專題12 定義問題（復習講義）（解析版）-二輪要點歸納與典例解析

專題12定義問題復習講義【要點歸納|典例解析】類型一：新定義“新定義”型問題，指的是命題老師用下定義的方式，給出一個新的運算、符號、概念、圖形或性質等，要求同學們“化生為熟”、“現學現用”，能結合已有知識、能力進行理解，進而進行運算、推理、遷移的一種題型，這類題型往往是教材中一些數學概念的拓展、變式，是近幾年中考數學命題的熱點?！靶露x”型試題主要考查同學們學習新知識的能力，具體而言，就是考查大家的閱讀理解能力、數學規(guī)則的選擇與運用能力、綜合運用數學知識分析問題解決問題的能力，有較強的數學抽象，旨在引導、培養(yǎng)大家在平時的數學學習中，能養(yǎng)成自主學習、主動探究的學習方式?！岸x新運算”是指用一個符號和已知運算表達式表示一種新的運算．解決這類問題的關鍵是理解新運算規(guī)定的規(guī)則，明白其中的算理算法．運算時，要嚴格按照新定義的運算規(guī)則，轉化為已學過的運算形式，然后按正確的運算順序進行計算．“定義新符號”試題是定義了一個新的數學符號，要求同學們要讀懂符號，了解新符號所代表的意義，理解試題對新符號的規(guī)定，并將新符號與已學知識聯系起來，將它轉化成熟悉的知識，而后利用已有的知識經驗來解決問題．1．（2020·棗莊）對于實數a、b，定義一種新運算“”為：，這里等式右邊是實數運算．例如：．則方程的解是（）A．x＝4B．x＝5C．x＝6D．x＝7【答案】B【解析】根據新定義運算，把方程轉化為分式方程．因為，所以原方程可轉化為，解得x＝5．經檢驗，x＝5是原方程的解．2．（2020·河南）定義運算:☆=.例如:4☆2=4×22-4×2-1=7.則1☆=0方程的根的情況為()A.有兩個不相等的實數根B.有兩個相等的實數根C.無實數根D.只有一個實數根【答案】A【解析】由定義新運算可得，∴△==5＞0，所以方程有兩個不相等的實數根，因此本題選A．3．（2020·隨州）將關于x的一元二次方程變形為，就可以將表示為關于x的一次多項式，從而達到“降次”的目的，又如…，我們將這種方法稱為“降次法”，通過這種方法可以化簡次數較高的代數式.根據“降次法”，已知：，且x＞0，則的值為（）A.B.C.D.【答案】C【解析】本題考查了降次法、整體代入法、整式的化簡求值，一元二次方程的解法.解答過程如下：∵，∴，∴======2x，∵，且x＞0，∴x=，∴原式=2×=.因此本題選C．4．（2020·恩施）在實數范圍內定義運算“☆”：，例如：．如果，則的值是（）．A. B.1 C.0 D.2【答案】C【解析】根據題目中給出的新定義運算規(guī)則進行運算：，又，∴，∴．故選：C．5.（2019·岳陽）對于一個函數，自變量x取a時，函數值y也等于a，我們稱a為這個函數的不動點．如果二次函數y=x2+2x+c有兩個相異的不動點x1、x2，且x1＜1＜x2，則c的取值范圍是（）A．c＜－3B．c＜－2C．D．c＜1【答案】B【解析】當y=x時，x=x2+2x+c，即為x2+x+c=0，由題意可知：x1，x2是該方程的兩個實數根，所以∵x1＜1＜x2，∴（x1－1）（x2－1）＜0，即x1x2－(x1＋x2)＋1＜0，∴c－(－1)＋1＜0，∴c＜－2.又知方程有兩個不相等的實數根，故Δ＞0，即12－4c＞0，解得：c＜.∴c的取值范圍為c＜－2.6.（2019·濟寧）已知有理數a≠1，我們把稱為a的差倒數，如：2的差倒數是＝?1，－1的差倒數是．如果a1＝－2，a2是a1的差倒數，a3是a2的差倒數，a4是a3的差倒數，…，依此類推，那么a1＋a2＋…＋a100的值是（）A．－7.5B．7.5C．5.5D．－5.5【答案】A【解析】由題意知：a2＝＝；a3＝＝，a4＝＝－2；a5＝＝；…；可知經過3次開始循環(huán)，所以a1＋a2＋…＋a100＝－2＋＋－2＋＋＋…－2＝＝－7.5．7.（2018浙江金華麗水，14，4分）對于兩個非零實數x，y，定義一種新的運算：．若，則的值是．【答案】－1．【解析】∵，==a－b=2，∴===－1．故答案為－1．【知識點】分式的加法；閱讀理解8.（2018湖南益陽，17，4分）規(guī)定，如：，若，則x=．【答案】－3或1【思路分析】根據規(guī)定的運算順序，把化為熟悉的一元二次方程，然后再解方程即可．【解析】解：∵，∴，，解得：x1=－3，x2=1．【知識點】新定義型，一元二次方程9.（2018四川雅安，15題，3分）若規(guī)定運算：ab=2ab，ab=，ab=a-b2，則（12）（63）=________【答案】【解析】原式=(2×1×2)()=4=4-=【知識點】新定義運算10.（2018湖南省永州市，17，4）對于任意大于0的實數x、y，滿足：log2(x·y)=log2x+log2y，若log22=1，則log216=．【答案】4【解析】根據條件中的新定義，可將log216化為log2(2×2×2×2)=log22+log22+log22+log22=1+1+1+1=4．因此，本題填：4．11．（2019·常德）規(guī)定：如果一個四邊形有一組對邊平行，一組鄰邊相等，那么四邊形為廣義菱形．根據規(guī)定判斷下面四個結論：①正方形和菱形都是廣義菱形；②平行四邊形是廣義菱形；③對角線互相垂直，且兩組鄰邊分別相等的四邊形是廣義菱形；④若M、N的坐標分別為(0，1)，(0，－1)，P是二次函數y＝x2的圖象上在第一象限內的任意一點，PQ垂直直線y＝－1于點Q，則四邊形PMNQ是廣義菱形．其中正確的是．（填序號）【答案】①④【解析】正方形和菱形滿足一組對邊平行，一組鄰邊相等，故都是廣義菱形，故①正確；平行四邊形雖然滿足一組對邊平行，但是鄰邊不一定相等，因此不是廣義菱形，故②錯誤；對角線互相垂直，且兩組鄰邊分別相等的四邊形的對邊不一定平行，鄰邊也不一定相等，因此不是廣義菱形，故③錯誤；④中的四邊形PMNQ滿足MN∥PQ，設P(m，0)（m＞0），∵PM＝＝＋1，PQ＝－(－1)＝＋1，∴PM＝PQ，故四邊形PMNQ是廣義菱形．綜上所述正確的是①④．12．（2019·隴南）定義：等腰三角形的頂角與其一個底角的度數的比值k稱為這個等腰三角形的“特征值”．若等腰△ABC中，∠A＝80°，則它的特征值k＝．【答案】或．【解析】當∠A是頂角時，底角是50°，則k=；當∠A是底角時，則底角是20°，k=，故答案為：或．13．（2020·衢州）定義，例如，則的結果為．【答案】【解析】解析：根據題中的新定義得：＝＝．14．(2020·青海)對于任意兩個不相等的數a，b，定義一種新運算“”如下：ab＝，如：32＝＝，那么124＝______．【答案】【解析】依題意可知124＝＝＝．15．（2020·宜賓）定義：分數（m，n為正整數且互為質數）的連分數（其中a1，a2，a3，…，為整數，且等式右邊的每個分數的分子都為1），記作+++…，例如：＝＝＝＝＝＝，的連分數為，記作+++，則++．【答案】【解析】根據連分數的定義列式計算即可解答．++＝＝＝＝．16．（2020·黔西南州）規(guī)定:在平面內，如果一個圖形繞一個定點旋轉一定的角度α（0°＜α≤180°）后能與自身重合，那么就稱這個圖形是旋轉對稱圖形，轉動的這個角度α稱為這個圖形的一個旋轉角．例如:正方形繞著兩條對角線的交點O旋轉90°或180°后，能與自身重合（如圖1），所以正方形是旋轉對稱圖形，且有兩個旋轉角．根據以上規(guī)定，回答問題:（1）下列圖形是旋轉對稱圖形，但不是中心對稱圖形的是________；A．矩形B．正五邊形 C．菱形D．正六邊形（2）下列圖形中，是旋轉對稱圖形，且有一個旋轉角是60度的有:________（填序號）；（3）下列三個命題:①中心對稱圖形是旋轉對稱圖形；②等腰三角形是旋轉對稱圖形；③圓是旋轉對稱圖形，其中真命題的個數有（）個；A．0 B．1 C．2 D．3（4）如圖2的旋轉對稱圖形由等腰直角三角形和圓構成，旋轉角有45°，90°，135°，180°，將圖形補充完整．【解析】本題考查了新定義“旋轉對稱圖形”．（1）根據旋轉對稱圖形的定義進行判斷；（2）先分別求每一個圖形中的旋轉角，然后再進行判斷；（3）根據旋轉對稱圖形的定義進行判斷；（4）利用旋轉對稱圖形的定義進行設計．【答案】解:（1）B（2）（1）（3）（5）（3）C（4）如答圖:17．（2020·北京）在平面直角坐標系xOy中，⊙O的半徑為1，A，B為⊙O外兩點，AB=1．給出如下定義：平移線段AB，得到⊙O的弦A′B′（A′，B′分別為點A，B的對應點），線段AA′長度的最小值稱為線段AB到⊙O的“平移距離”．（1）如圖，平移線段AB到⊙O的長度為1的弦和，則這兩條弦的位置關系是；在點中，連接點A與點的線段的長度等于線段AB到⊙O的“平移距離”；（2）若點A，B都在直線上，記線段AB到⊙O的“平移距離”為，求的最小值；（3）若點A的坐標為，記線段AB到⊙O的“平移距離”為，直接寫出的取值范圍．【解析】（1）根據圓的性質及“平移距離”的定義填空即可；（2）過點O作OE⊥AB于點E，交弦CD于點F，分別求出OE、OF的長，由得到的最小值；（3）線段AB的位置變換，可以看作是以點A為圓心，半徑為1的圓，只需在⊙O上都存在兩條對應線段A′B′和A′′B′′,滿足它們平行且相等，由平移距離可知，AA′的長度的最小值即為平移距離，因此當且僅當AA′＝AA′′時，平移距離最大（否則誰小取誰）【答案】解：（1）平行；P3；（2）如圖，線段AB在直線上，平移之后與圓相交，得到的弦為CD，CD∥AB，過點O作OE⊥AB于點E，交弦CD于點F，OF⊥CD，令，直線與x軸交點為（-2，0），直線與x軸夾角為60°，∴．由垂徑定理得：，∴；（3）線段AB的位置變換，可以看作是以點A為圓心，半徑為1的圓，只需在⊙O內找到與之平行，且長度為1的弦即可；點A到O的距離為．如圖，平移距離的最小值即點A到⊙O的最小值：；如圖，由平移距離可知，AA′的長度的最小值即為平移距離，因此當且僅當AA′＝AA′′時，平移距離最大，如圖所示：由題意可知：△AA′O≌△AA′′O，可得∠AOA′′＝120°，在Rt△A′OC中，A′C＝，所以AA′＝．∴．18．（2020·懷化）定義：對角線互相垂直且相等的四邊形叫做垂等四邊形．（1）下面四邊形是垂等四邊形的是；（填序號）①平行四邊形；②矩形；③菱形；④正方形（2）圖形判定：如圖1，在四邊形ABCD中，AD∥BC，AC⊥BD，過點D作BD垂線交BC的延長線于點E，且∠DBC＝45°，證明：四邊形ABCD是垂等四邊形．（3）由菱形面積公式易知性質：垂等四邊形的面積等于兩條對角線乘積的一半．應用：在圖2中，面積為24的垂等四邊形ABCD內接于⊙O中，∠BCD＝60°．求⊙O的半徑．【答案】解：（1）①平行四邊形的對角線互相平分但不垂直和相等，故不是垂等四邊形；②矩形對角線相等但不垂直，故不是垂等四邊形；③菱形的對角線互相垂直但不相等，故不是垂等四邊形；④正方形的對角線互相垂直且相等，故正方形是垂等四邊形；故選：④；（2）∵AC⊥BD，ED⊥BD，∴AC∥DE，又∵AD∥BC，∴四邊形ADEC是平行四邊形，∴AC＝DE，又∵∠DBC＝45°，∴△BDE是等腰直角三角形，∴BD＝DE，∴BD＝AC，又∵BD⊥AC，∴四邊形ABCD是垂等四邊形；（3）如圖，過點O作OE⊥BD，∵四邊形ABCD是垂等四邊形，∴AC＝BD，又∵垂等四邊形的面積是24，∴AC?BD＝24，解得，AC＝BD＝4，又∵∠BCD＝60°，∴∠DOE＝60°，設半徑為r，根據