(diǎn)分岔的影響、對分岔之間相互作用的影響、對混沌的影響等,這些都是關(guān)注的焦點(diǎn).振蕩性是種群動力學(xué)的一個重要特點(diǎn),反映了生態(tài)系統(tǒng)中種群密度的波動.引起振蕩的機(jī)理是研究的一個重點(diǎn).Li研究了在自然波動的環(huán)境中,如季節(jié)變化、食物供應(yīng)、交配習(xí)慣等周期性變化的環(huán)境對時滯Lotka-Volterra競爭系統(tǒng)演化的影響.他利用重合度理論的Mawhin連續(xù)性定理,研究了該系統(tǒng)正周期解的存在性問題.Li和Kuang利用同樣的方法研究了在環(huán)境周期性變化情況下,時滯LotkaVolterra合作系統(tǒng)周期解的存在性問題,得到了種群密度波動的條件.Brenzansky和Braverman研究了具有多時滯的Logistic方程的振蕩解和非振蕩解,利用比較定理得到了其判定準(zhǔn)則和性質(zhì).“持久性”(persistence)是描述了生態(tài)系統(tǒng)是否會崩潰,是否可以長久存在下去的重要概念.因此,持久性條件的研究對于保持生物多樣性、乃至生態(tài)系統(tǒng)的存在都有著重要作用.Xu和Chaplain在食物鏈系統(tǒng)中引入了由于消化產(chǎn)生的分布時滯,利用構(gòu)造Lyapunov泛函得到了系統(tǒng)的持久性、平衡點(diǎn)的吸引性條件.Gourley和Chaplain考慮了個體在種群中移動并分別具有分布時滯和離散時滯的資源情況下,有限模型波前解的存在性問題,利用Fenichel不變流形理論得到了波前解的存在性條件.在對時滯Logistic人口模型的研究中,陸啟韶和他的合作者發(fā)現(xiàn),成熟期滯后可以引起人口數(shù)量的失穩(wěn)而進(jìn)入周期性震蕩,這樣的現(xiàn)象也出現(xiàn)在捕食-被捕食系統(tǒng)中.傳染病動力學(xué)研究是針對不同人群之間對傳染病具有不同的響應(yīng).常見的傳染病動力學(xué)模型包括易感-患病-易感模型(SIS模型)、易感-患病-康復(fù)-患病模型(SIRS模型)、易感-患病-康復(fù)模型(SIR模型)等.傳染病動力學(xué)研究的重點(diǎn)是尋找疾病消失的臨界值,即研究無病平衡點(diǎn)、地方病平衡點(diǎn)的穩(wěn)定性以及傳染病周期振蕩的條件.Hethcote和Driessche針對由于移民導(dǎo)致易感者增加、或者易感者廣義Logistic型增加的情況,建立了性病等細(xì)菌性疾病的SIS時滯傳染病模型,利用全局穩(wěn)定性定義和特征根得到了無病平衡點(diǎn)、地方病平衡點(diǎn)、滅絕平衡點(diǎn)的穩(wěn)定性條件.然而,在現(xiàn)實(shí)中,接觸率不是常數(shù),原因是由于看到患病者比例增加,擔(dān)心染病,易感者會改變個體行為,同時患病程度也與患病者比例有關(guān).針對這樣的觀察,Driessche和Watmough研究接觸率可變情況下SIS模型中各類平衡點(diǎn)的全局穩(wěn)定性條件和分岔,得到了傳染病消失或者成為地方病的閾值.Tornatore等分別對具有分布時滯和沒有分布時滯提出了隨機(jī)SIR模型,研究了無病平衡點(diǎn)的穩(wěn)定性,并發(fā)現(xiàn)由于引入了噪聲,發(fā)生傳染病的閾值被改變了.這表明噪聲可以改變相應(yīng)確定性系統(tǒng)的演化性態(tài),也表明了傳染病模型中有必要考慮隨機(jī)因素對其穩(wěn)定性的影響.注射疫苗是防治傳染病的一種常見方法,現(xiàn)實(shí)的許多病例表明有些疫苗的免疫性不是終生的.當(dāng)易感者接種過疫苗以后馬上就具有免疫性,過了較長時間以后免疫性失去,重新變?yōu)橐赘姓?如流感疫苗和乙肝疫苗.在這樣的背景下,Greenhalgh等研究了這種非終生免疫對兩種SIRS傳染病模型穩(wěn)定性的影響.這兩種SIRS模型中易感者和患病者的接觸率是不同的,一個是常數(shù)的,另一個是人口數(shù)量的函數(shù),死亡率則都與人口密度有關(guān).他們研究了平衡解的穩(wěn)定性和存在性,發(fā)現(xiàn)會出現(xiàn)Hopf分岔,即非終生免疫會導(dǎo)致傳染病的周期性波動,必須加以警惕、監(jiān)控.時滯微分方程(組)也越來越多的出現(xiàn)于對生理學(xué)規(guī)律的描述中.如在免疫學(xué)中,當(dāng)機(jī)體出現(xiàn)了腫瘤細(xì)胞以后,免疫系統(tǒng)會馬上產(chǎn)生相應(yīng)的效應(yīng)細(xì)胞來消滅腫瘤細(xì)胞.由于效應(yīng)細(xì)胞在激活、成熟、運(yùn)輸過程中會產(chǎn)生時滯,因此在兩類細(xì)胞組成的動力學(xué)模型中應(yīng)該考慮時滯的影響.Buri和Todorovi就研究了時滯腫瘤細(xì)胞-效應(yīng)細(xì)胞系統(tǒng)中平衡點(diǎn)的穩(wěn)定性和分岔問題,表明時滯存在臨界值,它使得效應(yīng)細(xì)胞消亡或者出現(xiàn)周期波動,這與生物實(shí)際相符.又如,醫(yī)學(xué)研究已經(jīng)表明,在糖尿病患者體內(nèi)植入人工胰腺是治療糖尿病的辦法之一.在人工胰腺作用下,人體內(nèi)的血糖-胰島素系統(tǒng)中會存在兩個時滯,即人工胰腺的“技術(shù)”時滯和肝的生理時滯,因此系統(tǒng)的動力學(xué)模型為時滯微分方程.Engelborghs等研究了該系統(tǒng)唯一正平衡點(diǎn)的穩(wěn)定性和分岔,我們近期的研究發(fā)現(xiàn)這兩個時滯可以導(dǎo)致雙Hopf分岔現(xiàn)象.在生物力學(xué)研究中,也出現(xiàn)了不少時滯微分方程(組)模型.如人在靜止站立時可以看作一個反向的線性擺,會受到神經(jīng)系統(tǒng)的時滯負(fù)反饋和心跳、胃的收縮等自然擾動,形成的研究模型是一個關(guān)于人體姿態(tài)的時滯隨機(jī)控制方程.當(dāng)擾動為白噪聲,并且取平均的情況下,Yao等研究了系統(tǒng)的分岔過程,指出人體的姿態(tài)控制過程是一個避免可能振動(Hopf分岔)的優(yōu)化過程.在實(shí)際生物神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)(realneuralnetwork)和人工神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)(artificialneuralnetwork)中,時滯微分方程(組)也得到了廣泛應(yīng)用.由于神經(jīng)元的有限開關(guān)(switch)速度會產(chǎn)生時滯,因此神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的群體動力學(xué)(collectivedynamics)就不可避免的受到時滯的影響.眾所周知,無時滯Hopfield人工神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型會向平衡點(diǎn)集收斂,但是時滯的出現(xiàn)會引起穩(wěn)定的非線性振動,產(chǎn)生不同的網(wǎng)絡(luò)計(jì)算性能.網(wǎng)絡(luò)的全局吸引子研究對于神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的分類記憶和關(guān)聯(lián)記憶有重要作用.Chen和Wu利用Lyapunov泛函方法、不變流形研究了兩飽和神經(jīng)元Hopfield神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型當(dāng)平衡點(diǎn)失穩(wěn)以后產(chǎn)生的鎖相周期軌線的最小不穩(wěn)定性和不穩(wěn)定集,得到了鎖相解的穩(wěn)定性、鎖相解與平衡點(diǎn)吸引盆的幾何結(jié)構(gòu)、不穩(wěn)定流形閉包的幾何結(jié)構(gòu).一般情況下,兩神經(jīng)元之間的耦合時滯是不同的.由于多時滯對系統(tǒng)影響的復(fù)雜性,人們常常對問題簡化,例如兩同性神經(jīng)元組成的神經(jīng)網(wǎng)絡(luò),可以假設(shè)它們的自反饋時滯相同,但是耦合時滯可以不同于自反饋時滯.Shayer和Campbell研究了自反饋時滯對該網(wǎng)絡(luò)穩(wěn)定性、分岔、多穩(wěn)態(tài)的影響.他們發(fā)現(xiàn)平衡點(diǎn)的穩(wěn)定性只與耦合強(qiáng)度的乘積、耦合時滯的和有關(guān),與耦合性質(zhì)(抑制性或興奮性)無關(guān).作為控制參數(shù),自反饋時滯有一個臨界值,如超越此值,系統(tǒng)失穩(wěn),出現(xiàn)余維-1分岔、平衡點(diǎn)失穩(wěn)或鎮(zhèn)定、3種分岔相互作用、雙Hopf分岔等現(xiàn)象.對應(yīng)到原神經(jīng)網(wǎng)絡(luò),則會出現(xiàn)穩(wěn)定、振動、周期觸發(fā)、多周期觸發(fā)等現(xiàn)象.一個有趣的現(xiàn)象是當(dāng)反饋參數(shù)滿足一定條件時,即使沒有耦合,神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)也會周期觸發(fā).這似乎蘊(yùn)涵著深刻的物理意義,有待人們?nèi)ソ鉀Q.Wei和Ruan則研究了上述系統(tǒng)當(dāng)耦合時滯相同時的特殊情況,利用Rouché定理和Cooke-Grassman方法得到了此系統(tǒng)的穩(wěn)定性條件,分岔的研究則是基于中心流形定理和規(guī)范形理論.在實(shí)際生物神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)中,電信號的傳播速度隨空間不同而有差異,因此所產(chǎn)生的時滯應(yīng)該為分布時滯,即同時到達(dá)的信號可能是過去一段時間內(nèi)產(chǎn)生的.Thiel等就研究了具有分布時滯的海馬趾苔狀纖維體細(xì)胞-籃狀細(xì)胞聯(lián)合體模型、描述人體內(nèi)白細(xì)胞濃度的廣義MackeyGlass模型的動力學(xué).通過Runge-Kutta法,觀察到具有分布時滯的反饋可以起到使系統(tǒng)動力學(xué)簡化的作用,即周期解可完全被平穩(wěn)態(tài)取代.由于分布時滯表示了電信號傳導(dǎo)時間的多樣性(diversity),因此在時滯調(diào)節(jié)不可避免的情況下,這種多樣性將有重要的作用:即消除復(fù)雜、不規(guī)則的動力學(xué)行為.這一結(jié)論也解釋了為什么神經(jīng)系統(tǒng)中非周期態(tài)、不規(guī)則態(tài)較少的原因.值得強(qiáng)調(diào)的是,Thiel的研究結(jié)果也表明,忽視神經(jīng)元群體之間的差異而只關(guān)心其平均性質(zhì),對于研究神經(jīng)系統(tǒng)動力學(xué)也許是不恰當(dāng)?shù)?針對實(shí)際生物神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)在生物結(jié)構(gòu)上一般是非對稱的,Chen研究了具有分布時滯、非對稱神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的全局穩(wěn)定性,利用M-矩陣和同胚映射得到其平衡點(diǎn)的存在唯一性條件,同時通過構(gòu)造Lyapunov泛函得到其全局穩(wěn)定性條件.由于沒有對激發(fā)函數(shù)、作用矩陣做任何限制,使得這一結(jié)果具有較大的普遍性.陸啟韶和他的合作者在對兩個同性神經(jīng)元的時滯耦合系統(tǒng)動力學(xué)行為的研究中,通過數(shù)值方法發(fā)現(xiàn)了耦合時滯可以使兩神經(jīng)元混沌運(yùn)動達(dá)到同步,這個結(jié)果為理論上進(jìn)一步的研究奠定了基礎(chǔ)和現(xiàn)象依據(jù).5滯后系統(tǒng)中的時滯同步在物理學(xué)的很多領(lǐng)域,如激光、微波、電子電路,以及信息技術(shù)領(lǐng)域(如保密通訊、網(wǎng)絡(luò)技術(shù)等)中,時滯微分動力系統(tǒng)也得到了很廣泛的應(yīng)用.同步的定義與分類、產(chǎn)生機(jī)理、控制與應(yīng)用、穩(wěn)定性與魯棒穩(wěn)定性以及混沌同步的產(chǎn)生機(jī)理、在保密通訊中的應(yīng)用、控制與應(yīng)用等是研究人員關(guān)注的熱點(diǎn).在文[90,91,92,93,94,95,96,97,98]中作者研究了幾種不同類型的同步.為方便讀者理解,這里簡要介紹相互作用的系統(tǒng)中幾種不同類型同步的概念.兩個或多個動力系統(tǒng),除了自身的演化以外,其間還有強(qiáng)或弱的相互作用(耦合),這種作用既可以是單向的,也可以是雙向的.當(dāng)滿足一定條件時,耦合作用使這些系統(tǒng)的狀態(tài)輸出逐漸趨于完全相同,稱為完全同步.廣義意義上的同步還包括相同步(phasesynchronization)、頻率同步(frequencysynchronization)、狀態(tài)同步,其中狀態(tài)同步又包括廣義同步(generalizedsynchronization)、滯后同步(lagsynchronization)、預(yù)測同步(anticipatingsynchronization).相同步指響應(yīng)系統(tǒng)與驅(qū)動系統(tǒng)振子的相誘導(dǎo)(entrainment).廣義同步指響應(yīng)系統(tǒng)和驅(qū)動系統(tǒng)的狀態(tài)輸出之間存在著某種泛函關(guān)系.滯后同步指響應(yīng)系統(tǒng)的狀態(tài)輸出除了在時間上以固定差值滯后于驅(qū)動系統(tǒng)外完全相同,而預(yù)測同步則相反,響應(yīng)系統(tǒng)的輸出超前于驅(qū)動系統(tǒng).它們都意味著兩個系統(tǒng)在時移情況下狀態(tài)的重合,不過是分別與其過去狀態(tài)或者未來狀態(tài)重合.對這幾種同步,Brown和Kocarev給出了一種統(tǒng)一的定義.激光模型中時滯是由激光在激光器之間的有限傳播速度所確定的.盡管時滯量會很小,但是也會對系統(tǒng)的動力學(xué)產(chǎn)生影響.局部同步是凝聚態(tài)激光的同步方式之一.但是局部同步是如何產(chǎn)生的呢?基于單模態(tài)率方程組模型,Hohl等利用理論和實(shí)驗(yàn)的方法研究了耦合時滯相同的耦合半導(dǎo)體激光模型的概周期同步,發(fā)現(xiàn)局部同步可以通過主Hopf分岔機(jī)制和次Hopf分岔機(jī)制產(chǎn)生,并且時滯會引起不同形式的概周期同步.當(dāng)非混沌系和混沌Ikeda系統(tǒng)耦合時滯不等于被耦合時滯時,Shahverdiev等研究了滯后同步產(chǎn)生的條件和同步流形的穩(wěn)定性條件.非混沌系統(tǒng)由兩個單自由度系統(tǒng)組成,具有自反饋、相同的自反饋時滯以及耦合時滯.他們利用Krasovskii-Lyapunov泛函方法得到的結(jié)果表明,對于等同系統(tǒng),同步的滯后時間是耦合時滯與被耦合時滯的差;對于更常見的非等同系統(tǒng),滯后時間則只是耦合時滯.由于實(shí)際中一般都是非等同系統(tǒng)(即使是近等同系統(tǒng)),這個結(jié)論有普遍意義.例如,它可以解釋實(shí)驗(yàn)中兩激光器滯后同步的滯后時間是耦合時滯,而與光在發(fā)射器外腔中的往返時間無關(guān),即由于它們的參數(shù)實(shí)際上并不相同,為非等同系統(tǒng),因此滯后時間就是耦合時滯.Chen等研究了具有時滯信號耦合的兩R?ssler振子的相同步,發(fā)現(xiàn)了相同步的一些性質(zhì):時滯(包括大時滯)會引起相同步,隨著時滯的增加,發(fā)生相同步的臨界耦合強(qiáng)度會出現(xiàn)近似周期性變化;當(dāng)耦合強(qiáng)度固定不變時,相同步區(qū)域與非相同步區(qū)域會接替出現(xiàn).Voss研究了耗散混沌系統(tǒng)與其近等同系統(tǒng)的預(yù)測同步(anticipatingsynchronization).該耗散系統(tǒng)具有自反饋和單向耦合,并且在反饋和耦合中都存在時滯.他指出具有時滯反饋的耗散混沌系統(tǒng)可以驅(qū)動其近等同系統(tǒng)達(dá)到預(yù)測同步,即與其任意遠(yuǎn)的未來狀態(tài)同步.預(yù)測同步是時滯反饋和耗散相互作用的結(jié)果,具有全局穩(wěn)定性、魯棒穩(wěn)定性,也是“與人的直覺相反的(counterintuitive)”的,是非線性動力學(xué)中一種普遍的現(xiàn)象.此外,驅(qū)動系統(tǒng)即使沒有時滯反饋項(xiàng),也會發(fā)生預(yù)測同步,只是超前時間很小.那么耦合時滯對預(yù)測同步的性質(zhì)有何影響呢?Masoller很好的回答了這個問題.他以時滯Mackey-Glass系統(tǒng)和Ikeda系統(tǒng)為例,研究了單向耦合等同時滯混沌系統(tǒng)的預(yù)測同步.這兩個系統(tǒng)為等同系統(tǒng),因此也有相同的時滯τ.在系統(tǒng)時滯τ大于耦合時滯τ2情況下,即使當(dāng)參數(shù)較大時,預(yù)測同步也會發(fā)生.這表明耦合時滯的出現(xiàn)雖然改變了響應(yīng)系統(tǒng)的結(jié)構(gòu),但是并沒有破壞預(yù)測同步,只是使之不再完美.目前研究較多的是兩個耦合的振子的同步問題,但是對于多個振子的耦合的情況,同步有什么樣的性質(zhì)?Choi等研究了耦合中的時滯對具有不同固有頻率的耦合振子的影響.選擇的系統(tǒng)為時滯耦合Kuramoto振子系統(tǒng)的推廣形式.通過研究N個耦合振子的相運(yùn)動方程,得到了自相容方程組(self-consistencyequations).對自相容方程組的分析表明,系統(tǒng)在非凝聚態(tài)和同步頻率不同的凝聚態(tài)之間一般表現(xiàn)出連續(xù)躍遷.Heil等用數(shù)值和實(shí)驗(yàn)方法研究了時滯光學(xué)耦合、等同半導(dǎo)體激光系統(tǒng)的動力學(xué).結(jié)果表明很小的時滯(次毫微秒級)耦合都會導(dǎo)致混沌同步.文中研究了同步的優(yōu)化、控制與應(yīng)用問題.Kouomou和Woafoa使用反概形(retroactivescheme)方法研究了Duffing振子系統(tǒng)時滯/非時滯同步的穩(wěn)定性和優(yōu)化問題.通過Floquet理論得到了同步流形的穩(wěn)定性邊界,以及出現(xiàn)同步時反饋系數(shù)的臨界值,分析了時滯和驅(qū)動開始時間對穩(wěn)定性和同步時間的影響,發(fā)現(xiàn)使得發(fā)生同步的最小反饋常數(shù)是時滯的周期函數(shù).離散的Kalman濾波器在環(huán)路時滯的影響下,性能和穩(wěn)定性會受到影響而不再優(yōu)化.Patapoutian提出了一種改進(jìn)的回路濾波器來使這種性能損失最小化,可用于環(huán)路濾波同步器的設(shè)計(jì).在通過無線個人通信服務(wù)(personalcommunicationservice,PCS)網(wǎng)絡(luò)支持實(shí)時多媒體服務(wù)時,其誤差控制模式存在著由于信號重新傳輸而產(chǎn)生的時滯,并且會引起時滯抖動(jitter)問題.Liu和Zarki針對此問題,提出了一種混合自動重復(fù)請求(frequentlyaskedquestions,FAQ)的解決方案.由于大尺度的波動會導(dǎo)致長期時滯變化,因此首先采用一種適應(yīng)性的資源率控制機(jī)理來控制由于信號重新傳輸而產(chǎn)生的有效信道數(shù)據(jù)率波動,然后采用適應(yīng)性的同步概形來“補(bǔ)償”這種時滯.通過數(shù)值方法考察了系統(tǒng)的性能演化,發(fā)現(xiàn)端-端的時滯變小,并且同步得以保持.利用混沌同步實(shí)現(xiàn)保密通訊是一種全新的方法,達(dá)到混沌同步的方法則是研究的重點(diǎn),這些方法有Pecora-Carroll方法、Pyragas外部反饋法,以及基于OGY(Ott-Grebogi-York)方法的參數(shù)擾動方法.后者是利用參數(shù)擾動來控制不穩(wěn)定周期軌線,不足之處在于要求兩個系統(tǒng)的混沌軌跡點(diǎn)非?？拷?這對于實(shí)際系統(tǒng)顯得太苛刻了.因此,必須提出一種針對高維、快速混沌實(shí)驗(yàn)系統(tǒng)的同步方法.Liu等提出了一種基于OGY方法使得高維系統(tǒng)同步的“預(yù)測-反饋法”,并對時滯系統(tǒng)的超混沌諧波同步進(jìn)行了研究.結(jié)果表明預(yù)測-反饋法可以使兩個結(jié)構(gòu)等價或不等價的系統(tǒng)非常有效、迅速的同步,即使兩個系統(tǒng)的軌線相距甚遠(yuǎn),反饋擾動也可以被“打開”.該方法可以應(yīng)用于某些實(shí)驗(yàn)系統(tǒng),并且可以使用該方法來編碼、傳輸、解碼,再利用時滯系統(tǒng)的多穩(wěn)態(tài)來進(jìn)一步改進(jìn)保密通訊的效果,即降低被探測率,增加保密性.群體動力學(xué)(collectivedynamics)研究由大量耦合非線性振子組成的大系統(tǒng)的動力學(xué),有助于揭示多自由度系統(tǒng)的復(fù)雜動力學(xué).近幾年,由于時滯的廣泛存在,許多工作都考慮了時滯對該類動力系統(tǒng)動力學(xué)的影響.Reddy等詳細(xì)研究了具有時滯耦合的兩振子簡單模型,通過數(shù)值和解析的方法得到了“死島”或“振幅死區(qū)”、鎖相等不同動力學(xué)特征的參數(shù)區(qū)域及其分岔圖,他們的研究表明,即使兩振子的頻率完全相同,也會出現(xiàn)振幅死區(qū),而且在耦合強(qiáng)度和時滯的參數(shù)空間中可以把這種振幅死亡的區(qū)域量化,這與無時滯動力系統(tǒng)有本質(zhì)區(qū)別.兩耦合振子系統(tǒng)中,任何一個振子的時間性態(tài)都可以揭示出這個大系統(tǒng)協(xié)同動力學(xué)的特征.因此,對每個振子而言,系統(tǒng)中其他部分都可看作是協(xié)同反饋的“源”來對它進(jìn)行自治驅(qū)動.進(jìn)一步,Reddy等又研究了線性和非線性時滯反饋對廣義Stuart-Landau系統(tǒng)動力學(xué)的影響.結(jié)果表明,線性時滯反饋會產(chǎn)生在大量耦合的極限環(huán)振子系統(tǒng)中常見的相移、頻率壓縮、多周期態(tài)、混沌等復(fù)雜現(xiàn)象,而非線性反饋(二次項(xiàng))則會產(chǎn)生如混合態(tài)、相逆、徑陷、相躍、螺旋解等有趣的動力學(xué)現(xiàn)象.自O(shè)GY方法問世以來,混沌控制一直是學(xué)術(shù)界關(guān)注的焦點(diǎn)之一,這是因?yàn)橥ㄟ^研究混沌控制問題,不僅可以得到混沌產(chǎn)生的條件,而且可以得到相同定性性態(tài)的混沌存在的條件.U?ar研究了可以產(chǎn)生混沌信號的單變量時滯系統(tǒng),利用描述函數(shù)方法和Nyquist準(zhǔn)則研究其極限環(huán)的存在性和特征,得到系統(tǒng)的局部性態(tài),并且研究了此系統(tǒng)的全局性態(tài),即定性保持的混沌性態(tài)(qualitativepreservedchaoticbehaviors,QPCB)的條件.所謂定性保持的混沌性態(tài)(QPCB)問題研究的是在模型中不同的參數(shù)區(qū)域中,定性相同的混沌性態(tài)是否會出現(xiàn),以及參數(shù)之間是什么關(guān)系時才會出現(xiàn).即如果模型對一個范圍內(nèi)的參數(shù)表現(xiàn)出類似的混沌性態(tài),則稱為定性保持的混沌性態(tài),否則稱為單一混沌性態(tài)(uniquechaoticbehaviors,UCB).U?ar的結(jié)果表明,如果時滯與保持解模態(tài)之間滿足正比關(guān)系時,就會出現(xiàn)定性保持的混沌性態(tài).Voss使用一種簡單的非線性濾波器,可以把時滯反饋系統(tǒng)產(chǎn)生的解在時間上任意移動.這個特點(diǎn)是由于濾波器鏈容許信號沿與鏈耦合相反的方向傳播.它可用于從數(shù)據(jù)中推斷耦合的方向、預(yù)測偽隨機(jī)序列、早期診斷時滯引起的不穩(wěn)定性、混沌通訊等.6混沌時間序列分析由于變量的隨機(jī)本質(zhì)、收集信息時的時滯、保險機(jī)構(gòu)的財(cái)政約束、市場競爭的出現(xiàn)等原因,保險定價問題是一個十分棘手的問題.對于其穩(wěn)定性的研究,有助于揭示定價問題和不同定價機(jī)理的本質(zhì)與聯(lián)系.Zimbidis和Haberman研究了時滯和反饋對保險定價過程的綜合影響.把時滯因子看作自由參數(shù),得到了穩(wěn)定性條件和反饋因子的優(yōu)化條件,并且使用控制論的工具,得到了時滯因子的一個臨界值,大于此值穩(wěn)定性就和反饋因子的選擇無關(guān).針對一種價格呈現(xiàn)幾何Brown運(yùn)動的資產(chǎn),Grassia考慮了市場時滯和投資反饋的影響,改進(jìn)了基本的Brown運(yùn)動模型,研究了金融市場中的時滯、反饋和遏制(quenching)現(xiàn)象.當(dāng)投資反饋?zhàn)銐虼髸r,資本市場的動力學(xué)從緩慢的隨機(jī)游動變?yōu)榭熳儾环€(wěn)定性態(tài).但是投資者出于自身利益考慮,會放棄即將崩潰的市場,或者涌向繁榮的市場而使之飽和,使得不穩(wěn)定的失控性態(tài)受到遏制(quenching),這種遏制將足以保證資產(chǎn)價格在一段時期內(nèi)有界.一般情況下,所觀測到的信號或者是混沌的或者是周期的,也存在既有混沌成份又有可重復(fù)成份的半混沌信號.Berezowski和Grabski發(fā)現(xiàn)觸發(fā)態(tài)(flip-flop)系統(tǒng)的狀態(tài)變量可以產(chǎn)生半混沌信號,即時間序列中即有混沌成份又有周期成份,即有可預(yù)測成份又有不可預(yù)測成分.混沌時間序列重構(gòu)是非線性動力學(xué)研究中的一個前沿性問題.Takens嵌入定理是分析非線性確定性動力學(xué)系統(tǒng)時間序列的理論基礎(chǔ).它表明為探測、利用時間序列中原來認(rèn)為是隨機(jī)的那些確定性態(tài),可以對原數(shù)據(jù)集重新檢查或構(gòu)造新實(shí)驗(yàn),即重構(gòu)原系統(tǒng).這就產(chǎn)生了一個新的研究分支——混沌時間序列分析.但是這個定理要求動力學(xué)和觀測都是自治的,即與時間和任何外部因素都無關(guān).這個要求在實(shí)際中一般不成立.Stark研究了該定理在實(shí)際中的推廣形式,即對確定性受迫系統(tǒng)的時滯“嵌入”問題,證明了受迫系統(tǒng)在受迫未知和人為強(qiáng)迫兩種情況下可以使用Takens嵌入定理的條件.這樣就把Takens嵌入定理推廣到了實(shí)際系統(tǒng)中,建立了分析非線性隨機(jī)系統(tǒng)時間序列的新框架.這個結(jié)論為分析實(shí)際非線性系統(tǒng)的混沌吸引子提供了可能,但是它僅適用于低維系統(tǒng).事實(shí)上,如果維數(shù)大于5,混沌吸引子就不能通過時間序列分析來確認(rèn),因?yàn)樾枰煳臄?shù)字的數(shù)據(jù)量和極低的噪音水平.更有效的分析高維混沌的方法是否存在呢?Bünner等研究了將具有一個時滯反饋多組分系統(tǒng)向高維時滯系統(tǒng)映射的問題.嵌入空間的維數(shù)證明與時滯、吸引子的維數(shù)無關(guān),因此提出的關(guān)于高維混沌情況下標(biāo)準(zhǔn)嵌入技巧的方法很有效.雖然當(dāng)時滯映射被用來復(fù)制連續(xù)時間系統(tǒng)的動力學(xué)時,映射不是精確的,但是誤差可以控制在一定范圍之內(nèi).Fridman通過構(gòu)造Lyapunov-Krasovskii泛函、采用“中立型表達(dá)”等變換,研究了線性滯后和中立型時滯微分方程組的穩(wěn)定性,得到了系統(tǒng)的穩(wěn)定性條件.這些條件可能與時滯有關(guān),也可能與之無關(guān).Harrington和Socolar使用時滯反饋的空間局部形式,可使一維系統(tǒng)的平面波解穩(wěn)定,由于擾動的出現(xiàn),時滯反饋不能使二維系統(tǒng)的平面波解穩(wěn)定.Just在文中研究了系數(shù)時變、線性齊次的時滯系統(tǒng)的Floquet特征值譜的問題.利用連續(xù)分?jǐn)?shù)展開方法,討論了最大特征值與系統(tǒng)參數(shù)的關(guān)系,結(jié)果表明通過時滯反饋可以改善對混沌的控制.7非線性時滯動力系統(tǒng)的魯棒穩(wěn)定性問題從上面的綜述中可以看出,與通常的力學(xué)和物理學(xué)中的非線性系統(tǒng)相比,時滯系統(tǒng)具有顯著不同的特點(diǎn),它不同于由偏微分方程描述的動力學(xué)系統(tǒng),顯然,研究難度更大.無論是離散系統(tǒng)(常微分方程)還是連續(xù)體系統(tǒng)(偏微分方程)的研究方法都不能直接用于時滯系統(tǒng)的研究中,在研究中要遇到來自非線性、時滯以及計(jì)算方法的匱乏諸方面的困難.另一方面,從現(xiàn)有的研究中已經(jīng)知道,非線性時滯動力系統(tǒng)可以表現(xiàn)出比無時滯非線性系統(tǒng)更為復(fù)雜和豐富的動力學(xué)行為.國內(nèi)外對時滯動力系統(tǒng)的動力學(xué)研究主要還是集中在幾個典型的問題方面,結(jié)論相對是平凡的,還鮮有新現(xiàn)象的報(bào)道.人們對時滯系統(tǒng)動力學(xué)的認(rèn)識還很有限.數(shù)值模擬結(jié)果顯示,對某些特定的參數(shù)和初值條件,具有時滯的單自由度自治Duffing振子似乎也能呈現(xiàn)出生命科學(xué)中FitzHugh-Nagumo等模型的某些動力學(xué)特性.這表明,即使對我們已經(jīng)非常熟悉的簡單振子,考慮到時滯的影響,仍有許多問題有待我們作更深入的理論研究,仍然可能有許多新的現(xiàn)象有待我們?nèi)グl(fā)現(xiàn).例如以時滯反饋控制為中心的控制策略、非線性因素和時滯聯(lián)合作用的影響、時滯導(dǎo)致的多級分岔使系統(tǒng)呈現(xiàn)出復(fù)雜動力學(xué)行為、以時滯狀態(tài)變量耦合為中心構(gòu)成的網(wǎng)絡(luò)系統(tǒng)計(jì)算模型對系統(tǒng)的影響等問題都是非線性動力學(xué)系統(tǒng)所沒有遇到的科學(xué)基礎(chǔ)問題.我們認(rèn)為,以下4個方面將是今后幾年時滯系統(tǒng)動力學(xué)研究關(guān)注的熱點(diǎn)問題:(1)以時滯反饋為中心的控制與魯棒控制在線性時滯系統(tǒng)的狀態(tài)反饋控制綜合問題中,從時滯系統(tǒng)的無限維狀態(tài)空間的觀點(diǎn)來看,記憶反饋控制器的使用可以期望能夠取得比無記憶狀態(tài)反饋控制器更好的性能.而目前大多限于使用有限維的LMI方法,難以用于記憶控制反饋綜合問題.因此,如何把無限維的線性矩陣不等式約化,使用對有限個線性矩陣不等式的解來構(gòu)造無限維線性矩陣不等式的解這一關(guān)鍵性問題仍然受到關(guān)注.從非線性動力學(xué)的角度出發(fā),分岔控制與混沌控制也對系統(tǒng)參數(shù)非常敏感,這就要求系統(tǒng)的動力學(xué)特性是魯棒的,施加的控制也具有魯棒性.只有當(dāng)系統(tǒng)的動力學(xué)與控制具有魯棒性時,才是工程上現(xiàn)實(shí)可行的.因此,如何有效地分析