人教版 弧、弦、圓心角【十大題型】（解答版）

PAGE1 專題24.3弧、弦、圓心角【十大題型】 【人教版】【題型1圓心角、弧、弦的概念辨析】 1【題型2利用圓心角、弧、弦的關(guān)系求角度】 4【題型3用圓心角、弧、弦的關(guān)系求線段長度】 7【題型4利用圓心角、弧、弦的關(guān)系求周長】 12【題型5利用圓心角、弧、弦的關(guān)系求面積】 15【題型6利用圓心角、弧、弦的關(guān)系求弧的度數(shù)】 19【題型7利用圓心角、弧、弦的關(guān)系比較大小】 23【題型8利用圓心角、弧、弦的關(guān)系進(jìn)行證明】 26【題型9利用圓心角、弧、弦的關(guān)系確定線段間的倍數(shù)關(guān)系】 30【題型10利用圓心角、弧、弦的關(guān)系求最值】 34【知識(shí)點(diǎn)弧、弦、角、距的概念】（1）定理：在同圓和等圓中，相等的圓心角所對(duì)的弧相等，所對(duì)的弦也相等．

（2）推論：在同圓或等圓中，如果兩個(gè)圓心角、兩條弧、兩條弦中有一組量相等，那么它們所對(duì)應(yīng)的其余各組量都分別相等．

說明：同一條弦對(duì)應(yīng)兩條弧，其中一條是優(yōu)弧，一條是劣弧，而在本定理和推論中的“弧”是指同為優(yōu)弧或劣?。?/p>

（3）正確理解和使用圓心角、弧、弦三者的關(guān)系

三者關(guān)系可理解為：在同圓或等圓中，①圓心角相等，②所對(duì)的弧相等，③所對(duì)的弦相等，三項(xiàng)“知一推二”，一項(xiàng)相等，其余二項(xiàng)皆相等．這源于圓的旋轉(zhuǎn)不變性，即：圓繞其圓心旋轉(zhuǎn)任意角度，所得圖形與原圖形完全重合．【題型1圓心角、弧、弦的概念辨析】【例1】（2023秋·九年級(jí)課時(shí)練習(xí)）如圖所示，在⊙O中，AB=CD，則在①AB=CD；②AC=BD；③∠AOC=∠BOD；④AC=BD中，正確結(jié)論的個(gè)數(shù)是（

）

A．1 B．2 C．3 D．4【答案】D【分析】利用同圓或等圓中弧，弦以及所對(duì)的圓心角之間的關(guān)系逐項(xiàng)分析即可．【詳解】解：∵在⊙O中，AB=∴AB=CD，故①正確；∵BC為公共弧，∴AC=∴AC=BD，故②正確；∴∠AOC=∠BOD，故③正確；綜上分析可知，正確的有4個(gè)．故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查了弧，弦、圓心角之間的關(guān)系：在同圓和等圓中，相等的圓心角所對(duì)的弧相等，所對(duì)的弦也相等以及推論：在同圓或等圓中，如果兩個(gè)圓心角、兩條弧、兩條弦中有一組量相等，那么它們所對(duì)應(yīng)的其余各組量都分別相等．【變式1-1】（2023秋·全國·九年級(jí)專題練習(xí)）下列說法正確的是（

）A．相等的圓心角所對(duì)的弧相等 B．在同圓中，等弧所對(duì)的圓心角相等C．弦相等，圓心到弦的距離相等 D．圓心到弦的距離相等，則弦相等【答案】B【分析】圓心角、弧、弦、圓心到弦的距離的關(guān)系的前提“在同圓和等圓中”，據(jù)此逐項(xiàng)判定即可．【詳解】解：A、在同圓和等圓中，相等的圓心角所對(duì)的弧相等，故此選項(xiàng)不符合題意；B、在同圓中，等弧所對(duì)的圓心角相等，故此選項(xiàng)符合題意；C、在同圓和等圓中，弦相等，圓心到弦的距離相等，故此選項(xiàng)不符合題意；D、在同圓和等圓中，圓心到弦的距離相等，則弦相等，故此選項(xiàng)不符合題意；故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查了圓心角、弧、弦、圓心到弦的距離的關(guān)系，解題關(guān)鍵是熟練掌握在同圓或等圓中，圓心角、圓心角所對(duì)弧、圓心角所對(duì)弦、圓心到弦的距離中有一組量相等，則其余各組量也相等．【變式1-2】（2023秋·全國·九年級(jí)專題練習(xí)）判斷下列命題是真命題還是假命題（寫在橫線上）：（1）在同圓中，如果圓心角相等，那么它們所對(duì)的弧也相等．（2）在等圓中，如果弦相等，那么它們所對(duì)的弧也相等．（3）在同圓或等圓中，如果弧相等，那么它們所對(duì)的弦的弦心距也相等．（4）在等圓中，如果弧不相等，那么它們所對(duì)的弦也不相等．【答案】真命題假命題真命題假命題【分析】根據(jù)圓的相關(guān)性質(zhì)分別判斷各命題的真假．【詳解】解：對(duì)于（1），在同圓中，如果圓心角相等，那么它們所對(duì)的弧也相等，原命題為真命題；對(duì)于（2），在等圓中，如果弦相等，那么它們所對(duì)的弧不一定相等，因?yàn)橐粭l弦對(duì)應(yīng)兩條弧，原命題為假命題；對(duì)于（3），在同圓或等圓中，如果弧相等，那么它們所對(duì)的弦的弦心距也相等，原命題為真命題；對(duì)于（4），在等圓中，如果弧不相等，那么它們所對(duì)的弦有可能相等，如圓心角分別為30°和330°所對(duì)的兩條弧，其所對(duì)的弦相等，原命題為假命題．故答案為：真命題，假命題，真命題，假命題．【點(diǎn)睛】本題考查了同圓或等圓中圓心角，弧長，弦長的關(guān)系，熟練掌握相關(guān)性質(zhì)定理是解題的關(guān)鍵．【變式1-3】（2023·全國·九年級(jí)專題練習(xí)）如圖，△ABC的頂點(diǎn)A、B、C均在⊙O上，點(diǎn)A是CB中點(diǎn)，則下列結(jié)論正確的是（）

A．AB=OC B．∠BAC+∠AOC=180°C．BC=2AC D．∠BAC+【答案】B【分析】直接利用圓心角、弧、弦的關(guān)系得出各線段、角的關(guān)系即可解答．【詳解】解：A、∵點(diǎn)A是CB中點(diǎn)，∴AB=∴AB=AC，無法得出AB=OC，故選項(xiàng)A錯(cuò)誤；B、如圖：連接BO，∵AB=∴∠BOA=∠AOC，∵BO=AO=CO，∴∠OAC=∠BAO=∠ACO，∴∠OAC+∠ACO+∠AOC=∠BAC+∠AOC=180°，故此選項(xiàng)正確；C、∵AB=AC，∴BC≠2AC，故選項(xiàng)C錯(cuò)誤；D、無法得出∠BAC+1故選：B．

【點(diǎn)睛】本題主要考查了圓心角、弧、弦的關(guān)系，正確把握相關(guān)定理是解題關(guān)鍵．【題型2利用圓心角、弧、弦的關(guān)系求角度】【例2】（2023秋·九年級(jí)課時(shí)練習(xí)）如圖，AB是⊙O的直徑，點(diǎn)C，D在⊙O上，AC=AD，∠AOD=70°，則∠BCO的度數(shù)是（

A．30° B．35° C．40° D．55°【答案】B【分析】首先由AC=AD，∠AOD=70°可得∠AOC=∠AOD=70°，再由OB=OC可得出【詳解】解：∵在⊙O中，AC=AD∴∠AOC=∠AOD=70°，∵OB=OC，∴∠OBC=∠OCB=1故選：B．【點(diǎn)睛】此題考查了弧與圓心角的關(guān)系、等腰三角形的性質(zhì)及三角形外角的性質(zhì)，掌握數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用是解題的關(guān)鍵．【變式2-1】（2023秋·全國·九年級(jí)專題練習(xí)）如圖，A、B、C、D是⊙O上的點(diǎn)，如果AB=CD，∠AOB=70°，那么∠COD=．

【答案】70°【分析】根據(jù)圓心角、弧、弦三者的關(guān)系可解答．【詳解】解：∵AB=CD，∴∠COD=∠AOB=70°，故答案為：70°．【點(diǎn)睛】本題主要考查圓心角、弧、弦三者的關(guān)系，解題的關(guān)鍵是掌握在同圓或等圓中，①圓心角相等，②所對(duì)的弧相等，③所對(duì)的弦相等，三項(xiàng)“知一推二”，一項(xiàng)相等，其余二項(xiàng)皆相等．【變式2-2】（2023秋·四川成都·九年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖半徑OA，OB，OC將一個(gè)圓分成三個(gè)大小相同扇形，其中OD是∠AOB的角平分線，A．100° B．110° C．120° D．130°【答案】A【分析】先根據(jù)已知易得AB=BC=AC，從而可得【詳解】解：∵半徑OA，∴AB=∴∠AOB=∠BOC=∠AOC=120°，∵OD是∠AOB的角平分線，∴∠AOD=1∵∠AOE=1∴∠AOE=1∴∠DOE=∠AOD+∠AOE=100°，故選：A．【點(diǎn)睛】本題考查了圓心角、弧、弦的關(guān)系，熟練掌握?qǐng)A心角、弧、弦的關(guān)系是解題的關(guān)鍵．【變式2-3】（2023春·內(nèi)蒙古巴彥淖爾·九年級(jí)?？计谥校┤鐖D，EF、CD是⊙O的兩條直徑，A是劣弧DF的中點(diǎn)，若∠EOD=32°，則∠CDA的度數(shù)是（

）

A．37° B．74° C．53° D．63°【答案】C【分析】首先根據(jù)“同弧或等弧所對(duì)的弦長相等，對(duì)的圓心角也相等”求得∠DOA=74°，再根據(jù)等腰三角形“等邊對(duì)等角”的性質(zhì)求解即可．【詳解】解：如下圖，連接OA，

∵A是劣弧DF的中點(diǎn)，即DA=∴∠DOA=∠FOA，∵∠EOD=32°，∴∠DOA=∠FOA=1∵OD=OA，∴∠ODA=∠OAD=1即∠CDA=53°．故選：C．【點(diǎn)睛】本題主要考查了弧與圓心角的關(guān)系、等腰三角形的性質(zhì)、三角形內(nèi)角和定理等知識(shí)，熟練掌握相關(guān)知識(shí)并靈活運(yùn)用是解題關(guān)鍵．【題型3用圓心角、弧、弦的關(guān)系求線段長度】【例3】（2023秋·全國·九年級(jí)專題練習(xí)）如圖，AB是⊙O的直徑，CD、BE是⊙O的兩條弦，CD交AB于點(diǎn)G，點(diǎn)C是BE的中點(diǎn)，點(diǎn)B是CD的中點(diǎn)，若AB=10，BG=2，則BE的長為（

）

A．3 B．4 C．6 D．8【答案】D【分析】先根據(jù)垂徑定理的推論得到AB⊥CD，CD=2CG，再利用勾股定理求出CG=4，進(jìn)而得到CD=2CG=8，再證明BE=CD，則【詳解】解：如圖所示，連接OC，∵點(diǎn)B是CD的中點(diǎn)，AB是⊙O的直徑，∴AB⊥CD，BC=∴CD=2CG，∵AB=10，∴OC=OB=1∵BG=2，∴OG=3，在Rt△COG中，由勾股定理得CG=∴CD=2CG=8，∵點(diǎn)C是BE的中點(diǎn)，∴BC=∴BC=∴BE=∴BE=CD=8，故選D．

【點(diǎn)睛】本題主要考查了垂徑定理的推論，勾股定理，弧與弦之間的關(guān)系，正確作出輔助線構(gòu)造直角三角形是解題的關(guān)鍵．【變式3-1】（2023秋·江蘇·九年級(jí)專題練習(xí)）將半徑為5的⊙O如圖折疊，折痕AB長為8，C為折疊后AB的中點(diǎn)，則OC長為（

）A．2 B．3 C．1 D．2【答案】C【分析】延長OC交⊙O于點(diǎn)D，交AB于點(diǎn)E，連接OA、OB、AC、BC，根據(jù)圓心角、弧、弦、的關(guān)系由AC=BC得到AC=BC，可以判斷OC是AB的垂直平分線，則AE=BE=4，再利用勾股定理求出OE=3，所以DE=2，然后利用點(diǎn)C和點(diǎn)D關(guān)于AB對(duì)稱得出CE=2，最后計(jì)算【詳解】解：延長OC交⊙O于點(diǎn)D，交AB于點(diǎn)E，連接OA、OB、AC、BC，如圖，∵C為折疊后AB的中點(diǎn)，∴AC=∴AC=BC，∵OA=OB，∴OC是AB的垂直平分線，∴AE=BE=1在Rt△AOE中，OE=∴DE=OD?OE=5?3=2，∵ADB沿AB折疊得到ACB，CD⊥AB，∴點(diǎn)C和點(diǎn)D關(guān)于AB對(duì)稱，∴CE=DE=2，∴OC=OE?CE=3?2=1，故選C【點(diǎn)睛】本題主要考查了圖形的折疊變換，圓的對(duì)稱性，圓心角、弧、弦、弦心距之間的關(guān)系以及勾股定理等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是熟練掌握?qǐng)A的對(duì)稱性及折疊前后的對(duì)應(yīng)關(guān)系．【變式3-2】（2023·全國·九年級(jí)專題練習(xí)）如圖，點(diǎn)C是直徑AB的三等分點(diǎn)AC<CB，點(diǎn)D是弧ADB的三等分點(diǎn)BD<AD，若直徑AB=12，則【答案】2【分析】過D作DE⊥AB于E，求出∠DOB=60°，解直角三角形求出DE、OE的長度，求出CE，再根據(jù)勾股定理求出DC即可．【詳解】解：如圖，過D作DE⊥AB于E，則∠DEC=90°，∵點(diǎn)C是直徑AB的三等分點(diǎn)AC<CB，直徑∴AC=4，BC=8，OD=OA=OB=6，∴CO=2，∵點(diǎn)D是弧ADB的三等分點(diǎn)BD<∴∠DOB=1∴∠ODE=30°，∴OE=1DE=O∴CE=OE+CO=3+2=5，∴DC=D故答案為：213【點(diǎn)睛】本題考查了圓心角、弧、弦之間的關(guān)系和直角三角形的性質(zhì)，能求出∠DOB=60°和半徑的長度是解此題的關(guān)鍵．【變式3-3】（2023·江蘇蘇州·統(tǒng)考二模）如圖，在直徑為10的⊙O中，兩條弦AB，CD分別位于圓心的異側(cè)，AB∥CD，且CD=2AC，若AB=8，則CD的長為

【答案】4【分析】過O作OE⊥AB于E，交⊙O于M，反向延長OE交CD于點(diǎn)F，交⊙O于點(diǎn)N，則AE=12AB=4，連接AN,AO,AM，則MN為⊙O的直徑．根據(jù)平行線的性質(zhì)得到MN⊥CD【詳解】解：過O作OE⊥AB于E，交⊙O于M，反向延長OE交CD于點(diǎn)F，交⊙O于點(diǎn)N，如圖所示：

則AE=1連接AN,AO,AM，則MN為⊙O的直徑，∵AB∥∴MN⊥CD，∴CN∵CD∴CN∴CD∴AN=CD，在Rt△AOE中，OE=O∴ME=5?3=2，在Rt△AEN中，AN=A∴CD=AN=45故答案為45【點(diǎn)睛】本題考查了勾股定理，垂徑定理．正確作出輔助線構(gòu)造直角三角形是解題的關(guān)鍵．【題型4利用圓心角、弧、弦的關(guān)系求周長】【例4】（2023秋·浙江臺(tái)州·九年級(jí)?？茧A段練習(xí)）如圖，AB是⊙O的直徑，四邊形ABCD內(nèi)接于⊙O，若BC=CD=DA=4cm，則⊙O的周長為．【答案】8πcm【分析】如圖，連接OD、OC．根據(jù)圓心角、弧、弦的關(guān)系證得△AOD是等邊三角形，則⊙O的半徑長為DA=4cm；然后由圓的周長公式進(jìn)行計(jì)算．【詳解】解：如圖，連接OD、OC．∵AB是⊙O的直徑，四邊形ABCD內(nèi)接于⊙O，若BC=CD=DA=4cm，∴AD=∴∠AOD=∠DOC=∠BOC=60°．又OA=OD，∴△AOD是等邊三角形，∴OA=AD=4cm，∴⊙O的周長=2×4π=8π（cm）．故答案為：8πcm．【點(diǎn)睛】本題考查了圓心角、弧、弦的關(guān)系，等邊三角形的判定．該題利用“有一內(nèi)角是60度的等腰三角形為等邊三角形”證得△AOD是等邊三角形．【變式4-1】（2023秋·浙江寧波·九年級(jí)?？计谥校┤鐖D，⊙O的一條弦分圓周長為1：4兩部分．試求弦AB所對(duì)的圓心角和圓周角的度數(shù)(畫出圖形并給出解答)．【答案】圓周角∠ACB＝36°或∠ADB＝144°.【分析】求弦所對(duì)的圓周角，要分情況考慮：當(dāng)圓周角在優(yōu)弧上或在劣弧上．根據(jù)同弧所對(duì)的圓周角等于圓心角的一半即可求解．【詳解】如圖，∵弦AB分圓周長為1：4∴弧AB＝15∴圓心角∠AOB＝72°，﹣圓周角∠ACB＝36°或∠ADB＝144°【點(diǎn)睛】本題考查了圓心角、弧、弦以及圓周角定理，要特別注意弦所對(duì)的圓周角應(yīng)分兩種情況．【變式4-2】（2023秋?西林縣期末）如圖，在⊙O中，∠AOB＝60°，弦AB＝3cm，那么△AOB的周長為9cm．【分析】由OA＝OB，得△OAB為等邊三角形進(jìn)行解答．【解答】解：∵OA＝OB，∠AOB＝60°，∴△OAB為等邊三角形，∴OA＝OB＝AB∵AB＝3cm，∴△AOB的周長為3+3+3＝9（cm）．故答案為：9cm．【變式4-3】（2023?江北區(qū)校級(jí)開學(xué)）如圖，⊙O的弦AC＝BD，且AC⊥BD于E，連接AD，若AD＝36，則⊙O的周長為63π．【分析】接AB，AO，DO，根據(jù)⊙O的弦AC＝BD求出BC=AD，根據(jù)圓周角定理求出∠BAC＝∠ABD，求出∠ABD＝∠BAC【解答】解：連接AB，AO，DO，∵⊙O的弦AC＝BD，∴ABC=∴BC=∴∠BAC＝∠ABD，∵AC⊥BD，∴∠AEB＝90°，∴∠ABD＝∠BAC=1∴∠AOD＝2∠ABD＝90°，即△AOD是等腰直角三角形，∵AD＝36，AO2+OD2＝AD2，∴AO＝33，∴⊙O的周長是2×π×33=63故答案為63π．【題型5利用圓心角、弧、弦的關(guān)系求面積】【例5】（2023秋·九年級(jí)單元測(cè)試）如圖，已知圓內(nèi)接四邊形ABCD中，對(duì)角線AD是⊙O的直徑，AB=BC=CD=2，E是AD的中點(diǎn)，則△ADE的面積是．【答案】4【分析】四邊形ABCD是梯形，連接OB，則OBCD是菱形，即可求得AD的長，而△AED是等腰直角三角形，就可求得△ADE的面積．【詳解】解：連接EO，∵AB=BC=CD=2，∴∠AOB=180÷3=60°，∴△AOB是等邊三角形，那么OA=AB=2，那么AD=2OA=4．∵E是AD的中點(diǎn)，∴AE=DE，∴EO⊥AD，∵EO=2，∴△ADE的面積=12故答案為4【點(diǎn)睛】本題用到的知識(shí)點(diǎn)為：弦相等，那么所對(duì)的圓心角也相等．【變式5-1】（2023?嘉興二模）如圖所示，在10×10的正方形網(wǎng)格中有一半徑為5的圓，一條折線將它分成甲、乙兩部分．S甲表示甲的面積，則S甲＝25π2【分析】由題意得到AB＝CD＝6，AD＝BC＝8，求得S弓形AD＝S弓形BC，S弓形AB＝S弓形CD，根據(jù)三角形的面積公式得到S△ABE+S△DEF＝S△BEF+S△CDF，于是得到結(jié)論．【解答】解：如圖，AB＝CD＝6，AD＝BC＝8，∴S弓形AD＝S弓形BC，S弓形AB＝S弓形CD，∵S△ABE+S△DEF＝S△BEF+S△CDF，∴S甲＝S乙=12S圓故答案為：25π2【變式5-2】（2023秋·江蘇蘇州·九年級(jí)蘇州草橋中學(xué)校考期中）如圖，在O中，AC=CB，CD⊥OA于點(diǎn)D，CE⊥OB于點(diǎn)E．（1）求證：CD=CE；（2）若∠AOB=120°，OA=2，求四邊形DOEC的面積．【答案】（1）詳見解析；（2）3【分析】（1）連接OC，由AC=BC，可得∠AOC=∠BOC，又CD⊥OA，CE⊥OB，由角平分線定理可得CD=CE；（2）由∠AOB=120°，∠AOC=∠BOC，可得∠AOC=60°，又∠CDO=90°，得∠OCD=30°，可得OD=12OC=1，由勾股定理可得CD=3，可得S△CDO【詳解】（1）證明：連接OC．∵AC=BC，∴∠AOC=∠BOC．∵CD⊥OA，CE⊥OB，∴CD=CE．（2）解：∵∠AOB=120°，∠AOC=∠BOC，∴∠AOC=60°．∵∠CDO=90°，∴∠OCD=30°，∵OC=OA=2，∴OD=1∴CD=O∴S△CDO同理可得S△CBO∴S四邊形CDOE【點(diǎn)睛】本題主要考查了圓心角與弧的關(guān)系，角平分線的性質(zhì)，勾股定理以及面積計(jì)算，熟練掌握?qǐng)A中的相關(guān)定理是解題的關(guān)鍵．【變式5-3】（2023?浙江自主招生）如圖，在半徑為1的⊙O上任取一點(diǎn)A，連續(xù)以1為半徑在⊙O上截取AB＝BC＝CD，分別以A、D為圓心A到C的距離為半徑畫弧，兩弧交于E，以A為圓心O到E的距離為半徑畫弧，交⊙O于F．則△ACF面積是（）A．2 B．3 C．3+224【分析】連OA，OB，AD，DF，過A作AG⊥CF于G點(diǎn)，由AB＝OA＝OB＝1，得到∠AOB＝60°，弧AB的度數(shù)＝60°，而AB＝BC＝CD，得弧ABD的度數(shù)＝3×60°＝180°，所以AD為⊙O的直徑，∠CFA＝60°；再由AN＝AF＝OE，則AD平分NF，EF過O點(diǎn)，弧FD＝弧FA，得到△FAD為等腰直角三角形，可得FA=22AD=2，在Rt△AGF中，GF=12AF=22【解答】解：連OA，OB，AD，DF，過A作AG⊥CF于G點(diǎn)，連OE交⊙O于N，連AN，如圖，∵AB＝OA＝OB＝1，∴△OAB為等邊三角形，∴∠AOB＝60°，∴弧AB的度數(shù)＝60°，又∵AB＝BC＝CD，∴弧AB＝弧BC＝弧CD，∴弧ABD的度數(shù)＝3×60°＝180°，∴AD為⊙O的直徑，∠CFA＝60°，∵AN＝AF＝OE=2∴弧FD＝弧FA，∴△FAD為等腰直角三角形，∴∠FCA＝∠FDA＝45°，F(xiàn)A=22AD在Rt△AGF中，GF=12AF=22，AG在Rt△AGC中，CG＝AG=6∴S△ACF=12CF?AG=12×故選：D．【題型6利用圓心角、弧、弦的關(guān)系求弧的度數(shù)】【例6】（2023?浙江九年級(jí)課時(shí)練習(xí)）把一張圓形紙片按如圖所示方式折疊兩次后展開，圖中的虛線表示折痕，則BC的度數(shù)是（）A．120° B．135° C．150° D．165°【分析】直接利用翻折變換的性質(zhì)得出∠BOD＝30°，再利用弧度與圓心角的關(guān)系得出答案．【解答】解：如圖所示：連接BO，過點(diǎn)O作OE⊥AB于點(diǎn)E，由題意可得：EO=1可得∠EBO＝30°，故∠BOD＝30°，則∠BOC＝150°，故BC的度數(shù)是150°．故選：C．【變式6-1】（2023秋·九年級(jí)課時(shí)練習(xí)）如圖，AB是半圓，O為AB中點(diǎn)，C、D兩點(diǎn)在AB上，且AD∥OC，連接BC、BD．若CD＝62°，則AD的度數(shù)為何？（

）A．56 B．58 C．60 D．62【答案】A【分析】以AB為直徑作圓，如圖，作直徑CM，連接AC，利用AD∥OC，證得∠1＝∠2，得到AM＝DC＝62°，根據(jù)弧AD的度數(shù)是180°﹣62°﹣62°計(jì)算得出結(jié)果．【詳解】解：以AB為直徑作圓，如圖，作直徑CM，連接AC，∵AD∥OC，∴∠1＝∠2，∴AM＝DC＝62°，∴AD的度數(shù)是180°﹣62°﹣62°＝56°，故選：A．【點(diǎn)睛】此題考查兩直線平行內(nèi)錯(cuò)角相等，圓周角定理，正確作出圖形利用半圓的度數(shù)求解是解題的關(guān)鍵．【變式6-2】（2023秋·江蘇淮安·九年級(jí)?？计谥校┤鐖D，在△ABC中，∠C=90°，∠A=20°，以點(diǎn)C為圓心，BC為半徑的圓交AB于點(diǎn)D，交AC于點(diǎn)E，求【答案】50°【分析】連接CD，先根據(jù)三角形內(nèi)角和計(jì)算出∠B=70°，再根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)由CB=CD得到∴∠B=∠BDC=70°，然后再利用三角形內(nèi)角和計(jì)算出∠BCD=40°，再根據(jù)直角的性質(zhì)求出∠DCE=50°，最后根據(jù)圓心角的度數(shù)等于它所對(duì)的弧的度數(shù)求解．【詳解】解：如下圖，連接CD，∵∠C=90°，∴∠B=90°?20°=70°，∵CB=CD，∴∠B=∠BDC=70°，∴∠BCD=180°?70∴∠DCE=90°?40°=50°，∴DE的度數(shù)為50°【點(diǎn)睛】本題考查了圓心角、弧、弦的關(guān)系，解題的關(guān)鍵是掌握：在同圓和等圓中，相等的圓心角所對(duì)的弧相等，所對(duì)的弦也相等；圓心角的度數(shù)等于它所對(duì)的弧的度數(shù)．【變式6-3】（2023春·九年級(jí)單元測(cè)試）如圖，已知AB為⊙O的直徑，CD是⊙O的弦，AB、CD的延長線交于點(diǎn)E，且AB=2DE．(1)若∠E=25°，求∠AOC的度數(shù)；(2)若AC的度數(shù)是BD的度數(shù)的m倍，則m＝．【答案】(1)75°(2)3【分析】（1）根據(jù)AB=2OD得到OD=DE，根據(jù)等腰三角形底角相等得∠ODB=∠DEB=25°，再根據(jù)三角形的外角定理得到∠ODC，從而得到∠OCD=50°，再通過三角形外角定理即可得到∠AOC的度數(shù)．（2）根據(jù)圓弧度數(shù)比等于對(duì)應(yīng)的圓心角之比即可得到答案．【詳解】（1）解：如下圖所示，連接OD，由題意得AB=2OD，∵AB=2DE，∴OD=DE，∴∠ODB=∠DEB=25°，∵OC=OD，∴∠OCD=∠ODC，∵∠ODC=∠ODE+∠DEO=50°,∴∠OCD=50°，∵∠AOC=∠OCE+∠CEO=50°+25°=75°,∴∠AOC=75°；（2）解：∵AC對(duì)應(yīng)的圓心角∠AOC=75°，BD對(duì)應(yīng)的圓心角∠BOD=25°，∴m=∠AOC【點(diǎn)睛】本題考查圓的性質(zhì)和三角形外角定理，解題的關(guān)鍵是熟練掌握?qǐng)A的相關(guān)知識(shí)和三角形外角定理．【題型7利用圓心角、弧、弦的關(guān)系比較大小】【例7】（2023·河北·統(tǒng)考中考真題）如圖，點(diǎn)P1~P8是⊙O的八等分點(diǎn)．若△P1P3P

A．a(chǎn)<b B．a(chǎn)=b C．a(chǎn)>b D．a(chǎn)，b大小無法比較【答案】A【分析】連接P1P2,P2P3，依題意得P1P2=P2P【詳解】連接P1

∵點(diǎn)P1~P8∴P1P∴P又∵△P1P四邊形P3P4∴b?a=P3=在△P1∴b?a=故選A．【點(diǎn)睛】本題考查等弧所對(duì)的弦相等，三角形的三邊關(guān)系等知識(shí)，利用作差比較法比較周長大小是解題的關(guān)鍵．【變式7-1】（2023秋·九年級(jí)課時(shí)練習(xí)）如圖,AB是⊙O的直徑,P是AB上一點(diǎn),C、D分別是圓上的點(diǎn),且∠CPB=∠DPB,弧DB=弧BC,試比較線段PC、PD的大小關(guān)系.【答案】見解析【分析】連接OC、OD，根據(jù)同圓中相等的弧所對(duì)的圓心角相等得∠BOC=∠BOD，即可根據(jù)SAS證得△OPC≌△OPD，則PC=PD可以證得．【詳解】PC=PD.連接OC、OD,則∵BC=BD,∴∠BOC=∠BOD,又OP=OP,OC=OD,∴△OPC≌△OPD,∴PC=PD.【點(diǎn)睛】考查圓心角、弧、弦的關(guān)系，全等三角形的判定與性質(zhì)，證明∠BOC=∠BOD是解題的關(guān)鍵.【變式7-2】（2023春·九年級(jí)課時(shí)練習(xí)）在同圓中，若弧AB和弧CD都是劣弧，且弧AB=2弧CD，那么AB和CD的大小關(guān)系是（

）A．AB=2CD B．AB>2CD C．AB<2CD D．無法比較它們的大小【答案】C【分析】作AB的中點(diǎn)E，連接AE、BE，則AE=BE，根據(jù)題意，得出AE=BE=【詳解】解：如圖，作AB的中點(diǎn)E，連接AE、BE，則AE=∵AB=2∴AE=∴AE=BE=CD，在△ABE中，∵AE+BE>AB，∴AB<2CD，故選項(xiàng)C正確．故選：C【點(diǎn)睛】本題考查了圓心角、弧、弦的關(guān)系、三角形的三邊關(guān)系及應(yīng)用，解本題的關(guān)鍵在充分利用數(shù)形結(jié)合思想．【變式7-3】（2023秋·浙江杭州·九年級(jí)統(tǒng)考期末）計(jì)算機(jī)處理任務(wù)時(shí)，經(jīng)常會(huì)以圓形進(jìn)度條的形式顯示任務(wù)完成的百分比，下面是同一個(gè)任務(wù)進(jìn)行到不同階段時(shí)進(jìn)度條的示意圖：當(dāng)任務(wù)完成的百分比為x時(shí)，線段MN的長度記為d(x)．下列描述正確的是（

）A．當(dāng)x1>x2時(shí)，dxC．當(dāng)x1+x2=1時(shí)，d【答案】C【分析】根據(jù)弧、弦、圓心角的關(guān)系，即可求解．【詳解】解：A、當(dāng)x1>x2時(shí)，B、當(dāng)dx1>dx2C、當(dāng)x1+xD、當(dāng)x1=2x2時(shí)，故選：C【點(diǎn)睛】本題主要考查了弧、弦、圓心角的關(guān)系，熟練掌握弧、弦、圓心角的關(guān)系是解題的關(guān)鍵．【題型8利用圓心角、弧、弦的關(guān)系進(jìn)行證明】【例8】（2023·江蘇·九年級(jí)假期作業(yè)）如圖，已知圓內(nèi)接△ABC中，AB>AC，D為BAC的中點(diǎn)，DE⊥AB于E，求證：BD

【答案】見解析【分析】在BA上截取BF=CA，連接DF，DC，由D為BAC的中點(diǎn)，根據(jù)在同圓或等圓中，如果兩個(gè)圓心角以及它們對(duì)應(yīng)的兩條弧、兩條弦中有一組量相等，則另外兩組量也對(duì)應(yīng)相等得到DB=DC，易得△DBF≌△DCA，得到AE=EF，于是有BF=BE?EF=BE?AE=CA，因此【詳解】證明：在BA上截取BF=CA，連接DF，

∵D為BAC的中點(diǎn)，∴DB=DC，∠DBF=∠ACD，在△DBF,△DCA中，DB=DC∠DBF=∠DCA∴△DBF≌△DCA(SAS∴DF=DA，∵DE⊥AB，∴AE=EF，∴BF=BE?EF=BE?AE=CA，在Rt△BDE,Rt△ADE∴BD2?A【點(diǎn)睛】本題考查了在同圓或等圓中，如果兩個(gè)圓心角以及它們對(duì)應(yīng)的兩條弧、兩條弦中有一組量相等，則另外兩組量也對(duì)應(yīng)相等．也考查了三角形全等的判定與性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)、勾股定理．【變式8-1】（2023秋·全國·九年級(jí)專題練習(xí)）如圖，在⊙O中，弦AB與弦CD相交于點(diǎn)E，且AB=CD．求證：CE=BE．

【答案】見解析【分析】由弧、弦、圓心角的關(guān)系進(jìn)行證明，結(jié)合等角對(duì)等邊，即可得到結(jié)論成立．【詳解】證明：∵AB=CD，∴AB=∴AB即AC=BD∴∠B=∠C，

∴BE=CE；【點(diǎn)睛】本題考查了弧、弦、圓心角的關(guān)系，解題的關(guān)鍵是掌握所學(xué)的知識(shí)進(jìn)行證明．【變式8-2】（2023秋·全國·九年級(jí)專題練習(xí)）如圖，在⊙O上依次取點(diǎn)B，A，C使BA=AC，連接AC，AB，BC，取AB的中點(diǎn)D，連接CD，在弦BC右側(cè)取點(diǎn)E，使

(1)求證：△DBC?△ECB．(2)若AC=8，∠ABC=30°，求【答案】(1)見解析(2)4【分析】（1）根據(jù)SAS即可證明△DBC?△ECB；（2）作DH⊥AC于點(diǎn)H，求出DC=47，再根據(jù)△DBC?△ECB得DE=CD【詳解】（1）∵BA=∴BA=CA，∵2CE=AC，∴BA=2CE，∵D為AB的中點(diǎn)，∴BA=2BD，∴BD=CE，∵CE∥∴∠DBC=∠ECB，∵BC=BC，∴△DBC?△ECB（2）作DH⊥AC于點(diǎn)H，

∵BA=CA，∴∠ACB=∠ABC=30°，∵BA=CA=8，∴DA=4，HA=2，在Rt△DHC中，∵△DBC?△ECB，∴BE=CD=47【點(diǎn)睛】本題主要考查了圓的有關(guān)概念，全等三角形的判定與性質(zhì)，勾股定理等知識(shí)，正確作出輔助線構(gòu)造直角三角形是解答本題的關(guān)鍵．【變式8-3】（2023·全國·九年級(jí)專題練習(xí)）如圖，點(diǎn)A、B、C、D是⊙O上的點(diǎn)，AD為直徑，AB∥

(1)求證：點(diǎn)C平分BD．(2)利用無刻度的直尺和圓規(guī)做出AB的中點(diǎn)P（保留作圖痕跡）．【答案】(1)見解析(2)見解析【分析】（1）連接OB，因?yàn)锳B∥OC，得到∠DOC=∠OAB，∠COB=∠OBA，又因?yàn)榘霃较嗟?，則∠OAB=∠OBA，即可證明點(diǎn)C平分（2）分別以A、B為圓心，大于12AB為半徑，畫弧交于一點(diǎn)，連接該點(diǎn)與圓心交AB于一點(diǎn)即為AB的中點(diǎn)【詳解】（1）證明：如圖，連接OB，

∵OC∥∴∠DOC=∠OAB，∠COB=∠OBA，∵OA=OB，∴∠OAB=∠OBA，∴∠DOC=∠COB，∴點(diǎn)C平分BD；（2）解：如圖所示：點(diǎn)P為所求：

【點(diǎn)睛】本題主要考查圓的基本性質(zhì)以及基本作圖等知識(shí)內(nèi)容，正確掌握基本作圖的方法是解題的關(guān)鍵．【題型9利用圓心角、弧、弦的關(guān)系確定線段間的倍數(shù)關(guān)系】【例9】（2023·江蘇南京·統(tǒng)考一模）如圖，已知AB為半圓的直徑．求作矩形MNPQ，使得點(diǎn)M，N在AB上，點(diǎn)P，Q在半圓上，且MN=2MQ．要求：（1）用直尺和圓規(guī)作圖；（2）保留作圖的痕跡，寫出必要的文字說明．【答案】見解析【分析】根據(jù)題意，先找到圓心O，過點(diǎn)O作OC⊥AB交⊙O于點(diǎn)C，然后在OC的兩側(cè)分別作正方形，則MN=2MQ，矩形MNPQ即為所求．【詳解】解：如圖所示，①過點(diǎn)O作OC⊥AB交⊙O于點(diǎn)C，②作∠AOC,∠BOC的角平分線，交⊙O于點(diǎn)Q,P，③作QM,PN垂直于AB，垂足分別為M,N，則矩形MNPQ即為所求．理由如下，∵OQ是∠AOC的角平分線，OD⊥AB，∴∠AOQ=∠QOD=45°，又MQ⊥AO則△QMO是等腰直角三角形，四邊形QMOD是矩形，∴QM=MO，則四邊形QMOD是正方形，同理可得DONP是正方形，又MO=OD=ON∴MN=2MQ．【點(diǎn)睛】本題考查了作垂線，作角平分線，正方形的性質(zhì)，熟練掌握弧與圓心角的關(guān)系是解題的關(guān)鍵．【變式9-1】（2023春·九年級(jí)課時(shí)練習(xí)）如圖，在⊙O中，AB＝2AC，AD⊥OC于點(diǎn)D，比較大小AB2【答案】=【分析】過點(diǎn)O作OF⊥AB于點(diǎn)E，交⊙O于點(diǎn)F，根據(jù)【詳解】解：如圖，過點(diǎn)O作OF⊥AB于點(diǎn)E，交⊙O于點(diǎn)F，∴AF=∵AB∴∠AOF=∠AOC∵AD⊥OC，AE⊥OE∴AD=AE=即AB=2AD故答案為：=【點(diǎn)睛】本題考查了垂徑定理，角平分線的判定定理，等弧所對(duì)的圓心角相等，掌握垂徑定理是解題的關(guān)鍵．【變式9-2】（2023?鐵嶺模擬）如圖，AB是半圓O的直徑，點(diǎn)C在半圓O上，把半圓沿弦AC折疊，AC恰好經(jīng)過點(diǎn)O，則BC與AC的關(guān)系是（）A．BC=12AC B．BC=【分析】連接OC，BC，過O作OE⊥AC于D交圓O于E，根據(jù)折疊的性質(zhì)得到OD=12OE，根據(jù)圓周角定理得到∠ACB＝90°，根據(jù)三角形的中位線的性質(zhì)得到OD【解答】解：如圖，連接OC，BC，過O作OE⊥AC于D交圓O于E，∵把半圓沿弦AC折疊，AC恰好經(jīng)過點(diǎn)O，∴OD=1∵AB是半圓O的直徑，∴∠ACB＝90°，∴OD∥BC，∵OA＝OB，∴OD=1∴BC＝OE＝OB＝OC，∴∠COB＝60°，∴∠AOC＝120°，∴BC=故選：A．【變式9-3】（2023?長安區(qū)二模）如圖，AB為⊙O的直徑，點(diǎn)C為⊙O上一點(diǎn)，且AC=3BC，則弦AC與弦BCA．AC＝3BC B．AC=3BC C．AC＝（2+1）BC D．3AC【分析】如圖，過點(diǎn)O作OD⊥AB，交AC于D，連接BD，OC，證明△CDB是等腰直角三角形，且AD＝BD，設(shè)CD＝CB＝x，則AD＝BD=2【解答】解：如圖，過點(diǎn)O作OD⊥AB，交AC于D，連接BD，OC，∵AB是⊙O的直徑，∴∠ACB＝90°，∵AC=3BC∴∠AOC＝135°，∵OA＝OC，∴∠A＝∠ACO＝22.5°，∵OD是AB的垂直平分線，∴AD＝BD，∴∠A＝∠ABD＝22.5°，∴∠CDB＝∠CBD＝45°，設(shè)CD＝CB＝x，則AD＝BD=2∴BCAC∴AC＝（2+故選：C．【題型10利用圓心角、弧、弦的關(guān)系求最值】【例10】（2023秋·浙江衢州·九年級(jí)校聯(lián)考期中）如圖，AB是⊙O的直徑，點(diǎn)M，N在⊙O上，且點(diǎn)N是弧BM的中點(diǎn)，P