專題14.5 解題技巧專題：特殊的因式分解法之五大類型（解析版）

專題14.5解題技巧專題：特殊的因式分解法之五大類型【考點導(dǎo)航】目錄TOC\o"1-3"\h\u【典型例題】 1【類型一提多項式的公因式的因式分解法】 1【類型二綜合利用提公因式法和公式法因式分解】 2【類型三十字相乘法因式分解】 4【類型四分組分解法因式分解】 9【類型五因式分解的應(yīng)用】 14【過關(guān)檢測】 17【典型例題】【類型一提多項式的公因式的因式分解法】例題：（2023秋·新疆阿克蘇·八年級統(tǒng)考期末）分解因式：．【答案】【分析】提公因式分解因式即可．【詳解】解：故答案為：．【點睛】本題考查利用提公因式分解因式等知識，是重要考點，難度較易，掌握相關(guān)知識是解題關(guān)鍵．【變式訓(xùn)練】1．（2023秋·湖北孝感·八年級統(tǒng)考期末）分解因式：．【答案】【分析】分別運用提公因式，公式法進行因式分解即可．【詳解】解：故答案為：．【點睛】本題考查因式分解的相關(guān)知識．靈活運用提公因式和公式法進行因式分解是解題的關(guān)鍵．解題時注意，分解一定要徹底，這是易錯點．2．（2023春·山東濟寧·九年級?？茧A段練習(xí)）分解因式：．【答案】【分析】先變形，再提取公因式，然后再利用平方差公式進行分解因式．【詳解】解：．故答案為：．【點睛】本題考查了用提公因式法和公式法進行因式分解，一個多項式有公因式首先提取公因式，然后再用其他方法進行因式分解，同時因式分解要徹底，直到不能分解為止．【類型二綜合利用提公因式法和公式法因式分解】例題：（2023春·江蘇蘇州·七年級期末）把下列各式分解因式：(1)；(2)．【答案】(1)(2)【分析】（1）運用平方差公式分解即可．（2）先提取公因式，后套用公式分解即可．【詳解】（1）解：．（2）．【點睛】本題考查了平方差公式，提取公因式，完全平方公式分解因式，熟練掌握因式分解的基本步驟和方法是解題的關(guān)鍵．【變式訓(xùn)練】1．（2023春·湖南懷化·七年級溆浦縣第一中學(xué)校考期中）因式分解：(1)(2)【答案】(1)(2)【分析】（1）先提取公因式，再利用完全平方公式進行因式分解；（2）先提取公因式，再利用平方差公式、完全平方公式進行因式分解．【詳解】（1）解：（2）解：【點睛】本題考查因式分解，能夠綜合運用提取公因式法和公式法是解題的關(guān)鍵．2．（2022秋·四川巴中·八年級統(tǒng)考期中）因式分解：(1)；(2)【答案】(1)(2)【分析】（1）先提公因式，然后根據(jù)平方差公式進行計算即可求解；（2）先根據(jù)完全平方公式展開，然后根據(jù)完全平方公式與平方差公式因式分解即可求解．【詳解】（1）解：；（2）解：．【點睛】本題考查了因式分解，掌握因式分解的方法是解題的關(guān)鍵．【類型三十字相乘法因式分解】例題：（2023春·安徽阜陽·七年級?？茧A段練習(xí)）閱讀理解：用“十字相乘法”分解因式；．第一步：二次項系數(shù)2可以寫成，常數(shù)項可以寫成或；第二步：如下圖，畫“×”號，將1、2寫在“×”號左邊，將、3或1、寫在“×”號的右邊，共有如下圖的四種情形：

第三步：驗算“交叉相乘兩個積的和”是否等于一次項的系數(shù)：①的系數(shù)為；②的系數(shù)為；③的系數(shù)為；④的系數(shù)為．顯然，第②個“交叉相乘兩個積的和”等于一次項系數(shù)，因此有：．像這樣，通過十字交叉線幫助，把二次三項式分解因式的方法，叫做十字相乘法．問題：(1)分解因式：；①完善下圖中“×”號右邊的數(shù)使得；“交叉相乘兩個積的和”等于一次項系數(shù)；

②分解因式：_______；(2)分解因式：．①完善橫線上的數(shù)字；

②分解因式：________．【答案】(1)①見解析；②(2)①見解析；②【分析】（1）（2）①根據(jù)“交叉相乘兩個積的和”等于一次項系數(shù)填寫橫線上的數(shù)；②根據(jù)所填數(shù)字，仿照材料分解即可．【詳解】（1）解：①

；②；（2）①

；②．【點睛】本題考查了十字相乘法分解因式，解題的關(guān)鍵是讀懂材料，理解十字相乘法的計算方法．【變式訓(xùn)練】1．（2023春·廣西北?！て吣昙壗y(tǒng)考期中）閱讀理解：用“十字相乘法”因式分解例如：求：(1)(2)【答案】(1)(2)【分析】（1）根據(jù)題干中解題過程，對二次項系數(shù)、常數(shù)項分別分解，交叉相乘再相加，湊成一次項系數(shù)即可求解；（2）根據(jù)題干中解題過程，對二次項系數(shù)、常數(shù)項分別分解，交叉相乘再相加，湊成一次項系數(shù)即可求解．【詳解】（1）解：如圖，∴（2）解：如圖，∴．【點睛】本題考查十字相乘法因式分解，掌握分解的步驟是解題的關(guān)鍵．2．（2023春·廣西梧州·七年級統(tǒng)考期中）閱讀理解題在因式分解中有一種常用的方法叫十字相乘法，可以用一元二次式的因式分解，這個方法其實就是運用乘法公式運算來進行因式分解，基本式子為：，例如：分解因式，，，按此排列：

交叉相乘，乘積相加等于，得到，這就是十字相乘法．利用上述方法解決下列問題：(1)分解因式：；(2)先分解因式，再求值：，其中．【答案】(1)(2)，45【分析】（1）根據(jù)十字相乘法進行因式分解即可；（2）先運用式子相乘法進行因式分解，再代入求解．【詳解】（1）解：；（2）當(dāng)時，原式．【點睛】本題考查了因式分解，熟練掌握十字相乘法進行因式分解是解題的關(guān)鍵．3．（2023春·湖南岳陽·七年級統(tǒng)考期末）閱讀理解：用“十字相乘法”分解因式的方法（如圖）．第一步：二次項；第二步：常數(shù)項，畫“十字圖”驗算“交叉相乘之和”；

第三步：發(fā)現(xiàn)第③個“交叉相乘之和”的結(jié)果等于一次項．即．像這樣，通過畫“十字圖”，把二次三項式分解因式的方法，叫做“十字相乘法”．運用結(jié)論：(1)將多項式進行因式分解，可以表示為_______________；(2)若可分解為兩個一次因式的積，請畫好“十字圖”，并求整數(shù)的所有可能值．【答案】(1)(2)圖見解析，，，，16【分析】（1）根據(jù)“十字相乘法”的步驟分解因式即可；（2）根據(jù)“十字相乘法”的步驟分解因式即可．【詳解】（1）解：，常數(shù)項，，，故答案為：；（2）解：，常數(shù)項，畫“十字圖”如下：

，，，16．【點睛】本題考查了十字相乘法分解因式，理解十字相乘法是解題的關(guān)鍵．4．（2023春·陜西榆林·八年級統(tǒng)考期末）閱讀下列材料：將一個形如的二次三項式因式分解時，如果能滿足且，則可以把因式分解成．例如：（1）；（2）．根據(jù)材料，把下列式子進行因式分解．(1)；(2)；(3)．【答案】(1)(2)(3)【分析】根據(jù)進行解答即可．【詳解】（1）解：；（2）解：；（3）解：．【點睛】本題考查了十字相乘法分解因式，運用十字相乘法分解因式時，要意觀察，嘗試，并體會它實質(zhì)是二項式乘法的逆過程，注意分解因式一定要徹底．【類型四分組分解法因式分解】例題：（2023春·陜西西安·八年級高新一中?？计谀读x務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2022年版》關(guān)于運算能力的解釋為：運算能力主要是指根據(jù)法則和運算律進行正確運算的能力，因此，我們面對沒有學(xué)過的數(shù)學(xué)題時，方法可以創(chuàng)新，但在創(chuàng)新中要遵循法則和運算律，才能正確解答，下面介紹一種分解因式的新方法——拆項補項法：把多項式的某一項拆開或填補上互為相反數(shù)的兩項（或幾項），使原式適合于已學(xué)過的方法進行分解．例題：用拆項補項法分解因式．解：添加兩項．原式請你結(jié)合自己的思考和理解完成下列各題：(1)分解因式：；(2)分解因式；(3)分解因式：．【答案】(1)(2)(3)【分析】（1）根據(jù)例題用拆項補項法分解因；（2）根據(jù)例題用拆項補項法分解因；（3）根據(jù)例題用拆項補項法分解因；【詳解】（1）解：；（2）（3）【點睛】本題考查了因式分解，理解題意，正確的增項是解題的關(guān)鍵．【變式訓(xùn)練】1．（2023春·江蘇泰州·七年級靖江市靖城中學(xué)校聯(lián)考階段練習(xí)）將一個多項式分組后，可提公因式或運用公式繼續(xù)分解的方法是因式分解中的分組分解法，一般的分組分解法有四種形式，即“2+2”分法、“3+1”分法、“3+2”分法“3+3”分法等．如“2+2”分法：請你仿照以上方法，探索并解決下列問題：(1)分解因式：；(2)分解因式：；(3)分解因式：．【答案】(1)）；(2)；(3)．【分析】利用分組分解法、公式法進行因式分解．【詳解】（1）解：=；（2）解：；（3）解：．【點睛】本題考查的是分組分解法因式分解，掌握分組分解法、公式法的一般步驟是解題的關(guān)鍵．2．（2023春·山東青島·八年級統(tǒng)考期末）【問題提出】：分解因式：（1）

（2）【問題探究】：某數(shù)學(xué)“探究學(xué)習(xí)”小組對以上因式分解題目進行了如下探究：探究1：分解因式：（1）分析：甲發(fā)現(xiàn)該多項式前兩項有公因式，后兩項有公因式，分別把它們提出來，剩下的是相同因式，可以繼續(xù)用提公因式法分解．解：另：乙發(fā)現(xiàn)該多項式的第二項和第四項含有公因式，第一項和第三項含有公因式，把，提出來，剩下的是相同因式，可以繼續(xù)用提公因式法分解．解：探究2：分解因式：（2）分析：甲發(fā)現(xiàn)先將看作一組應(yīng)用平方差公式，其余兩項看作一組，提出公因式6，則可繼續(xù)再提出因式，從而達到分解因式的目的．解：【方法總結(jié)】：對不能直接使用提取公因式法，公式法進行分解因式的多項式，我們可把被分解的多項式分成若干組，分別按“基本方法”即提取公因式法和公式法進行分解，然后，再從總體上按“基本方法”繼續(xù)進行分解，直到分解出最后結(jié)果．這種分解因式的方法叫做分組分解法：【學(xué)以致用】：嘗試運用分組分解法解答下列問題；（1）分解因式：；（2）分解因式：；【拓展提升】：（3）分解因式：．【答案】（1）；（2）；（3）．【分析】（1）把前面兩個和后面兩個分別組成兩組，提公因式后再利用平方差公式繼續(xù)分解；（2）把前面三個和后面一個組成兩組，利用公式分解即可；（3）把15分解成，再把前面三個和后面一個組成兩組，利用公式分解即可．【詳解】解：（1）；（2）；（3）．【點睛】解答本題的關(guān)鍵是注意用分組分解法時，一定要考慮分組后能否提取公因式，運用公式．【類型五因式分解的應(yīng)用】例題：（2023秋·廣東深圳·九年級?？奸_學(xué)考試）小強是一位密碼編譯愛好者，在他的密碼手冊中，有這樣一條信息：，，，，，分別對應(yīng)下列六個字：華、愛、我、中、游、美，現(xiàn)將因式分解，結(jié)果呈現(xiàn)的密碼信息可能是（）A．我愛美 B．中華游 C．愛我中華 D．美我中華【答案】C【分析】將原式進行因式分解即可求出答案．【詳解】解：原式由條件可知，可表示為“愛我中華”，故選：C．【點睛】本題考查因式分解的應(yīng)用，涉及平方差公式，提取公因式法，并考查學(xué)生的閱讀理解能力．【變式訓(xùn)練】1．（2023春·浙江寧波·七年級?？计谥校┮阎叫蔚倪呴L為b，正方形的邊長為．如圖1，點H與點A重合，點E在邊上，點G在邊上，記陰影部分的面積為；如圖2，在圖1正方形位置擺放的基礎(chǔ)上，在正方形的右下角又放了一個和正方形一樣的正方形，使一個頂點和點C重合，兩條邊分別落在和上，記陰影部分面積為和．若，，則的值是（

）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】A【分析】先表示出和的面積，進而求出a和b的值，再根據(jù)表示邊長為的正方形的面積，即可求解；【詳解】∵的面積等于正方形面積-正方形面積，是邊長為的正方形的面積，∴，，∵，，∴，，∴，，∴，解，得，，∵S3表示邊長為的正方形的面積，∴；【點睛】本題考查了因式分解的應(yīng)用，解二元一次方程組，掌握割補法求圖形面積的方法是解決（1）的關(guān)鍵；解（2）的關(guān)鍵是正確理解圖形面積公式，會表示相應(yīng)線段的長和圖形的面積．2．（2023春·廣東深圳·八年級統(tǒng)考期末）因式分解的常用方法有提公因式法和公式法，但有些多項式無法直接使用上述方法分解，如，我們可以把它先分組再分解：，這種方法叫做分組分解法．請解決下列問題：(1)分解因式：；(2)已知a，b，c是的三邊，且滿足，請判斷的形狀，并說明理由，【答案】(1)(2)是等腰三角形，理由見解析【分析】（1）根據(jù)題干中的方法進行分組分解因式即可；（2）利用分組法分解因式，然后得出，即可判斷三角形的形狀．【詳解】（1）；（2）是等腰三角形．理由如下：，，，，是的三邊，，，，是等腰三角形．【點睛】本題主要考查分組分解因式及提公因式與公式法分解因式，等腰三角形的定義等，理解題意，深刻理解題干中的分組分解法是解題關(guān)鍵．3．（2023秋·山西臨汾·八年級統(tǒng)考階段練習(xí)）我們知道，對于一個圖形，通過兩種不同的方法計算它的面積，可以得到一個數(shù)學(xué)等式．例如由圖1可以得到．請回答下列問題：

(1)寫出圖2中所表示的數(shù)學(xué)等式：___________．(2)利用（1）中所得的結(jié)論，解決下列問題：已知，，求的值．(3)圖3中給出了若干個邊長為a和邊長為b的小正方形紙片及若干個長為b、寬為a的長方形紙片．請按要求利用所給的紙片拼出一個幾何圖形，并畫在所給的方框內(nèi)，要求所拼的幾何圖形的面積為．【答案】(1)=(2)45(3)見解析【分析】（1）正方形、長方形硬紙片共9塊的面積等于邊長為的正方形即可得出答案；（2）利用（1）中所求，將原式變形，進而求出答案；（3）正方形、長方形硬紙片共9塊的面積等于長為，寬為的矩形面積；【詳解】（1）由拼圖面積可得：；（2），，；（3）如圖所示，所拼出的幾何圖形的面積為：

【點睛】本題考查了因式分解的應(yīng)用：利用因式分解解決求值問題，利用因式分解解決證明問題，利用因式分解簡化計算問題．【過關(guān)檢測】一、單選題1．（2023春·重慶·八年級重慶市南坪中學(xué)校校聯(lián)考期末）下列等式中，從左到右的變形是因式分解的是（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】根據(jù)因式分解的定義“將多項式化為幾個整式的積的形式”，由此即可求解．【詳解】解：、不是因式分解，不符合題意；、不是因式分解，不符合題意；、等號右邊不是整式，不是因式分解，不符合題意；、是因式分解，符合題意；故選：．【點睛】本題主要考查因式分解的概念，掌握其概念是解題的關(guān)鍵，尤其需要主要的是選項中是積的關(guān)系，但不是整式，不屬于因式分解．2．（2023春·湖南株洲·七年級?？计谥校┓纸庖蚴?，結(jié)果正確的是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】先提取公因式，然后利用平方差公式求解即可．【詳解】解：故選：D【點睛】此題考查了提公因式法和公式法進行因式分解，解題的關(guān)鍵是熟練掌握因式分解的有關(guān)方法．3．（2023秋·八年級課時練習(xí)）已知a，b，c是的三邊長，且滿足，則的形狀為（

）A．等腰三角形 B．直角三角形 C．等邊三角形 D．等腰直角三角形【答案】A【分析】由因式分解，可知，可得，因而可判斷的形狀．【詳解】解析：∵，∴，∴．∵a，b，c是的三邊長，∴，∴，∴，即的是等腰三角形．【點睛】題考查了因式分解的應(yīng)用，還考查了等腰三角形的定義，能夠熟練掌握因式分解是解決本題的關(guān)鍵．4．（2023秋·八年級課時練習(xí)）小南是一位密碼編譯愛好者，在他的密碼手冊中有這樣一條信息：，，3，，a，分別對應(yīng)下列六個字：中，愛，我，數(shù)，學(xué)，一，現(xiàn)將分解因式，結(jié)果呈現(xiàn)的密碼信息可能是（

）A．我愛學(xué) B．愛一中 C．我愛一中 D．一中數(shù)學(xué)【答案】C【分析】根據(jù)提公因式和平方差公式分解因式即可得出答案．【詳解】解：∵，∴這幾個字分別為：中，愛，我，一，即我愛一中．故選C．【點睛】本題考查因式分解．掌握綜合提公因式和公式法分解因式是解題關(guān)鍵．二、填空題5．（2023秋·云南紅河·八年級統(tǒng)考期末）因式分解：=．【答案】【分析】先提出公因式，再利用完全平方公式進行因式分解．【詳解】解：，故答案為：．【點睛】本題考查因式分解，解題的關(guān)鍵是綜合運用提公因式法和公式法．6．（2023秋·四川成都·九年級成都七中?？奸_學(xué)考試）分解因式：．【答案】【分析】提公因式后利用平方差公式因式分解即可．【詳解】解：原式，故答案為：．【點睛】本題考查因式分解，熟練掌握因式分解的方法是解題的關(guān)鍵．7．（2023秋·九年級課時練習(xí)）若實數(shù)，滿足，則的值為．【答案】或1【分析】將看作一個整體，利用因式分解法解一元二次方程求出的值即可．【詳解】解：∵，∴或，解得：或，故答案為：或1．【點睛】此題考查了解一元二次方程—因式分解法，將x＋y看作一個整體是解本題的關(guān)鍵．8．（2023秋·八年級課時練習(xí)）已知的三邊長a，b，c滿足，則的形狀為．【答案】等腰三角形【分析】將進行因式分解，轉(zhuǎn)化為，進而得到，即可得出結(jié)論．【詳解】解析：∵，∴，∴．∵a，b，c是的三邊長，∴，∴，∴，即為等腰三角形．故答案為：等腰三角形．【點睛】本題考查因式分解的應(yīng)用，正確的進行因式分解，是解題的關(guān)鍵．三、解答題9．（2023秋·江蘇南通·八年級?？茧A段練習(xí)）因式分解：(1)；(2)；(3)．【答案】(1)(2)(3)【分析】（1）先提取公因式，再利用完全平方公式進行因式分解；（2）利用十字相乘法進行因式分解；（3）先提取公因式，再利用平方差公式進行因式分解．【詳解】（1）解：；（2）解：，，，；（3）解：．【點睛】本題考查因式分解，掌握提取公因式法、公式法、十字相乘法是解題的關(guān)鍵．10．（2023秋·八年級課時練習(xí)）因式分解：(1)；(2)；(3)．【答案】(1)(2)(3)【分析】根據(jù)分解因式的方法求解即可．【詳解】（1）解：原式；（2）原式．（3）原式．【點睛】此題考查了因式分解的方法，解題的關(guān)鍵是熟練掌握因式分解的方法．因式分解的方法有：提公因式法，平方差公式法，完全平方公式法，十字相乘法等．11．（2023秋·八年級課時練習(xí)）因式分解：(1)（添項）；(2)（拆項）；(3)（換元）．【答案】(1)(2)(3)【分析】根據(jù)分解因式的方法求解即可．【詳解】（1）原式．（2）方法一：原式．方法二：原式．（3）設(shè)，則原式．【點睛】此題考查了因式分解的方法，解題的關(guān)鍵是熟練掌握因式分解的方法．因式分解的方法有：提公因式法，平方差公式法，完全平方公式法，十字相乘法等．12．（2023秋·八年級課時練習(xí)）用十字相乘法分解因式：(1)；(2)；(3)．【答案】(1)(2)(3)【分析】用十字相乘法分解因式求解即可．【詳解】（1）原式．（2）原式．（3）原式【點睛】此題考查了因式分解的方法，解題的關(guān)鍵是熟練掌握因式分解的方法．因式分解的方法有：提公因式法，平方差公式法，完全平方公式法，十字相乘法等．13．（2023秋·八年級課時練習(xí)）對于形如這樣的二次三項式，可以用公式法將它分解成的形式．但對于二次三項式，就不能直接運用公式了．此時，我們可以在二次三項式中先加上一項，使它與的和成為一個完全平方式，再減去，整個式子的值不變，于是有：．像這樣，先添一適當(dāng)項，使式子中出現(xiàn)完全平方式，再減去這個項，使整個式子的值不變的方法稱為“配方法”．閱讀以上材料，解決下列問題．(1)分解因式：．(2)當(dāng)a為何值時，二次三項式取得最小值．【答案】(1)(2)時，二次三項式取得最小值，最小值為1【分析】（1）利用配方法進行因式分解即可；（2）利用配方法求最值即可．【詳解】（1）解：原式；（2）∵，又，∴當(dāng)時，二次三項式取得最小值，最小值為1．【點睛】本題考查因式分解．熟練掌握配方法，是解題的關(guān)鍵．14．（2023春·福建漳州·八年級?？计谥校╅喿x理解∶當(dāng)一個多項式?jīng)]有公因式又不能用公式法時，這里再介紹一種因式分解方法，叫分組分解法．比如因式分解：這種分組法是分組后用提公因式法分解；比如因式分解：這種分組法是分組后用公式法分解．根據(jù)以上信息分解因式：(1)；(2)；(3)．【答案】(1)(2)(3)【分析】（1）分組，提公因式分解；（2）分組，分別運用平方差公式，提公因式法分解；（3）運用整式乘法法則變形，再運用平方差公式展開，進一步化簡．【詳解】（1