2024屆山東省青島市開發(fā)區(qū)高二數(shù)學(xué)第二學(xué)期期末統(tǒng)考試題含解析

2024屆山東省青島市開發(fā)區(qū)高二數(shù)學(xué)第二學(xué)期期末統(tǒng)考試題考生須知：1．全卷分選擇題和非選擇題兩部分，全部在答題紙上作答。選擇題必須用2B鉛筆填涂；非選擇題的答案必須用黑色字跡的鋼筆或答字筆寫在“答題紙”相應(yīng)位置上。2．請(qǐng)用黑色字跡的鋼筆或答字筆在“答題紙”上先填寫姓名和準(zhǔn)考證號(hào)。3．保持卡面清潔，不要折疊，不要弄破、弄皺，在草稿紙、試題卷上答題無(wú)效。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．5位同學(xué)報(bào)名參加兩個(gè)課外活動(dòng)小組，每位同學(xué)限報(bào)其中的一個(gè)小組，則不同的報(bào)名方法共有（）A．10種 B．20種 C．25種 D．32種2．某快遞公司共有人，從周一到周日的七天中，每天安排一人送貨，每人至少送貨天，其不同的排法共有（）種.A． B． C． D．3．復(fù)數(shù)，則的共軛復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)點(diǎn)在（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限4．設(shè)集合，集合，則（）A． B． C． D．5．是虛數(shù)單位，若，則的值是（）A． B． C． D．6．若，則，就稱A是伙伴關(guān)系集合，集合的所有非空子集中，具有伙伴關(guān)系的集合的個(gè)數(shù)為（）A．15 B．16 C． D．7．若函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)的圖象如圖所示，則的圖象有可能是（）A． B．C． D．8．已知隨機(jī)變量的分布列為（）01若，則的值為（）A． B． C． D．9．設(shè),則()A． B．C． D．10．從分別標(biāo)有1，2，…，9的9張卡片中有放回地隨機(jī)抽取5次，每次抽取1張．則恰好有2次抽到奇數(shù)的概率是（）A． B．C． D．11．在的展開式中，各項(xiàng)系數(shù)與二項(xiàng)式系數(shù)和之比為，則的系數(shù)為（）A．21 B．63 C．189 D．72912．“搜索指數(shù)”是網(wǎng)民通過搜索引擎，以每天搜索關(guān)鍵詞的次數(shù)為基礎(chǔ)所得到的統(tǒng)計(jì)指標(biāo).“搜索指數(shù)”越大，表示網(wǎng)民對(duì)該關(guān)鍵詞的搜索次數(shù)越多，對(duì)該關(guān)鍵詞相關(guān)的信息關(guān)注度也越高.如圖是2018年9月到2019年2月這半年中，某個(gè)關(guān)鍵詞的搜索指數(shù)變化的走勢(shì)圖.根據(jù)該走勢(shì)圖，下列結(jié)論正確的是（）A．這半年中，網(wǎng)民對(duì)該關(guān)鍵詞相關(guān)的信息關(guān)注度呈周期性變化B．這半年中，網(wǎng)民對(duì)該關(guān)鍵詞相關(guān)的信息關(guān)注度不斷減弱C．從網(wǎng)民對(duì)該關(guān)鍵詞的搜索指數(shù)來(lái)看，去年10月份的方差小于11月份的方差D．從網(wǎng)民對(duì)該關(guān)鍵詞的搜索指數(shù)來(lái)看，去年12月份的平均值大于今年1月份的平均值二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．若正數(shù)，滿足，則的取值范圍是________．14．設(shè)，其中、、、、是各項(xiàng)的系數(shù)，則在、、、、這個(gè)系數(shù)中，值為零的個(gè)數(shù)為______．15．已知四邊形為矩形,,為的中點(diǎn),將沿折起,得到四棱錐,設(shè)的中點(diǎn)為,在翻折過程中,得到如下有三個(gè)命題:①平面，且的長(zhǎng)度為定值；②三棱錐的最大體積為；③在翻折過程中，存在某個(gè)位置，使得.其中正確命題的序號(hào)為__________．（寫出所有正確結(jié)論的序號(hào)）16．5人站成一排，若其中甲、乙不相鄰的不同排法共有m種，則m的值為_______．三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過程或演算步驟。17．（12分）已知函數(shù)．（1）當(dāng)a＝3時(shí)，解不等式；（2）若不等式的解集非空，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．18．（12分）在直角坐標(biāo)系中，曲線的參數(shù)方程為，（為參數(shù)），為曲線上的動(dòng)點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)滿足（且），點(diǎn)的軌跡為曲線.（1）求曲線的方程，并說(shuō)明是什么曲線；（2）在以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，以軸的正半軸為極軸的極坐標(biāo)系中，點(diǎn)的極坐標(biāo)為，射線與的異于極點(diǎn)的交點(diǎn)為，已知面積的最大值為，求的值.19．（12分）為了研究廣大市民對(duì)共享單車的使用情況,某公司在我市隨機(jī)抽取了111名用戶進(jìn)行調(diào)查，得到如下數(shù)據(jù)：每周使用次數(shù)1次2次3次4次5次6次及以上男4337831女6544621合計(jì)1187111451認(rèn)為每周使用超過3次的用戶為“喜歡騎共享單車”.(1)分別估算男、女“喜歡騎共享單車”的概率；(2)請(qǐng)完成下面的2×2列聯(lián)表,并判斷能否有95%把握,認(rèn)為是否“喜歡騎共享單車”與性別有關(guān).不喜歡騎共享單車喜歡騎共享單車合計(jì)男女合計(jì)附表及公式：k2=nP(1.151．111.151.1251.1111.1151.111k2.1722.7163.8415.1246.6357.87911.82820．（12分）求二項(xiàng)式的展開式中項(xiàng)系數(shù)最大的項(xiàng)的系數(shù).21．（12分）時(shí)下，租車自駕游已經(jīng)比較流行了．某租車點(diǎn)的收費(fèi)標(biāo)準(zhǔn)為：不超過天收費(fèi)元，超過天的部分每天收費(fèi)元（不足天按天計(jì)算）．甲、乙兩人要到該租車點(diǎn)租車自駕到某景區(qū)游覽，他們不超過天還車的概率分別為和，天以上且不超過天還車的概率分別為和，兩人租車都不會(huì)超過天．（1）求甲所付租車費(fèi)比乙多的概率；（2）設(shè)甲、乙兩人所付的租車費(fèi)之和為隨機(jī)變量,求的分布列和數(shù)學(xué)期望.22．（10分）如圖,棱錐P-ABCD的地面ABCD是矩形,PA⊥平面ABCD,PA=AD=2,BD=22(1)求證:BD⊥平面PAC;(2)求二面角P-CD-B的大小;(3)求點(diǎn)C到平面PBD的距離.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、D【解題分析】每個(gè)同學(xué)都有2種選擇，根據(jù)乘法原理，不同的報(bào)名方法共有種，應(yīng)選D.2、C【解題分析】分析：把天分成天組，然后人各選一組值班即可.詳解：天分成天，天，天組，人各選一組值班，共有種，故選C.點(diǎn)睛：本題主要考查分組與分配問題問題，著重考查分步乘法計(jì)數(shù)原理，意在考查綜合運(yùn)用所學(xué)知識(shí)解決實(shí)際問題的能力，屬于中檔題.3、A【解題分析】

化簡(jiǎn)，寫出共軛復(fù)數(shù)即可根據(jù)復(fù)平面的定義選出答案．【題目詳解】，在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)點(diǎn)為故選A【題目點(diǎn)撥】本題考查復(fù)數(shù)，屬于基礎(chǔ)題．4、B【解題分析】

求解出集合，根據(jù)并集的定義求得結(jié)果.【題目詳解】本題正確選項(xiàng)：【題目點(diǎn)撥】本題考查集合運(yùn)算中的并集運(yùn)算，屬于基礎(chǔ)題.5、C【解題分析】

6、A【解題分析】

首先確定具有伙伴集合的元素有，“和”，“和”等四種可能，它們組成的非空子集的個(gè)數(shù)為即為所求.【題目詳解】根據(jù)伙伴關(guān)系集合的概念可知：－1和1本身也具備這種運(yùn)算，這樣所求集合即由－1,1,3和，2和這“四大”元素所組成的集合的非空子集．所以滿足條件的集合的個(gè)數(shù)為24－1＝15.故選A.【題目點(diǎn)撥】本小題主要考查新定義概念的理解，考查集合子集的個(gè)數(shù)以及非空子集的個(gè)數(shù)，屬于基礎(chǔ)題.7、C【解題分析】分析：先根據(jù)導(dǎo)函數(shù)的圖象確定導(dǎo)函數(shù)大于0的范圍和小于0的x的范圍，進(jìn)而根據(jù)當(dāng)導(dǎo)函數(shù)大于0時(shí)原函數(shù)單調(diào)遞增，當(dāng)導(dǎo)函數(shù)小于0時(shí)原函數(shù)單調(diào)遞減確定原函數(shù)的單調(diào)增減區(qū)間．詳解：由的圖象易得當(dāng)時(shí)

故函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增；

當(dāng)時(shí)，f'（x）＜0，故函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減；

故選：C．點(diǎn)睛：本題主要考查函數(shù)的單調(diào)性與其導(dǎo)函數(shù)的正負(fù)之間的關(guān)系，即當(dāng)導(dǎo)函數(shù)大于0時(shí)原函數(shù)單調(diào)遞增，當(dāng)導(dǎo)函數(shù)小于0時(shí)原函數(shù)單調(diào)遞減．8、A【解題分析】

先由題計(jì)算出期望，進(jìn)而由計(jì)算得答案?！绢}目詳解】由題可知隨機(jī)變量的期望，所以方差，解得，故選A【題目點(diǎn)撥】本題考查隨機(jī)變量的期望與方差，屬于一般題。9、C【解題分析】分析：由題意將替換為，然后和比較即可.詳解：由題意將替換為，據(jù)此可得：.本題選擇C選項(xiàng).點(diǎn)睛：本題主要考查數(shù)學(xué)歸納法中由k到k+1的計(jì)算方法，意在考查學(xué)生的轉(zhuǎn)化能力和計(jì)算求解能力.10、B【解題分析】

先求出每次抽到奇數(shù)的概率，再利用n次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)中恰好發(fā)生k的概率計(jì)算公式求出結(jié)果．【題目詳解】每次抽到奇數(shù)的概率都相等，為，故恰好有2次抽到奇數(shù)的概率是??，故選：B．【題目點(diǎn)撥】本題主要考查n次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)中恰好發(fā)生k的概率計(jì)算公式的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題．11、C【解題分析】分析：令得各項(xiàng)系數(shù)和，由已知比值求得指數(shù)，寫出二項(xiàng)展開式通項(xiàng)，再令的指數(shù)為4求得項(xiàng)數(shù)，然后可得系數(shù)．詳解：由題意，解得，∴，令，解得，∴的系數(shù)為．故選C．點(diǎn)睛：本題考查二項(xiàng)式定理，考查二項(xiàng)式的性質(zhì)．在的展開式中二項(xiàng)式系數(shù)和為，而展開式中各項(xiàng)系數(shù)的和是在展開式中令變量值為1可得，二項(xiàng)展開式通項(xiàng)公式為．12、D【解題分析】

選項(xiàng)A錯(cuò)，并無(wú)周期變化，選項(xiàng)B錯(cuò)，并不是不斷減弱，中間有增強(qiáng)．C選項(xiàng)錯(cuò)，10月的波動(dòng)大小11月分，所以方差要大．D選項(xiàng)對(duì)，由圖可知，12月起到1月份有下降的趨勢(shì)，所以去年12月份的平均值大于今年1月份的平均值．選D.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解題分析】

利用基本不等式將變形為即可求得的取值范圍.【題目詳解】∵，，∴，即，解得，即，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立.故答案為：.【題目點(diǎn)撥】本題主要考查利用基本不等式求代數(shù)式的取值范圍問題，屬常規(guī)考題.14、【解題分析】

求出的展開式通項(xiàng)為，列舉出在的所有可能取值，從而可得出、、、、這個(gè)系數(shù)中值為零的個(gè)數(shù).【題目詳解】，而的展開式通項(xiàng)為.所以，的展開式通項(xiàng)為，當(dāng)時(shí)，的可能取值有：、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、，共個(gè)，因此，在、、、、這個(gè)系數(shù)中，值為零的個(gè)數(shù)為.故答案為.【題目點(diǎn)撥】本題考查二項(xiàng)展開式中項(xiàng)的系數(shù)為零的個(gè)數(shù)，解題的關(guān)鍵就是借助二項(xiàng)展開通項(xiàng)，將項(xiàng)的指數(shù)可取的全都列舉出來(lái)，考查分析問題和解決問題的能力，屬于中等題.15、①②【解題分析】

取的中點(diǎn)，連接、，證明四邊形為平行四邊形，得出，可判斷出命題①的正誤；由為的中點(diǎn)，可知三棱錐的體積為三棱錐的一半，并由平面平面，得出三棱錐體積的最大值，可判斷出命題②的正誤；取的中點(diǎn)，連接，由，結(jié)合得出平面，推出得出矛盾，可判斷出命題③的正誤.【題目詳解】如下圖所示：對(duì)于命題①，取的中點(diǎn)，連接、，則，，，由勾股定理得，易知，且，、分別為、的中點(diǎn)，所以，，四邊形為平行四邊形，，，平面，平面，平面，命題①正確；對(duì)于命題②，由為的中點(diǎn)，可知三棱錐的體積為三棱錐的一半，當(dāng)平面平面時(shí)，三棱錐體積取最大值，取的中點(diǎn)，則，且，平面平面，平面平面，，平面，平面，的面積為，所以，三棱錐的體積的最大值為，則三棱錐的體積的最大值為，命題②正確；對(duì)于命題③，，為的中點(diǎn)，所以，，若，且，平面，由于平面，，事實(shí)上，易得，，，由勾股定理可得，這與矛盾，命題③錯(cuò)誤.故答案為①②.【題目點(diǎn)撥】本題考查直線與平面平行、錐體體積的計(jì)算以及異面直線垂直的判定，判斷這些命題時(shí)根據(jù)相關(guān)的判定定理以及性質(zhì)定理，在計(jì)算三棱錐體積時(shí)，需要找到合適的底面與高來(lái)計(jì)算，考查空間想象能力，考查邏輯推理能力，屬于難題.16、1【解題分析】

根據(jù)題意，分2步進(jìn)行分析，先安排甲乙之外的三人，形成了4個(gè)空位，再?gòu)倪@4個(gè)間隔選2個(gè)插入甲乙，由分步計(jì)數(shù)原理計(jì)算即可答案．【題目詳解】根據(jù)題意，分2步分析：先安排除甲乙之外的3人，有種不同的順序，排好后，形成4個(gè)空位，在4個(gè)空位中，選2個(gè)安排甲乙，有種選法，則甲乙不相鄰的排法有種，即；故答案為：1．【題目點(diǎn)撥】本題考查排列、組合的應(yīng)用，本題是不能相鄰問題，處理此類問題，需要運(yùn)用插空法．三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過程或演算步驟。17、（1）；（2）．【解題分析】

（1）由a＝3可得，去絕對(duì)值，分類討論解不等式，求并集，可得所求解集；（2）由題意可得有解，運(yùn)用絕對(duì)值不等式的性質(zhì)可得此不等式左邊的最小值，解a的不等式可得所求范圍．【題目詳解】（1）當(dāng)a＝3時(shí)，即為，等價(jià)于或或，解得或或，則原不等式的解集為；（2）不等式的解集非空等價(jià)于有解．由，（當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取得等號(hào)），所以，解得，故a的取值范圍是．【題目點(diǎn)撥】本題考查分類討論解絕對(duì)值不等式以及不等式能成立求參數(shù)的問題，考查學(xué)生分類討論的思想，是一道容易題.18、（1）見解析；（2）2【解題分析】分析：（1）設(shè)，，根據(jù)，推出，代入到，消去參數(shù)即可求得曲線的方程及其表示的軌跡；（2）法1：先求出點(diǎn)的直角坐標(biāo)，再求出直線的普通方程，再根據(jù)題設(shè)條件設(shè)點(diǎn)坐標(biāo)為，然后根據(jù)兩點(diǎn)之間距離公式及三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)，結(jié)合面積的最大值為，即可求得的值；法2：將，代入，即可求得，再根據(jù)三角形面積公式及三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)，結(jié)合面積的最大值為，即可求得的值.詳解：（1）設(shè)，，由得.∴∵在上∴即（為參數(shù)），消去參數(shù)得.∴曲線是以為圓心，以為半徑的圓.（2）法1：點(diǎn)的直角坐標(biāo)為.∴直線的普通方程為，即.設(shè)點(diǎn)坐標(biāo)為，則點(diǎn)到直線的距離.∴當(dāng)時(shí)，∴的最大值為∴.法2：將，代入并整理得：，令得.∴∴∴當(dāng)時(shí)，取得最大值，依題意，∴.點(diǎn)睛：本題主要考查把參數(shù)方程轉(zhuǎn)化為普通方程，在引進(jìn)參數(shù)和消去參數(shù)的過程中，要注意保持范圍的一致性；在參數(shù)方求最值問題中，將動(dòng)點(diǎn)的參數(shù)坐標(biāo)，根據(jù)題設(shè)條件列出三角函數(shù)式，借助于三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)，即可求最值，注意求最值時(shí)，取得的條件能否成立.19、（1）男用戶中“喜歡騎共享單車”的概率的估計(jì)值為911，女用戶中“喜歡騎共享單車”的概率的估計(jì)值為23（2）填表見解析，沒有【解題分析】

(1)利用古典概型的概率估算男、女“喜歡騎共享單車”的概率；（2）先完成2×2列聯(lián)表，再利用獨(dú)立性檢驗(yàn)判斷能否有95%把握,認(rèn)為是否“喜歡騎共享單車”與性別有關(guān).【題目詳解】解:(1)由調(diào)查數(shù)據(jù)可知,男用戶中“喜歡騎共享單車”的比率為4555因此男用戶中“喜歡騎共享單車”的概率的估計(jì)值為911女用戶中“喜歡騎共享單車”的比率為3045因此女用戶中“喜歡騎共享單車”的概率的估計(jì)值為23（2）由圖中表格可得2×2列聯(lián)表如下：不喜歡騎共享單車喜歡騎共享單車合計(jì)男114555女153145合計(jì)2575111將2×2列聯(lián)表代入公式計(jì)算得：K所以沒有95%的把握認(rèn)為是否“喜歡騎共享單車”與性別有關(guān).【題目點(diǎn)撥】本題主要考查古典概型的概率的計(jì)算，考查獨(dú)立性檢驗(yàn)，意在考查學(xué)生對(duì)這些知識(shí)的理解掌握水平，屬于基礎(chǔ)題.20、或【解題分析】

根據(jù)題意，求出的展開式的通項(xiàng)，求出其系數(shù)，設(shè)第項(xiàng)的系數(shù)最大，則有，解可得的值，代入通項(xiàng)中計(jì)算可得答案．【題目詳解】解：根據(jù)題意，的展開式的通項(xiàng)為，其系數(shù)為，設(shè)第項(xiàng)的系數(shù)最大，則有，即解可得：，故當(dāng)或時(shí)，展開式中項(xiàng)系數(shù)最大，則有，；即系數(shù)最大的項(xiàng)的系數(shù)為或．【題目點(diǎn)撥】本題考查二項(xiàng)式定理的應(yīng)用，注意項(xiàng)的系數(shù)與二項(xiàng)式系數(shù)的區(qū)別，屬于基礎(chǔ)題．21、（1）；（2）見解析【解題分析】

（1）將情況分為甲租天以上，乙租不超過天；甲租天，乙租天兩種情況；分別在兩種情況下利用獨(dú)立事件概率公式可求得對(duì)應(yīng)概率，加和得到結(jié)果；（2）首先確定所有可能的取值，再求得每個(gè)取值所對(duì)應(yīng)的概率，從而得到分布列；利用數(shù)學(xué)期望計(jì)算公式求得期望.【題目詳解】（1）若甲所付租車費(fèi)比乙多，則分為：甲租天以上，乙租不超過天；甲租天，乙租天兩種情況①甲租天以上，乙租不超過天的概率為：②甲租天，乙租天的概率為：甲所付租車費(fèi)比乙多的概率為：（2）甲、乙兩人所付的租車費(fèi)之和所有可能的取值為：則；；；；的分布列為：數(shù)學(xué)期望【題目點(diǎn)撥】本題考查獨(dú)立事件概率的求解、離散型隨機(jī)變量的分布列與數(shù)學(xué)期望的求解，涉及到和事件、積事件概率的求解，考查學(xué)生的運(yùn)算和求解能力，屬于?？碱}型.22、(1)見解析;(2)θ=45°;(3)23【解題分析】

（1）先證明ABCD為正方形,可得BD⊥AC,由PA⊥平面ABCD,BD?平面ABCD,可得BD⊥PA，利用線面垂直的判定定理可得結(jié)果；（2）以AB,AD,AP為x,y,z軸建立空間直角坐標(biāo)系,根據(jù)向量垂直數(shù)量積為零，列方程組求出平面PCD的法向量，結(jié)合(0,0,2)為平面ABCD的法向量，利用空間向量夾角余弦公式求出兩個(gè)向量的夾角余弦，進(jìn)而轉(zhuǎn)化為二面角P-CD-B的平面角即可；（3）求出平面PBD的法向量，再求出平面的斜線PC所在的向量PC，然后求出PC【題目詳解】(1)解法一:在RtΔBAD中,AD=2,BD=22∴AB=2,∴ABCD為正方形,因此BD⊥AC,