反比例函數(shù)知識點及題型歸納(培優(yōu))

.人教版八年級數(shù)學下冊反比例函數(shù)知識點歸納和典型例題知識結構

（二）學習目標

1．理解并掌握反比例函數(shù)的概念，能根據(jù)實際問題中的條件確定反比例函數(shù)的解析式（k為常數(shù)，），能判斷一個給定函數(shù)是否為反比例函數(shù)．

2．能描點畫出反比例函數(shù)的圖象，會用代定系數(shù)法求反比例函數(shù)的解析式，進一步理解函數(shù)的三種表示方法，即列表法、解析式法和圖象法的各自特點．

3．能根據(jù)圖象數(shù)形結合地分析并掌握反比例函數(shù)（k為常數(shù)，）的函數(shù)關系和性質，能利用這些函數(shù)性質分析和解決一些簡單的實際問題．

4．對于實際問題，能“找出常量和變量，建立并表示函數(shù)模型，討論函數(shù)模型，解決實際問題”的過程，體會函數(shù)是刻畫現(xiàn)實世界中變化規(guī)律的重要數(shù)學模型．

5．進一步理解常量與變量的辨證關系和反映在函數(shù)概念中的運動變化觀點，進一步認識數(shù)形結合的思想方法．

（三）重點難點

1．重點是反比例函數(shù)的概念的理解和掌握，反比例函數(shù)的圖象及其性質的理解、掌握和運用．

2．難點是反比例函數(shù)及其圖象的性質的理解和掌握．

二、基礎知識

（一）反比例函數(shù)的概念

1．（）可以寫成（）的形式，注意自變量x的指數(shù)為，在解決有關自變量指數(shù)問題時應特別注意系數(shù)這一限制條件；

2．（）也可以寫成xy=k的形式，用它可以迅速地求出反比例函數(shù)解析式中的k，從而得到反比例函數(shù)的解析式；

3．反比例函數(shù)的自變量，故函數(shù)圖象與x軸、y軸無交點．

（二）反比例函數(shù)的圖象

在用描點法畫反比例函數(shù)的圖象時，應注意自變量x的取值不能為0，且x應對稱取點（關于原點對稱）．

（三）反比例函數(shù)及其圖象的性質

1．函數(shù)解析式：（）

2．自變量的取值范圍：

3．圖象：

（1）圖象的形狀：雙曲線．

越大，圖象的彎曲度越小，曲線越平直．越小，圖象的彎曲度越大．

（2）圖象的位置和性質：

與坐標軸沒有交點，稱兩條坐標軸是雙曲線的漸近線．

當時，圖象的兩支分別位于一、三象限；在每個象限內，y隨x的增大而減小；

當時，圖象的兩支分別位于二、四象限；在每個象限內，y隨x的增大而增大．

（3）對稱性：圖象關于原點對稱，即若（a，b）在雙曲線的一支上，則（，）在雙曲線的另一支上．

圖象關于直線對稱，即若（a，b）在雙曲線的一支上，則（，）和（，）在雙曲線的另一支上．

4．k的幾何意義

如圖1，設點P（a，b）是雙曲線上任意一點，作PA⊥x軸于A點，PB⊥y軸于B點，則矩形PBOA的面積是（三角形PAO和三角形PBO的面積都是）．

如圖2，由雙曲線的對稱性可知，P關于原點的對稱點Q也在雙曲線上，作QC⊥PA的延長線于C，則有三角形PQC的面積為．

圖1圖2

5．說明：

（1）雙曲線的兩個分支是斷開的，研究反比例函數(shù)的增減性時，要將兩個分支分別討論，不能一概而論．

（2）直線與雙曲線的關系：

當時，兩圖象沒有交點；當時，兩圖象必有兩個交點，且這兩個交點關于原點成中心對稱．

（3）反比例函數(shù)與一次函數(shù)的聯(lián)系．

（四）實際問題與反比例函數(shù)

1．求函數(shù)解析式的方法：

（1）待