提優(yōu)專題27 相似三角形壓軸題的幾種類型（原卷版）

專題27相似三角形壓軸題的幾種類型（原卷版）第一部分典例剖析+針對訓(xùn)練類型一綜合運用全等三角形與三角形的判定和性質(zhì)求點的坐標(biāo)典例1（2022?建鄴區(qū)二模）如圖，矩形ABCO，點A、C在坐標(biāo)軸上，點B的坐標(biāo)為（﹣2，4）．將△ABC沿AC翻折，得到△ADC，則點D的坐標(biāo)是（）A．（65，125） B．（65，52） C．（32，125） 針對訓(xùn)練1．（2012?鹿城區(qū)校級二模）已知：直角梯形OABC中，CB∥OA，對角線OB和AC交于點D，OC＝2，CB＝2，OA＝4，點P為對角線CA上的一點，過點P作QH⊥OA于H，交CB的延長線于點Q，連接BP，如果△BPQ和△PHA相似，則點P的坐標(biāo)為．類型二綜合運用相似三角形的判定和性質(zhì)銳角三角函數(shù)求線段長的最值典例2（2021?宜興市模擬）如圖，在△ABC中，∠ABC＝90°，tan∠BAC=12，AD＝2，BD＝4，連接CD，則A．25+34 B．25+1 C．25+3針對訓(xùn)練1．（2021秋?亳州月考）如圖，四邊形ABCD中，AB＝3，BC＝4，AC⊥CD，若tan∠CAD=13，則對角線A．1+10 B．1+210 C．1+3104 類型三綜合運用相似三角形的判定和性質(zhì)一次函數(shù)求字母的值典例3（2022?無錫二模）如圖，已知A（0，3）、B（4，0），一次函數(shù)y=-34x+b的圖象為直線l，點O關(guān)于直線l的對稱點O′恰好落在∠（1）AB＝；（2）b的值為．針對訓(xùn)練1．（2016?漢川市模擬）已知一次函數(shù)y＝2x+2與x軸y軸分別交于A、B兩點，另一直線y＝kx+3交x軸正半軸于E、交y軸于F點，如△AOB與E、F、O三點組成的三角形相似，那么k值為（）A．﹣0.5 B．﹣2 C．﹣0.5或﹣2 D．以上都不對類型四利用相似三角形的判定和性質(zhì)求線段長的最值典例4（2022?漣水縣一模）如圖，在正方形ABCD中，AB＝8，點H在AD上，且AH＝2，點E繞著點B旋轉(zhuǎn)，且BE＝3，在AE的上方作正方形AEFG，則線段FH的最小值是．針對訓(xùn)練1．在正方形ABCD中，AB＝2，點P是CD邊上一動點（不與點D、C重合），連接BP，過點C作CE⊥BP，垂足為E，點F在線段BP上，且滿足EF＝EC，連接AF，則AF的最小值為．類型五利用相似三角形的判定和性質(zhì)求“kAD+BD”（動點D在圓弧上）型的最值（阿氏圓）典例5（2022?南召縣開學(xué)）如圖，在△ABC中，∠A＝90°，AB＝AC＝4，點E、F分別是邊AB、AC的中點，點P是以A為圓心、以AE為半徑的圓弧上的動點，則12PB+PC的最小值為針對訓(xùn)練1．（2021秋?龍鳳區(qū)期末）如圖，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝9，BC＝4，以點C為圓心，3為半徑做⊙C，分別交AC，BC于D，E兩點，點P是⊙C上一個動點，則13PA+PB的最小值為類型七相似三角形與多邊形的綜合題典例6（2022?惠山區(qū)一模）（1）【操作發(fā)現(xiàn)】如圖1，四邊形ABCD、CEGF都是矩形，CGAG=12，AB＝9，AD＝12，小明將矩形CEGF繞點C順時針轉(zhuǎn)α°（0≤α≤①若AGBE的值不變，請求出AG②在旋轉(zhuǎn)過程中，當(dāng)點B、E、F在同一條直線上時，畫出圖形并求出AG的長度．（2）【類比探究】如圖3，△ABC中，AB＝AC=25，∠BAC＝α°，tan∠ABC=12，G為BC中點，D為平面內(nèi)一個動點，且DG=55，將線段BD繞點D逆時針旋轉(zhuǎn)α°得到DB′，則四邊形BACB針對訓(xùn)練1．（2022?內(nèi)江）如圖，在矩形ABCD中，AB＝6，BC＝4，點M、N分別在AB、AD上，且MN⊥MC，點E為CD的中點，連接BE交MC于點F．（1）當(dāng)F為BE的中點時，求證：AM＝CE；（2）若EFBF=2，求ANND的值；（3）若MN∥BE類型八相似中的“一線三等角”模型典例8（2022?揚州）如圖1，在△ABC中，∠BAC＝90°，∠C＝60°，點D在BC邊上由點C向點B運動（不與點B、C重合），過點D作DE⊥AD，交射線AB于點E．（1）分別探索以下兩種特殊情形時線段AE與BE的數(shù)量關(guān)系，并說明理由；①點E在線段AB的延長線上且BE＝BD；②點E在線段AB上且EB＝ED．（2）若AB＝6．①當(dāng)DEAD=3②直接寫出運動過程中線段AE長度的最小值．針對訓(xùn)練1．（2022秋?虹口區(qū)期中）如圖，在矩形ABCD中，AB＝4，BC＝5，P是射線BC上的一個動點，作PE⊥AP，PE交射線DC于點E，射線AE交射線BC于點F，設(shè)BP＝x，CF＝y(tǒng)．（1）當(dāng)sin∠APB=45時，求（2）如圖，當(dāng)點P在邊BC上時（點P與點B、C不重合），求y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式，并寫出它的定義域；（3）當(dāng)PEAP=1第二部分專題提優(yōu)訓(xùn)練1．（2022?如皋市一模）在矩形ABCD中，2＜AD＜10，tan∠ABD＝2．如圖，分別以點A，D為圓心，以4和6為半徑作弧，兩弧交于點E，連接BE，則BE的最大值為（）A．9 B．25+3 C．15 D．22．（2022秋?定海區(qū)月考）如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝8，點D在BC上，且CD＝2，點P是線段AC上一個動點，以PD為直徑作⊙O，點Q為直徑PD上方半圓的中點，連接AQ，則AQ的最小值為（）A．210 B．22 C．4 D．423．（2021秋?宜興市校級月考）如圖，矩形ABCD中，AB=3，AD＝4，點E在邊AD上，且AE：ED＝1：3．動點P從點A出發(fā)，沿AB運動到點B停止．過點E作EF⊥PE交射線BC于點F，聯(lián)結(jié)PF．設(shè)M是線段PF的中點，則在點P運動的整個過程中，線段DMA．5 B．7 C．2.5 D．34．（2022?東平縣一模）如圖，在矩形ABCD中，E、F分別在BC、CD上運動（不與端點重合），連接BF、AE，交于點P，且滿足BFAE=ADAB．連接CP，若AB＝4，BC＝A．210-3 B．210-2 C．5 D5．（2022?武進區(qū)一模）如圖，△ABC中，AB＝AC＝2，∠BAC＝120°，D、E分別是BC、AC邊上的動點，且∠ADE＝∠ABC，連接BE，則△AEB的面積的最小值為．6．（2022春?漳州期末）如圖，點E在正方形ABCD的邊BC上，BE＝2，EC＝4，將△ABE沿AE折疊得到△AFE，延長EF交DC于點G，連接AG．現(xiàn)給出以下結(jié)論：①∠EAG＝45°；②EG＝BE+DG；③GF＝GC；④S△GFC=125．其中正確的結(jié)論是7．（2022?連云港）【問題情境】在一次數(shù)學(xué)興趣小組活動中，小昕同學(xué)將一大一小兩個三角板按照如圖1所示的方式擺放．其中∠ACB＝∠DEB＝90°，∠B＝30°，BE＝AC＝3．【問題探究】小昕同學(xué)將三角板DEB繞點B按順時針方向旋轉(zhuǎn)．（1）如圖2，當(dāng)點E落在邊AB上時，延長DE交BC于點F，求BF的長．（2）若點C、E、D在同一條直線上，求點D到直線BC的距離．（3）連接DC，取DC的中點G，三角板DEB由初始位置（圖1），旋轉(zhuǎn)到點C、B、D首次在同一條直線上（如圖3），求點G所經(jīng)過的路徑長．（4）如圖4，G為DC的中點，則在旋轉(zhuǎn)過程中，點G到直線AB的距離的最大值是．8．（2022秋?金東區(qū)期末）在矩形ABCD中，AB＝4，BC＝2，動點P從A出發(fā)，以1個單位每秒速度，沿射線AB方向運動，同時，動點Q從點C出發(fā)，以2個單位每秒速度，沿射線BC方向運動，設(shè)運動時間為t秒，連結(jié)DP，DQ．（1）如圖1．證明：DP⊥DQ．（2）作∠PDQ平分線交直線BC于點E；①圖2，當(dāng)點E與點B重合時，求t的值．②連結(jié)PE，PQ，當(dāng)△PBE與△PDQ相似時，求t的值．

9．【問題發(fā)現(xiàn)】（1）如圖①，在邊長為5的等邊△ABC中，點D，E分別是BC，AB邊上一點，且BD＝2BE＝2，點P是線段AE上一動點，以P