專題08平面向量與復(fù)數(shù)(原卷版)

專題08平面向量與復(fù)數(shù)目錄一常規(guī)題型方法1題型一平面向量的基本概念1題型二平面向量的線性運算2題型三平面向量的坐標(biāo)運算4題型四平面向量數(shù)量積6題型五復(fù)數(shù)的概念與運算7題型六復(fù)數(shù)的幾何意義9二針對性鞏固練習(xí)10練習(xí)一平面向量的基本概念10練習(xí)二平面向量的線性運算11練習(xí)三平面向量的坐標(biāo)運算11練習(xí)四平面向量數(shù)量積12練習(xí)五復(fù)數(shù)的概念與運算13練習(xí)六復(fù)數(shù)的幾何意義13常規(guī)題型方法題型一平面向量的基本概念【典例分析】典例1-1．（2022·內(nèi)蒙古大學(xué)滿洲里學(xué)院附屬高一期末）給出下列命題：①兩個具有共同終點的向量，一定是共線向量；②若是不共線的四點，則是四邊形為平行四邊形的充要條件；③若與同向，且，則>；④λ，μ為實數(shù)，若λ＝μ，則與共線．其中假命題的個數(shù)為（）A．1 B．2C．3 D．4典例1-2．（2022·陜西·渭南高級高一階段練習(xí)）下列說法正確的是（

）A．若，則B．若，則存在唯一實數(shù)使得C．若，，則D．與非零向量共線的單位向量為【方法技巧總結(jié)】1.類型：向量概念、向量的模、零向量與單位向量、向量相等、向量平行（共線）2.技巧：向量不可以比較大小，零向量的方向是任意的，單位向量長度為1，向量平行也稱向量共線。【變式訓(xùn)練】1．（2022·安徽·高三階段練習(xí)）下列說法正確的有（

）A．若向量，，則B．若向量，則向量、的夾角為銳角C．向量，，是三個非零向量，若，則D．向量，是兩個非零向量，若，則2．（2022·河北·高碑店市崇德實驗高三階段練習(xí)）與向量共線的單位向量是（

）A． B． C． D．(0，1)題型二平面向量的線性運算【典例分析】典例2-1．（2022·廣東·饒平縣第二高一階段練習(xí)）如圖，在矩形中，分別為的中點，為中點，則（

）A．B．C． D．典例2-2．（江西省西路片七校2023屆高三上學(xué)期第一次聯(lián)考數(shù)學(xué)（文）試題）已知四邊形是以和為底邊的梯形，（），，（，是平面內(nèi)兩個非零且不共線向量），則（

）A． B． C． D．6典例2-3．（2022·上?！じ叨ｎ}練習(xí)）O是平面上一定點，A、B、C是該平面上不共線的3個點，一動點P滿足：＝，則直線AP一定通過△ABC的（）A．外心 B．內(nèi)心 C．重心 D．垂心典例2-4．（山西省呂梁市2023屆高三上學(xué)期階段性測試數(shù)學(xué)試題）如圖，在中，O為線段BC上一點，且，G為線段AO的中點，過點G的直線分別交直線AB，AC于D，E兩點，，，則的最小值為（

）A． B． C． D．2【方法技巧總結(jié)】1.類型：基底、向量共線定理、“四心”問題。2.技巧：將所求向量分解為一組不共線的基底向量是常見的向量兩大方法之一，向量共線定理要注意系數(shù)的幾何意義，四心問題要記好常見的一些結(jié)論，如下：=1\*GB3①重心?PA+PB+PC=0；=2\*GB3②內(nèi)心?aPA+bPB+cPC=0；=4\*GB3④垂心PA?PB=PB?PC【變式訓(xùn)練】1．（2022·山東德州·高三期中）設(shè)為所在平面內(nèi)一點,,則（

）A． B．C． D．2．（2022·河南·鄭州市第一〇六高級高二階段練習(xí)）設(shè)，是空間中兩個不共線的向量，已知，，，且三點共線，則的值為（

）A． B． C． D．3．（2007·天津·高考真題（文））O是平面上一定點，A、B、C是平面上不共線的三個點，動點P滿足，，則P的軌跡一定通過的（

）A．外心 B．內(nèi)心 C．重心 D．垂心4．（2022·安徽·高二開學(xué)考試）如圖，在中，是的中點，是上一點，且，過點作一條直線與邊分別相交于點，若，則（

）A． B． C． D．題型三平面向量的坐標(biāo)運算【典例分析】典例3-1．（2022·江蘇鹽城·高三階段練習(xí)）已知，，，若，則（

）A． B． C． D．典例3-2．（山西省運城市2023屆高三上學(xué)期期中數(shù)學(xué)試題）已知向量，且，則a-b=（

A．5 B． C． D．典例3-3．（2007·福建·高考真題（理））已知，點C在內(nèi)，且.設(shè)，則等于（

）A． B．3 C． D．【方法技巧總結(jié)】1.技巧：熟練掌握公式及其應(yīng)用；并在一些規(guī)則圖形中可以使用建立直角坐標(biāo)系的方法把問題用坐標(biāo)運算解決，這也是向量的兩大方法之一。2.注意：給出兩點坐標(biāo)也可以求兩點所成向量，坐標(biāo)是后減前。根據(jù)鈍角銳角使用夾角公式求參數(shù)范圍，需注意平角和零角的特殊情況?！咀兪接?xùn)練】1．（2022·陜西·咸陽市高新高二期中（理））已知平面向量，若，則實數(shù)x的值為（

）A．6 B．5 C．4 D．32．（2021·陜西·無高二期中（理））已知，若與的夾角為銳角，則的取值范圍為（

）A． B．C． D．3．（2022·黑龍江齊齊哈爾·高三期中）在邊長為3的正方形ABCD中，E是BC上靠近B點的三等分點，則（

）A．3 B．－3 C．－4 D．4題型四平面向量的數(shù)量積【典例分析】典例4-1．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知平面向量，的夾角為，且，，則與的夾角是（

）A． B． C． D．典例4-2．（2022·山西忻州·高三階段練習(xí)）已知平面向量與的夾角為，若，，則（

）A．2 B．3 C． D．4典例4-3．（2022·湖北·宜都高三期中）如圖，在平行四邊形中，，點E是的中點，點F滿足，且，則（

）A．9 B． C． D．典例4-4．（2022·上海市嘉定區(qū)第一高二期中）已知，則在方向上的投影為（

）A． B． C．4 D．8【方法技巧總結(jié)】1.公式：數(shù)量積公式、夾角公式、投影公式2.技巧：不管是題干還是問題，出現(xiàn)向量的絕對值（絕對值里不是單獨的一個向量）都需要進(jìn)行平方。投影公式要注意還有一個推式適用于不知道夾角的情況?！咀兪接?xùn)練】1．（2022·河南·鄭州市第一〇六高級高二階段練習(xí)）已知空間向量滿足，，，，則=（

）A． B． C． D．2．（2022·江蘇南京·模擬預(yù)測）已知，為單位向量.若，則（

）A．2 B． C．4 D．3．（2022·福建·泉州高三期中）已知在△ABC中，，，，，P在CD上，，則的值為（

）A． B． C．4 D．64．（2022·天津河西·高三期中）已知點，，，，則向量在方向上的投影向量的長度為（

）A． B． C． D．題型五復(fù)數(shù)的概念與運算【典例分析】典例5-1．（河南省豫南九校2022-2023學(xué)年高三上學(xué)期第一次聯(lián)考數(shù)學(xué)（文）試題）已知復(fù)數(shù)，其中i為虛數(shù)單位，則的虛部為（

）A． B．26 C． D．13典例5-2．（遼寧省名校聯(lián)盟2022-2023學(xué)年高三上學(xué)期11月份聯(lián)合考試數(shù)學(xué)試題）已知復(fù)數(shù)，若是純虛數(shù)，則實數(shù)的值為（

）A．2 B． C． D．典例5-3．（2022·貴州·頂效開發(fā)區(qū)頂興高三期中（理））若復(fù)數(shù)，則（

）A．1 B． C． D．3【方法技巧總結(jié)】1.類型：復(fù)數(shù)的概念、復(fù)數(shù)的分類、復(fù)數(shù)相等。2.技巧：要注意所有復(fù)數(shù)都需要整理成標(biāo)準(zhǔn)的復(fù)數(shù)形式才可以做題，復(fù)數(shù)的不同分類下對應(yīng)的限制要記牢。【變式訓(xùn)練】1．（2022·湖北·沙市高二階段練習(xí)）已知復(fù)數(shù)（為虛數(shù)單位），則的虛部為（

）A． B． C． D．22．（2022·貴州·六盤水市第二高一階段練習(xí)）已知復(fù)數(shù)，在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點分別為，，且為純虛數(shù)，則實數(shù)（

）A． B． C． D．3．（2022·寧夏·平羅高三期中（理））已知復(fù)數(shù)（為虛數(shù)單位）為實系數(shù)方程的一根，則（

）A．4 B．2 C．0 D．題型六復(fù)數(shù)的幾何意義【典例分析】典例6-1．（遼寧省六校協(xié)作體2022-2023學(xué)年高二上學(xué)期期中數(shù)學(xué)試題）已知復(fù)數(shù)（為虛數(shù)單位），則復(fù)數(shù)在復(fù)平面上對應(yīng)的點位于（

）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限典例6-2．（2022·河南省淮陽模擬（理））已知，其中為虛數(shù)單位，則（

）A．16 B．17 C．26 D．28典例6-3．（廣東省韶關(guān)市2023屆高三上學(xué)期綜合測試（一）數(shù)學(xué)試題）若，，是的共軛復(fù)數(shù)，則（

）A． B．2 C． D．10典例6-4．（云南師范大學(xué)附中（貴州版）2023屆高三上學(xué)期月考（五）數(shù)學(xué)（理）試題）已知復(fù)數(shù)z滿足：，則的最小值是（

）A．1 B． C． D．2【方法技巧總結(jié)】1.類型：復(fù)平面、共軛復(fù)數(shù)、復(fù)數(shù)的模2.技巧：對于無法根據(jù)題干等式來整理出復(fù)數(shù)的情況，可以使用待定系數(shù)法，結(jié)合復(fù)數(shù)相等求出參數(shù)；對于復(fù)數(shù)模最值問題需結(jié)合軌跡方程來處理?！咀兪接?xùn)練】1．（山西省呂梁市2023屆高三上學(xué)期階段性測試數(shù)學(xué)試題）已知，則在復(fù)平面內(nèi)，復(fù)數(shù)所對應(yīng)的點位于（

）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限2．（2022·廣東·河源市河源高三階段練習(xí)）設(shè)是虛數(shù)單位，，則的值為（

）A．1 B．0 C． D．3．（2022·全國·高一課時練習(xí)）在復(fù)平面內(nèi)，復(fù)數(shù)對應(yīng)的點位于第四象限，且，則（

）A． B． C．2 D．4．（2022·湖北·高二期中）已知復(fù)數(shù)z滿足，則的最大值是（

）A． B． C．2 D．針對性鞏固練習(xí)練習(xí)一平面向量的基本概念1．（2022·全國·高三專題練習(xí)）下列命題中正確的是（

）A．兩個有共同起點且相等的向量，其終點必相同B．兩個有公共終點的向量，一定是共線向量C．兩個有共同起點且共線的向量，其終點必相同D．若與是共線向量，則點A，B，C，D必在同一條直線上2．（2022·湖北·高二期中）下列說法正確的是（

）A．零向量沒有方向 B．若，則C．長度相等的向量叫做相等向量 D．兩個有共同起點而且相等的向量，其終點必相同練習(xí)二平面向量的線性運算3．（2022·四川·蓬溪綠然高三階段練習(xí)（文））如圖，在中，，，若，則的值為（

）A． B． C． D．4．（2023·廣東·高三學(xué)業(yè)考試）已知向量，不共線，若，，，則（

）A．A，B，C三點共線 B．A，B，D三點共線C．A，C，D三點共線 D．B，C，D三點共線5．（2022·山西太原·高三期中）已知點在所在平面內(nèi)，滿，，則點依次是的（

）A．重心，外心 B．內(nèi)心，外心 C．重心，內(nèi)心 D．垂心，外心6．（2022·湖南衡陽·高一期末）在中，，，AD，BC交點為M，過M作動直線l分別交線段AC，BD于E，F(xiàn)兩點.若，()，則的最小值為（

）A． B． C． D．練習(xí)三平面向量的坐標(biāo)運算7．（2022·福建·永安市第九高三期中）已知向量，，若∥，則實數(shù)的值為（

）A． B． C． D．8．（2022·重慶·高三階段練習(xí)）已知向量，b=2,1，，則實數(shù)（

）A． B． C． D．9．（2022·甘肅·天水市第一高二階段練習(xí)）如圖，在正方形網(wǎng)格中，向量，滿足，則AB-AD+BC=（

A．-3a-12b B．-練習(xí)四平面向量的數(shù)量積10．（2022·山東·青島高二階段練習(xí)）已知非零向量，滿足，且，則與的夾角為（

）A． B． C． D．11．（2022·湖北·高三階段練習(xí)）已知向量、滿足，，，則（

）A．5 B．6 C．7 D．812．（2022·安徽·六安高三階段練習(xí)）如圖，在中，，，P為CD上一點，且滿足，若，，則的值為（

）A． B． C．1 D．213．（2022·江西贛州·高三期中（文））已知向量，滿足a+b=a-3b，其中是單位向量，則在方向上的投影為（A．1 B． C． D．練習(xí)五復(fù)數(shù)的概念與運算14．（2023·江西景德鎮(zhèn)·模擬預(yù)測（理））已知復(fù)數(shù)滿足（為虛數(shù)單位），則的虛部為（

）A． B． C． D．15．（2022·云南玉溪·高一期末）已知復(fù)數(shù)與都是純虛數(shù)，則（

）A． B． C． D．16．（2022·青海玉樹·高二期末（理））若，其中，則（）A．3