基于能量最優(yōu)的運動軌跡規(guī)劃算法

基于能量最優(yōu)的運動軌跡規(guī)劃算法

0軌跡規(guī)劃控制要實現(xiàn)運動的快速、高精度，必須充分利用運動控制器的計算能力，并根據(jù)運動學和動力學制定精確的軌跡規(guī)劃。運動控制可分為點到點控制(PTP控制)和連續(xù)軌跡控制(CP控制)。實際運動中的路徑往往只能由一系列的反映該路徑信息的離散點組成,故要完成CP控制,實質(zhì)也要實現(xiàn)一系列離散點的PTP控制,所以深入研究相對簡單的PTP運動控制,是研究運動軌跡控制的基礎。1電機的速度輪廓運動控制中時間最優(yōu)是最基本的要求,即要求兩點間的運動時間最短,這可以等效地轉(zhuǎn)化為運動的快速性,故可定義加速度為快速性系數(shù)a=(vT-v0)/T式中vT——最大速度v0——初始速度T——達到所需時間顯然,a越大,快速性越好。所以進行軌跡規(guī)劃算法設計時,要求被控對象以最大的速度、加速度去運動來滿足快速性的要求。其次要求能量最省,即運動控制過程中驅(qū)動電機的功率耗散最小,就是選取運動曲線的依據(jù)。在PTP控制中,正是通過求解能量最優(yōu),來獲得最佳速度輪廓,即尋找一個速度函數(shù)ω(t),在滿足ω(0)=0,ω(T)=0,T0ω(t)=0的情況下,使電機的功率耗散E為最小。式中r,Kt——電機的物理參數(shù)J——電機與負載的轉(zhuǎn)動總慣量T——初始點到終止點的運動時間由最優(yōu)化求解方法可構(gòu)造拉格朗日函數(shù)其中k=J2rK2t,λk=J2rΚt2,λ為拉格朗日系數(shù)。由歐拉-拉格朗日方程Lω?ddtLω˙=0(3)Lω-ddtLω˙=0(3)得到λ=2kω¨(4)λ=2kω¨(4)解得ω(t)=λ4kt2+c1t+c0(5)ω(t)=λ4kt2+c1t+c0(5)同時考慮ω(0)=0,ω(T)=0,T0ω(t)=θ的條件,可以求得c0=0,c1=6θ/T2,λ=-24kθ/T3。將所得的參數(shù)代入(5)式得到最佳速度輪廓為:ω(t)=6θT3t(T?t),0≤t≤T(6)ω(t)=6θΤ3t(Τ-t),0≤t≤Τ(6)這個速度輪廓圖形是一個拋物線曲線。在最優(yōu)的拋物線速度曲線輪廓下,電機所產(chǎn)生的功耗為:E=12J2rθ2K2tT3(7)E=12J2rθ2Κt2Τ3(7)注意,能耗取決于以下幾個參數(shù):θ和T是運動要求參數(shù),r和Kt是電機的物理參數(shù),J是電機與負載的轉(zhuǎn)動總慣量。雖然從理論上獲得的最小功耗下的速度輪廓曲線為拋物線型,但是在實際應用中,拋物線輪廓曲線的產(chǎn)生比較復雜。采用最多的是梯形速度曲線,它就是以拋物線型為最佳速度輪廓的近似次優(yōu)曲線。2形容詞和s速度曲線的性能分析2.1t3e值梯形速度曲線是運動控制板中最簡單的位置運動中的速度控制曲線,其運動過程是從給定的位置起點開始,以給定加速度運動,當運動到給定的最大速度vmax時,以最大速度為不變速度的勻速運動,最后以給定的反向加速度運動到另一個位置終點。在按照梯形速度曲線進行位置的點到點的控制中,所消耗的能量同樣可以根據(jù)式(1)計算出來,在加速段、勻速段和減速段具有相同運動時間的情況下,梯形速度曲線的功耗為E=13.5J2rθ2K2tT3E=13.5J2rθ2Κt2Τ3,此值比最優(yōu)的拋物線速度的率耗高出12%。如果將梯形速度曲線的勻速段時間縮減到0,就可得到三角形速度曲線,此時的功耗為E=16J2rθ2K2tT3E=16J2rθ2Κt2Τ3。三角形速度曲線比最優(yōu)的拋物線速度的功耗高出33%。如果將梯形速度曲線的加減速段時間縮減到0,得到的就是矩形速度曲線,此時的電機的功耗為無窮大,也就是說矩形速度曲線是不可用的。對于其它常見的具有加減速形式的曲線如圓形,橢圓形等,它們的功耗也是無窮大,而且曲線的形式非常復雜,故它們也不能作為加減速運動的速度曲線來用。所以在常見的可實現(xiàn)加減速的簡單曲線中,梯形速度曲線是相對于拋物線速度曲線以外的最優(yōu)能量曲線。梯形速度曲線采用線性加速方式,所對應的加速度曲線為矩形曲線,因而在某些點處,即控制的過程中,存在著不連續(xù)的階躍,同時更壞的情況是加加速度存在著尖峰脈沖現(xiàn)象。這是人們在實際應用中所不希望的,因為加速度曲線的平滑度反映了執(zhí)行機構(gòu)在運動過程中的平穩(wěn)性能。不連續(xù)的加速度曲線,必然造成執(zhí)行機構(gòu)在運動過程中的跳躍。為了獲得平滑的加速度,減小加加速度的尖峰脈沖,又不失去梯形速度曲線的較好的快速性和能耗較小的優(yōu)點,人們對梯形速度曲線的加速方式進行了改進:采用一階甚至高階導數(shù)連續(xù)的曲線的加速方式來代替線性加速方式,最典型的曲線代表是S型速度曲線。2.2s型曲線參數(shù)下功率耗散分析可知,雖然梯形曲線實現(xiàn)起來較容易,但是,在運動過程中的加減速方面有些不足。針對這一缺點,較實用的改進辦法是,先選用簡單連續(xù)的加速度曲線,然后通過積分求出相應的S型速度曲線。常見的S型曲線有拋物線型和三角函數(shù)型,下面以拋物線型為例進行討論。實際當中所采用的拋物線S型是利用二次曲線來實現(xiàn)加減速過程,所以其運動過程中的加速度是連續(xù)曲線。完整的拋物線S型速度、加速度及加加速度曲線圖形如圖1所示,其中,Tk表示第k段的過渡時間,k=1,…,7。從圖1中可見拋物線S型速度運行過程可分為7段:加加速段、勻加速段、減加速段、勻速段、加減速段、勻減速段和減減速段。定義第k段的持續(xù)時間為τk,則τk=Tk+1-Tk,第k段的加加速度為Jk,vmax為運行過程中的最大速度,Amax為運動過程中的最大加速度,tm為機器人加速度從0達到最大值和從最大值減到0的時間,則tm=vmax/Amax。通常取τ1=τ3=τ5=τ7=tm(8)從而,J=J1=J3=J5=J7=Amax/tm,其中,J為加加速度。這樣,只需確定4個基本的系統(tǒng)參數(shù),系統(tǒng)最大速度,最大加速度,加加速度以及運行時間T便可以確定整個運動過程。在實際中應用的中S型曲線通常都是對稱的,S型曲線的加速度只是在第2段取到Amax,而在第1和第3段,其加速度是在0到Amax間線性變化的,所以它的快速性從加速度上看不如梯形曲線。但另一方面,S型速度曲線所對應的加速度曲線為連續(xù)的梯形曲線,所以在機械運動的平穩(wěn)性方面要比梯形速度曲線的控制效果好。由于完整的S型曲線由七段組成,且它在加加速段、勻加速段、以及勻速段的運動時間又可取不同值,故可以得到很多種情況下的功率耗散,經(jīng)分析計算發(fā)現(xiàn),勻速段所取時間越長,功率耗散越小。下面給出2種典型情況下的功耗值。首先考慮所有段運動時間相同,即T1=T2=T4=T/7時,E=17.86J2rθ2K2tT3E=17.86J2rθ2Κt2Τ3這比最優(yōu)的拋物線速度輪廓下的功耗高出了48.83%。第2,由于S型曲線的整個運行過程實質(zhì)也是類似于梯形曲線的加速、勻速、減速過程,故我們將S曲線的加速段取為T/3,加速段所包含的加加速段,勻加速段和減加速段又取相同的運行時間,即T1=T2=T/9,T4=T/3時,E=16.88J2rθ2K2tT3E=16.88J2rθ2Κt2Τ3這比最優(yōu)的拋物線速度輪廓下的功耗高出了40.67%。相比之下,S型曲線的能功耗也大于梯形曲線。3加速度曲線的求解由上面的分析知道,S型速度曲線是針對梯形速度曲線的加速度不連續(xù)所做的改進,以獲得連續(xù)的加速度,改善系統(tǒng)運動的平穩(wěn)性能。但由圖1可以看到,雖然S型速度曲線所對應的加速度曲線為連續(xù)的梯形曲線,但其加加速度是不連續(xù)的,故在運動過程中系統(tǒng)還存在余振,這個余振是不可消除的,只能通過選擇不同的加加速段的時間來找到一個最小的余振值。正因為如此,人們在實際中還有采用其它曲線以便獲得連續(xù)的加加速度,最容易想到的是采用三角函數(shù)曲線來獲得連續(xù)的加加速度,因為它的無窮階導數(shù)都是連續(xù)的。如果選取速度曲線為v(t)=1-cos(πt),得到的加速度、加加速度分別為:可見,得到的加加速度是連續(xù)的,而且余弦的加速度也比S型速度曲線得到的梯形加速度更加的光滑。除了三角函數(shù)外,還可以采用高階多項式插值的方法獲得連續(xù)的加加速度,如果知道點到點運動的始末位置以及運動時間,且起始點的速度加速度都為零,則可以唯一確定一個5次多項式,為討論的簡單起見,運動時間取為1,初始位置取為0,末位置取為1,則得到的位置、速度、加速度及加加速度曲線如下:其中,0≤t≤1。由上式看到,得到的加速度、加加速度曲線都是光滑連續(xù)的,所以能保證運行的平穩(wěn)性?？梢?通過三角函數(shù)型曲線和高階多項式插值曲線實現(xiàn)的點到點運動都能獲得比S型速度曲線更為平穩(wěn)的運動性能。不過這同時也使得曲線實現(xiàn)的復雜度大大增加。S型速度曲線所對應的加速度曲線是階次僅為1次的梯形曲線,而高階多項式插值方法獲得的加速度曲線的階次已經(jīng)提高到了3次,三角函數(shù)型曲線所對應的加速度曲線是復雜的正弦曲線。要實現(xiàn)三階的或者是正弦的加速度曲線,運動控制系統(tǒng)所用電機驅(qū)動器的控制結(jié)構(gòu)勢必非常復雜,產(chǎn)品成本也相當?shù)母?。目?只有很少的運動控制部件的生產(chǎn)廠家生產(chǎn)的驅(qū)動器能夠提供三階的或者是正弦的電流變化形式?？紤]到上述2種復雜控制曲線在運動控制系統(tǒng)中的硬件實現(xiàn)上的復雜度,故它們只在高精度的運動控制場合使用。所以,梯形速度曲線和S型速度曲線仍然是當前在實現(xiàn)點到點運動控制中最常用的2種運動模式。4線形狀的分析梯形速度曲線雖然能量最優(yōu)性能上不如拋物線速度曲線,但相對于其它的可實現(xiàn)加減速的常見曲線,梯形速度曲線又是能量最優(yōu)的。著重通過對速度、加速度以及加加速度的曲線形狀的分析,討論了梯形速度曲線和S型速度曲線對控制性能的