河南省中原名校2023-2024學年高二數學第一學期期末質量檢測試題含解析

河南省中原名校2023-2024學年高二數學第一學期期末質量檢測試題注意事項：1．答題前，考生先將自己的姓名、準考證號填寫清楚，將條形碼準確粘貼在考生信息條形碼粘貼區(qū)。2．選擇題必須使用2B鉛筆填涂；非選擇題必須使用0．5毫米黑色字跡的簽字筆書寫，字體工整、筆跡清楚。3．請按照題號順序在各題目的答題區(qū)域內作答，超出答題區(qū)域書寫的答案無效；在草稿紙、試題卷上答題無效。4．保持卡面清潔，不要折疊，不要弄破、弄皺，不準使用涂改液、修正帶、刮紙刀。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．已知雙曲線的左、右焦點分別為，點A在雙曲線上，且軸，若則雙曲線的離心率等于（）A. B.C.2 D.32．已知等比數列的前n項和為，若，，則（）A.250 B.210C.160 D.903．以下四個命題中，正確的是（）A.若，則三點共線B.C.為直角三角形的充要條件是D.若為空間的一個基底，則構成空間的另一個基底4．在等比數列{}中，，，則=（）A.9 B.12C.±9 D.±125．在空間直角坐標系下，點關于軸對稱的點的坐標為（）A. B.C. D.6．曲線：在點處的切線方程為A. B.C. D.7．如圖，已知多面體，其中是邊長為4的等邊三角形，四邊形是矩形，，平面平面，則點到平面的距離是（）A. B.C. D.8．若橢圓的短軸為,一個焦點為,且為等邊三角形的橢圓的離心率是A. B.C. D.9．為調查學生的課外閱讀情況，學校從高二年級四個班的182人中隨機抽取30人了解情況，若用系統(tǒng)抽樣的方法，則抽樣的間隔和隨機剔除的個數分別為（）A.6，2 B.2，3C.2，60 D.60，210．已知圓：的面積被直線平分，圓：，則圓與圓的位置關系是（）A.相離 B.相交C.內切 D.外切11．已知數列滿足，且，，則（）A. B.C. D.12．過點的直線在兩坐標軸上的截距之和為零，則該直線方程為()A. B.C.或 D.或二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．已知為橢圓C：的兩個焦點，P，Q為C上關于坐標原點對稱的兩點，且，則四邊形的面積為________14．半徑為的球的體積為_________15．已知，命題p：，；命題q：，，且為真命題，則a的取值范圍為______16．已知長方體中，，，則點到平面的距離為______三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）在①，②，③這三個條件中任選一個補充在下面問題中，并解答下列題目設首項為2的數列的前n項和為，前n項積為，且______（1）求數列的通項公式；（2）若數列的前n項和為，令，求數列的前n項和18．（12分）某蓮藕種植塘每年的固定成本是2萬元，每年最大規(guī)模的種植量是8萬千克，每種植1萬千克蓮藕，成本增加0.5萬元.種植萬千克蓮藕的銷售額(單位：萬元)是(是常數)，若種植2萬千克蓮藕，利潤是1.5萬元，求：（1）種植萬千克蓮藕利潤(單位：萬元)為的解析式；（2）要使利潤最大，每年需種植多少萬千克蓮藕，并求出利潤的最大值.19．（12分）已知公差不為零的等差數列的前項和為，，且，，成等比數列（1）求的通項公式；（2）記，求數列的前項和20．（12分）如圖，已知圓錐SO底面圓的半徑r=1，直徑AB與直徑CD垂直，母線SA與底面所成的角為.（1）求圓錐SO的側面積；（2）若E為母線SA的中點，求二面角E-CD-B的大小.（結果用反三角函數值表示）21．（12分）已知函數.（1）求函數的極值；（2）若對恒成立，求實數a的取值范圍.22．（10分）已知等比數列的前項和為，且，.（1）求的通項公式；（2）求.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、B【解析】由雙曲線定義結合通徑公式、化簡得出，最后得出離心率.【詳解】，，，解得故選：B2、B【解析】設為等比數列，由此利用等比數列的前項和為能求出結果【詳解】設，等比數列的前項和為為等比數列，為等比數列，解得故選：B3、D【解析】利用向量共線的推論可判斷A，利用數量積的定義可判斷B，利用充要條件的概念可判斷C，利用基底的概念可判斷D.【詳解】對于A，若，，所以三點不共線，故A錯誤；對于B，因為，故B錯誤；對于C，由可推出為直角三角形，由為直角三角形，推不出，所以為直角三角形的充分不必要條件是，故C錯誤；對于D，若為空間的一個基底，則不共面，若不能構成空間的一個基底，設，整理可得，即共面，與不共面矛盾，所以能構成空間的另一個基底，故D正確.故選：D.4、D【解析】根據題意，設等比數列的公比為，由等比數列的性質求出，再求出【詳解】根據題意，設等比數列的公比為，若，，則，變形可得，則，故選：5、C【解析】由空間中關于坐標軸對稱點坐標的特征可直接得到結果.【詳解】關于軸對稱的點的坐標不變，坐標變?yōu)橄喾磾?，關于軸對稱的點為.故選：C.6、A【解析】因為，所以曲線在點（1,0）處的切線的斜率為，所以切線方程為，即，選A7、C【解析】利用面面垂直性質結合已知尋找兩兩垂直的三條直線建立空間直角坐標系，用向量法可解.【詳解】取的中點O，連接OB，過O在平面ACDE面內作交DE于F∵平面平面ABC，平面ACDE平面ABC=AC，平面ACDE，∴平面ABC∴∵是邊長為4的等邊三角形，四邊形ACDE是矩形，∴以O為原點，OA，OB，OF分別為x，y，z軸，建立如圖所示空間直角坐標系則，，，設平面ABD的單位法向量，，由解得取，則∴點C到平面ABD的距離.故選：C8、B【解析】因為為等邊三角形,所以.考點：橢圓的幾何性質.點評：橢圓圖形當中有一個特征三角形，它的三邊分別為a,b,c.因而可據此求出離心率.9、A【解析】根據系統(tǒng)抽樣的方法即可求解.【詳解】從人中抽取人，除以,商余，故抽樣的間隔為，需要隨機剔除人.故選：A.10、D【解析】根據題意，圓：的面積被直線平分，即直線經過圓的圓心，由此求出兩圓的圓心和半徑，然后判斷兩個圓的位置關系即可【詳解】根據題意，圓：，即，其圓心為，半徑，圓：的面積被直線平分，即直線經過圓的圓心，則有1?m＋1＝0，解可得m＝2，即所以圓的圓心（1，?1），半徑為1，圓的標準方程是，圓心（?2，3），半徑為4，其圓心距，所以兩個圓外切，故選：D.11、A【解析】由已知兩個不等式，利用“兩邊夾”思想求得，然后利用累加法可求得【詳解】∵，∴，∴，又，∴，即，∴故選：A【點睛】本題考查數列的遞推式，由遞推式的特征，采用累加法求得數列的項．解題關鍵是利用“兩邊夾”思想求解12、D【解析】分截距為零和不為零兩種情況討論即可﹒【詳解】當直線過原點時，滿足題意，方程為，即2x－y＝0；當直線不過原點時，設方程為，∵直線過(1，2)，∴，∴，∴方程為，故選：D﹒二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解析】根據已知可得，設，利用勾股定理結合，求出，四邊形面積等于，即可求解.【詳解】因為為上關于坐標原點對稱的兩點，且，所以四邊形為矩形，設，則，所以，，即四邊形面積等于.故答案為：.14、【解析】根據球的體積公式求解【詳解】根據球的體積公式【點睛】球的體積公式15、【解析】先求出命題p,q為真命題時的a的取值范圍，根據為真可知p,q都是真命題,即可求得答案.【詳解】命題p：，為真時，有，命題q：，為真時，則有，即，故為真命題時，且，即，故a的取值范圍為，故答案為：16、##2.4【解析】過作于，可證即為點到平面的距離.【詳解】過作于，∵是長方體，∴平面平面，又∵平面平面，∴平面，設點到平面的距離為，∵∥平面，∴根據等面積法得，故答案為：.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）；（2）.【解析】（1）選擇不同的條件，再通過構造數列以及累乘法即可求得對應情況下的通項公式；（2）根據（1）中所求，求得，再利用錯位相減法求其前項和即可.【小問1詳解】選①：∵，即，∴.即，∴數列是常數列，∴，故；選②：∵，∴時，，則，即∴，∴；當時，也滿足，∴；選③：得，所以數列是等差數列，首項為2，公差為1則，∴.【小問2詳解】由（1）知當時，，∴又∵時，，符合上式，∴∴∴而相減得∴.18、（1），；（2）6萬千克，萬元.【解析】(1)根據題意找等量關系即可求g(x)解析式，根據函數值可求a；(2)根據g(x)導數研究其單調性并求其最大值即可.【小問1詳解】種植萬千克蓮藕的利潤(單位：萬元)為：，，即，，當時，，解得，故，；【小問2詳解】，當時，，當時，，∴函數在上單調遞增，在上單調遞減，∴時，利潤最大為萬元.19、（1）（2）【解析】（1）設數列的公差為，由，且，，，利用“”法求解；（2）由，利用裂項相消法求解.【小問1詳解】解：，，設數列的公差為，則，，，由題知，整理得，解得，（舍去），，則.【小問2詳解】，則=.20、（1）（2）【解析】（1）先根據母線與底面的夾角求出圓錐的母線長，然后根據圓錐的側面積公式即可（2）利用三角形的中位線性質，先求出二面角，然后利用二面角與二面角的互補關系即可求得【小問1詳解】根據母線SA與底面所成的角為，且底面圓的半徑可得：則圓錐的側面積為：【小問2詳解】如圖所示，過點作底面的垂線交于，連接，則為的中位線則有：，，易知，則，又直徑AB與直徑CD垂直，則則有：為二面角可得：又二面角與二面角互為補角，則二面角的余弦值為故二面角大小為21、（1）極大值為，無極小值（2）【解析】（1）求函數的導數，根據導數的正負判斷極值點，代入原函數計算即可；（2）將變形，即對恒成立，然后構造函數，利用求導判定函數的單調性，進而確定實數a的取值范圍..【小問1詳解】對函數求導可得：,可知當時，時，，即可知在上單調遞增，在上單調遞減由上可知，的極大值為，無極小值【小問2詳解】由對恒成立,當時，恒成立；當時，對恒成立,可變形為：對恒成立,令，則;求導可得：由（1）知即恒成