四川省達(dá)州市達(dá)川區(qū)銘仁園學(xué)校2023-2024學(xué)年高二上學(xué)期第四次月考數(shù)學(xué)試題含答案

四川省達(dá)州市達(dá)川區(qū)銘仁園學(xué)校2023-2024學(xué)年第一學(xué)期第四次月考高二數(shù)學(xué)時間：120分鐘總分：150分一、單項(xiàng)選擇題．本題共8道小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求．1.直線x+3y?1=0的斜率為（A.?33 B.?C.33 D.3 2.雙曲線x24?yA.52 B.2 C.3 D.1 3.如圖,在棱長為1的正方體ABCD?A1B1C1D1中,E,F,G分別是DD1,BD,BB1A.33 B.55C.1010 D.15154.已知圓C1:x2+y2=1與圓A.-9 B.-11 C.9 D.115.已知數(shù)列an滿足a1=2,an+1=A.13 B.2 C.-3 D.6.如圖,在四面體OABC中,OA=a,OB=b,OC=c.點(diǎn)M在OA上,且A.12a?C.12a+7.已知橢圓x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左、右焦點(diǎn)分別F1,F2,左頂點(diǎn)為A,上頂點(diǎn)為B,A.55 B.12C.33 D.228.F是拋物線C:y2=2px(p>0)的焦點(diǎn),直線l與拋物線C相交于P,Q兩點(diǎn),滿足∠PFQ=2π3,線段PQ的中點(diǎn)A到拋物線C的準(zhǔn)線的距離為d,則|PQ|dA.3 B.33 C.3 D.13 二、多項(xiàng)選擇題：本題共4道小題，每小題5分，共20分．在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求．全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分．9.若直線y=3x+b與圓x2+y2=1A.-2 B.2 C.2 D.510.若直線l:ax+(2a+3)y?3=0與n:(a?2)x+ay?1=0,則（）A.當(dāng)a=?2時,l//nB.當(dāng)a=13時C.當(dāng)l//n時,l、nD.坐標(biāo)原點(diǎn)到直線n的距離的最大值為211.如圖,正方體ABCD?A1B1C1D1的棱長為1,EA.直線B1C//B.三棱錐C1?C.直線B1E與面CDDD.B12.已知橢圓x2a2+y2b2=1(a>b>0),長軸長為8,短半軸長為23,A.PFB.若直線l交橢圓于A,B兩點(diǎn),且Q為AB中點(diǎn),則直線l的方程為3x+2y?8=0C.△PF1D.|PQ|+PF三、填空題：本題共4道小題，每小題5分，共20分．13a=(?2,1,3),b=(?1,2,1),若a⊥(a14已知數(shù)列an的公差為正數(shù),且a3a7=?12,a15如圖是一座拋物線型拱橋，拱橋是拋物線的一部分且以拋物線的軸為對稱軸，當(dāng)水面在l時，拱頂離水面2米，水面寬4米．當(dāng)水位下降，水面寬為6米時，拱頂?shù)剿娴木嚯x為______米．16已知雙曲線x2a2?y2b2=1(a>0,b>0)的一個焦點(diǎn)為F,過F四、解答題：本題共6道小題，共70分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．17.（本題滿分10分）已知雙曲線x2a2?y2b(1)求雙曲線C方程;(2)若點(diǎn)F1,F2分別是雙曲線C的左、右焦點(diǎn),且雙曲線C上一點(diǎn)P滿足PF18.（本題滿分12分）已知Sn為數(shù)列an的前n項(xiàng)和,且an+1=an+d,n∈N求:(1)數(shù)列an的通項(xiàng)公式;(2)Sn19.（本題滿分12分）已知以點(diǎn)A(?1,2)為圓心的圓與直線m:x+2y+7=0相切,過點(diǎn)B(?2,0)的動直線l與圓A相交于M、N兩點(diǎn).(1)求圓A的方程;(2)當(dāng)MN=219時,求直線l的方程20.（本題滿分12分）已知拋物線C:x2=2py的焦點(diǎn)為F,點(diǎn)N(t,1)在拋物線C上,且(1)求拋物線C的方程;(2)過點(diǎn)M(0,1)且斜率存在的直線l交拋物線C于不同的兩點(diǎn)A,B,設(shè)O為坐標(biāo)原點(diǎn),直線OA,OB的斜率分別為k1,k2,求證21.（本題滿分12分）如圖所示,正方形ABCD所在平面與梯形ABMN所在平面垂直,AN//BM,AN=AB=BC=2,BM=4,CN=2(1)證明:BM⊥平面ABCD;(2)若點(diǎn)E為線段CM上一點(diǎn),且滿足EM=2CE,求二面角E?BN?M的余弦值.22.（本題滿分12分）已知橢圓C:x216+y212=1,右焦點(diǎn)F(2,0),直線l:x=8,過右焦點(diǎn)F的直線(不與x軸重合)與橢圓C交于A,B(1)求證：直線BD過定點(diǎn)E,并求出定點(diǎn)E的坐標(biāo);(2)點(diǎn)O為坐標(biāo)原點(diǎn),求△OBD面積的最大值.參考答案及解析1.【答案】A【解析】直線x+3y?1=0的斜截式方程為:y=?33x+2.【答案】D【解析】雙曲線中,焦點(diǎn)坐標(biāo)為(±5,0),漸近線方程為:∴雙曲線的焦點(diǎn)到漸近線的距離:d=|±3.【答案】D【解析】建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系,EEF=1所以,EF與CG所成角的余弦值為15154.【答案】B【解析】圓C1:x2+y2=1的圓心C則其圓心為C2(4,?3),半徑為因?yàn)閳AC1與圓C2相內(nèi)切,所以r2?1=C1C5.【答案】A【解析】因?yàn)閍1所以有a2因此數(shù)列an是以4所以a20246.【答案】B【解析】連接ON,∵ON是BC的中點(diǎn),∴ON=∴MN=7.【答案】A【解析】橢圓x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左、右焦點(diǎn)分別為F1,F2AB//PF1,可得ba=b2a2c即b=2c，8.【答案】C【解析】設(shè)|PF|=m,|QF|=n,過點(diǎn)P,Q分別作拋物線的準(zhǔn)線的垂線,垂足分別為P'則PP'因?yàn)辄c(diǎn)A為線段PQ的中點(diǎn),由中位線定理可得,A到拋物線C的準(zhǔn)線的距離d=P因?yàn)椤螾FQ=2π在△PFQ中,由余弦定理定理可得,|PQ|2所以d2因?yàn)?m+n)2則mn(m+n)2≤14所以d2|PQ|2≤14×1?14=9.【答案】AB【解析】根據(jù)題意,圓x2+y2=1的圓心為若直線y=3x+b與圓x則有|b|3+1=1,解可得：10.【答案】ACD【解析】當(dāng)a=?2時,l:?2x?y?3=0與n:?4x?2y?1=0平行,A正確；當(dāng)a=13時,l:13x+當(dāng)l//n時,a2=(a?2)(2a+3),解得a=3或當(dāng)a=3時,l:3x+9y?3=0即x+3y?1=0與n:x+3y?1=0重合,不符合題意,故a=?2,此時l:?2x?y?3=0與n:?4x?2y?1=0平行,所以兩平行線間距離d=|?1+6|42由(a?2)x+ay?1=0可得a(x+y)?(2x+1)=0,聯(lián)立x+y=02x+1=0可得x=?12,y=12當(dāng)OM⊥n時,原點(diǎn)到直線n的距離取得最大值為OM=22,11.【答案】AD【解析】對于A,因?yàn)锽1C//A1D,A1D?平面A1BD,對于B,因?yàn)閂C1?B對于C,因?yàn)椤螧1EC1是直線B1E與面CDD1C對于D,因?yàn)锽D1在平面BB1C1C內(nèi)投影是BC1,12.【答案】BCD【解析】由題意可知:a=4,b=23,c=a2對于選項(xiàng)A.因?yàn)镻F1且|PO|∈[23,4],所以PF對于選項(xiàng)B:設(shè)Ax若Q為AB中點(diǎn),則x1可得kAB因?yàn)锳,B在橢圓上,則x1216+y整理得?34=y1所以直線l的方程為y?1=?32(x?2),即3x+2y?8=0,對于選項(xiàng)C.由題意可知:P設(shè)△PF1F則S△P可得r=1當(dāng)點(diǎn)P為短軸頂點(diǎn)時,△PF1F可得△PF1F所以△PF1F2內(nèi)切圓面積的最大值為π2對于選項(xiàng)D:因?yàn)镻F則PF可得|PQ|+P當(dāng)且僅當(dāng)Q在線段PF2上時,等號成立所以|PQ|+PF1的最小值為7,故13【答案】2.【解析】(1)∵a?λb=(?2+λ,1?2λ,3?λ)14【答案】180【解析】由題意:設(shè)等差數(shù)列an的公差為d(d>0).a3+a7=a4+a615【答案】4.5m.【解析】如圖，建立平面直角坐標(biāo)系，設(shè)拋物線方程為x2=my，將A(2,?2)代入x2=my，得m=?2，所以x2=?2y.設(shè)B3,y0，代入16【答案】3【解析】設(shè)雙曲線的兩條漸近線為l1:y=bax，l2:y=?bax，由雙曲線的對稱性，不妨設(shè)F(c,0)為雙曲線的右焦點(diǎn)，過F作l3/l2，則l3的方程為y=?ba(x?c)，即bx+ay?bc=0，則O(0,0)到l3的距離d=|?bc|b2+a2=bcc=b=|OA|，∴OA⊥l3,∴OA⊥l2,在17【解析】(1)由題知,ab=12所以雙曲線C的方程為:x(2)∵P根據(jù)雙曲線的定義得,P∴解方程得,PF1?P18【解析】（1）由an+1=an+d,n∈N?設(shè)首項(xiàng)為a1,由S得3a1解得a1=3d=1因?yàn)閐<0,所以a1=6d=?2,（2）當(dāng)an=?2n+8時,Sn所以當(dāng)n=3或4時,Sn有最大值S319【解析】（1）點(diǎn)A(?1,2)到直線m:x+2y+7=0的距離為d=|?1+4+7|即圓A的圓心A(?1,2),半徑r=25,故圓A的方程為（2）設(shè)圓心A(?1,2)到直線l的距離為d,則MN=2r2?d當(dāng)直線l的斜率不存在時,則l:x=?2,此時圓心A(?1,2)到直線l的距離為d=1,符合題意,成立當(dāng)直線l的斜率存在時,設(shè)為k,則l:y=k(x+2),即kx?y+2k=0,∵d=|?k?2+2k|k2+1=1綜上所述:直線l的方程為x=?2或3x?4y+6=020【解析】（1）∵點(diǎn)N(t,1)在拋物線C:x2=2py上,且∴|NF|=yN+p∴拋物線C的方程為x2（2）證明依題意,設(shè)直線l:y=kx+1,Ax聯(lián)立x2=2yy=kx+1,則x1故k1k221【解析】(1)證明:正方形ABCD中,BC⊥AB,∵平面ABCD⊥平面ABMN,平面ABCD∩平面ABMN=AB,BC?平面ABCD,∴BC⊥平面ABMN,又BM?平面ABMN,∴BC⊥BM,且BC⊥BN,又BC=2,CN=23∴BN=CN2?BC∴AN⊥AB,又∵AN//BM,∴BM⊥AB,又BC∩BA=B,BA,BC?平面ABCD,∴BM⊥平面ABCD;(2)解:如圖,以B為坐標(biāo)原點(diǎn),BA,BM,BC所在直線分別為x,y,z軸建立空間直角坐標(biāo)系,則B(0,0,0),A(2,0,0),C(0,0,2),D(2,0,2),N(2,2,0),M(0,4,0),E=∴設(shè)平面BEN的法向量m=(x,y,z),令x=1,∴y=?1,z=1，顯然,平面BMN的法向量為BC=(0,0,2),