歐拉公式的應用

濱州學院本科畢業(yè)設計（論文）PAGEPAGEI濱州學院畢業(yè)設計（論文）題目歐拉公式的應用系（院）數(shù)學與信息科學系專業(yè)數(shù)學與應用數(shù)學班級2004級本科四班學生姓名楊明證學號2004040635指導教師徐化忠職稱講師2008年04月18日歐拉公式的應用摘要本文首先介紹了一下歐拉公式以及推廣的歐拉公式，對歐拉公式的特點作了簡要的探討．歐拉公式形式眾多，在數(shù)學領域內(nèi)的應用范圍很廣，本文對歐拉公式在三角函數(shù)中的應用作了詳細的研究，歐拉公式在求三角級數(shù)中的應用中、在證明三角恒等式時、解三角方程的問題時、探求一些復雜的三角關系時，可以避免復雜的三角變換，利用較直觀的代數(shù)運算使得問題得到解決．另一方面,利用歐拉公式大降冪，能夠把高次冪的正余弦函數(shù)表示為一次冪函數(shù)的代數(shù)和,克服了高次冪函數(shù)在運算上的不方便．關鍵詞：歐拉公式三角函數(shù)降冪級數(shù)三角級數(shù)Euler'sFormulafortheApplicationAbstractThistextfirstintroducedtheEuler'sformulaandthegeneralizedEuler'sformula,andthenbrieflydiscussedthecharacteristicsoftheEuler'sformula.TheformoftheEuler'sformulaisnumerous,andtheapplicationoftheEuler'sformulaisextensive,thistextresearchestheEuler'sformulaintheTriangleFunctionindetail,theEuler'sformulaintheapplicationofthetrigonometricseries、thedemonstrationofthetrigonometricidentity,thesolutionoftheproblemsofthetrigonometry、thesearchofthecomplicatedtriangle,thecomplextriangulartransformationcanbeavoided,theproblemscanberesolvedwithmorevisualizedalgebraicoperation.Ontheotherhand,theuseofthedecreasingpowersoftheEuler'sformulacanexpressthesinefunctionandthecosinefunctionofhigher-powerasthealgebraicadditionofthefunctionofthefirstpower,Toovercometheinconvenienceofthehigh-powerfunctionincomputation.Keywords:Euler'sformulatrigonometricfunctionseriesofdecreasingpowerstriangularnumbers目錄摘要 IAbstract II目錄 i一、緒論 1二、歐拉公式的證明、特點、作用 1三、歐拉公式在三角函數(shù)中的應用 4(一)倍角和半角的三角變換 4(二)積化和差與差化積的三角變換 5(三)求三角表達式的值 5(四)證明三角恒等式 6(五)解三角方程 7(六)利用公式求三角級數(shù)的和 7(七)探求一些復雜的三角關系式 8(八)解決一些方程根的問題 9(九)歐拉公式大降冪 10（十）三角函數(shù)的求積 14結束語 16致謝 17參考文獻 18一、緒論歐拉公式形式眾多，有多面體歐拉公式、歐拉求和公式、、歐拉積分等多種形式．由于歐拉公式有多種形式，在數(shù)學領域中的應用范圍很廣，本文只介紹歐拉公式的一種形式“”以及這種形式在數(shù)學中的應用．二、歐拉公式的證明、特點、作用1748年，歐拉在其著作中陳述出公式，歐拉公式在數(shù)學的許多定理的證明和計算中，有著廣泛的應用．它將定義和形式完全不同的指數(shù)函數(shù)和三角函數(shù)聯(lián)系起來，為我們研究這兩種函數(shù)的有關運算及其性質架起了一座橋梁．同時我們知道三角函數(shù)的恒等變換是中學數(shù)學中的一個重要內(nèi)容，也是一個難點，但由于三角恒等變換所用公式眾多，這便給解決三角變換問題帶來了諸多不便．下面將通過歐拉公式，將三角函數(shù)化為復指數(shù)函數(shù)，從而將三角變換化為指數(shù)函數(shù)的代數(shù)運算，從而使得問題簡單化，并給出了歐拉公式在其它幾個方面的應用，在高等數(shù)學中的部分應用．歐拉公式它的證明有各種不同的證明方法，好多《復變函數(shù)》教科書上，是以復冪級數(shù)為工具，定義復變指數(shù)函數(shù)和復變?nèi)呛瘮?shù)來進行證明的．下面我們介紹一種新的證明方法：極限法．證明令．首先證明．因為，所以．從而．令，則．把視為連續(xù)變量，由洛必達法則有．即．令，則．故．其次證明．因為的主值支，所以，而，故．于是便證得：．歐拉公式還可以推廣到以下形式：已知歐拉公式其中為實數(shù)，則由式得則得：得：又因為由此便得出最重要的四個公式．這些公式具有以下特點：實質上，這些公式給出了三角函數(shù)的復指數(shù)形式，故代入三角變換中，便將三角運算化為指數(shù)函數(shù)的代數(shù)運算，使三角運算從多種思考方法化為單一思考方法，從而降低了三角變換的難度．觀察這幾個公式，與互為倒數(shù)，積為1，這一過程常常在證明過程中被應用．在以上公式的推導過程中，分別令，得到以下式子：．歐拉公式的橋梁作用:(1)純虛指數(shù)值可以通過三角函數(shù)值來計算例如，，，，．由歐拉公式可以看出，在復數(shù)域內(nèi)，指數(shù)函數(shù)是周期函數(shù)，具有基本周期．(2)任何實數(shù)的三角函數(shù)可以用純虛指數(shù)表示，從而通過指數(shù)函數(shù)來研究三角函數(shù)的性質．在歐拉公式中用代替，則．由，得到，由上式容易看出正弦函數(shù)是奇函數(shù)，余弦函數(shù)是偶函數(shù)．(3)引出復數(shù)的指數(shù)表示法，從而使得復數(shù)的表示法增加為代數(shù)形式、三角形式和指數(shù)形式三種形式，便于我們酌情使用．三歐拉公式在三角函數(shù)中的應用(一)倍角和半角的三角變換在此類型的題目中，大都用到以下兩個技巧：及．例1求證證左 右所以原式成立．(二)積化和差與差化積的三角變換例2計算：解.所以原式等于．(三)求三角表達式的值例3已知，求的值:解原式由代入上式消去原式對所以原式．(四)證明三角恒等式例4證明為方便計算令,原式變?yōu)樽C明左邊右邊左邊．例5求證：證明而．(五)解三角方程例6解方程解把代入得：．由歐拉公式得：，經(jīng)整理得：，，,，．所以，代入式得到，由此即得到方程的解．(六)利用公式求三角級數(shù)的和在三角級數(shù)中，按常規(guī)方法求和常常是很麻煩的，有時甚至求不出結果．而歐拉公式：，很好的解決了這類問題．例7求三角級數(shù)的前幾項和．解．(七)探求一些復雜的三角關系式例8試把和分別表示成的線形組合．解，注意到，得到，故有在式中用代替得到(八)解決一些方程根的問題例9證明方程至多有個根．證明令，設，則，,那么：故是關于的次多項式，所以由代數(shù)學基本定理知：方程至多有個根．例10設都是實常數(shù)，，若是方程的兩個根，，不全為零．證明：．證明令，．則化為．由三角不等式知，所以復常數(shù)同理復常數(shù)又分別滿足方程，即，．可見的系數(shù)行列式，從而必存在整數(shù)使得．(九)歐拉公式大降冪在高等數(shù)學中常會遇到高次冪的正余弦函數(shù)，這些函數(shù)在計算上很不方便，歐拉公式可把高次冪的正余弦函數(shù)表示為一次冪函數(shù)的代數(shù)和，克服了高次冪函數(shù)在運算上的不方便．首先我們先介紹一下歐拉公式在三角函數(shù)中的降冪使用．1正弦大降冪：．．．綜上：正弦大降冪規(guī)則如下括號前的系數(shù)視的奇偶而定；當時系數(shù)為，當時系數(shù)為．括號內(nèi)符號正負相同；當時括號內(nèi)各項均為余弦，依次為．當時，括號內(nèi)各項均為正弦，依次為，．2余弦大降冪．綜上：余弦大降冪規(guī)則如下：括號前的系數(shù)為；括號內(nèi)全部是號；括號內(nèi)各項均為余弦；當時，依次為當時，依次為．3正余弦大降冪的應用(1)求傅里葉級數(shù)例11求的傅立葉級數(shù)解由于是為周期的連續(xù)函數(shù)，所以它的傅立葉級數(shù)展開式唯一，即：．(2)求階導數(shù)例12求的階導數(shù)解(3)求積分例13求例14求解令，則：，，在上的值，．（十）三角函數(shù)的求積例15不查表，計算解．（十一）條件等式的證明例16已知均為銳角且，．求證．證明由，得到得：．由三角變換得：，因為均為銳角，所以也為銳角，即知，所以原式得證．結束語歐拉公式在數(shù)學的許多定理和計算中,有著廣泛的應用．它將定義和形式完全不同的指數(shù)函數(shù)和三角函數(shù)聯(lián)系起來,為我們研究這兩種函數(shù)的相關運算及其性質架起了一座橋梁．本文通過實例的形式說明歐拉公式在三角函數(shù)中的應用,在求三角表達式的值、證明三角恒等式、解決一些方程根的問題、求三角級數(shù)的和、解決高次冪的三角函數(shù)時,都應用到了歐拉公式,從而避免了復雜的三角變換,使得問題迎刃而解,在三角中的應用能夠利用較為直觀代數(shù)運算使得問題得到解決．在探求一些復雜的三角關系時,如果不借助歐拉公式,而試圖通過純?nèi)沁\算直接推導這些關系是相當麻煩的．本文在介紹歐拉公式時給出了歐拉公式的證明,應用到了極限的方法,不同于其它的定義復變指數(shù)函數(shù)和復變?nèi)呛瘮?shù)進行證明的方法．但不可避免的是：歐拉公式在證明某些恒等式時，卻相對增加了計算量．因此，在證明三角恒等式時，要具體問題具體分析．致謝本文從擬訂題目到定稿，歷時數(shù)月．在本論文完成之際，首先要向我的指導老師徐化忠老師致以誠摯的謝意．徐老師在本次寫作過程中悉心指導，并在論文資料方面以及論文的結構格式和論文的修改方面給予了寶貴提議，在此表示由衷的感謝！同時他對工作的積極熱情、認真負責、有條不紊、實事求是的態(tài)度，給我留下了深刻的印象，使我受益非淺．在此我謹向徐老師表示忠心的感謝和深深的敬意．同時，我要感謝學院領導、學院老師的關心與大力支持．在論文的寫作過程中受到了學校領導、數(shù)學系領導的高度重視與老師們的鼎立幫助．特別是在論文資料的搜集查閱，學院領導為我們賣進了大量的文獻資料，系里還為我們免費開放了數(shù)學建模實驗室，為同學們的資料查詢與論文打印提供了極大的方便，在此表示衷心的感謝！在本次寫作過程中還得到了圖書館老師們和同學們的熱心幫助，特別是在論文資料的搜集查閱，他們給了我無私的幫助和支持，在此深表謝意．最后，向我的家人和朋友表示深深的謝意，他們給予我的愛、理解、關心和支持是我不斷前進的動力．學無止境．明天，將是我終身學習另一天的開始．參考文獻