高中數(shù)學(xué)導(dǎo)數(shù)專項練習(xí)12講

第1講：導(dǎo)數(shù)與單調(diào)性

一.知識梳理

二.典例分析

1.利用導(dǎo)數(shù)求單調(diào)性(不含參數(shù))

例1.求下列函數(shù)的單調(diào)區(qū)間.

(1)f(x)=xi-3x(2)/(x)=lnx-x

(3)f(x)=xlnx(4)f(x)=—

X

練習(xí)1,求下列函數(shù)的單調(diào)區(qū)間.

(1)/(》)=士靖(2)/(為=二

x-2x-2

X+]X

(3)/(x)=lnx——-(4)/(%)=—

x-1e

2.利用導(dǎo)數(shù)求單調(diào)性(含參數(shù))

例2.(1)討論函數(shù)/(幻=2/-af+b的單調(diào)性;

(2)討論函數(shù)/0)=以2_。一1nx的單調(diào)性；

(3)討論函數(shù)=27nx的單調(diào)性.

練習(xí)2.討論下列函數(shù)的單調(diào)性.

3

(1)已知函數(shù)/1(X)=O？-3X2+1一一，討論函數(shù)/Xx)的單調(diào)性；

a

(2)已知函數(shù)/'(x)=L—x+alnx,討論函數(shù)/(x)的單調(diào)性；

X

(3)已知函數(shù)/(x)=ae2'+(a—2)/-x,討論函數(shù)，(x)的單調(diào)性.

3.已知單調(diào)性求參數(shù)的值.

例3.已知函數(shù)〃x)=x2+q,awR,若函數(shù)f(x)在xe[2,+8)上是單調(diào)遞增的，求。的

X

取值范圍.

練習(xí)3.

(1)若函數(shù)/(x)=Ax-Inx在區(qū)間(1,+8)上單調(diào)遞增，求實數(shù)2的取值范圍；

(2)若函數(shù)/(x)=x—!sin2x+asinx在R上單調(diào)遞增，求實數(shù)。的取值范圍;

(3)若函數(shù)/*)=2尤2+111*一〃》在定義域上單調(diào)遞增，求實數(shù)a的取值范圍.

4.導(dǎo)函數(shù)圖象與原函數(shù)圖象的關(guān)系

例4.已知函數(shù)f(x)的導(dǎo)函數(shù)/'(x)的圖象如圖所示，那么函數(shù)f(x)的圖象最有可能的是

5?利用單調(diào)性證明不等式(一)

例5.證明下列不等式

(1)證明：當(dāng)x>0,x>ln(x+l)；

(r-l)2

(2)若/(x)=In工一一^——,證明：當(dāng)x>l,/(x)<x-1.

練習(xí)4.(1)證明：當(dāng)x>l,2Vx>3--；

x

(2)證明：當(dāng)x>0,x>sinx.

6.利用單調(diào)性求解不等式

例6.(1)定義在R上的函數(shù)y=f(x),xwR滿足/(1)=2,且對任意xGR都有/'(x)>3,

求不等式/(x)>3x-l的解集；

(2)已知函數(shù)y=/(x),xwR滿足/⑴=1,且/(x)的導(dǎo)函數(shù)滿足f(x)<g,則求解不

X2

等式/(x)<：+；的解集.

三.課后練習(xí)

1.函數(shù)/（x）=lnx-零匚的單調(diào)遞增區(qū)間為（）

A.°4B.。幻■，筌D.

2.若函數(shù)/（x）=o?-21nx在（1,2）上單調(diào)遞增，則。的取值范圍為()

1212

A.—,4-ooB.—,+00—,+ooD.一,+8

123123

3.若函數(shù)/。）=依"一］/在區(qū)間（0,+8）單調(diào)遞增，則實數(shù)攵的取值范圍是（）

l、

A.(一,+<x>)B.(0,+co)C?r[―,+°0)D.fO,+oo)

e

4.已知函數(shù)=-e"+x-sinx（其中e為自然對數(shù)的底數(shù)）,則不等式

元+3）的解集為（)

A.(-1,3)B.(-3,1)

C.(-0o,-3)U(l,+oo)D.(-oo,-l)(J(3,+oo)

5.設(shè)函數(shù)/（x）在定義域內(nèi)可導(dǎo)，y=/（x）的圖像如圖所示，則導(dǎo)函

數(shù)y=/'（x）的圖像可能為（）

D.

x\Z0\xzx

7.函數(shù)/(x)的定義域是R,/(-I)=2019,對任意的xeR,都有尸(x)>3月成立,

則不等式〃x)<Y+2()2()的解集為()

A.B.(-11)C.(-1,+co)D.(-co,l)

8.已知函數(shù)/(x)的定義域為R,且"2)=6,對任意xeR,/'(x)>2,則

/(x)>2x+2的解集為()

A.(-00,-2)B.(2,+00)C.(-2,2)D.(-oo,+oo)

ax,x<\

9.已知實數(shù)a>0,awl,函數(shù)/(x)=4，4在R上單調(diào)遞增，則實數(shù)。

x+—+Inx,x>1

的取值范圍是

A.l<a<2B.a<5C.2<a<5D.3<a<5

11.已知函數(shù)/(x)=x+@+(a—l)lnx,其中實數(shù)a<0.

(1)若a=—2,求曲線y=〃x)在點處的切線方程；

(2)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間.

12.已知函數(shù)/(x)=/彳2-2alnx+(a-2)x,asR.

(1)當(dāng)。=1時，求函數(shù)/(x)圖象在點(1,/⑴)處的切線方程;

(2)當(dāng)。<0時，討論函數(shù)的單調(diào)性；

第2講.抽象不等式問題

典例分析.若“X)是定義在R上的偶函數(shù)，且例(2)=0,當(dāng)x〉0時，r(x)+/(x)>0

恒成立，則不等式/(x)>0的解集是()

A.(-oo,—2)B.(2,+co)C.(-2,2)D.(-oo,—2)U(2,+00)

練習(xí)1.定義在R上的奇函數(shù)"x)滿足八-1)=0,且當(dāng)x>0時，大x)>4'(X)，則下列關(guān)

系式中成立的是()

A.4/(1)>/(2)B.4/(1)</(2)

D./(1)/(2)>0

c.>4/(2)

練習(xí)2.已知定義在(0,5上的函數(shù)〃x)的導(dǎo)函數(shù)為/'(x),且對于任意的xe[()T

都有了'(x)cosx</(x)sinx,則()

A.四部佃B.何總卜研會)

C.I你可圖>何閨〈佃

練習(xí)3.設(shè)函數(shù)/'(X)是偶函數(shù)/(x)(xwR)的導(dǎo)函數(shù)，當(dāng)XG(0,”)時，f'M>x,若

/(2-a)-/(a)N2-2a,則實數(shù)a的取值范圍為()

A.(-oo,llB.(-00,2]C.[l,+oo)D.[2,+oo)

練習(xí)4.“X)是定義在R上的可導(dǎo)函數(shù)，且滿足礦(X)+〃X)WO,對任意實數(shù)。，b,

若則必有()

A.af{a)<bf(b)B.bf(h)>f(a)C.bf(a)>af(b)D.af{a}>bf(b)

練習(xí)5.對于R上可導(dǎo)的任意函數(shù)/（x）,若滿足（x-l）/'（x）NO則必有（）

A./（0）+/（2）＜2/（1）B./（0）+/（2）＜2/（1）

C./（0）+/（2）＞2/（1）D./（0）+/（2）＞2/（1）

練習(xí)6.定義在R上的函數(shù)Ax)滿足：/U)+/'U)>1,/(0)=4,則不等式

e"(x)>e'+3的解集為()

A.(0,+8)B.(一8,o)u(3,+8)

C.(―8,0)U(0,+8)D.(3,+8)

參考答案

2

11解：(l)：/(x)=x------31nx(x>0),=,

尸(x)=i+±：(x>o),r(i)=o,

??.y=/(x)在(1,一1)處切線方程為y=-l.

(2)???/?，⑴=>二+心」2=(xfg+a),

v7x2XX2X1

令r(x)=0,即x2+(a_i)x—a=0,解得彳=］或工=_〃.

①當(dāng)時(即一1<。<0時)，

由/'(x)>0得0cx<—“或x>1,由/'(x)<0得一a<x<1,

???/(x)的增區(qū)間為(0,-。)，。,+8),減區(qū)間為(一。,1),

②當(dāng)一a>l(即a<T時)，

由/'(x)>()得()<x<l或%>一“，由/'(x)<()得1cx<-a,

???/（丹增區(qū)間為（0,1）,（』+＜?）,減區(qū)間為（1,一。）.

③當(dāng)-a=l,即a=T時，/，（同=二1型出=色”20在（0,+8）上恒成立,

/（力的增區(qū)間為（0,田）,無減區(qū)間.

綜上，一1<4<0時，/（X）增區(qū)間為（0,-。），（1,+8）,減區(qū)間為（一。,1）,

4<一1時，/（X）增區(qū)間為（0,1）,（-。,心），減區(qū)間為（1,一4，

a=-l時，/（x）增區(qū)間為（0,+。。），無減區(qū)間.（8分）

12：（1）當(dāng)“=1時，/（*）=（"—2）。+1）,/'⑴=一2,

X

所以所求的切線方程為y-/（l）=-2（x-D,即4x+2y-3=。.

（2）2）,

①當(dāng)—a=2,即。=一2時，/'3=殳二至20,/（》）在（0,+8）上單調(diào)遞增.

x

②當(dāng)0v—av2,即一2<a<0時，

因為0<x<-a或x>2時，/'（X）>0；

當(dāng)一a<x<2時，/（x）<0,

fM在（0,-?）和（2,+oo）上單調(diào)遞增，在（-?,2）上單調(diào)遞減；

③當(dāng)一a>2,即a<—2時，

因為0<x<2或》>一。時，/（x）>0；

當(dāng)2<x<—a時，/（x）<0,

/*）在（0,2）,（—a,+8）上單調(diào)遞增，在（2,一a）上單調(diào)遞減.

第3講.雙極值點問題探究

典例分析

例1.已知函數(shù)/(x)=1一x+Qlnx.

X

(1)討論/(元)的單調(diào)性；

(2)若/(光)存在兩個極值點石，為，證明：〃—2.

玉-x2

二.自主練習(xí)

1.已知函數(shù)f(x)=x-ax2-Inx(a>0).

(1)討論函數(shù)/(幻的單調(diào)性；

(2)若函數(shù)/(無)有兩個極值點證明：/(x,)+/(x2)>3-21n2.

2.已知函數(shù)/(x)=xlnx—萬〃猶2eR).

(1)若函數(shù)/(x)在(0,+8)是減函數(shù)，求實數(shù)，〃的取值范圍;

(2)若函數(shù)/.(X)在(0,+8)上存在兩個極值點，且為<%2，證明：lnX|+lnx2>2.

3.已知R上的函數(shù)/(x)=ae2*-2e'+x,aeR存在兩個極值點為內(nèi),當(dāng),若不等式

X|

/(x,)+/(x2)<e+e*+f恒成立，求實數(shù)f的取值范圍.

4.已知函數(shù)/(x)=21nx+f—2ax(a>0).

(1)討論函數(shù)/(x)的單調(diào)區(qū)間；

(2)若f(x)存在兩個極值點*,%，證明：)一""2)>-a.

Xj-x2

5.已知函數(shù)/(x)=ax?+(2a-l)x+ln(x+l)有兩個極值點X1,x2.

(1)求。的取值范圍；

(2)證明：/(%,)+/(^)<2102-1.

6.已知函數(shù)/(x)=2x-alnx-,有兩個不同的極值點*、x2(x)>x>).

(1)求實數(shù)。的取值范圍；

(2)若a>3,求證：匹〉1,且二'"八2/<——2ln2

xx+x23

4.解：（1）函數(shù)/（x）的定義域為（0,+8）,/（?=2卜二"+1）

X

令Y一分+1=0,則A=a2-4.

①當(dāng)0<4,2時，A?0,f（x）..O恒成立，函數(shù)的/W單調(diào)遞增區(qū)間為（0,+8）.

a+>Ja2-4

②當(dāng)。>2時，/>0,方程f一收+i=（）有兩根，

122

當(dāng)xe（O,玉）時，f\x）>0；當(dāng)馬）時，f'（x）<0；當(dāng)％€（無2，長°），J"（x）>0.

a+Ja2-4

-----2------收，

（2）證明：由（1）知，當(dāng)a>2時，f（x）存在兩個極值點』，々，

函數(shù)f（x）在（%,工2）上單調(diào)遞減，則%+%2=。，%々=1，

不妨設(shè)為<々，貝！1々>1.

/(%,)—/(x2)2(in%-Inw)+x；—x；-2。(王一々)

由于

西一士西一人

2（lnX1—足工2）+（王一九2）（玉+々-2a）

玉~X2

_2(lnX]-lnx2)°一-41nx2〃

X\~九2x{-x2

且玉<%2，々>1，所以/（~）~~"%）+a=Tin%>0,

X]-x2Xj-x2

則/⑴一㈤….

%一％2

12a(x+—(x+1)+1

5.解：(1);/'(x)=2or+2a-l+

x+1x+1

，y=2a『一r+|有兩個不等正根玉+1,x2+1,

A=1—8。>0

r>o

14。

解得。<a<J.

O

(2)由已知得X]+1+%2+1=5—9(X]+1)(%+1)=5—，再入2=1，

/(司)+/(工2)=。(片+/)+(2。-1)&+%2)+ln[a+1)(/+1)],

：一2卜ln(2a),

iYi1

2-2+1-----4。+2—ln(2a),

2a--J22aa

-----2a-ln(2a)+l,

4。

令2a=r,貝!J0<，<,，->4,g(7)=--!--z-lnr+1,

4t2t

，/、1.11(1小I〉。,

.?.g(。是增函數(shù)，ga)<g(；)=-2—1+21n2+l=21n2—1,

即/(4)+/(%2)<21n2-1.

6.解:⑴?.?“力=2%-。111%—工，定義域為(0,+。)，r(x)=2--+4-2x“一cix+1

XXX

由題意可知，方程2/一辦+1=（）在（0,+力）上有兩個不等的實根玉、x2

△=—8>0

則，解得。>2夜.

X,+x=->0

22

因此，實數(shù)a的取值范圍是（2及,+8卜

（2）由題意可知，當(dāng)、*2為方程2/一依+1=0的兩個實根,

ct+Jq--8

由于%>々，則王

4

ci+\ci~—8

當(dāng)。〉3時，62一8>1,..Xi->1，

14

a

x+x=

t22

由（1）可知，

中2=5

11

-----1-----

x

%%_2(-一&)2jni?-"

x}+x2x}+x2X1+x2x2XyX2(%j+x2)

4五-1

=4(xL-^)_2inA=^J_21nA,

X+%*2A+1x?

X2

1.,五=2x：>2,令，=土>2,設(shè)入⑺二絲_ll-21nr,t>2.

尤2ZV't+1

"")=「看_^=第#<0，所以，函數(shù)^=〃0在(2，+8)上單調(diào)遞減，

所以，A(r)</?(2)=--21n2,因此，^^<--21n2.

''''3玉+/3

練習(xí)9【詳解】

計算導(dǎo)數(shù)得到/'(X)=2依-2+g=2次丁+1,結(jié)合%>o構(gòu)造新函數(shù)得到

2

〃(x)=2ax-2x+l要使得/(x)存在兩個不同的極值點x?x2,則要求/?(%)=0有兩個不

211

同的根，且X]+x)=—>0,%X2=—>。，則A=4—8。>0,解得。而

2a2a2

22

/(^)+/(x2)=or,-2x]+lnX]+ox2-2X2+ln^2=〃(玉+x2Y-2ax]x2-2(^+x2)-lnx)x2

=---ln2cz-l,構(gòu)造新函數(shù)g(a)=—,—ln2a—l,計算導(dǎo)數(shù)得到g<“)=工，結(jié)合

aa礦

前面提到的a的范圍可知g(a)在(0,9單調(diào)遞增，故g(a)<g(；)=-3,因而力2―3,

表示為區(qū)間則是[-3,+8),故選A。

第4講：導(dǎo)數(shù)與最值

基礎(chǔ)知識：

典例分析

一.求函數(shù)的最值

例1.求函數(shù)/(x)=/—3——9x+6在區(qū)間[-4,4]最大值與最小值.

例2.已知函數(shù)/(%)=爐一0?一"一1,其中q/cR.設(shè)g(x)是函數(shù)/(x)的導(dǎo)函數(shù)，求

函數(shù)g(x)在區(qū)間［0,1］上的最小值.

練習(xí)1.已知函數(shù)/(x)=d—3x.求/(x)在區(qū)間［0,間(〃2>0)上的最大值和最小值;

二.已知函數(shù)的最值求參數(shù)

,a/A

例3.設(shè)］<a<l,函數(shù),f(x)=+人,(_］<x<i)的最大值為1,最小值為一三,

求常數(shù)。力.

練習(xí)2.己知函數(shù)/(%)=21

(1)討論f(x)的單調(diào)性；

(2)是否存在。力，使得/(x)在區(qū)間［0,1］的最小值為-1且最大值為1?若存在，求出

的所有值；若不存在，說明理由.

練習(xí)3.已知函數(shù)/(x)=x-l-alnx.若/(x)，0,求a的值.

練習(xí)4.已知函數(shù)/(x)=以2-ar-xlnx,且/(x)，0.

(1)求a；

(2)證明：/(x)存在唯一的極大值點/，且"2</(4)<2-2.

三.恒成立問題

1.不含參恒成立

例4.證明常用不等式

(1)ex>x+\(2)ln(x+l)<x

2.含參恒成立之分離參數(shù)

例5.已知函數(shù)/(X)=/+℃2+/?、+，在％=一§與》=1處都取得極值.

(1)求。力的值及函數(shù)/(x)的單調(diào)區(qū)間；

(2)若對Vxe[-1,2],不等式/(冷<。2恒成立，求c的取值范圍.

例6.已知函數(shù)/(x)=x+xlnx,若ZeZ,且-％-1)</(幻對任意的x>l恒成立，則

k的最大值為.

練習(xí)5.已知函數(shù)〃x)=G；+lnx+L若對任意的x>0,不等式/(x)〈，恒成立，求實

數(shù)〃的取值范圍.

3.已知參數(shù)范圍放縮參數(shù)消參

例7.已知函數(shù)/(x)=e*-ln(x+/n).

(1)設(shè)x=0是/(x)的極值點，求〃?，并討論了(x)的單調(diào)性;

(2)當(dāng)〃/42時，證明/(無)>0.

練習(xí)6.已知函數(shù)/(x)=ae'-lnx-l.

(1)設(shè)x=2是“X)的極值點，求。的值;

(2)證明；當(dāng)時，/(x)>0.

e

4.值域法

例8.設(shè)函數(shù)/。)=以3-3%+1,。>1,若對于任意的xe［—1,1］都有/(x)N0成立，則實數(shù)

a的值為.

練習(xí)7.已知函數(shù)/(x)=e'(x-a-l)(aeR).

(1)討論在區(qū)間口，2］上的單調(diào)性;

（2）若/（尤）2幺恒成立，求實數(shù)。的最大值.（e為自然對數(shù)的底）

第5講端點效應(yīng)及應(yīng)用

例9.（2020成都二診）已知函數(shù)/（x）=x2+2x-ndn（x+l）,其中“eR.

（1）若〃?>0,求函數(shù)/（力的單調(diào)區(qū)間；

（2）設(shè)g（x）=/（x）+J.若g（x）>匕在（0,+。）上恒成立，求實數(shù)，”的最大值.

練習(xí)8,（2016四川卷）設(shè)函數(shù)一。一1n元,?！闞.

（1）討論了（幻的單調(diào)性;

(2)確定。的值，使得/'(x)>——在區(qū)間(1,+oo)內(nèi)恒成立.

X

第六講函數(shù)同構(gòu)及應(yīng)用

若尸(幻20能夠變形成/[g(x)]N/[〃(x)],然后利用/(幻的單調(diào)性，如遞增，轉(zhuǎn)化為

g(x)>h(x),即為同構(gòu)變換.

XX

'nx

例如：xe'=*叫￡_=靖，：三=e-\x+]nx=Inxe\x-\nx=ln—....

xexx

例題：對下列不等式或等式進行同構(gòu)變換

A2Zv

(1)log2x-A:-2>0(2)e--lnVx>0

A

絲1

(2)x2lnx-mex>0(4)a[e^+1)>2(x+—)Inx

x

(5)6fln(x-l)+2(x-l)>ax+2ex(6)x+Inx+v>(^>1)

(7)e~x—2x—lnx=0(8)x2ex+Inx=0

練習(xí)題

1.若對Vx>0,恒有a(*+l)>2(x+-)lnx,則實數(shù)a的最小值為.

X

2.已知函數(shù)/(x)=e*-aln(ax-a)+a(a>0),若關(guān)于x的不等式/(x)>。恒成立，則實

數(shù)。的取值范圍為.

3.若Vx>0,不等式2ae2,—Inx+lnaNO恒成立，則實數(shù)a的最小值為?

練習(xí).已知函數(shù)/(x)=mln(x+l)—3x—3,若不等式/1(*)>如一3/在(0,+00)上恒成立,

則實數(shù)，”的取值范圍為.

4.已知函數(shù)=一lnx—1,證明：當(dāng)時，/(x)>0.

5.已知/是函數(shù)/(x)=+in2的零點，則+In與=.

6.若函數(shù)/(x)=lnx-x+l,g(x)=Qxer-4x,Q>0,證明:g(x)-2f(x)>2(ln-In2).

6.已知函數(shù)/(x)=x*T-lnx-ax,若Vx>O,/(x)之0,則實數(shù)。的最小值為.

7.已知函數(shù)/(x)=x(e?'，若/(x)21+x+lnx,求實數(shù)。的取值范圍.

8,已知/(%)=xex-ar2,^(x)=lnx+x-x2+1--,6?>0,若h(x)=f(x)-ag(x)>0

a9

求實數(shù)”的取值范圍.

9.已知f(x)=J+a(lnx-x),求證:0va</時，f(x)+e2>0.

x

10.(1)函數(shù)/。)=111彳+8-彳6*+1的最大值為.

(2)函數(shù)/(x)=e*-色山的最小值為.

x

(3)函數(shù)/(x)=(x+lnx+l)"*-x的最大值為.

x~px-21nx

(4)函數(shù)/(x)=的最小值為.

x+\

總練習(xí)題

1.已知函數(shù)/(x)=a/-lnx-l,若/(x)N0恒成立，則實數(shù)。的取值范圍().

A.[-,+oo)B.[l,+oo)C.[2,+oo)D.[e,+℃)

e

2.已知函數(shù)/(九)=?7(a>0),若函數(shù)y=/(x)的圖象恒在x軸的上方，則實數(shù)。的

取值范圍為()

A.[°'jd&D.(O,e)

3.若關(guān)于x的不等式2/+。一111%<()有解，則實數(shù)。的取值范圍是()

A.-ln2—g)B.18,In2—；]

C.1—ln2—1,0)D.ln2——,4-oo^j

i3

4.已知函數(shù)/(x)=gX3-5工2-41+1.

(1)求函數(shù)/(x)的單調(diào)區(qū)間；

(2)當(dāng)》目—2,5］時，求函數(shù)/(x)的最大值和最小值.

5.已知函數(shù)/(x)=xsinx+acosx+x,aeR.

(1)當(dāng)。=一1時，求曲線y=/(x)在點(0,/(0))處的切線方程;

TT

(2)當(dāng)a=2時，求/(X)在區(qū)間［0,二］上的最大值和最小值.

2

6.已知函數(shù)/(x)=ox-l-/nr,aeR.

(1)討論函數(shù)/(x)的單調(diào)區(qū)間；

(2)若函數(shù)"X)在x=l處取得極值，對Vx?O,M),陵一2恒成立，求實數(shù)

b的取值范圍.

7.已知函數(shù)/(x)=lnx+0—l,aeR.

X

(1)若。=2,求函數(shù)的最小值；

(2)若關(guān)于x的不等式在［1,”)上恒成立，求”的取值范圍.

8.已知函數(shù)/(x)=\nx-ax+a,g(x)=xex-2x.

(1)求函數(shù)y=/(x)的單調(diào)區(qū)間；

(2)當(dāng)。=1時,證明：/(x)〈g(x)在(0,+“)上恒成立.

第7講：恒成立問題7法

最值分析法.

例1.已知函數(shù)/(x)=lnx+x—I,證明：e-x+xf(x)>0.

例2.已知函數(shù)，(x)=(x+l)lnx—a(x-l),若當(dāng)XG(l,+oo)時，f(x)>0,求。的取值范

圍.

方法二：分離參數(shù)

例3.(2020全國一卷)已知函數(shù)/(X)=e*+OV2—x.

(1)當(dāng)。=1時，討論的單調(diào)性；

(2)當(dāng)xNO時，/(x)>-x3+l,求。的取值范圍.

例4.已知函數(shù)/(X)=ae-ln.x+ln?.

(1)當(dāng)”=e時，求曲線y寸(x)在點(1,/(D)處的切線與兩坐標軸圍成的三角形的

面積；

(2)若f(x)>1,求a的取值范圍.

方法三：端點效應(yīng)

例5.(2020成都二診)已知函數(shù)/(x)=%2+2x-〃?ln(x+l),其中meR.

(1)若〃2>0,求函數(shù)“X)的單調(diào)區(qū)間；

(2)設(shè)g(x)=/(x)+J.若g(x)>+在(0,+8)上恒成立，求實數(shù)加的最大值.

練習(xí)1.(2016四川卷)設(shè)函數(shù)=1n

(1)討論/(x)的單調(diào)性；

(2)確定。的值，使得/'(X)〉」一e「x在區(qū)間(l,+oo)內(nèi)恒成立.

X

練習(xí)2.(2019成都三診)設(shè)函數(shù)/(幻=工仙工-2。工2+3%-。,?！?.

(1)當(dāng)。=1時，判斷X=1是否為函數(shù)/(X)的極值點，并說明理由;

(2)當(dāng)x>0時，不等式/(x)K0恒成立，求。的最小值.

方法四：放縮

1.不等式放縮

例6.已知函數(shù)/(%)=瞪一%(aeR,e為自然對數(shù)的底數(shù))，g(x)=Inx+〃ix+l.

(1)若/(x)有兩個零點，求實數(shù)。的取值范圍；

(2)當(dāng)〃=1時，*[f(x)+x]2g(尤)對任意的xe(O,4w)恒成立，求實數(shù)，”的取值范圍.

練習(xí)1.已知函數(shù),f(x)=xe"-ax-aln尤.

(1)當(dāng)Q=e時，求函數(shù)/(%)的單調(diào)區(qū)間;

(2)若/(幻之1,求。的取值范圍.

練習(xí)2.已知函數(shù)=x(/x一幻.若f(x)21+x+lnx,求。的取值范圍.

練習(xí)3.已知函數(shù)/(x)=xe'"(a>0).

(1)求函數(shù)f(x)的極值；

(2)當(dāng)”=1時，若/(x)-INInx+以恒成立,求實數(shù)〃的取值范圍.

練習(xí)4.已知函數(shù)/(x)=fx+lnx(teR).

(1)當(dāng)r=-l時，證明：/(%)<-1;

(2)若對于定義域內(nèi)任意》，恒成立，求/的范圍.

2.已知參數(shù)范圍進行局部放縮(加必要性探路)

例6：已知函數(shù)/(無)=e*-ln(x+m).

(1)設(shè)x=0是/(x)的極值點，求〃?，并討論了(幻的單調(diào)性;

(2)當(dāng)〃zW2時，證明/(x)>0.

練習(xí).已知函數(shù)/(x)=ae"-lnx-l.

(1)設(shè)x=2是/(x)的極值點，求。的值;

(2)證明；當(dāng)aN1時，/W>0.

方法五：凸凹反轉(zhuǎn)

例7.已知函數(shù)1.

(1)討論函數(shù)/(X)的單調(diào)性；

(2)當(dāng)a25時，求證：/(x)>Inx.

練習(xí).(2020成都三診理)已知函數(shù)/(幻=甌'-"'3,meR).

(1)當(dāng)a=m=l時，求g(x)=/(x)—Inx的單調(diào)區(qū)間；

(2)當(dāng)a=4,/〃=2時，證明：f(x)>x(l+Inx).

be

練習(xí)：設(shè)函數(shù)f(x)=〃evlnx+——,曲線y=/(x)在點(1]⑴)處的切線為

x

y=&%-1)+2.

(1)求。小

(2)證明:/(x)>1.

第8講導(dǎo)數(shù)與零點

導(dǎo)言

導(dǎo)數(shù)與零點專題是高考考察的重點內(nèi)容，下表列舉了從16年起全國卷對這個點的考

察:

2020年2019年2018年2017年2016年

20題：證明21題：已知零21題：已知零

全國一卷零點個數(shù)點個數(shù)求參數(shù)點個數(shù)求參

數(shù)，零點偏移

20題：證明零21題：已知零

全國二卷點個數(shù)，公切點個數(shù)求參數(shù)

線.

21題：零點分

全國三卷布

如上表所示，導(dǎo)數(shù)與零點是高考導(dǎo)數(shù)大題部分的重要命題方向之一，結(jié)合近五年全國

主要地方的模擬考試題來看，該專題大致可以分為四個具體的命題方向：

1.判斷或證明零點個數(shù).此題型以2019年全國一卷20題為典型例子，是一類較新的

題型.重點考察學(xué)生利用函數(shù)單調(diào)性與值域，零點存在性定理準確的找到零點的存在性，

突出考察學(xué)生的邏輯推理與數(shù)學(xué)運算素養(yǎng)，具有較高的綜合性.

2.已知零點個數(shù)求參數(shù)范圍.此題型在16-18年連續(xù)三年均有考察，處理此類問題有

兩種常見的方法：含參數(shù)討論及分離參數(shù)，重點考察學(xué)生利用函數(shù)單調(diào)性分析值域，數(shù)形

結(jié)合解決問題.此題型還可衍生到對過點求切線個數(shù)，公切線個數(shù)的考察上.

3.討論或者證明零點所滿足的分布特征.此題型以2020年全國三卷21題為典型例子，

需要在找到零點的基礎(chǔ)上進一步分析出零點所滿足的分布，對學(xué)生的邏輯推理，嚴謹表達

均有較高的要求.

4.零點偏移或者雙零點，極值點問題.主要考察變量替換與構(gòu)造函數(shù)解決問題的基本方

法，此類問題處理方法較多，有偏移法處理，變量代換，對數(shù)均值不等式等均可完成，在

各地的模擬題中屬于常見的類型.

下面，將通過一些高考題目和典型的模擬題具體展開這四類題型的研究和討論，找到

破解零點問題的常見思路與方法，提升邏輯推理，數(shù)學(xué)運算，直觀想象的核心素養(yǎng)，讓學(xué)

生在研究問題的過程中獲得成就感.

題型1:判斷或證明零點個數(shù)

1.已知函數(shù)/(x)=sin九一ln(l+x),/'(x)為f(x)的導(dǎo)數(shù).證明:

TT

(1)/'(X)在區(qū)間(-1,萬)存在唯一極大值點；

(2)/W有且僅有2個零點.

V--L1

2.已知函數(shù)/(x)=lnx--------.

X-1

(1)討論/(X)的單調(diào)性，并證明/(X)有且僅有兩個零點；

(2)設(shè)X。是/(x)的一個零點，證明：曲線y=lnx在點4x0,lnxo)處的切線也是曲線

y="的切線.

3.已知函數(shù)/(x)=〃汀nx,g(x)=---(x>0).

(1)討論函數(shù)/x)=/(x)-g(x)在(0,+力)上的單調(diào)性；

(2)判斷當(dāng)m=e時，^=/(力與y=<式力的圖象公切線的條數(shù)，并說明理由.

4.已知函數(shù)〃x)=lnx-x+2sinx,7'(X)為.f(x)的導(dǎo)函數(shù).

⑴求證：/'(x)在(0，萬)上存在唯一零點；

(2)求證：/(x)有且僅有兩個不同的零點.

題型2：已知零點個數(shù)求參數(shù)范圍

5.已知函數(shù)/(x)=e*-/.

⑴若丁=1,證明：當(dāng)x?0時，/(x)>l；

(2)若/(x)在(0,例)只有一個零點，求。的值.

6.已知函數(shù)/(x)=ae2*+(a-2)e*-x.

(1)討論的單調(diào)性；

(2)若/(幻有兩個零點，求。的取值范圍.

11

7.已知函數(shù)/(x)=xsinx+cosx+—or4*,xe[-/r,7V\

(1)當(dāng)。=0時，求/(x)的單調(diào)區(qū)間；

(2)當(dāng)。＞0,討論的零點個數(shù).

8.已知函數(shù)〃x)=(x-l)e',g(x)=lnx,其中e是自然對數(shù)的底數(shù).

(1)求曲線〉=/(x)在x=l處的切線方程；

(2)設(shè)函數(shù)〃(x)="(x)-g(x),若函數(shù)〃(x)恰好有2個零點,求實數(shù)。的取值范圍.(取

In3.5=1.25,In4=1.40)

題型3：零點的分布特征

9.設(shè)函數(shù)/*)=f+版+。，曲線y=/(x)在點(；，F(xiàn)(1))處的切線與y軸垂直.

(1)求兒

(2)若f(x)有一個絕對值不大于1的零點，證明：f(x)所有零點的絕對值都不大于L

10.已知函數(shù)/(力=/一；/—近一i(ZeR).

(1)當(dāng)左>1時，討論/(%)極值點的個數(shù)；

(2)若6b分別為/(x)的最大零點和最小零點，當(dāng)a—人28時，證明：k>2.

11.已知函數(shù)f(x)=ex.

(1)若曲線y=/(x)在點(/，/(%)))處的切線為y=求左一b的最小值；

(2)當(dāng)常數(shù)機e(2,+8)時，若函數(shù)8(幻=。-1)/*)—如2+2在［0,+00)上有兩個零點

4

X1,%,,%1<x2,證明：%1+In—<x2<m>

x(x-l)(x-2)+l,x<2

12.已知函數(shù)/(x)=〈[g-2)+22叱①和函數(shù)g(x)-)+】?

(1)求函數(shù)/(x)的單調(diào)區(qū)間;

⑵若a=23Ae(O,l),且函數(shù)y=/(x)-g(x)有三個零點西、々、七，求

/(%)+)+/(不)的取值范圍.

第9講零點(極值點)偏移，雙零點(極值點)問題

13.已知函數(shù)f(x)=lnx-ax,a€R,若/(司)=/(*2)=0，證明：xtx2>e~.

14.設(shè)函數(shù)/'(x)=-a2inx+x2-℃(ae/?).

(1)試討論函數(shù)/(x)的單調(diào)性；

(2)如果a>()且關(guān)于x的方程/。)=，”有兩解*,七區(qū)<W)，證明司+々>2。.

15.已知/(x)=(爐-a*1nx+狽+2,。eH有兩個不同的極值點<x2.

(1)求實數(shù)。的取值范圍：

2

(2)求證：xtx2<a.

16.已知函數(shù)/(x)=(x-2)e'+a(x-1尸有兩個零點.

(1)求a的取值范圍；

(2)設(shè)是/(x)的兩個零點，證明：xt+x2<2.

練習(xí)題

一,x<0

1.已知函數(shù)/*）=〈:,若函數(shù)F（x）=/（x）-履在R上有3個零點，則實數(shù)人的

Inx八

——,x>0

x

取值范圍為（）

A.(0,—)B.(0,—)C.(—00,—)D.(―,—)

e2e2e2ee

2.已知方程0儂=/在（0,8］上有兩個不等的實數(shù)根，則實數(shù)根的取值范圍為（）

F1ln213ln22)1〃22)

C.D.

~T'~e)

3.已知函數(shù)/（x）=xlnx-ae'（e為自然對數(shù)的底數(shù)）有兩個極值點，則實數(shù)。的取值范

圍是（）

A.（0,-）B.（0,e）C.（-00,—）D.（一,e）

eee

4.若二次函數(shù)/。）=爐+1的圖象與曲線0：煎的=。爐+13>0）存在公共切線，則實數(shù)

。的取值范圍為

?4848

A.(0,—JB.(0,—JC.[―,+°°）D.［―,+8）

ee~e~

5.已知函數(shù)

（1）若4>1,求函數(shù)/（X）的極值；

（2）當(dāng)0<a<l時，判斷函數(shù)/（力在區(qū)間［0,2］上零點的個數(shù).

6.已知函數(shù)/(x)=xsinx+cosx,g(x)=x2+4.

(1)討論函數(shù)/*)在［-肛加上單調(diào)性；

(2)設(shè)〃(x)=g(x)-4/(x),試證明〃(x)在R上有且僅有三個零點.

7.已知函數(shù)/(x)=ax—ln(x+l),/(x)NO.

(1)求實數(shù)。的值；

(2)若函數(shù)g(x)=/(x)-sinx,求證：g(無)有且僅有兩個零點.(6萬一'*1.77)

8.設(shè)函數(shù)/(x)=lnx+—,meR.

(1)當(dāng)加=e(e為自然對數(shù)的底數(shù))時，求/(x)的極小值;

(2)討論函數(shù)g(x)=/'(X)零點的個數(shù).

9.設(shè)函數(shù)/(》)=3/+以一(a+i)]nx.

(1)討論函數(shù)/(x)的單調(diào)性：

(2)若函數(shù)/(x)有兩個零點，求實數(shù)。的取值范圍.

io.已知函數(shù)/(x)=d-3x.

(1)求/(X)在區(qū)間［0,7磯加>())上的最大值和最小值；

(2)在曲線>=/上是否存在點P,使得過點尸可作三條直線與曲線)，=/(力相切？若

存在，求出其橫坐標的取值范圍；若不存在，請說明理由.

11.已知函數(shù)/(幻=(無—1修一；以3+；%2,xeR.

(1)a=0時，求(1J⑴)處的切線方程；

(2)x〉0時，f(x)是否存在兩個極值點，若存在，求實數(shù)。的最小整數(shù)解，若不存在,

說明理由.

12.已知函數(shù)/(x)=(l—Z)x—左lnx+5-

(1)討論函數(shù)/(幻的單調(diào)性；

(2)設(shè)函數(shù)/(x)的導(dǎo)函數(shù)為g(x),若函數(shù)/(x)恰有2個零點％＜々，證明:

M+2%,

g(-\)＞0?

13.已知函數(shù)/(x)=aeT+cosx(aeR).

(1)若函數(shù)/(x)在［-］,()］上是單調(diào)函數(shù)，求實數(shù)a的取值范圍;

/、/\41

②當(dāng)a=—l時，玉,為函數(shù)/(x)在(0,1)上的零點，求證：萬一%＜泊(丁_cos.%)

14.已知函數(shù)f(x)-x\nx--mx^-x+l,meR.

(1)若/(x)有兩個極值點，求實數(shù)機的取值范圍；

(2)若函數(shù)g(x)=xlnx-如2-elnx+e處有且只有三個不同的零點，分別記為

玉,々,工3，且X的最大值為求七工的最大值.

15.已知函數(shù)f(x)=axlnx-x+^,a0.

(1)討論函數(shù)/(光)的單調(diào)性；

(2)設(shè)?！?,函數(shù)/(x)恰有2個零點%，證明：7^+x2>lax]x2.

x

16.已知函數(shù)f(x')=—+ax+2]nx,aeH在x=2處取得極值.

(1)求實數(shù)。的值及函數(shù)/(x)的單調(diào)區(qū)間；

(2)方程/(x)=〃7有三個實根內(nèi),工2，芻(玉<X2<彳3)，求證：X3-X2<2.

17.設(shè)函數(shù)/(x)=e'(x-2)-；丘3+g依2.

(1)若左=1,求/(x)的單調(diào)區(qū)間；

⑵若/(X)存在三個極值點%,工2，七，且N<w(芻，求k的取值范圍，并證

明：%]+x3>2X2.

18.已知函數(shù)/(x)=x2-0nx,且

(1)求a的值；

(2)在函數(shù)/(x)的圖象上任意取定兩點&玉,/*,)),