高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 講義 平面向量的應(yīng)用 學(xué)生

課題：平面向量的應(yīng)用知識點1．平面向量在幾何中的應(yīng)用（1）用向量解決常見平面幾何問題的技巧：問題類型所用知識公式表示線平行、點共線等問題共線向量定理?，其中a＝（x1，y1），b＝（x2，y2），b≠0垂直問題數(shù)量積的運算性質(zhì)a⊥b?a·b＝0?x1x2＋y1y2＝0，其中a＝（x1，y1），b＝（x2，y2），且a，b為非零向量夾角問題數(shù)量積的定義cosθ＝eq\f(a·b,|a||b|)（θ為向量a，b的夾角），其中a，b為非零向量長度問題數(shù)量積的定義|a|＝eq\r(a2)＝eq\r(x2＋y2)，其中a＝（x，y），a為非零向量（2）用向量方法解決平面幾何問題的步驟平面幾何問題eq\o(→,\s\up7(設(shè)向量))向量問題eq\o(→,\s\up7(運算))解決向量問題eq\o(→,\s\up7(還原))解決幾何問題。2．平面向量在物理中的應(yīng)用平向量的線性運算：向量運算定義法則（或幾何意義）運算律加法求兩個向量和的運算三角形法則平行四邊形法則（1）交換律：；（2）結(jié)合律：減法求a與b的相反向量－b的和的運算叫做a與b的差三角形法則【注1】1．向量共線的充要條件中要注意“a≠0”，否則λ可能不存在，也可能有無數(shù)個．2．證明三點共線問題，可用向量共線來解決，但應(yīng)注意向量共線與三點共線的區(qū)別與聯(lián)系，當(dāng)兩向量共線且有公共點時，才能得出三點共線；3．利用向量平行證明向量所在直線平行，必須說明這兩條直線不重合．【注2】1．涉及三角問題求解方法：（1）去除向量的包裝外衣，轉(zhuǎn)化為由三角函數(shù)值求對應(yīng)的角的值；（2）去除向量的包裝外衣，轉(zhuǎn)化為形如：三角函數(shù)最值，但一定要關(guān)注自變量的范圍．另外三角函數(shù)與代數(shù)函數(shù)一個很大的區(qū)別就是一般先要處理三角函數(shù)表達式，處理的結(jié)果之一就是轉(zhuǎn)化為形如：，這一點很重要．2．涉及平面幾何問題，往往通過平面向量的坐標(biāo)運算，結(jié)合曲線的定義及曲線與曲線的位置關(guān)系，應(yīng)用函數(shù)方程思想解題．【注3】1．三角形中最值、范圍問題的解題思路,建立所求量（式子）與已知角或邊的關(guān)系，然后把角或邊作為自變量，所求量（式子）的值作為函數(shù)值，轉(zhuǎn)化為函數(shù)關(guān)系，將原問題轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的值域問題．這里要利用條件中的范圍限制，以及三角形自身范圍限制，要盡量把角或邊的范圍（也就是函數(shù)的定義域）找完善，避免結(jié)果的范圍過大．2．涉及求范圍的問題，一定要搞清已知變量的范圍，利用已知的范圍進行求解，已知邊的范圍求角的范圍時可以利用余弦定理進行轉(zhuǎn)化．3．注意題目中的隱含條件，如A＋B＋C＝π，0＜A＜π，b－c＜a＜b＋c，三角形中大邊對大角等．【注4】1．平面向量中有關(guān)最值、范圍問題的2種解題思路（1）形化：利用平面向量的幾何意義將問題轉(zhuǎn)化為平面幾何中的最值或范圍問題，然后根據(jù)平面圖形的特征直接進行判斷．（2）數(shù)化：利用平面向量的坐標(biāo)運算，把問題轉(zhuǎn)化為代數(shù)中的函數(shù)最值與值域、不等式的解集、方程有解等問題，然后利用函數(shù)、不等式、方程的有關(guān)知識來解決．2．求向量模的最值（范圍）的方法（1）代數(shù)法：把所求的模表示成某個變量的函數(shù)，再用求最值的方法求解．（2）幾何法（數(shù)形結(jié)合法）：弄清所求的模表示的幾何意義，結(jié)合動點表示的圖形求解．典型例題例1直角中，為斜邊邊的高，若，，則（）A．B．C．D．例2已知，，且，則的值是（）A．6B．5C．4D．3例3在矩形中，,，點為的中點，點在邊上，若，則的值為（）A．0B．1C．2D．3例4如圖，正方形中，為的中點，若，則的值為（）A．B．C．1D．1例5已知，，為坐標(biāo)原點，點C在∠AOB內(nèi)，且，設(shè)，則的值為（）A．B．C．D．例6在△ABC中，若，則△ABC的形狀是（

）A．等腰三角形 B．直角三角形 C．等邊三角形 D．等腰直角三角形例7在中，若，則的形狀為（

）A．等邊三角形B．等腰三角形C．直角三角形D．等腰直角三角形例8在平行四邊形中，，，，為平行四邊形內(nèi)一點，，若（），則的最大值為（）A．1B．C．D．例9在中，，，，，，CN與BM交于點P，則的值為（

）A．B．C．D．例10直角三角形ABC中，斜邊BC長為a，A是線段PE的中點，PE長為2a，當(dāng)最大時，與的夾角是（

）A． B． C． D．例11在中，，，動點位于直線上，當(dāng)取得最小值時，的正弦值為（

）A． B． C． D．例12如圖A是單位圓與軸的交點，點在單位圓上，,,四邊形的面積為,當(dāng)取得最大值時的值和最大值分別為（）A．，B．，1C．，D．，例13設(shè)是平面上的兩個單位向量，．若，則的最小值是（）A．B．C．D．舉一反三1．（多選）設(shè)，，分別為銳角三個內(nèi)角，，的對邊，且，則下列結(jié)論正確的是（

）A．B．C．的取值范圍是D．的取值范圍是2．中，若，，點滿足，直線與直線相交于點，則（

）A． B． C． D．3．已知菱形中，，，點為上一點，且，則的余弦值為（

）A． B． C． D．4．已知H為的垂心，若，則（

）A．B．C．D．5．在平行四邊形中，，則（

）A．1 B． C．2 D．36．已知的面積為，，，則AC邊的中線的長為（

）A． B．3 C． D．47．在中，若，則是的（）A．外心 B．內(nèi)心 C．重心 D．垂心8．在直角三角形中，，，點在斜邊的中線上，則的最大值為（）A． B． C． D．9．已知，，與的夾角為，若向量與的夾角是銳角，則實數(shù)入的取值范圍是：______．10．已知，且的夾角為鈍角，則實數(shù)的范圍_______11．一條東西方向的河流兩岸平行，河寬，河水的速度為向東2．一艘小貨船準(zhǔn)備從河南岸的碼頭A處出發(fā)，航行到位于河對岸B（AB與河的方向垂直）的正西方向并且與B相距250的碼頭C處卸貨．若流水的速度與小貨船航行的速度的合速度的大小為6，則當(dāng)小貨船的航程最短時，小貨船航行的速度大小是___________．12．若在中，，則面積S的取值范圍是___________．13．在銳角中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，且滿足．若的外接圓的面積為，則三角形面積的取值范圍是____________．課后練習(xí)1．一條東西方向的河流兩岸平行，河寬，河水的速度為向正東．一艘小貨船準(zhǔn)備從河南岸碼頭P處出發(fā)，航行到河對岸Q（與河的方向垂直）的正西方向并且與Q相距的碼頭M處卸貨，若水流的速度與小貨船航行的速度的合速度的大小為，則當(dāng)小貨船的航程最短時，小貨船航行速度的大小為（

）A． B． C． D．2．在梯形ABCD中，，，，，若EF在線段AB上運動，且，則的最小值為（

）A．5 B． C．4 D．3．在中，，邊的中點為D，且，則的最大值為（

）A． B． C． D．4．如圖，在直角梯形ABCD中，，，，，P是線段AB上的動點，則的最小值為（

）A． B．5 C． D．75．是邊長為6的等邊三角形，點，分別在邊，上，且，則的最小值為（

）A． B． C． D．6．如圖，在等腰直角中，斜邊，為線段BC上的動點，且，則的最小值為（

）A． B． C．4 D．67．一艘輪船沿北偏東28°方向，以18海里/時的速度沿直線航行，一座燈塔原米在輪船的南偏東32°方向上，經(jīng)過10分鐘的航行，此時輪船與燈塔的距離為海里，則燈塔與輪船原來的距離為（

）A．2海里 B．3海里 C．4海里 D．5海里8．如圖所示，為測一樹的高度，在地面上選取、兩點，從、兩點分別測得樹尖的仰角為、，且、兩點之間的距離為，則樹的高度為（

）A． B． C． D．9．中