2021年北京市高考數(shù)學(xué)試卷真題（含答案及詳細(xì)解析）

2021年普通高等學(xué)校招生全國(guó)統(tǒng)一考試(北京卷)

數(shù)學(xué)

第一部分(選擇題共40分)

一、選擇題共10小題，每小題4分，共40分，在每小題列出的四個(gè)選項(xiàng)中，選出符合題

目要求的一項(xiàng).

1.已知集合4="|一1<%<1},B={x|0<x<2},則AUB=()

A.(-1,2)B.(-1,2]C.[0,1)D.rO,l]

2.在復(fù)平面內(nèi)，復(fù)數(shù)z滿足(l—i)z=2,則2=()

A.2+zB.2-iC.1-zD.1+z

3.已知f(x)是定義在上[0,1]的函數(shù)，那么“函數(shù)f(x)在[0,1]上單調(diào)遞增”是“函數(shù)/(x)在

[0/1上的最大值為了⑴”的()

A.充分而不必要B.必要而不充分條件

C.充分必要條件D.既不充分也不必要條件

4.某四面體的三視圖如圖所示，該四面體的表面積為()

3+V3

B.4C.3+V3D.2

2

雙曲線c：5q=i過(guò)點(diǎn)(①碼

5.,且離心率為2,則該雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為()

2

2D.號(hào)-八】

A.x-^-=\B.—~y2=\

33--聆

6.{叫和也}是兩個(gè)等差數(shù)列，其中,(1必<5)為常值，4=288,%=96,a=192,貝岫=

()

A.64B.128C.256D.512

7.函數(shù)/（x）=cosx-cos2x,試判斷函數(shù)奇偶性及最大值（）

A.奇函數(shù)，最大值為2B.偶函數(shù)，最大值為2

99

C.奇函數(shù)，最大值為￡D.偶函數(shù)，最大值為9

OO

8.定義：24小時(shí)內(nèi)降水在平地上積水厚度（mm）來(lái)判斷降雨程度.其中小雨（＜10mm）,

中雨（10mm-25mm）,大雨（25mm-50mm）,暴雨（5（）mm-l（X）mm）,小明用一個(gè)圓錐形容

器接了24小時(shí)雨水，如圖，則這天降雨屬于哪個(gè)等級(jí)（）

A.小雨B.中雨D.暴雨

9.已知圓C:x2+y2=4直線/：y=辰+加，當(dāng)Z變化時(shí)，/截得圓C弦長(zhǎng)的最小值為2,則

m=()

A.±2B.±72C.+>/3D.±y/5

10.數(shù)列｛4｝是遞增的整數(shù)數(shù)列，且623,4+a2+…=100,則”的最大值為（)

A.9B.10C.11D.12

第二部分（非選擇題共110分）

二、填空題5小題，每小題5分，共25分.

11.（尤3-L）4展開(kāi)式中常數(shù)項(xiàng)為.

X

12.已知拋物線C:：/=4x,焦點(diǎn)為尸，點(diǎn)M為拋物線。上的點(diǎn)，且怛闿=6,則”的橫坐

標(biāo)是；作MNJ_x軸于N,則=

13.a=(2,1),b=(2,-1),c=(0,1),則(4+B)-c=；ah=.

14.若點(diǎn)P(cosasine)與點(diǎn)08n。+。,而(，+芻)關(guān)于〉軸對(duì)稱，寫出一個(gè)符合題意的6=.

66

15.已知函數(shù)f(x)=|lgx|-h-2,給出下列四個(gè)結(jié)論：

①若左=0,則/*)有兩個(gè)零點(diǎn)；

②及＜0,使得了⑴有一個(gè)零點(diǎn)；

③業(yè)＜0,使得Ax)有三個(gè)零點(diǎn)；

④來(lái)＞0,使得f(x)有三個(gè)零點(diǎn).

以上正確結(jié)論得序號(hào)______.

三、解答題共6小題，共85分，解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明，演算步驟或證明過(guò)程.

2萬(wàn)

16.已知AAbC中，c-2bcosB,C=—.

3

(1)求8的大??；

(2)在下列三個(gè)條件中選擇一個(gè)作為已知，使AA5c存在且唯一確定，并求出8C邊上

的中線的長(zhǎng)度.

①c=6jy;②周長(zhǎng)為4+26；③面積為心此=苧；

17.已知正方體ABC。-AfCQ，點(diǎn)E為AQ中點(diǎn)，直線BG交平面8E于點(diǎn)F.

(1)證明：點(diǎn)尸為與q的中點(diǎn)；

(2)若點(diǎn)M為棱A冉上一點(diǎn)，且二面角M-5-E的余弦值為逝，求籌的值.

3ABi

18.為加快新冠肺炎檢測(cè)效率，某檢測(cè)機(jī)構(gòu)采取“A合1檢測(cè)法”，即將A個(gè)人的拭子樣本

合并檢測(cè)，若為陰性，則可以確定所有樣本都是陰性的；若為陽(yáng)性，則還需要對(duì)本組的

每個(gè)人再做檢測(cè).現(xiàn)有100人，己知其中2人感染病毒.

(1)①若采用“10合1檢測(cè)法”，且兩名患者在同一組，求總檢測(cè)次數(shù);

②已知10人分成一組，分10組，兩名感染患者在同一組的概率為(?，定義隨機(jī)變量才

為總檢測(cè)次數(shù)，求檢測(cè)次數(shù)1的分布列和數(shù)學(xué)期望以心；

(2)若采用“5合1檢測(cè)法”，檢測(cè)次數(shù)r的期望為庾力，試比較以加和E(D的大小(直

接寫出結(jié)果).

19.已知函數(shù)/(力=7二.

(1)若4=0,求y=/(x)在(1,7(1))處切線方程；

(2)若函數(shù)/(X)在x=T處取得極值，求“X)的單調(diào)區(qū)間，以及最大值和最小值.

22

20.已知橢圓E:5+2=l(a>b>0)過(guò)點(diǎn)40,-2),以四個(gè)頂點(diǎn)圍成的四邊形面積為4行.

(1)求橢圓￡'的標(biāo)準(zhǔn)方程；

(2)過(guò)點(diǎn)尸(0,-3)的直線/斜率為在，交橢圓￡于不同的兩點(diǎn)8,C,直線〃'交

片-3于點(diǎn)"、A；直線力。交尸-3于點(diǎn)人若|4必+|削W15,求4的取值范圍.

21.定義(數(shù)列｛風(fēng)｝:對(duì)實(shí)數(shù)0，滿足：①4+pZO,4+。=。；②③

a

?,?+?e+?+P，a”,+。“+P+1｝,tn,n&N,.

(1)對(duì)于前4項(xiàng)2,-2,0,1的數(shù)列，可以是R?數(shù)列嗎？說(shuō)明理由；

(2)若｛4｝是凡數(shù)列,求。5的值；

(3)是否存在仍使得存在(數(shù)列｛4｝,對(duì)▽〃?"同"。？若存在，求出所有這樣的

夕；若不存在，說(shuō)明理由.

參考答案

一、選擇題

1.B2.D3.A4.A5.A6.B7.D8.B9.C10,C

二、填空題

11.-4

12.(1).5(2).45

13.(1)-0(2).3

14.工(滿足6=居+k兀，k*Z即可)

15.①②④

三、解答題

16.(1)-

6

(2)答案不唯一

17.(1)證明見(jiàn)解析；(2)山%-=三

A1B12

18.(1)①20次；②分布列見(jiàn)解析；期望為等

(2)若P="E(X)=E(Y)

19.(1)4x+y-5=0；(2)函數(shù)f(x)的增區(qū)間為(-8,-1)、(4+8),單調(diào)遞減區(qū)間為

GL4),最大值為1,最小值為-士

4

x2y2

20.(1)—+—=1(2)[-3,-1]U[1,3]

54

答案詳解

1.結(jié)合題意利用并集的定義計(jì)算即可.

由題意可得：&U'8｛國(guó)I1<M,Bp，1.

故選：B.

2.由題意利用復(fù)數(shù)的運(yùn)算法則整理計(jì)算即可求得最終結(jié)果.

2_2(1+4.

由題意可得：.Z<1I/

匚飛旬―2-1—

故選：D.

3.利用兩者之間的推出關(guān)系可判斷兩者之間的條件關(guān)系.

若函數(shù)f(x)在［0,1】上單調(diào)遞增，則f(x)在［0,1］上的最大值為f(1),

若f(x)在［0,1］上的最大值為f(1),

比如，孔嶺=卜一1

但y(4=(?--'r在【°，9】為減函數(shù)，在【：，1】為增函數(shù)，

'\/33，

故/(x)在【0,1］上的最大值為f(1)推不出/行)在【0,1】上單調(diào)遞增，

故“函數(shù)分(x)在10,1】上單調(diào)遞增”是“f行)在［0,1］上的最大值為f(D”的充分不必要條件,

故選：A.

4.根據(jù)三視圖可得如圖所示的幾何體(三棱錐)，根據(jù)三視圖中的數(shù)據(jù)可計(jì)算該幾何體的表面積.

【詳解】根據(jù)三視圖可得如圖所示的幾何體-正三棱錐0-ABC,

其側(cè)面為等腰直角三角形，底面等邊三角形，

由三視圖可得該正三棱錐的側(cè)棱長(zhǎng)為1,

故其表面積為，3x-xlxl+^x(^f=^^

2碑%』2

故選：A.

5.分析可得b二百a,再將點(diǎn)(或，舊)代入雙曲線的方程，求出a的值，即可得出雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程.

【詳解】九*卷=±=2則c=2a，9=：J蜻——=

則雙曲線的方程為，

_____J

將點(diǎn)A/之、怎的坐標(biāo)代入雙曲線的方程可得屏W,解得a=l,故b=JW,

因此，雙曲線的方程為.

故選：A.”

6.由已知條件求出b$的值，利用等差中項(xiàng)的性質(zhì)可求得從的值.

%_%幺為現(xiàn)96x192

【詳解】由已知條件可得，則1可怠=工=~^~=64

因此，逸.="色=卓更=1然

故選：B.

7.由函數(shù)奇偶性的定義結(jié)合三角函數(shù)的性質(zhì)可判斷奇偶性；利用二倍角公式結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)可判斷

最大值.

由題意/＜一想=加歐一￡1一加?一萩)二緲醺或一饌泗方=/(力所以該函數(shù)為偶函數(shù)，

,(1丫9

又，/(x)=eosx—2x=—2GOSZ-X+eosx+1=-2.修◎魅喜——+—

'I4,J8

19

所以當(dāng)COSX=---時(shí)，f(X)取最大值---.

48

故選：D.

8.計(jì)算出圓錐體積，除以圓面的面積即可得降雨量，即可得解.

刈15.白

【詳解】由題意，一個(gè)半徑為歿一=100(mm)的圓面內(nèi)的降雨充滿一個(gè)底面半徑為T”筋

高為150(mm)的圓錐，

-Kx5(rxl.5O

所以積水厚度，源=贅^^_=9$日加"屬于中雨

部X1W,'

故選：B.

9.先求得圓心到直線距離，即可表示出弦長(zhǎng)，根據(jù)弦長(zhǎng)最小值得出m

【詳解】由題可得圓心為(0,0),半徑為2,

則圓心到直線的距離，核=左^

則弦長(zhǎng)為，2.14-^—

\籍+1

則當(dāng)k=o時(shí)，弦長(zhǎng)取得最小值為，2/—W2=2解得輾一±4.

故選：C.

10.使數(shù)列首項(xiàng)、遞增幅度均最小，結(jié)合等差數(shù)列的通項(xiàng)及求和公式即可得解.

【詳解】若要使〃盡可能的大，則0,遞增幅度要盡可能小，

不妨設(shè)數(shù)列｛4｝是首項(xiàng)為3,公差為1的等差數(shù)列，其前〃項(xiàng)和為Sn

3+1^J.14

4=砰+2=--xll=SS<W5xll2=102>II

所以〃的最大值為11.

故選：C.

H.【詳解】試題分析：卜」丫的展開(kāi)式的通項(xiàng)a=’5/丫1一1

1V4v./1%餐3

令廠3得常數(shù)項(xiàng)為.驀=(-!0C：=—4

12.根據(jù)焦半徑公式可求M的橫坐標(biāo)，求出縱坐標(biāo)后可求.S/、FMN

【詳解】因?yàn)閽佄锞€的方程為/=4%,故p=2且F(1,0).

因?yàn)镮MF|=6,怎期+正=自解得篇^=5*=土綾6

2

所以，?%?=：城5_［抉％/5=系后

故答案為：5,475.

化—dk-

13.根據(jù)坐標(biāo)求出款+&,再根據(jù)數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算直接計(jì)算即可.

【詳解】，vS=(2=(X-11^=(04)

:金+苫=(4,0)--.(5+i)-e=4x0+0xl=0

II

:.勰%=2x2+1x(—1)=3

故答案為：0;3.

14.根據(jù)P,Q在單位圓上，可得9,。七-關(guān)于y軸對(duì)稱，得出程+.+等=您+麓霖*鑫總之求解.

【詳解】v產(chǎn)(的玦血圖與白H喉H#+副關(guān)于,軸對(duì)稱，

即0,。七一關(guān)于)，軸對(duì)稱,

則，電=最需+~~力復(fù)云Z

12

當(dāng)k=0時(shí)，可取。的一個(gè)值為等.

故答案為：(滿足導(dǎo)=垢士啟M公?即可)

1212

15.

由/(R)=0可得出|lgx|=Ax+2,考育直線j-=fcv+2

與曲線g(x)=|lgx|的左、右支分別相切的情形，利用方

程思想以及數(shù)形結(jié)合可判斷各選項(xiàng)的正誤.

【詳解】對(duì)于①，當(dāng)￡=0時(shí)，由/(x)=|lgx|-2=0,

可得工=看或x=100，①正確；

對(duì)于②，考查直淺y=匕+2與曲線

F=-lgx(0<x<l)相切于點(diǎn)尸(，,一也，)r

對(duì)函數(shù)J=-lgK求導(dǎo)得尸’=一一,由題意可得

xlnlO

K+2=-lgr

1,辮得

/InlO

所以，存在￡=——lge<0,使得/(k)只有一個(gè)零

e

點(diǎn)，②正確；

對(duì)于③，當(dāng)直線P—過(guò)點(diǎn)(1,0)時(shí)，^+2=0,解

得￡=-2,

IQQ

所以，當(dāng)--^-lge<?<_2時(shí)，直線y=*x+2與曲線

y=-lg.v(0<x<1)有兩個(gè)交點(diǎn),

若函數(shù)/(x)有三個(gè)零點(diǎn),則直線.r=kx+2與曲域

j，=-lgx(0<x<l)有兩個(gè)交點(diǎn),

直設(shè)y=fcv+2與曲淺.r=lgx(x>l)有f交點(diǎn),所

-------1ge<K<—2“

以Jes,此榜式無(wú)解,

jt+2>0

因此，不存在A<0,使得函數(shù)/(x)有三個(gè)零點(diǎn)，③錯(cuò)

誤；

對(duì)于④，考直直線.v=h+2與曲級(jí)y=lgx(x>l)相切

于點(diǎn)P(，,lgr),

對(duì)函數(shù)y=lgA求導(dǎo)得y'=\,由題意可得

xlnlO

燈+2=lg/t=100e

.1r解得?Ige，

K=-------

/In10100e

所以，當(dāng)0<?<襄時(shí)，困數(shù)/(x)有三個(gè)零點(diǎn)，④

正確>

故答案為：①②④.

【點(diǎn)睛】思路點(diǎn)睛：已知函數(shù)的零點(diǎn)或方程的根的情況，求解參數(shù)的取值范圍問(wèn)題的本質(zhì)都是研究函數(shù)

的零點(diǎn)問(wèn)題，求解此類問(wèn)題的一般步驟：

(1)轉(zhuǎn)化，即通過(guò)構(gòu)造函數(shù)，把問(wèn)題轉(zhuǎn)化成所構(gòu)造函數(shù)的零點(diǎn)問(wèn)題；

(2)列式，即根據(jù)函數(shù)的零點(diǎn)存在定理或結(jié)合函數(shù)的圖象列出關(guān)系式；

(3)得解，即由列出的式子求出參數(shù)的取值范圍.

16.(1)由正弦定理化邊為角即可求解:

(2)若選擇①：由正弦定理求解可得不存在;

若選擇②：由正弦定理結(jié)合周長(zhǎng)可求得外接圓半徑，即可得出各邊，再由余弦定理可求;

若選擇③：由面積公式可求各邊長(zhǎng)，再由余弦定理可求.

【詳解】（I）?：c=2b8sB,則由正弦定理可

得sinC=2sin^cos5,

..2/r6

..sinID=sin—=—，?C———,

323

二研哈），240,日，

.?-25=^,解得3=9；

36

（2）若選擇①：由正弦定理結(jié)合（1）可得

也

csinC7r-

一=----=十=73>

6sin8J

2

與‘=&6矛盾，故這樣的A.4BC不存在；

若選擇②：由（1）可得H=f,

設(shè)A.48C的外接圓半徑為火,

則由正弦定理可得a=b=2Rsin￡=R,

6

c=2Rs\n=^-=>J3R,

則周長(zhǎng)a+b+c=2R+GR=4+26，

解得R=2,則a=2,c=2\/5.

由余弦定理可得8c邊上的中線的長(zhǎng)度為：

J（2V3）：+l:-2x273xlxcos^=V7；

若選擇③：由⑴可得X=g,即a=b,

則S皿=L”>sinC=1/x在=逆，解得

皿2224

a=6，

則由余弦定理可得8C邊上的中線的長(zhǎng)度為：

L'+f-]-2x6x-xcos—=J3+—+>/3x—=

'⑴23V422

17.解析

（1）首先將平面CDE進(jìn)行擴(kuò)展，然后結(jié)合所得的平面與直線Bi。的交點(diǎn)即可證得題中的結(jié)論;

（2）建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間直角坐標(biāo)系求得相應(yīng)平面的法向量，然后解方程即可求得實(shí)數(shù)X的值.

【詳解】⑴如圖所示，取BQ的中點(diǎn)F',連結(jié)DE,EF',F'C,,

由于ABCD-ABCD為正方體，E,F’為中點(diǎn)，故EF'〃CD,

從而E,F',C,D四點(diǎn)共面，即平面G組即平面CDEF',

據(jù)此可得：直線BC交平面CDE于點(diǎn)F',

當(dāng)直線與平面相交時(shí)只有唯一的交點(diǎn)，故點(diǎn)F與點(diǎn)F'重合，

即點(diǎn)F為BC中點(diǎn).

（2）以點(diǎn)D為坐標(biāo)原點(diǎn)DA,DC,DD?方向分別為x軸，y軸，z軸正方形，建立空間直角坐標(biāo)系，D-xyz

不妨設(shè)正方體的棱長(zhǎng)為2,設(shè)，普=豌'。￡為口）

則:M（2,2^2.）,C（0,2,0）,r[1,2,2）,￡（1,0.2.）

從而：就=（—2逐_2庶一23序=0兒2），屆=（0,-2,0）

設(shè)平面MCF的法向量為：，二_與貝I：

iii-MC=-2x^(2-2X)yx-2zx=0

mCF=X]+2z,=0

令4=-l可得：w=|2，Y~~,-\

設(shè)平面CFE的法向量為：”=（三,兒片?）,貝！I：

n-FE=-2y2=0

n-CF=x2+2Z2=0，

令4=-l可得：n=(2,0,-l),

,1i3

整理可得：=［，故（%=;舍去）.

【點(diǎn)睛】本題考查了立體幾何中的線面關(guān)系和二面角的求解問(wèn)題，意在考查學(xué)生的空間想象能力和邏

輯推理能力，對(duì)于立體幾何中角的計(jì)算問(wèn)題，往往可以利用空間向量法，通過(guò)求解平面的法向量，利

用向量的夾角公式求解.

18.解析

（1）①由題設(shè)條件還原情境，即可得解；

②求出才的取值情況，求出各情況下的概率，進(jìn)而可得分布列，再由期望的公式即可得解；

（2）求出E（Y）,分類即可得解.

【詳解】（1）①對(duì)每組進(jìn)行檢測(cè)，需要10次；再對(duì)結(jié)果為陽(yáng)性的組每個(gè)人進(jìn)行檢測(cè)，需要10次;

所以總檢測(cè)次數(shù)為20次；

②由題意，X可以取20,30,

.限=剪=《P(.X=30)=l-i=^

則x的分布列:

20?，30“

110

P*5一/—P

1111

所以；現(xiàn)町=20x1+3fix?=—

―111111

(2)由題意，丫可以取25,30,設(shè)兩名感染者在同一組的概率為0,

#(￥=25)=^P(F=30)=1-/?

則，￡(-F)=25p+30(l-p)=30-5p

若棄看時(shí)，喜㈤=或吟；

若斟嗑寸，雙星A囂⑺；

若然品，域，k呢分.

19.解析

(1)求出/(I)，/'(D、的值，利用點(diǎn)斜式可得出所求切線的方程；

(2)由/(-1)=0可求得實(shí)數(shù)”的值，然后利用導(dǎo)數(shù)分析函數(shù)分/6J的單調(diào)性與極值，由此可得出結(jié)

果.

3-，v

【詳解】(1)當(dāng)。=0時(shí)，/(*)=—^,貝！I

/，(x)=311^1，二〃1)=1,/，⑴=7,

X

此時(shí)，曲線,r=/(x)在點(diǎn)(1,/⑴)處的切線方程為

y-l=-4(x-l),即4x+y-5=0;

3-2x

(2)因?yàn)?(》)=不j，貝!J

_,()2x(32x)2(/3x~~0)

廿十°y'

“2(4-a)

由題意可得/(Tn)=；一~k=°,解得。=4,

(。+1)

3-2x",\_2(K+1)(X-4)

故/(*)=一7,/(”)=-「左一,列表如

、/JC+4(K+4)

下：

x.?d卜e(-L4)”4?，(4+8卜

，(力0”一?》03+?

增.極大值.4極小值，塌.

所以，函數(shù)/(X)的增區(qū)間為(-8,-1)、(4,"),單調(diào)

遞減區(qū)間為(T,4).

當(dāng)x<：時(shí)，f(x)>0;當(dāng)乂>：時(shí)，/(x)<0.

所以，/(X二=/(一1)=1,/(^L=/(4)=4-

20.(1)根據(jù)橢圓所過(guò)的點(diǎn)及四個(gè)頂點(diǎn)圍成的四邊形的面積可求ab,從而可求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程.

⑵設(shè)典典QOKd"J,求出直線AB,AC的方程后可得M,N的橫坐標(biāo)，從而可得I喇+腳，聯(lián)立直

線BC的方程和橢圓的方程，結(jié)合韋達(dá)定理化簡(jiǎn)I?微司+懈即，從而可求K的范圍，注意判別式的要求.

【詳解】(1)因?yàn)闄E國(guó)過(guò).4(0,-2),故6=2,

因?yàn)樗膫€(gè)頂點(diǎn)圍成的四邊形的面積為4后,故

：x2ax2b=4召，即q=4,

設(shè)5?,凹）,。（通，％），

因?yàn)橹睖\的斜率存在,故演三H0,

T?2

^，令y=-3，則

,同理Ev

弘+2

y-kx-3

:v=fcr-3r由

（4+5￡；）/-308+25=0,

故△=900p一100（4+5左？）>0,解得《<一1或左>1.

T,故X/,>0,所以

4+5K-4+5太

又|PM|+RV卜匕+叫=4+

50A-30k

Ti,x-I-%丙一（演+±）_4+5￡'4+5F

:

kx1-1h\-1|k'xyx2-i（.V1+x;）+l25k3Q9

故5k區(qū)15即k區(qū)3,

綜上，-3<k<-\^\<k<3-

21.解析

⑴由題意考查團(tuán)的值即可說(shuō)明數(shù)列不是K數(shù)列；

(2)由題意首先確定數(shù)列的前4項(xiàng)，然后討論計(jì)算即可確定的值；

(3)構(gòu)造數(shù)列兒=an+p，易知數(shù)列g(shù)n}是R。的，結(jié)合(2)中的結(jié)論求解不等式即可確定滿足題意的實(shí)數(shù)p

的值.

【詳解】(1)由性質(zhì)③結(jié)合題意可知

0=/G{q+%+2,4+生+2+1}={2,3},

矛盾，故前4項(xiàng)2,-2,0」的數(shù)列，不可能是&數(shù)列.

(2)14^①qNO,%=0,

由性質(zhì)③勺+26{。時(shí),%,+1},因此q=q或q=q+i

,%=0或4=1,

若2=