高三數(shù)學復合函數(shù)的導數(shù)1

3.4復合函數(shù)的導數(shù)一、復習與引入：1.函數(shù)的導數(shù)的定義與幾何意義.2.常見函數(shù)的導數(shù)公式.3.導數(shù)的四則運算法則.4.例如求函數(shù)y=(3x-2)2的導數(shù),那么我們可以把平方式展開,利用導數(shù)的四則運算法則求導.然后能否用其它的辦法求導呢?又如我們知道函數(shù)y=1/x2的導數(shù)是=-2/x3,那么函數(shù)

y=1/(3x-2)2的導數(shù)又是什么呢?為了解決上面的問題,我們需要學習新的導數(shù)的運算法則,這就是復合函數(shù)的導數(shù).二、新課——復合函數(shù)的導數(shù)1.復合函數(shù)的概念:對于函數(shù)y=f[(x)],令u=(x),若y=f(u)是中間變量u的函數(shù),u=(x)是自變量x的函數(shù),則稱y=f[(x)]是自變量x的復合函數(shù).2.復合函數(shù)的導數(shù):設(shè)函數(shù)在點x處有導數(shù),函數(shù)y=f(u)在點x的對應點u處有導數(shù),則復合函數(shù)在點x處也有導數(shù),且或記如:求函數(shù)y=(3x-2)2的導數(shù),我們就可以有,令y=u2,u=3x-2,則從而.結(jié)果與我們利用導數(shù)的四則運算法則求得的結(jié)果完全一致.

在書寫時不要把寫成,兩者是不完全一樣的,前者表示對自變量x的求導,而后者是對中間變量的求導.3.復合函數(shù)的求導法則:

復合函數(shù)對自變量的導數(shù),等于已知函數(shù)對中間變量的導數(shù),乘以中間變量對自變量的導數(shù).法則可以推廣到兩個以上的中間變量.

求復合函數(shù)的導數(shù),關(guān)鍵在于分清函數(shù)的復合關(guān)系,合理選定中間變量,明確求導過程中每次是哪個變量對哪個變量求導,一般地,如果所設(shè)中間變量可直接求導,就不必再選其他中間變量.

復合函數(shù)的求導法則與導數(shù)的四則運算法則要有機的結(jié)合和綜合的運用.要通過求一些初等函數(shù)的導數(shù),逐步掌握復合函數(shù)的求導法則.三、例題選講：例1:求下列函數(shù)的導數(shù):解:設(shè)y=u5,u=2x+1,則:解:設(shè)y=u-4,u=1-3x,則:解:設(shè)y=u4,u=1+v2,v=sinx,則:說明:在對法則的運用熟練后,就不必再寫中間步驟.例2:求下列函數(shù)的導數(shù):解:(2)解:(3)y=tan3x;解:(4)解:例3:如果圓的半徑以2cm/s的等速度增加,求圓半徑R=10cm時,圓面積增加的速度.解:由已知知:圓半徑R=R(t),且=2cm/s.又圓面積S=πR2,所以=40π(cm)2/s.故圓面積增加的速度為40π(cm)2/s.例4:在曲線上求一點,使通過該點的切線平行于

x軸,并求此切線的方程.解:設(shè)所求點為P(x0,y0).則由導數(shù)的幾何意義知:切線斜率把x0=0代入曲線方程得:y0=1.所以點P的坐標為(0,1),切線方程為y-1=0.例5:設(shè)f(x)可導,求下列函數(shù)的導數(shù):(1)f(x2);(2)f();(3)f(sin2x)+f(cos2x)解:說明:對于抽象函數(shù)的求導,一方面要從其形式是把握其結(jié)構(gòu)特征,另一方面要充分運用復合關(guān)系的求導法則.

我們曾經(jīng)利用導數(shù)的定義證明過這樣的一個結(jié)論:“可導的偶函數(shù)的導函數(shù)為奇函數(shù);可導的奇函數(shù)的導函數(shù)為偶函數(shù)”.現(xiàn)在利用復合函數(shù)的導數(shù)重新加以證明:證:當f(x)為可導的偶函數(shù)時,則f(-x)=f(x).兩邊同時對x

求導得:,故為奇函數(shù).同理可證另一個命題.

我們還可以證明類似的一個結(jié)論:可導的周期函數(shù)的導函數(shù)也是周期函數(shù).證:設(shè)f(x)為可導的周期函數(shù),T為其一個周期,則對定義域內(nèi)的每一個x,都有f(x+T)=f(x).

兩邊同時對x求導得:即也是以T為周期的周期函數(shù).例6:求函數(shù)的導數(shù).說明:這是分段函數(shù)的求導問題,先根據(jù)各段的函數(shù)表達式,求出在各可導(開)區(qū)間的函數(shù)的導數(shù),然后再用定義來討論分段點的可導性.解:當x≠1時,.又,故f(x)在x=1處連續(xù).而從而f(x)在x=1處不可導.四、小結(jié)：

利用復合函數(shù)的求導法則來求導數(shù)時,選擇中間變量是復合函數(shù)求導的關(guān)鍵.必須正確分析復合函數(shù)是由哪些基本函數(shù)經(jīng)過怎樣的順序復合而成的,分清其間的復合關(guān)系.要善于把一部分量、式子暫時當作一個整體,這個暫時的整體,就是中間變量.求導時需要記住中間變量,注意逐層求導,不遺漏,而其中特別要注意中間變量的系數(shù),求導后,要把中間變量轉(zhuǎn)換成自變量的函數(shù).《史記·廉頗藺相如列傳》：“趙王竊聞秦王善為秦聲，請奏盆缻秦王，以相娛樂?！蓖豸酥短m亭序》：“足以極視聽之娛，信可樂也?！彼稳~適《東塘處士墓志銘》：“既苦志不酬，右書左琴以善娛樂?！眾蕵诽斓?/p>

娛樂天地hwh68jyd《古今小說·李公子救蛇獲稱心》：“李元在前曾應舉不第，近日琴書意懶，止游山玩水，以自娛樂?！泵黢T夢龍《東周列國志》第五十一回：“主公既有高臺廣囿，以為寢處之所，何不多選良家女子，充牣其中，使明師教之歌舞。以備娛樂，豈不美哉？”葉圣陶《倪煥之》十三：“又有什么可愛的議論音樂一般娛樂別人的心神么？”像話了。你奶奶……”在福珞回去之前，蘇老太太該給她準信兒，否則入宮一事怕徹底黃了。明秀答她：“別怕，不是還有我奶奶大壽那一桌，著你操持嗎？辦完了再說！”老太太大壽，何以輪到福珞經(jīng)手？原來那天已定下堂戲，都是城中有名的角兒，請到府中來唱，女眷們都躲在珠簾后頭看，從中午一直唱到晚上。中午的飯就在簾后頭擺，到晚上，移到正廳，那才是正式的壽宴，另有吹打獻藝的正經(jīng)女班兒，是可以挨在太太們桌邊侍奉的，堂戲那邊，還唱著，卻只供陪襯了。老太太有心要再試試福珞和寶音兩人腹中的經(jīng)綸，便把堂戲中午那一場飯，一桌包給福珞、一桌包給寶音準備。堂戲能坐在正屋子里的，按例五桌，頭一桌開給老太太，第二桌開給大太太一房，第二桌開給二太太一房，挨下再有兩桌，給勞苦功高的老家人、以及湊趣打秋風來的窮親友們——若是得臉的親友，那就上前三桌坐了。沒說的！大太太一桌，交給福珞費心，二太太一桌，許給寶音照應，其他桌子，還是嘉顏包辦。老太太發(fā)下話，要諸家人媳婦們，一切都盡著二位吩咐。嘉顏除了忙自己的，還得盯著那些下人們別忤逆了，比平常還累三分。福珞在自己家里，作個嬌滴滴的，并未正經(jīng)當過家，接到這活，難免著慌，老太太又特意給明秀遞了話：“這次，別幫珞兒。日后總有非她自己不可的時候！這次你要替她操持，反害了她?！泵餍銘?，果然一件事不替福珞插手，只安慰道：“你不懂，我們家那位姑娘可更沒理會過這事呢！”又閑閑道，“你們家某位媽媽，某年那堂壽宴可有大功?！备ｇ笮盐?。她到蘇家，本帶了兩個丫頭、一個婆子來伺候，那婆子是不懂酒菜經(jīng)辦的，便打發(fā)回去，另換了那個懂行的婆子來給福珞幫忙，老太太也睜只眼閉只眼。寶音這邊，可一個這樣的臂助也沒有，明秀打聽了，她果真自己拿主意，叫管廚房、管器皿、管園圃的，各進了一本近三年的冊子，自己翻看，閉門出主意呢！明秀暗笑，如此閉門造車、紙上談兵，能辦得甚事？為保險，還是把樂韻叫了來。太陽早已落了下去，今夜無月，星兒也唯有一顆，像沾了霜似的，光芒都那么冷，大倒是挺大，似只驚訝睜大的怪眼。秋意重了，葡萄架上的果實早被收走，葉子