遼寧省沈陽市第十一高級中學2021-2022學年高三數(shù)學理模擬試卷含解析

遼寧省沈陽市第H^一高級中學2021-2022學年高三數(shù)學

理模擬試卷含解析

一、選擇題：本大題共1()小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個選

項中，只有是一個符合題目要求的

1.下列函數(shù)f(X)中，滿足“對任意X|、X2G(0,+8),當Xi<Xz時，都有f(Xi)>f

(x2)的是()

1

A.f(x)=xB.f(x)=(x-1)2C.f(x)-e'D.f(x)=ln(x+1)

參考答案：

A

【考點】函數(shù)單調性的判斷與證明.

【專題】綜合題.

【分析】根據(jù)題意和函數(shù)單調性的定義，判斷出函數(shù)在(0,+8)上是減函數(shù)，再根據(jù)反

比例函數(shù)、二次函數(shù)、指數(shù)函數(shù)和數(shù)函數(shù)的單調性進行判斷.

【解答】解：對任意Xi、X2e(0,+8),當X1<X2時，都有f(Xi)>f(x2),

二函數(shù)在(0,+8)上是減函數(shù)；

A、由反比例函數(shù)的性質知，此函數(shù)函數(shù)在(0,+8)上是減函數(shù)，故A正確；

B、由于f(x)=(x-1)2,由二次函數(shù)的性質知，在(0,1)上是減函數(shù)，

在(1,+8)上是增函數(shù)，故B不對；

C、由于e>l,則由指數(shù)函數(shù)的單調性知，在(0,+8)上是增函數(shù)，故C不對；

D、根據(jù)對數(shù)的整數(shù)大于零得，函數(shù)的定義域為(-1,+8),由于e>l,則由對數(shù)函數(shù)

的單調性知，在(0,+8)上是增函數(shù)，故D不對；

故選A.

【點評】本題考查了函數(shù)單調性的定義，以及基本初等函數(shù)的單調性，即反比例函數(shù)、二

次函數(shù)、指數(shù)函數(shù)和數(shù)函數(shù)的單調性的應用.

2.已知銳角&48。的面積為3<與，￡C=4,C4=3,則角。的大小為

A.75°B.60°B.45°D.300

參考答案:

s,n=>

卸七T_z?^=7^'^'C5>/5=-x4x3x?inC=^sinC=—

解析：由正弦定理得222,注意

到其是銳角三角形，故C=60°,選B

3.設全集”=凡集合'=卜卜卜+3)劉.集合5=卜k<-1}.則右圖中陰影部分表示的

集合為()

A田3<l<-1)B{x|-3<x<0)c{X|A>O}Dt|x<-l)

A

略

4.已知函數(shù)丁=/(])是奇函數(shù)，當x>0時，/。)=18蒞則/0(100”的值等于

()

A.擊”或C.U2D

.為2

參考答案：

D

5已知直線y=x+l與曲線y=ln(x+a)相切，則a的值為()

(A)l(B)2(0-1(獷2

參考答案：

B

略，，

6.如圖，正方形Z8C。內的圖形來自中國古代的太極圖?正方形內切圓中的黑色部分和白

色部分關于正方形的中心成中心對稱.在正方形內隨機取一點，則此點取自黑色部分的概率

是（)

11nx

A.4B.2C.8D.4

參考答案：

C

7T

7.要得到函數(shù)y=2cos（2x-4）的圖象，只需將函數(shù)y=2cos2x的圖象（）

71

A向左平移K個單位B向右平移

彳個單位

C向左平移8個單位D向右平

移G個單位

參考答案：

D

8.設/⑴H+L",則下列說法不正確的是（）

A./3）為黛上的偶函數(shù)B.力為外”的一個周期

C.*為/卜）的一個極小值點D./（寸在區(qū)間J上單調遞減

參考答案:

D

9.過點尸(4,2)作圓/+的兩條切線，切點分別為丹、B,。為坐標原點，則

的外接圓方程是()

(A)(^-2)a+(y-i)a-5(B)(^-4)3+(y-2)J-20

aJJ

(C)(x+2)+(y+l)=5(D)(x+4)+(y+2^-20

參考答案：

10.在復平面內O為坐標原點，復數(shù)1+i與1+%分別對應向量05和5萬，則

()

A.貶B.2C.710D.4

參考答案：

B

略

二、填空題:本大題共7小題,每小題4分，共28分

11.過拋物線V=8x焦點的直線交該拋物線于A,B兩點，若線段AB中點的橫坐標為4,

則1陰=

A.14B.12C.10D.8

參考答案：

B

工+，電”>0)逅

12.已知橢圓/V的離心率為3，過橢圓上一點“作直線以MB分別

交橢圓于A3兩點,且斜率為&%,若點4B關于原點對稱,則K-4的值為_______.

參考答案：

略

13.執(zhí)行如圖所示的程序框圖，輸出的結果為“，二項式（修哇）的展開式中爐項

a

的系數(shù)為2,則常數(shù)________

（開始]

|a=3j=]

——1

a=-l-/輸出a/

二[；/

~_結束

j=j+l------

________1

參考答案：

1

4

14.如果執(zhí)行如圖所示的程序框圖,輸入X=T,N=3,則輸出的數(shù)S=________

1開?。?/p>

/?冬,”/

[F1

1

/*\.、/

[4]

參考答案：

-4

略

2x-jr+2Ao

x-2j+lKO

15.如果點p在平面區(qū)域11+產-2“°內，點Q在曲線72+以=1上，

那么I&I的最小值為____________

參考答案：

君-1

16.設S,為等比數(shù)列｛斯｝的前〃項和，8，%=°,則S?.

參考答案：

7

3

【分析】

設等比數(shù)列14)的公比為9,由眄a=°,解得g=2,進而可求解S2的值，得到答

案.

【詳解】由題意，設等比數(shù)列1%》的公比為牙，由8/一%=°,即解得

g=2,

S,._1+2+2’_7'7

又由號■+yI”3f即％3

【點睛】本題主要考查了等比數(shù)列的通項公式的應用，以及前n項和公式的應用，其中解

答中熟記等比數(shù)列的通項公式和求和公式，準確計算是解答的關鍵，著重考查了運算與求

解能力，屬于基礎題.

17.已知函數(shù)y=f(x)是R上的偶函數(shù)，對于任意xGR,都有f(x+6)=f(x)+f(3)成

f(Xi)~f(Xn).

---------=-------->0

X-x

立，當x“x2e［0,3］,且xHxz時，都有12.給出下列命題：

①f⑶=0；

②直線x=-6是函數(shù)y=f(x)的圖象的一條對稱軸；

③函數(shù)y=f(x)在［-9,-6］上為增函數(shù)；

④函數(shù)y=f(x)在［-9,9］上有四個零點.

其中所有正確命題的序號為(把所有正確命題的序號都填上)

參考答案：

①②④

【考點】函數(shù)的零點；函數(shù)單調性的判斷與證明；函數(shù)的周期性；對稱圖形.

【專題】綜合題；壓軸題.

【分析】(1)、賦值x=-3,又因為f(x)是R上的偶函數(shù)，f(3)=0.

(2)、f(x)是R上的偶函數(shù)，所以f(x+6)=f(-x),又因為f(x+6)=f(x),

得周期為6,

從而f(-6-x)=f(-6+x),所以直線x=-6是函數(shù)y=f(x)的圖象的一條對稱軸

(3)、有單調性定義知函數(shù)y=f(x)在［0,3］上為增函數(shù)，f(x)的周期為6,所以函

數(shù)y=f(x)在［-9,-6］上為減函數(shù).

(4)、f(3)=0,f(x)的周期為6,所以：f(-9)=f(-3)=f(3)=f(9)=0.

【解答】解：①：對于任意xWR,都有f(x+6)=f(x)+f(3)成立，令x=-3,則

f(-3+6)=f(-3)+f(3),又因為f(x)是R上的偶函數(shù)，所以f(3)=0.

②：由(1)知f(x+6)=f(x),所以f(x)的周期為6,

又因為f(x)是R上的偶函數(shù)，所以f(x+6)=f(-x),

而f(x)的周期為6,所以f(x+6)=f(-6+x),f(-x)=f(-x-6),

所以：f(-6-x)=f(-6+x),所以直線x=-6是函數(shù)y=f(x)的圖象的一條對稱軸.

Xx

(3)：當x”x2G［0,3］,且xHxz時，都有1~2

所以函數(shù)y=f(x)在［0,3］上為增函數(shù)，

因為f(x)是R上的偶函數(shù)，所以函數(shù)y=f(x)在［-3,0］上為減函數(shù)

而f(x)的周期為6,所以函數(shù)y=f(x)在［-9,-6］上為減函數(shù).

④：f(3)=0,f(x)的周期為6,

所以：f(-9)=f(-3)=f(3)=f(9)=0

函數(shù)y=f(x)在［-9,9］上有四個零點.

故答案為：①②④.

【點評】本題重點考查函數(shù)性質的應用，用到了單調性，周期性，奇偶性，對稱軸還有賦

值法求函數(shù)值.

三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算

步驟

18.選修4-4：坐標系與參數(shù)方程

1

xqt

’的正+

在直角坐標系xOy中，直線1的參數(shù)方程為y22工（t為參數(shù)），若以直角坐標系

xOy的0點為極點，Ox為極軸，且長度單位相同，建立極坐標系，得曲線C的極坐標方程

“P=2cos（8-三）

為4.

（1）求直線1的傾斜角；

（2）若直線1與曲線C交于A,B兩點，求AB.

參考答案：

【考點】點的極坐標和直角坐標的互化；直線的傾斜角；直線與圓的位置關系.

【專題】計算題；壓軸題；直線與圓.

工

【分析】（1）根據(jù)直線參數(shù)方程的意義，可得直線1的傾斜角為a滿足余弦等于區(qū)且正

遭

弦等于2,由此即可得到直線1的傾斜角a；

V2V2

（2）將曲線C化成直角坐標方程，得它是（T,T）為圓心且半徑為1的圓，由點到直

線的距離公式算出弦AB到圓心的距離，最后根據(jù)垂徑定理可算出弦AB的長.

【解答】解：（1）設直線1的傾斜角為a,根據(jù)直線參數(shù)方程的意義，得

1

cosCrri=—

.V3n

且aG[o,Jt）,可得a，，

n

即直線1的傾斜角為與…

V2n

（2）由（1）得直線1是經過點（0,下），且傾斜角為互的直線，斜率k=tan享y

選

直線1的直角坐標方程為y=V3x+2,

P=2cOS(0-----)r~r~

而曲線C：4,BPP3=v2pcos0+V2psin0,

*.*Pcos0=x,psin0=y,

V2V2

???曲線C的直角坐標方程為d+y'&x+My,整理得(x-下)、(y-^)

V2V2

可得曲線C是以(/，T)為圓心，半徑為1的圓

的亞

VC到直線1的距離d=V3+l=4,

L2.(近)2V1P

???線段AB的長為2丫4=2…

【點評】本題給出直線性的參數(shù)方程和圓的極坐標方程，求直線被圓截得弦AB的長，著

重考查了參數(shù)方程、極坐標方程與直角坐標方程的互化，圓的標準方程和直線與圓的位置

關系等知識，屬于基礎題.

19.設4={4^+依+12=0},B={x\x2+3x+2b=0},ACB={2},C={2,一3}.

⑴求a,b的值及A,B；

(2)求(AUB)CC.

參考答案：

解：⑴因為ACB={2},

所以4+2a+12=0,4+6+26=0,

即a=-8,b——5,

所以A={x層一8x+12=0}={2,6},

3={4^+3%—10=0}={2,-5}.

(2)因為AU8={-5,2,6},C={2,—3},

所以(AU8)CIC={2}.

20.(本小題滿分14分)函數(shù)/3)=/山了-"'-其4€火)。

(I)若函數(shù)/伏)在X=1處取得極值，求。的值；

(II)若函數(shù)/口)的圖象在直線了=一X圖象的下方，求a的取值范圍；

(III)求證:2013*°<2012?13.

參考答案:

解：函數(shù)定義域為(0,+8),

/(%)=bu-2ax,

??在名=1處取得極值，

二/(1)=0,即-2a=0,?工a=0.......................................................................2分

?**/(?)=lnx,當zw(0,1)時<0,當xe(1.+8)時/(外>0,

，*)在”=1處取得極值.............................................3分

(H)由題意，得41nx-ax2-?<-*

:.xlnx-ax2<0

,:*e(0,a>竽..........................................5分

設3)=皆則人《)=寫"

令>0,得0<x<e,.\AG)在(0,e)上為增函數(shù)；

令V(w)<0,得x>e,.\AG)在(e,+8)上為減函數(shù).....................7分

?*.2).=h(e)=十.

:,a>..........................................................................................................8分

e

(W)由(n)知人⑴=蛇在(e,+8)上為減函數(shù)，

X

h(w)>A(x+I)?

...■㈣￡平...................................................I。分

xx+1

(*+1)lnx>xln(x+1)Inx'*1>In(x+1)*.

:,x*+,>(*+l)\............................................................................................11分

令*=2012,得2012初'>2013?n...................................................................12分

21.(本小題滿分12分)

已知三角形ZBC中，角/、笈、。所對的邊分別為a、8、C,且

bsin月=(sind-疝1cxa+c)

(I)求角兒

(H)在數(shù)列&L應>中，4=L|aKrt4|(〃￡"?)

(——}

數(shù)列的前。項和為S..證明：S.<2.

參考答案：

解：(.1)由而Z-疝iC)(a+c)及正弦定理得

6'=(a-cXa+c)=『=+J

/=，

由勾股定理定理得26分

（ID由（i）得半強■爭刊0號2

故

?111,2,

?=下9+T產=2><2

……12分

22.已知數(shù)列｛4｝中，,=L，=3,其前"項和為s.,且當”N2時,

（^7*=。.

（1）求證：數(shù)列（SJ是等比數(shù)列，并求數(shù)列｛4