2022年廣東省湛江市高考數(shù)學(xué)一模試卷及答案解析

2022年廣東省湛江市高考數(shù)學(xué)一模試卷

一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)

是符合題目要求的.

1.（5分）已知集合U={x€N|-l<x<4},集合A={0,1},則Cu4=（）

A.{0,2,3）B.{-1,0,2,3}C.{2,3}D.{2,3,4}

2.（5分）已知（l+3i）z=5i,貝Uz的虛部是（）

313

A.—B.-C.―亍

222

3.（5分）己知cosa=H0<a<5,則sin（a+J）—（）

A.它B.這C.-徐7>/2

D.

101010To-

4.（5分）下列函數(shù)是奇函數(shù)，且函數(shù)值恒小于1的是（）

、X

2—1B.f（x）=-xi+x

1_1

C.f（x）=|siar|D.f（x）=x3+x-3

5.（5分）如圖是戰(zhàn)國(guó)時(shí)期的一個(gè)銅鑲，其由兩部分組成，前段是高為20”、底面邊長(zhǎng)為\cm

的正三棱錐，后段是高為0.6cm的圓柱，圓柱底面圓與正三棱錐底面的正三角形內(nèi)切,

則此銅鍍的體積約為（）

■$0

A.0.25麗3B.0.65c/n3C.0.15c/D.0.45cw3

6.（5分）為提高新農(nóng)村的教育水平，某地選派4名優(yōu)秀的教師到甲、乙、丙三地進(jìn)行為期

一年的支教活動(dòng),每人只能去一個(gè)地方、每地至少派一人，則不同的選派方案共有（）

A.18種B.12和?C.72利?D.36種

7.（5分）意大利著名數(shù)學(xué)家斐波那契在研究兔子繁殖問(wèn)題時(shí).，發(fā)現(xiàn)有這樣一列數(shù)：1,1,

2,3,5,…，其中從第三項(xiàng)起,每個(gè)數(shù)等于它前面兩個(gè)數(shù)的和，即an+2=an+i+an（neN*）,

后來(lái)人們把這樣的一列數(shù)組成的數(shù)列{“”）稱(chēng)為“斐波那契數(shù)列”.記42022力，則a\+a3+a5+

…+"2021=（）

A.r2B.t-1C.tD.t+\

第1頁(yè)共24頁(yè)

8.（5分）已知當(dāng)（0,+8）時(shí)，函數(shù)/■（》）=.的圖象與函數(shù)。（乃=品?的圖象有

且只有兩個(gè)交點(diǎn)，則實(shí)數(shù)&的取值范圍是（）

Ve11Ve

A.（0,—）B.（0,-）C.（-,+8）D.（—,+8）

2eeee

二、選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符

合題目要求.全部選對(duì)的得5分，部分選對(duì)的得2分，有選錯(cuò)的得0分.

（多選）9.（5分）若a>b,則下列不等式中正確的有（）

A.a-b>0B.2a>2bC.ac>bcD.a2>h2

（多選）10.（5分）某市為了研究該市空氣中的PM”濃度和SQ濃度之間的關(guān)系，環(huán)境

監(jiān)測(cè)部門(mén)對(duì)該市空氣質(zhì)量進(jìn)行調(diào)研，隨機(jī)抽查了100天空氣中的PM2.5濃度和SO2濃度

（單位：必機(jī)3）,得到如下所示的2X2列聯(lián)表:

SO1[0,150](150,475]

PM25

[0,75]6416

(75,115]1010

2

經(jīng)計(jì)算k=1°嚕嗎％曉1°）X7.4844,則可以推斷出（）

2

_______幾(或/一兒)________

Q+b)(c+d)(a+c)(b+d)

P（心沁）0.0500.0100.001

ko3.8416.63510.828

A.該市一天空氣中PM2.5濃度不超過(guò)75照/〃汽且SO2濃度不超過(guò)150照/〃戶(hù)的概率估計(jì)

值是0.64

B.若2X2列聯(lián)表中的天數(shù)都擴(kuò)大到原來(lái)的10倍，K的觀測(cè)值不會(huì)發(fā)生變化

C.有超過(guò)99%的把握認(rèn)為該市一天空氣中PM2.5濃度與SO2濃度有關(guān)

D.在犯錯(cuò)的概率不超過(guò)1%的條件下，認(rèn)為該市一天空氣中PM2.5濃度與SO2濃度有關(guān)

（多選）11.（5分）已知正方體ABCO-AiBiGDi的棱長(zhǎng)為1,點(diǎn)P是線(xiàn)段上（不含

端點(diǎn)）的任意一點(diǎn)，點(diǎn)E是線(xiàn)段48的中點(diǎn)，點(diǎn)廠是平面ABC。內(nèi)一點(diǎn)，則下面結(jié)論中

正確的有（）

A.CC〃平面尸BG

第2頁(yè)共24頁(yè)

B.以Ai為球心、魚(yú)為半徑的球面與該正方體側(cè)面。CGDi的交線(xiàn)長(zhǎng)是1

V2

C.|EP|+|PF|的最小值是

2

D.|￡P(guān)|+|PF|的最小值是,

（多選）12.（5分）已知尸是拋物線(xiàn)C：/=8x的焦點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)F作兩條互相垂直的直線(xiàn)小

12,人與C相交于A,8兩點(diǎn)，〃與C相交于E,D兩點(diǎn),M為A,8中點(diǎn)，N為E,D

中點(diǎn)，直線(xiàn)/為拋物線(xiàn)C的準(zhǔn)線(xiàn)，則（）

A.點(diǎn)M到直線(xiàn)/的距離為定值

B.以HB|為直徑的圓與/相切

C.HB|+|O￡1的最小值為32

D.當(dāng)也見(jiàn)最小時(shí)，MN//1

三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.

13.（5分）已知向量2=（-1,-2）,b=（-x,3）,若改〃b,則x=.

14.（5分）已知函數(shù)/'（X）=/+ax+a,g（x）=—Inx,用膽山{〃?，”}表示〃?，”中的最小

值，設(shè)函數(shù)力（x）=tnin[f{x},g（x）}（x>0）,若h（x）恰有3個(gè)零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)a的

取值范圍是.

15.（5分）已知橢圓C：今+，=l（a>b>0）的左焦點(diǎn)為凡過(guò)原點(diǎn)。的直線(xiàn)/交橢圓C

于點(diǎn)A,8,且2|FO|=|AB|,若NBAF屋，則橢圓C的離心率是.

16.（5分）已知函數(shù)/'（X）=函71（3%+*）（3>0,\（p\<+X）=f（j-X）,/（_,）=

0,且『（X）在區(qū)間（看，芻上有且只有一個(gè)極大值點(diǎn)，則3的最大值為.

第3頁(yè)共24頁(yè)

四、解答題：本題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟.

17.(10分)已知數(shù)列｛斯｝是等比數(shù)列，且8a3=。6,42+05=36.

(1)求數(shù)列｛“")的通項(xiàng)公式；

(2)設(shè)b=4+1)禽+]+?求數(shù)列｛仇｝的前"項(xiàng)和力”并證明：Tn<^.

第4頁(yè)共24頁(yè)

18.(12分)已知在△ABC中，角A,B,。的對(duì)邊分別為小b,c,sin2B+sin2C+sinBsinC

=sin2A.

(1)求角A的大??；

(2)若。=百，求△A8C周長(zhǎng)的最大值.

第5頁(yè)共24頁(yè)

19.(12分)如圖，在三棱柱ABC-4BiCi中，平面ABCJ_平面ACCiAi,NABC=90°

AB=BC,四邊形4CG4是菱形，ZAiAC=60°,。是AC的中點(diǎn).

(1)證明：BCJ_平面8104；

(2)求二面角A-0B\-Ci的余弦值.

第6頁(yè)共24頁(yè)

20.（12分）中醫(yī)藥傳承數(shù)千年，治病救人濟(jì)蒼生.中國(guó)工程院院士張伯禮在接受記者采訪

時(shí)說(shuō)：“中醫(yī)藥在治療新冠肺炎中發(fā)揮了核心作用，能顯著降低輕癥病人發(fā)展為重癥病人

的幾率.對(duì)改善發(fā)熱、咳嗽、乏力等癥狀，中藥起效非?？?，對(duì)肺部炎癥的吸收和病毒

轉(zhuǎn)陰都有明顯效果.”2021年12月某地爆發(fā)了新冠疫情，醫(yī)護(hù)人員對(duì)確診患者進(jìn)行積極

救治.現(xiàn)有6位癥狀相同的確診患者，平均分成A,8兩組，A組服用甲種中藥，B組服

13

用乙種中藥.服藥一個(gè)療程后，A組中每人康復(fù)的概率都為:，B組3人康復(fù)的概率分

15

933

別為77，"7，7-

1044

（1）設(shè)事件C表示A組中恰好有1人康復(fù)，事件。表示B組中恰好有1人康復(fù)，求P

（CD）；

（2）若服藥一個(gè)療程后，每康復(fù)1人積2分，假設(shè)認(rèn)定：積分期望值越高藥性越好，請(qǐng)

問(wèn)甲、乙兩種中藥哪種藥性更好？

第7頁(yè)共24頁(yè)

XyA/5

21.(12分)已知雙曲線(xiàn)C：———=\(a>0,b>0)的離心率是—，實(shí)軸長(zhǎng)是8.

a2b22

(1)求雙曲線(xiàn)C的方程；

(2)過(guò)點(diǎn)尸(0,3)的直線(xiàn)/與雙曲線(xiàn)C的右支交于不同的兩點(diǎn)A和8,若直線(xiàn)/上存

在不同于點(diǎn)P的點(diǎn)。滿(mǎn)足|山口。8|=伊用|D4|成立，證明：點(diǎn)。的縱坐標(biāo)為定值，并求

出該定值.

第8頁(yè)共24頁(yè)

22.(12分)已知函數(shù)/1(x)—axeax+(a+b)x,g(x)=(1+x)Inx.

(1)當(dāng)a=-/?=l時(shí)，證明：當(dāng)xe(0,+°°)時(shí)，f(x)>g(x)；

(2)若對(duì)(0,+8),都弘e[-l，0],使y(x)(x)恒成立，求實(shí)數(shù)”的取值

范圍.

第9頁(yè)共24頁(yè)

2022年廣東省湛江市高考數(shù)學(xué)一模試卷

參考答案與試題解析

一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)

是符合題目要求的.

1.(5分)已知集合U={x6N|-1＜戈＜4},集合A={0,1},則Cu4=()

A.{0,2,3)B.{-I,0,2,3}C.{2,3}[2,3,4)

解：Vt/={xeN|-l<x<4}={0,1,2,3},集合A={0,1},

；.CuA={2,3}.

故選：C.

2.(5分)已知(l+3i)z=5i,則z的虛部是()

313

A.—B.—C.-5

222

解：因?yàn)?1+3/)z=5i,

5i5i(l-3i)5(i+3)3,1.

明以z=訐可=(l+3i)(l—3i)==：+亍'

所以z的虛部是

故選：B.

3.(5分)已知cosa=H0<a<5,則sin(a+J)=()

DZ4

A.立B.型C.-奈

101010

解：Vcosa=/0<a<^,

?.3

??sina=耳,

nre3V24V27y/2

貝nrsin(a+-nr)=sinacos-+cosasin—=-x—+-x—=-----,

444525210

故選：B.

4.(5分)下列函數(shù)是奇函數(shù)，且函數(shù)值恒小于1的是()

A.f(x)=B.f(x)=-x1+x

C.f(x)=|siiu-|D.f(x)=X3+x

解：A./(-x)=先|=富=一/(.，則/(x)是奇函數(shù),

第10頁(yè)共24頁(yè)

_2x+l-2故正確，

f(x)3cA

2X+1

B.f(-x)=-7-xW-/(x),/(x)不是奇函數(shù)，不滿(mǎn)足條件.

C./(-x)=|sin(-x)|=|sinx|=/(x),f(x)是偶函數(shù),不滿(mǎn)足條件.

表，定義域?yàn)椋?1=2+^=|>1,

￡>.fCx)=Vx+OO0)U(0,+8),八8)=V8+

不滿(mǎn)足條件.

故選：A.

5.（5分）如圖是戰(zhàn)國(guó)時(shí)期的一個(gè)銅鑲，其由兩部分組成，前段是高為2c〃?、底面邊長(zhǎng)為1cm

的正三棱錐，后段是高為0.6cm的圓柱，圓柱底面圓與正三棱錐底面的正三角形內(nèi)切，

則此銅鑲的體積約為（）

琬69

A.0.25cm3B.0.65cm3C.0.15c/D.0.45cm3

解：；銅鍍由兩部分組成，前段是高為2czn、底面邊長(zhǎng)為1c機(jī)的正三棱錐,

正三棱棱的底面正三角形邊長(zhǎng)為1,設(shè)正三角形內(nèi)切圓半徑為r,

11

由等體積法得：-x1x1xsin60°=-x（1+1+1）r,

22

解得后造，.?.其內(nèi)切圓半徑為紀(jì)

66

由三棱錐體積與圓柱體積公式得此銅鑲的體積約為：

V=|x|xlxlxsin60°X2+TTX（各x0.6?0.45（cwi3）.

故選：D.

6.（5分）為提高新農(nóng)村的教育水平，某地選派4名優(yōu)秀的教師到甲、乙、丙三地進(jìn)行為期

一年的支教活動(dòng)，每人只能去一個(gè)地方、每地至少派一人，則不同的選派方案共有（）

A.18種B.12種C.72種D.36種

解：將4名教師分成3個(gè)組有廢種分法，再將3個(gè)組的教師分到甲、乙、丙三地共有以用

種分法，

所以共有36種選派方案，

故選：D.

第11頁(yè)共24頁(yè)

7.(5分)意大利著名數(shù)學(xué)家斐波那契在研究兔子繁殖問(wèn)題時(shí)?，發(fā)現(xiàn)有這樣一列數(shù)：1,1,

2,3,5,…，其中從第三項(xiàng)起,每個(gè)數(shù)等于它前面兩個(gè)數(shù)的和，即即+2=an+1+an(neN*),

后來(lái)人們把這樣的一列數(shù)組成的數(shù)列｛?。Q(chēng)為“斐波那契數(shù)列”.記S022=f，則ax+a3+a5+

…+。2021=()

A.r2B.r-1C.tD.r+1

解:由an+2=Qn+l+Qn(nWN*),得42022=〃2021+。2020=。2021+。2019+。2018=…=

。2021+。2019+…+。3+。2=。2021+。2019+…+。3+。1=九

故選：C.

8.(5分)已知當(dāng)在(0,+8)時(shí)，函數(shù)/G)=府的圖象與函數(shù)儀為二之行的圖象有

且只有兩個(gè)交點(diǎn)，則實(shí)數(shù)%的取值范圍是()

Ve11

A.(0,—)B.(0,-)C.(―,+°°)D.（一,+8）

2eeee

解：由題設(shè)，當(dāng)X6(0,+8)時(shí)，卜二點(diǎn)晶不，

令"(")=ex(2x+iy

則"⑶=_20f絲1),

ex(2x+iy

所以當(dāng)OVcV：時(shí)，h'(x)>0,則力(%)單調(diào)遞增；

當(dāng)時(shí)，h'(x)<0,則〃(x)單調(diào)遞減，

又九(%)>0,/i(x)</t(1)=強(qiáng)

所以當(dāng)04V罵時(shí)，直線(xiàn)y=k與〃(%)的圖象有兩個(gè)交點(diǎn),

即函數(shù)/(x)=府的圖象與函數(shù)g(x)=急的圖象有且只有兩個(gè)交點(diǎn).

故選:A.

二、選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符

合題目要求.全部選對(duì)的得5分，部分選對(duì)的得2分，有選錯(cuò)的得0分.

(多選)9.(5分)若a>b,則下列不等式中正確的有()

A.a-b>0B.2a>2bC.ac>bcD.a1〉層

解：若a>b,則q-b>0,2a>2b,故A,B正確，

當(dāng)a<0時(shí)，C錯(cuò)誤，

第12頁(yè)共24頁(yè)

令a=l,b=-2,顯然O錯(cuò)誤,

故選:AB.

（多選）10.（5分）某市為了研究該市空氣中的PM2.5濃度和S3濃度之間的關(guān)系，環(huán)境

監(jiān)測(cè)部門(mén)對(duì)該市空氣質(zhì)量進(jìn)行調(diào)研，隨機(jī)抽查了100天空氣中的PM2.5濃度和濃度

（單位：明加），得到如下所示的2X2列聯(lián)表:

SO2[0,150](150,475]

PM2.5

[0,75]6416

(75,115]1010

,、2

經(jīng)計(jì)算k=1嗎幽需膜1°）X7.4844,則可以推斷出（）

2

n(ad—be)

(a+b)(c+d)(Q+c)(b+d)

P（產(chǎn)》團(tuán)）0.0500.0100.001

例3.8416.63510.828

A.該市一天空氣中PM2.5濃度不超過(guò)75ng/m3,且SO2濃度不超過(guò)150陽(yáng)//的概率估計(jì)

值是0.64

B.若2X2列聯(lián)表中的天數(shù)都擴(kuò)大到原來(lái)的10倍，片的觀測(cè)值不會(huì)發(fā)生變化

C.有超過(guò)99%的把握認(rèn)為該市一天空氣中PM2.5濃度與S02濃度有關(guān)

D.在犯錯(cuò)的概率不超過(guò)1%的條件下，認(rèn)為該市一天空氣中PM2.5濃度與SO2濃度有關(guān)

解：對(duì)于A,由表中數(shù)據(jù)可得，市一天空氣中尸M2.5濃度不超過(guò)75陽(yáng)/〃戶(hù)，且S02濃度不

超過(guò)150用//的概率估計(jì)值是一=0.64,故A正確，

100

99

2

對(duì)于B,K=（Q+皿/j）、（;c+d鬻）（a+c）“（bh+d?。?10°嚷80黑0x2黑00x無(wú)740」x既260產(chǎn)=74.844W7.4844,

故8錯(cuò)誤，

對(duì)于CD,V7.4844>6,635,

在犯錯(cuò)的概率不超過(guò)1%的條件下，即有超過(guò)99%的把握認(rèn)為該市一天空氣中PM2.5濃

度與S02濃度有關(guān)，故C￡>正確.

故選：ACD.

（多選）11.（5分）已知正方體ABC。-AiBiCiQ的棱長(zhǎng)為1,點(diǎn)P是線(xiàn)段上（不含

端點(diǎn)）的任意一點(diǎn)，點(diǎn)E是線(xiàn)段48的中點(diǎn)，點(diǎn)F是平面A8CZ）內(nèi)一點(diǎn)，則下面結(jié)論中

第13頁(yè)共24頁(yè)

正確的有（）

A.8〃平面PBCi

「TU

B.以4為球心、魚(yú)為半徑的球面與該正方體側(cè)面。CCi。的交線(xiàn)長(zhǎng)是一

2

V2

C.|EP|+|PF|的最小值是三~

，，」2

D.|EP|+|PF|的最小值是孑

解：平面P8C1即為平面BQ5,'：CD//C\D\,GOiu平面BCi。，COC平面BCiOi，

〃平面PBCi,故A正確；

4Di_L平面DCC\D\,以4為球心、魚(yú)為半徑的球面與該正方體側(cè)面DCC\D\的交線(xiàn)即

為以￡>1為圓心，

17r

1為半徑的圓在面QCGO1內(nèi)的部分，故其交線(xiàn)長(zhǎng)為-X2ITX1=故5正確；

乙。

4

點(diǎn)F是平面A8CZ）內(nèi)一點(diǎn)，

|/平|的最小值即為P到面4BCD的距離，即過(guò)點(diǎn)P向8。作垂線(xiàn)，垂足即為尸,

把平面BA\D\繞BDi旋轉(zhuǎn)平與BDD\在同一平面內(nèi)，如圖所示，

由正方體ABCO-4B1C1D1的可知

2

又COSNOBAI=COS2N￡>8DI=2COS2N￡）BDI-1=2X（半）=...sinNDB4i=竽

第14頁(yè)共24頁(yè)

、萬(wàn)V22V2

又BE=浮，|“|十|PF|的最小值即為E到BD的距離，??.|EP|+|PF|的最小值為一X—=

|.故C錯(cuò)誤，O正確.

故選：ABD.

（多選）12.（5分）已知產(chǎn)是拋物線(xiàn)C：/=8x的焦點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)F作兩條互相垂直的直線(xiàn)八，

12,人與C相交于A,B兩點(diǎn),/2與C相交于E,O兩點(diǎn)，M為4,8中點(diǎn)，N為E,D

中點(diǎn)，直線(xiàn)/為拋物線(xiàn)C的準(zhǔn)線(xiàn)，則（）

A.點(diǎn)M到直線(xiàn)/的距離為定值

B.以為直徑的圓與/相切

C.依陰+|?！?的最小值為32

D.當(dāng)明留最小時(shí)，MN//1

解：設(shè)A（xi，yi）,B（X2,”），C（X3）”），D（X4，y4），M（,XM，y“），N（XN，＞W(wǎng)）,

直線(xiàn)l\的方程為x—my+2,

則直線(xiàn)及的方程為犬=一+2，

將直線(xiàn)/i的方程x^my+2代入/=8x,化簡(jiǎn)整理可得，，一8沖-16=0,

則yi+）?=8m，y\y2=-16,

故處+42=加（yi+）2）+4=862+4,

2

所以=-I；"=4m+2,yM=匕鏟2=4m,

因?yàn)辄c(diǎn)A到直線(xiàn)/的距離力=制+2,點(diǎn)3到直線(xiàn)/的距離曲=12+2,點(diǎn)M到直線(xiàn)/的距

離3M=XM+2,

又因?yàn)?4m2+2,

所以4時(shí)=4巾2+4,故A錯(cuò)誤，

2

因?yàn)?小+4=8m4-8=2dM,

所以以為直徑的圓的圓心M到直線(xiàn)/的距離為管，

故|AB|為直徑的圓與/相切，故B正確，

-1O

同理X3+X4=-—（y3+、4）+4=滔+4,

44?

所以孫=^2+2，VN=一五，\ED\=\EF\+\DF\=冷+%4+4=+8,

則履8|+|￡。|=8巾2+4+16工32,當(dāng)且僅當(dāng),”=±1時(shí)，等號(hào)成立，故C正確，

第15頁(yè)共24頁(yè)

|MN|=J(XM-XN)2+(yM-yN)2=J(4m2-^)2+(4m+^)2=

4Im4++機(jī)2+J-,

設(shè)?n2+3=%

則病+U=tN2,m"白=t2-2,|M7V|=4Vt2+t-2,

當(dāng)r=2時(shí)，即/*=±1,|MN|最小，這時(shí)硒=XM，故。正確.

故選：BCD.

三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.

13.(5分)已知向量之=(-1,-2),b=(-%,3),若Z〃b,則x——5?

—z—

解：*?*向量Q=(-1,-2),6=(-%,3),a//by

Q

A-1X3=(-2)X(-x),解得％=一去

故答案為：-

14.(5分)已知函數(shù)/(%)=/+。％+3,^(%)=—Inx,用"血｛加，〃｝表示根，〃中的最小

值，設(shè)函數(shù)力(x)=min｛fg(x))(x>0),若〃(x)恰有3個(gè)零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)。的

取值范圍是(V，-V2).

----z-....

解：函數(shù)/(x)=/+or+3恒過(guò)點(diǎn)(0,且其圖象開(kāi)口向上，g(x)=-/以的零點(diǎn)為

，2

1,

故要使〃(x)恰有3個(gè)零點(diǎn)，則函數(shù)/(x)在區(qū)間(0,1)上存在兩個(gè)零點(diǎn)，如圖所示:

第16頁(yè)共24頁(yè)

r0<-^<1

故<f（l）=1+a+々>0,解得一|<hV—魚(yú)，

[zl=a2-4x1>0

即實(shí)數(shù)”的取值范圍是（一去-V2）.

故答案為：（一,，-V2）.

15.（5分）已知橢圓C：l（a>b>0）的左焦點(diǎn)為F,過(guò)原點(diǎn)。的直線(xiàn)/交橢圓C

于點(diǎn)A,B,且2|FO|=H8|,若2員4尸=9，則橢圓C的離心率是_遮—1一

解：因?yàn)橹本€(xiàn)AB過(guò)原點(diǎn)，由橢圓及直線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)性可得|。川=|0引，

設(shè)右焦點(diǎn)尸，連接8尸，AF,又因?yàn)?|0f]=HB|=2c,可得四邊形AFB廣為矩形,

即尸尸|=|AB|,且/48尸=/人尸兄

在RtZ\4尸尸中，|AF|=|F/nsin/A尸尸=2c?sin/AF1凡

\A用=|尸產(chǎn)|cosZAFF=2c?cosZAFF,

由橢圓的定義可得IAFI+IA尸|=2a

所以2“=2cVsin/AFT+cos/AFF）,

因?yàn)镹B4F=I，故NA尸F(xiàn)=I，

oo

第17頁(yè)共24頁(yè)

所以離心率e=^=&=V3—1.

2十丁

故答案為：V3—1.

16.(5分)已知函數(shù)f(%)=sin(s%+0)3>0,\(p\<偌+%)=//一力=

0,且/(x)在區(qū)間(需，芻上有且只有一個(gè)極大值點(diǎn)，則3的最大值為_(kāi)了_.

f7T,

I-巧3+(p=kr7l

解：由題意知：<n(ki，kzGZ),

I可3+0=k27l

仿=3(2”)

則：,,4(k,k'eZ),

kn,n

l^=—+4

其中％=依-心，k'=k\+k2=2k2-k,

當(dāng)k'=-1時(shí),，<p=-J,k=2ki+\,faGZ,當(dāng)/=0時(shí)?，(p=~k=2ki,foGZ；

/（x）在區(qū)間扁，芻上有且只有一個(gè)極大值點(diǎn)，

,71712n47r

所以一一一=—s27=一,

21053

解得0V3W10；

即0〈3（2”）w10,

所以—2<k<今；

&Q39TC497T417T

當(dāng)％=6時(shí)，0）=-^,9=］，此時(shí)工工+二^（二此時(shí)有兩個(gè)極值點(diǎn)，故舍

4，444408

去；

QQ77-33n237r31n

當(dāng)女=5時(shí)，O）=H，0=五，此時(shí)7（二T，二"）；此時(shí)有一個(gè)極值點(diǎn)，故成

4Y444408

立；

33

所以3的最大值為

4

-33

故答案為：—.

4

四、解答題：本題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟.

17.（10分）已知數(shù)列｛〃〃｝是等比數(shù)列，且8a3=。6，〃2+。5=36.

（1）求數(shù)列｛?！ǎ耐?xiàng)公式；

（2）設(shè)％=怎不建不D'求數(shù)列｛仇｝的前"項(xiàng)和刀”并證明：Tn<\.

第18頁(yè)共24頁(yè)

(1)解：由題意，設(shè)等比數(shù)列｛斯｝的公比為q,

則成=乎=8,即夕=2,

?.,。2+。5=36,

，。國(guó)+〃［夕4=36,即2ai+16ai=36,

解得0=2,

???%=2?2'11=2",〃WN*.

(2)證明：由(1),

-V^h________On_______________22________J._______

rnnn+1nn+1

'-(an+l)(an+1+l)-(24-l)(24-l)-2+l2+l

故T〃=bi+b2+?+b〃

1111

-21+l22+l22+l23+l2n+l2n+1+l

11

-21+l2n+1+l

_11

-42n+1+l

4

不等式"V4對(duì)〃eN*恒成立.

18.(12分)已知在△ABC中，角A,B,C的對(duì)邊分別為“，b,c,sin2B+sin2C+sinBsinC

=sin2A.

（1）求角A的大小;

(2)若a=求△ABC周長(zhǎng)的最大值.

解：(1)△ABC中,sin2^+sin2C+sinBsinC=sin2A,

由正弦定理得Z?2+c2-a2=-be,

277

由余弦定理得cosA=U標(biāo)幺=簫=一最

又AC(0,Ti),

所以A=箏

?27rV3

(2)由〃=3,sinA=sin—=——,

32

,bca3「

根據(jù)正弦;e理得一^=——=——=友=2V3,

sinBsinCsinAV3

2

第19頁(yè)共24頁(yè)

7T

所以人=2bsinB,c=2V3sinC=2V3sin(--B)=3cosB-V3sinB,

3

所以a+Z?+c=3+2V5sinB+(3cosB—V3sinB)=3+V^sin8+3cosB=3+2V^sin(8+亨)，

又0<8V*

所以當(dāng)B=看時(shí)，"BC周長(zhǎng)取得最大值為3+2V3.

19.(12分)如圖，在三棱柱ABC-A向。中，平面ABC,平面ACCiAi,NABC=90°,

AB=BC,四邊形ACCiAi是菱形，/AiAC=60°,。是AC的中點(diǎn).

(1)證明：BC_L平面8104；

(2)求二面角A-0囪-Ci的余弦值.

解：(1)證明：?.?四邊形ACCiAi是菱形，ZAiAC=60°,：.A\0LAC,

因?yàn)槠矫鍭BC_L平面ACCiAi，平面ABCC平面ACC\A\=AC,

；.A1O_L平面ABC,：.A\0VBC-,

'：B\C\//BC,：.B\Ci±AiO,又且4。。4助=4,J_平面BiOAi,

，BC_L平面B\OA\-,

VZABC=90°,AB=BC,。是AC的中點(diǎn)，：.BD±AC,XBOLAC,

又平面A8C_L平面ACC\A\,平面A8CCI平面ACC\A\=AC,

.?.80，平面ACCiAi，

設(shè)AC=2,建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，

第20頁(yè)共24頁(yè)

則0(0,0,0),A(1,0,0),B\(-bV3,1),Ci(-2,V3,0),

：.OA=(1,0,0),OB1=(-1,V3,1),OQ=(-2,遍,0),

設(shè)平面AOB\的一?個(gè)法向量為m=（x,y,z）,

則竽。4=%=0，取z=b,可得益=(O,-i,b),

.m-OB]=—x+V3y+z=0

設(shè)平面CiOBi的一個(gè)法向量為幾=(a,b,c),

n-OC]=—2a+y[3b=0

則,取a=V3,可得n=(V3,2,—V3).

.n-OB]=—a+V3b+c=0

.jTf、m-n-5<10

??cos<m,n>=———=—；==-----7—

\mi\n\2同4

.，?二面角A-OB\-C\的余弦值為—

20.（12分）中醫(yī)藥傳承數(shù)千年，治病救人濟(jì)蒼生.中國(guó)工程院院士張伯禮在接受記者采訪

時(shí)說(shuō)：“中醫(yī)藥在治療新冠肺炎中發(fā)揮了核心作用，能顯著降低輕癥病人發(fā)展為重癥病人

的幾率.對(duì)改善發(fā)熱、咳嗽、乏力等癥狀，中藥起效非常快，對(duì)肺部炎癥的吸收和病毒

轉(zhuǎn)陰都有明顯效果.”2021年12月某地爆發(fā)了新冠疫情，醫(yī)護(hù)人員對(duì)確診患者進(jìn)行積極

救治.現(xiàn)有6位癥狀相同的確診患者，平均分成A,B兩組，A組服用甲種中藥，8組服

13

用乙種中藥.服藥一個(gè)療程后，A組中每人康復(fù)的概率都為:，B組3人康復(fù)的概率分

15

933

別為77，T-

1044

（1）設(shè)事件C表示A組中恰好有1人康復(fù)，事件D表示B組中恰好有1人康復(fù)，求P

（CD）；

（2）若服藥一個(gè)療程后，每康復(fù)1人積2分，假設(shè)認(rèn)定：積分期望值越高藥性越好，請(qǐng)

問(wèn)甲、乙兩種中藥哪種藥性更好？

解:⑴依題意有，P(C)=Cjx1|x(1-1|)2=yylg

q111iQo

P(O)=mX4X4+而X廢乂爐4=公，

又事件C與。相互獨(dú)立，

"a1?

則P(CD)=P(C)P(D)=GX兗=旃，

1Q

所以P3)=旃；

第21頁(yè)共24頁(yè)

(2)設(shè)A組中服用甲種中藥康復(fù)的人數(shù)為Xi，則Xi?B(3,—),

所以E(X])=3x弗=卷，

設(shè)A組的積分為X2，則X2=2XI,

所以E%)=2E(XQ=等,

設(shè)B組中服用乙種中藥康復(fù)的人數(shù)為打，則妨的可能取值為：0,I,2,3,

ill1

P(/,=0)=WX4X4=T60,

P(yi=l)=^xix1+^XC^xix1=^,

p(r,=2)=c2x^xlxl+i^xlxl=CT

八汽=3)=號(hào)弓亭蓋，

故H的分布列為:

Y\0123

P1156381

160160160160

所以E(H)=°x焉+lx蓋+2x蓋+3*蓋=竽'

設(shè)B組的積分為Yi，則為=2妨，

74

所以E(y2)=E(2Ki)=2E(Ki)=笥,

2624

因?yàn)樗约追N中藥藥性更好.

%2y2-1/5

21.(12分)已知雙曲線(xiàn)C：---=1(a>0,b>0)的離心率是一>實(shí)軸長(zhǎng)是8.

a2b22

(1)求雙曲線(xiàn)C的方程；

(2)過(guò)點(diǎn)尸(0,3)的直線(xiàn)/與雙曲線(xiàn)C的右支交于不同的兩點(diǎn)4和B,若直線(xiàn)/上存

在不同于點(diǎn)P的點(diǎn)。滿(mǎn)足|必卜|。用=|PB||D4|成立，證明：點(diǎn)。的縱坐標(biāo)為定值，并求

出該定值.

(￡=在

解：(1)依題意，得[g一馬，解得

IZa=01從=4

VC2=a2+b2

x2y2

所以雙曲線(xiàn)C的方程是77=1.

164

(2)證明：設(shè)A(xi,y\),B(必”)，D(xo,yo),直線(xiàn)的方程為y=Ax+3,

第22頁(yè)共24頁(yè)