ch7知識資料彎曲變形(3rd)

朽木易折，金石可鏤。千里之行，始于足下。第頁/共頁第七章彎曲變形7-2圖示外伸梁AC，承受均布載荷q作用。已知彎曲剛度EI為常數(shù)，試計算橫截面C的撓度與轉角。 題7-2圖解：1.建立撓曲軸近似微分方程并積分支座A與B的支反力分離為 AB段（0≤x1≤a）： (a) (b)BC段（0≤x2≤a）： (c) (d)2.決定積分常數(shù)梁的位移邊界條件為 (1) (2)延續(xù)條件為 (3) (4)由式（b）、條件（1）與（2），得 ，由條件（4）、式（a）與（c），得 由條件（3）、式（b）與（d），得 3.計算截面C的撓度與轉角將所得積分常數(shù)值代入式（c）與（d），得CB段的轉角與撓度方程分離為 將x2=0代入上述二式，即得截面C的轉角與撓度分離為 7-3圖示各梁，彎曲剛度EI均為常數(shù)。試按照梁的彎矩圖與約束條件畫出撓曲軸的大致形狀。題7-3圖解：各梁的彎矩圖及撓曲軸的大致形狀如圖7-3所示。 圖7-37-6圖示簡支梁，左、右端各作用一個力偶矩分離為M1與M2的力偶。如欲使撓曲軸的拐點位于離左端l/3處，則力偶矩M1與M2應保持何種關系。題7-6圖解：梁的彎矩圖如圖7-6所示。依題意，拐點或M=0的截面，應在處，即要求 由此得 圖7-67-7在圖示懸臂梁上，載荷F可沿梁軸移動。如欲使載荷在移動時一直保持相同的高度，則此梁應預彎成何種形狀。設彎曲剛度EI為常數(shù)。 題7-7圖解：在位于截面x的載荷F作用下，該截面的撓度為 因此，倘若將梁預彎成 的形狀，則當載荷F沿梁軸移動時，載荷一直保持同樣高度。7-8圖示懸臂梁，彎曲剛度EI為常數(shù)。在外力作用下，梁的撓曲軸方程為 式中，a為已知常數(shù)。試畫梁的剪力與彎矩圖，并決定梁所承受的載荷。 題7-8圖解：1.內力分析梁的剪力、彎矩圖如圖7-8所示。圖7-82.外力分析在區(qū)間A＋B－內，由上式與剪力、彎矩圖的延續(xù)性可知，在該區(qū)間內既無分布載荷，也無擴散載荷。由剪力、彎矩圖可知，截面B－的剪力與彎矩分離為在梁端切取微段B－B，并研究其平衡，得作用在截面B的擴散力與擴散力偶矩分離為（）（）7-9圖示各梁，彎曲剛度EI均為常數(shù)。試用神奇函數(shù)法計算截面B的轉角與截面C的撓度。題7-9圖(a)解：1.求支反力由梁的平衡方程和，得 2．建立撓曲軸近似微分方程并積分自向右取坐標，由題圖可見，彎矩的通用方程為 撓曲軸的通用近似微分方程為 將其相繼積分兩次，得 (a) (b)3．決定積分常數(shù)梁的位移邊界條件為： 在處， (c) 在處， (d)將條件(c)代入式(b)，得 將條件(d)代入式(b)，得 4．建立撓曲軸方程將所得C與D值代入式(b)，得撓曲軸的通用方程為 由此得段與段的撓曲軸方程分離為 5．計算和將代入上述或的表達式中，得截面的撓度為 將以上所得值和代入式(a)，得截面的轉角為(b)解：1.求支反力由梁的平衡方程和，得 2．建立撓曲軸近似微分方程并積分自向右取坐標，由題圖可見，彎矩的通用方程為 撓曲軸的通用近似微分方程為 將其相繼積分兩次，得 (a) (b)3．決定積分常數(shù)梁的位移邊界條件為： (c) (d)將條件(c)與(d)分離代入式(b)，得 4．建立撓曲軸方程將所得C與D值代入式(b),得撓曲軸的通用方程為 由此得段與段的撓曲軸方程分離為 5．計算和將代入上述或的表達式中，得截面的撓度為 將以上所得值和代入式（a），得截面的轉角為 (c)解：1.求支反力由梁的平衡方程和，得 2．建立撓曲軸近似微分方程并積分自向右取坐標，由題圖可見，彎矩的通用方程為 撓曲軸的通用近似微分方程為 將其相繼積分兩次，得 3．決定積分常數(shù)該梁的位移邊界條件為： (c) (d)將條件(c)與(d)分離代入式(b)和(a)，得 4．建立撓曲軸方程將所得C與D值代入式(b)，得撓曲軸的通用方程為 由此得段、段和段的撓曲軸方程依次為 5．計算wC和將代入上述或的表達式中，得截面的撓度為 將以上所得值和代入式(a)，得截面的轉角為 (d)解：1.求支反力由梁的平衡方程和，得 2．建立撓曲軸近似微分方程并積分自向右取坐標，由題圖可見，彎矩的通用方程為 撓曲軸的通用近似微分方程為 將其相繼積分兩次，得 (a) (b)3．決定積分常數(shù)梁的位移邊界條件為： 在處， (c) 在處， (d)將條件(c)代入式(b)，得 將條件(d)代入式(b)，得 4．建立撓曲軸方程將所得C與D值代入式(b)，得撓曲軸的通用方程為 由此得段與段的撓曲軸方程分離為 5．計算和將代入上述的表達式中，得截面的撓度為 將以上所得值和代入式(a)，得截面的轉角為 7-10圖示各梁，彎曲剛度EI均為常數(shù)。試用疊加法計算截面B的轉角與截面C的撓度。題7-10圖(a)解：由產(chǎn)生的位移為 由產(chǎn)生的位移為 應用疊加法，得截面的轉角及截面的撓度分離為 (b)解：梁段及梁段的受力情況分離如圖7-10b(1)和(2)所示。 圖7-10b由圖(1)可得截面的轉角為 由圖(1)和圖(2)，應用疊加法得截面的撓度為 (c)解：梁段及梁段的受力情況分離如圖7-10c(1)和(2)所示。 圖7-10c由圖(1)可得截面的轉角為 由圖(1)和圖(2)，應用疊加法得截面的撓度為 (d)解：求時可以書中附錄E的7號梁為基礎，以x代替a，以q(x)dx代替F，寫出B端截面的微轉角(a)式中，q(x)為截面x處的載荷集度，其值為(b)將式(b)代入式(a)后兩邊積分，即得截面B的轉角為求wC可以教材附錄E中8號梁為基礎，所求截面的撓度為表中所列的一半，即 7-12圖示外伸梁，兩端承受載荷F作用，彎曲剛度EI為常數(shù)。試問：(a)當x/l為何值時，梁跨度中點的撓度與自由端的撓度數(shù)值相等；(b)當x/l為何值時，梁跨度中點的撓度最大。 題7-12圖解：在端點力偶矩Me作用下，跨度為a的簡支梁的中點撓度為 將梁端載荷F簡化到截面D與G，得簡支梁DG的受力如圖b所示,梁端各作用一附加力偶矩Fx。按照上述公式，簡支梁DG中點的撓度為 (a)在上述二力偶矩作用下，截面D的轉角為 （）所以，外伸梁端點A的撓度為 (b)為使梁跨度中點C與梁端A的撓度數(shù)值相等，即使 得為使梁跨度中點C的撓度最大，由式（a），并令 得7-14圖示各剛架，各截面的彎曲剛度與扭轉剛度分離為EI與GIt，試用疊加法計算自由端形心C的水平與鉛垂位移。題7-14圖(a)解：由圖7-14a可以看出，在力偶矩作用下,桿段AB的截面B產(chǎn)生水平位移Bx與轉角，其值分離為 由此得截面C的水平與鉛垂位移分離為 圖7-14(b)解：由圖7-14b可以看出，桿段AB處于彎扭受力狀態(tài)，截面B的鉛垂位移與轉角分離為 由此得截面C的水平與鉛垂位移分離為 7-16試用疊加法計算圖示各階梯形梁的最大撓度。設慣性矩I2=2I1。題7-16圖(a)解：容易判斷，最大撓度發(fā)生在截面處（見下圖）。如圖7-16a(1)所示，梁段在F和Fa作用下，有 和 圖7-16a由圖(2)可得 最后，應用疊加法求得最大撓度為 (a)(b)解：不難判斷，最大撓度發(fā)生在中間截面處。 圖7-16b如圖7-16b(1)所示，因為左右對稱，截面的轉角必然為零。由此可將圖(1)求的問題轉化為圖(2)所示懸臂梁求撓度的問題，并可利用本題(a)中所得的結果，只需將式(a)中的更換為即可。最后求得的最大撓度為 (b)7-17圖示懸臂梁，承受均布載荷q與擴散載荷ql作用。材料的彈性模量為E，試計算梁端的撓度及其方向。題7-17圖解： 梁端的總撓度為 其方向如圖7-17所示，由圖可知， 圖7-177-19試求圖示各梁的支反力。設彎曲剛度EI為常數(shù)。題7-19圖(a)解：此為三度靜不定問題，但有反駁稱條件可以利用。此題以解除多余內約束較為方便。在作用面處假想將梁切開，并在其左、右面各施加一，在切開截面僅有反駁稱內力存在，如圖7-19a所示。 圖7-19a變形協(xié)調條件為 (a)截面的撓度之所以為零，這是由反駁稱條件決定的。利用疊加法，得 (b)將式(b)代入式(a)，于是得 方向如圖所示。據(jù)此可求得其他支反力為 (b)解：此為兩度靜不定問題?？稍诹洪g鉸處解除多余約束，得該靜不定結構的相當系統(tǒng)如圖7-19b所示。 圖7-19b變形協(xié)調條件為 (d)物理關系為 (e)將式(e)代入式(d)，得 由相當系統(tǒng)的平衡條件，求得其它支反力為 7-21題7-20所示傳動軸，因為加工誤差，軸承C處的位置偏離軸線=0.25mm，試計算安裝后軸內的最大彎曲正應力。已知軸的彈性模量E=200GPa。解：此為一度靜不定問題。傳動軸的相當系統(tǒng)示如圖7-21所示。變形協(xié)調條件為 (a) 圖7-21在多余支反力作用下，截面的撓度為 (b)將式(b)代入式(a)，得 由此得 由圖可知，梁內的最大彎矩發(fā)生在截面，其值為 由此得梁內的最大彎曲正應力為 7-22圖示結構，梁AB與DG用No18工字鋼制成，BC為圓截面鋼桿，直徑d=20mm，梁與桿的彈性模量均為E=200GPa。若載荷F=30kN，試計算梁與桿內的最大正應力，以及橫截面C的撓度。題7-22圖解：設桿BC受拉，軸力為FN。在載荷F與軸力FN作用下，梁DG中點C的鉛垂位移為 梁桿結構ABC的下端截面C的鉛垂位移則為 按照變形協(xié)調條件，得 (a)對于No18工字鋼， 桿BC的橫截面面積為 代入式（a），得而梁AB與DG的最大彎矩則分離為按照上述分析，得桿BC橫截面上的正應力為梁內的最大彎曲正應力為而截面C的撓度則為7-23圖a所示結構，由梁AB與桿CB組成，并承受鉛垂載荷F作用。梁各截面的彎曲剛度均為EI，桿各截面的拉壓剛度均為EA，且I=Al2/2，試計算梁的最大彎矩與桿的軸力。 題7-23圖解：本問題屬于一度靜不定。在載荷F作用下，桿BC軸向受拉，軸力用FN表示，梁的受力如圖b所示。設桿的軸向變形為l，梁截面B的撓度為，則變形協(xié)調條件為 (a)梁截面B的撓度為 桿的軸向變形為 將上述二式代入式（a），得補充方程為 由此得桿BC的軸力為 而梁的最大彎矩則為 7-24圖示剛架，彎曲剛度EI為常數(shù)，試畫剛架的彎矩圖。題7-24圖解：圖a與b所示結構均為一度靜不定問題。解除端的多余約束，代之以多余約束反力，由變形協(xié)調條件 解得此二剛架的多余約束反力依次為 此二剛架的彎矩圖分離如圖7-24a和b所示。 圖7-247-25圖a所示梁，彎曲剛度EI為常數(shù)。若欲使梁端支座A旋轉，則需在A端施加多大的力偶矩MA，并求相應的支反力。 題7-25圖解：取相當系統(tǒng)如圖b所示，在FAy與MA作用下，截面A的撓度與轉角分離為 由上述二式，并分離令 即 經(jīng)聯(lián)立求解，于是得 ，從而有 ，7-26如圖a所示，一長度為l、彎曲剛度為EI、分量為W的細長直梁，放置在水平剛性平臺上。設在梁端施加鉛垂載荷F=W/3后，部分梁段離開臺面，試求分離段的長度a、梁端的撓度與梁內的最大彎矩。 題7-26圖解：梁段BC與水平剛性平臺緊貼，各截面的撓度、轉角與曲率均為零，即 當不考慮剪力對梁變形的影響時，彎矩與梁軸曲率成正比，所以，梁段BC各截面的彎矩均為零，橫截面B的彎矩也為零。按照上述分析，梁段AB可簡化為懸臂梁（圖b），但截面B處的支反力偶矩為零，即 由此得 (a)利用疊加法，得截面A的撓度為 將式（a）代入上式，得 梁段AB的彎矩方程為 而在梁段BC內，各截面的彎矩均為零，于是得梁的彎矩圖如圖c所示，最大彎矩為 7-27如圖所示，梁左端A固定在具有圓弧形表面的剛性平臺上，自由端B承受載荷F作用。試計算截面B的撓度及梁內的最大彎曲正應力。平臺圓弧表面AC的曲率半徑R、梁的尺寸l，b與以及材料的彈性模量E均為已知。題7-27圖解：1.計算截面的撓度設在作用下梁段與圓弧形表面貼合，并設段的長度為，則由圖7-27a得 由此得 (a) 圖7-27因為貼合段梁的曲率為常值，可知此段的彎矩也是常值。據(jù)此可畫出梁的彎矩圖，如圖b所示。按照梁的約束條件及圖b，可進一步推知其受力情況，如圖c所示。由圖c得截面的撓度為 (b)再將式(a)代入式(b)，化簡后得到 2．計算梁內的最大彎曲正應力由圖b可知，梁內的最大彎矩（絕對值）為 由此得最大彎曲正應力為 7-28圖示勻質梁，放置在水平的剛性平臺上，若伸出臺外部分AB的長度為a，試計算臺內梁上拱部分BC的長度b。設彎曲剛度EI為常數(shù)，梁單位長度的分量為q。題7-28圖解：因為此梁在截面以右的部分曲率到處為零，因此截面處的曲率、轉角及彎矩也都為零，即 假想此梁從截面處切開，并取梁段為研究對象，可將其畫成圖7-28所示的外伸梁。 圖7-28由以上分析可知，在均布載荷（梁自重）作用下，有 由此得到 順便指出，這種解法是初等的，未考慮剪切變形的影響，致使分離面C處浮上擴散力形式的支承反力。7-29圖示勻質梁，放置在水平剛性平臺上。若在橫截面A作用一鉛垂向上的載荷F，試建立該截面的撓度與載荷F的關系。設彎曲剛度EI為常數(shù)，梁單位長度的分量為q。題7-29圖解：可從該勻質梁的上拱部分提取力學模型，如圖7-29所示。 圖7-29與上題相同的理由，這里有簡支梁兩端截面的轉角和彎矩均為零。由圖可知，截面的撓度為 (a)該梁左端截面的轉角為 (b)因為 故有 或寫成 (c)將式(c)代入式(a)，得到 7-30圖示梁AB與CD，B端、C端與剛性圓柱體相連，其上作用一矩為Me的擴散力偶。試畫梁的剪力、彎矩圖。設二梁各截面的彎曲剛度均為EI，長度均為l，圓柱體的直徑為d，且d=l/2。題7-30圖解：此為三度靜不定結構，有反駁稱條件可以利用。該結構相當系統(tǒng)的一部分如圖7-30a所示。 圖7-30靜力學方面，由剛性圓柱體的力矩平衡可得 (a)幾何方面，考慮梁，其截面的撓度與轉角之間應滿意協(xié)調關系(請讀者自己畫出結構變形圖以協(xié)助理解） (b)物理方面，有 (c)將式(c)代入式(b)，得補充方程 注重到，由上式得 (d)將式(d)與式(a)聯(lián)解，得 求出和后，畫梁的剪力與彎矩圖分離如圖b與c所示。梁的剪力圖與圖b左右對稱，其彎矩圖與圖c反駁稱，這里未畫出。7-31圖示靜不定梁AB，承受集度為q的均布載荷作用。已知抗彎截面系數(shù)為W，許用應力為[]。(1)試求載荷的許用值[q]；(2)為提高梁的承載能力，可將支座B提高少許，試求提高量的最佳值及載荷q的相應許用值[q']。題7-31圖解：(1)求時的此為一度靜不定問題。解除端的多余約束，代之以多余反力，將截面的撓度 (a)代入變形協(xié)調條件 可得 (b)自端向左取坐標，彎矩方程為 (c)由條件 得取極值的位置為 (d)將式(d)代入式(c)，得極值彎矩為 固定端截面的彎矩為