高等數(shù)學隨堂講解高等數(shù)學第七版概率論-

第二部分概

率（一）事件的概率（二）條件概率與事件的獨立性（三）隨機變量及其分布（四）隨機變量的數(shù)字特征§（一）事件的概率1、隨機事件2、概率的概念及性質(zhì)3、古典概型1、隨機事件在隨機試驗中，對某些現(xiàn)象的陳述為隨機事件（也簡稱事件）。對于指定的一次試驗，一個特定的事件可能發(fā)生，也可能不發(fā)生，這就是事件的隨機性。例1（p1），投擲一枚均勻骰子，觀察朝上面的點數(shù)，我們關(guān)注“出現(xiàn)點數(shù)不大于4”這個事件（記之為A）。當試驗結(jié)果出現(xiàn)3點時，事件A發(fā)生；當試驗結(jié)果出現(xiàn)5點時，事件A不發(fā)生?？傊谠囼炃?，無法判斷事件A是否發(fā)生。事件的關(guān)系（B包含A）。A=B（A與B相等）；A與B互斥（A，B不能在一次試驗中同時發(fā)生）事件的運算例7（p3）有兩門火炮同時向一架飛機射擊，考察事件A={擊落飛機}，依常識，“擊落飛機”等價于“擊中駕駛員”或者“同時擊中兩個發(fā)動機”，因此A是一個較復(fù)雜的事件，如記Bi={擊落第i個發(fā)動機},i＝1,2，C={擊中駕駛員}，相對A而言，B1、B2及C都較A為簡單。我們可以用B1、B2及C表示AA=

B1B2∪C這可以簡化復(fù)雜事件A的概率計算。事件的分解的要點是：正確使用事件的運算建立各簡單事件之間的關(guān)系。2、概率的概念及性質(zhì)概率是事件發(fā)生的可能性大小的度量概率的統(tǒng)計定義——頻率的穩(wěn)定值，常常用于概率的近似計算，是非常有用的。但要注意，試驗次數(shù)要足夠多。概率有以下性質(zhì)事件的加法公式及推廣:對于任意事件A、B、C,有概型的要求：①有限性：可能結(jié)果只有有限個；②等可能性：各個可能結(jié)果出現(xiàn)是等可能的。概率的計算公式3、古典概型例1（p8）設(shè)有批量為100的同型號產(chǎn)品，其中次品有30件。現(xiàn)按以下兩種方式隨機抽取2件產(chǎn)品：（a）有放回抽取，即先任意抽取1件，觀察后放回批中，再從中任取1件；（b）不放回抽取，即先任取1件，抽后不放回，從剩下的產(chǎn)品中再任取1件。試分別按這兩種抽樣方式求兩件都是次品的概率；第1件是次品，第2件是正品的概率。解：容易驗證滿足古典概型的要求記A={兩件都是次品}，B={第1件次品，第2件正品}只討論有放回情況（不放回情況是類似的），計算樣本點總數(shù)，注意隨機抽取2件產(chǎn)品的試驗可以看成有放回地二次抽取，每次取一件。而每次抽取均有100種可能結(jié)果，依計算原理，一共有n＝100*100＝10000種可能結(jié)果，此即樣本點總數(shù)。而構(gòu)成事件A的樣本點的條件必須每次抽取來自30件次品，因此每次有30種可能結(jié)果，k＝30*30＝900種可能結(jié)果，于是同理，可得例8（p13）設(shè)一年有365天，求下述事件A，B的概率：A＝

{n個人中沒有2人生日相同}；B＝

{n個人中至少有2人生日在同一天}。提示：由于每個人的生日可以是365天中的任意一天，因此n個人的生日有365種n

可能結(jié)果，這就是樣本點總數(shù)。為求事件A的有利樣本點數(shù)，注意到為保證不同生日，必須且只須，除第一人外，其余的人的生日只能在365天中除去前面已選定生日的余下天數(shù)中隨機挑選。因此有利于A樣本點數(shù)k＝365*364*……*（365-n+1）又注意到事件A，B之間有關(guān)系B＝A，—使用

P(B)=1-P(A)直接可得P(B)，這一方法是十分常用的，讀者須掌握。（二）條件概率與事件的獨立性1、條件概率2、全概率公式和貝葉斯公式3、事件的獨立性1、條件概率例2（p18）生命表生命表是人身保險精算的重要依據(jù)，下表是美國

1976年的部分生命表。年齡每十萬人中存活人數(shù)每千個存活者的死亡率50907186.4351901357.0052895017.6253888228.3054880859.03其中第3列的死亡率就是到達該年齡還存活條件下，在之后的一年內(nèi)死亡的條件概率。例如，為求50歲時的死亡率，記事件A＝{個體在50歲存活}，B＝{個體在50到51歲之間死亡}，注意到此時AB=B，因而所以，50歲人的死亡率為這正好是第3列的第一個數(shù)字（須除以1000）例3（p19）一批零件共100個，其中次品有10個，今從中不放回抽取2次，每次取1件，求第一次為次品，第二次為正品的概率。解記A＝{第一次為次品}，B＝{第二次為正品}，要求P(AB)，由乘法公式，先求P(BlA)及P(A)已知P(A)=0.1，而P(BlA)＝90/99，因此P(AB)＝

P(A)P(BlA)＝0.1*90/99＝0.0912、全概率公式和貝葉斯公式原因A1原因A2原因An…

…結(jié)果B全概率公式是已知“原因”發(fā)生概率，求“結(jié)果”發(fā)生概率原因A1原因A2原因An結(jié)果B貝葉斯公式是已知“結(jié)果”，推斷該“結(jié)果”由某“原因”發(fā)…

…在貝葉斯公式中，稱P(A1)，…，P(An)為先驗概率，而P(A1lB)，…，P(AnlB)為后驗概率，它表示在有了試驗結(jié)果B已發(fā)生的附加信息下，對先驗概率的修正。例5（p20）血液化驗一項血液化驗以概率0.95將帶菌病人檢出陽性，但也有1％的概率誤將健康人檢出陽性。設(shè)已知該種疾病的發(fā)病率為0.5％，求已知一個個體體檢出陽性條件下，該個體確實患有此種疾病的概率。此例的“結(jié)果”是血液化驗檢出是陽性，產(chǎn)生此結(jié)果的兩個可能“原因”是：一帶菌；二健康人。問題是從已知“結(jié)果”是由“帶菌”產(chǎn)生的條件概率：P(帶菌l陽性)記B＝{陽性}，A1＝{帶菌}，A2＝{不帶菌}已知由Bayes公式得到帶菌不帶菌總和陽性0.951.992.94非陽性0.05197.01197.0總和11992006其中數(shù)字0.95，1.99是由假設(shè)條件及公式0.95＝1*0.95

1.99＝199*0.01算出，因此已檢出陽性條件下（總共2.94人）帶菌（只有0.95人）的條件概率為為什么驗出是“陽性”，而事實上為“帶菌”的概率如此??？以下是平均總數(shù)為200人的分類表：3、事件的獨立性例10（p25）保險賠付本例表明，雖然概率為0.01的事件是小概率事件，它在一次試驗中是實際不會發(fā)生的；但若重復(fù)做n次試驗，只要n≥685，該小概率事件至少發(fā)生一次的概率要超過0.5，因此決不能忽視小概率事件。n設(shè)有n個人向保險公司購買人身意外險（保險期為

1年），假定投保人在一年內(nèi)發(fā)生意外的概率為0.01，求：該保險公司賠付的概率；多大的n使得以上的賠付概率超過0.5。n答案（1）1－0.99

（2）n≥685（三）隨機變量及其分布1、隨機變量的分布函數(shù)2、離散型隨機變量的分布3、連續(xù)型隨機變量的分布4、二維隨機變量的聯(lián)合分布與邊緣分布1、隨機變量的分布函數(shù)分布函數(shù)的圖像，y＝0及y＝1是兩條漸近線y＝0y＝12、離散型隨機變量的分布例10（p38）設(shè)每分鐘通過某交叉路口的汽車流量X服從泊松分布，且已知在一分鐘內(nèi)無車輛通過與恰有一輛車通過的概率相同，求在一分鐘內(nèi)至少有兩輛車通過的概率。解設(shè)X服從參數(shù)為λ的泊松分布，由題意知P(X=0)=P(X=1)可解得λ＝1因此，至少有兩輛車通過的概率為P(X≥2)=1-P(X=0)-P(X=1)=1-2e-13、連續(xù)型隨機變量的分布常用連續(xù)型分布標準正態(tài)分布N(0,1)的密度函 數(shù)圖像4、二維隨機變量的聯(lián)合分布和邊緣分布（四）隨機變量的數(shù)字特征1、數(shù)學期望2、方差和標準差3、協(xié)方差和相關(guān)系數(shù)4、大數(shù)律和中心極限定理期望的性質(zhì)例5（p79）分賭本問題（point

problem）甲乙二人各有賭本a元，約定誰先勝三局贏得全部賭本2a元，假定甲、乙二人每一局的取勝概率相等。現(xiàn)已賭三局結(jié)果是：甲二勝一負。由于某種原因賭博中止，問如何分2a元賭本才合理？提示：如果甲乙兩人平均分，對甲是不合理的；能否依據(jù)現(xiàn)在的勝負結(jié)果2：1來分呢？但仔細推算也

是不合理的，當時著名數(shù)學家和物理學家Pascal提出一個合理的分法是：如果賭局繼續(xù)下去，他們各自

的期望所得就是他們應(yīng)該分得的。例11（p82）把n個球放進M只盒子，假定每只球落入各個盒子是等可能的，求有球的盒子數(shù)X的數(shù)學期望。2、方差和標準差例有兩批鋼筋（每批10根）它們的抗拉強度為：第一批110，120，120，125，125，125，130，130，135，140第二批90，100，120，125，125，130，135，145，145，145可計算出兩批數(shù)據(jù)的平均數(shù)都是126，但直觀上第二