2023-2024學年河北省唐山市高二年級上冊期末數(shù)學模擬試題1(含解析)

2023-2024學年河北省唐山市高二上冊期末數(shù)學模擬試題

一、單選題

1.已知直線小x+ay+5=0,4：*+夕+7=0,若1、〃%,則實數(shù)。的值為()

A.1或-1B.-1C.ID.0或-1

【正確答案】A

【分析】由兩直線平行，得1x1=/,解得",然后檢驗兩直線是否重合即可.

【詳解】直線4：x+ay+5=0,l2-ax+y+1=0,lt//12,

則1x1=/,解得a=±l,

經(jīng)經(jīng)驗，當〃=±1時，兩直線均不重合，

故實數(shù)”的值為1或-1.

故選：A.

2.已知等差數(shù)列｛%｝的公差不為0,且為，4，出為等比數(shù)列，則這個等比數(shù)列的公比是()

45_20

A.-B.—C.-D.2

54H

【正確答案】A

【分析】利用等比中項的性質(zhì)和等差數(shù)列通項公式可構(gòu)造等式得到囚=-27”,由此可得

%，外，由此可得公比為”.

a3

【詳解】設(shè)等差數(shù)列｛凡｝的公差為d(d*0),

%,4嗎2為等比數(shù)列，即(。1+74丫=(“1+24)(%+114，

整理可得：a,d=-27d2,又dHQ,；.4=-27d,

.20d4

+2d=-25cl,a=a+7J=-20J,.二等比數(shù)列的公a比為-=工.

s]—2.JuJ

故選：A.

3.直線xsin2300-ycos230°+3=0的傾斜角是()

A.230°B.140°C.130°D.50°

【正確答案】D

【分析】化直線的一般式方程為斜截式，則直線的傾斜角可求.

【詳解】xsin2300-ycos230°+3=0可化為

sin230°33

y=----------x+-------=tan230°x+-------

cos230°cos230°cos230°

?.k=tan230°=tan50°,二.傾斜角為50°.

故選：D

4.如圖，在三棱柱/8C-/4G中，8G與8c相交于點0,卬B=N4/C=幺4c=60”,

則線段力。的長度為（）

而A/34

RD.布

22

【正確答案】D

【分析】根據(jù)向量線性運算可得力0=1/c+]/4+gz8,利用向量數(shù)量積的定義和運算

律可求得,進而得到49的長度.

【詳解】

i

AO=AB+BO=AB+-BQ=ABBC+CQ=AB-^A4-HB(

i??叭i??英ii-?叭1

=AB+-AA^-AC--AB=-AC+-AB,

212222

ACAA,wAC-AB^A\AL

.??赭=口前+：i訐T科。

I-1…11—11x4x2J=1,

=1+4+1H?一x2x4x——I—x2x2x——I—

222222

.?.%0卜而，即線段NO的長度為而.

故選：D.

2r2

5.已知點尸為雙曲線C：v匕一二=1與橢圓￡：二+己=1在第一象限的公共點，且橢圓E

451221

的兩個焦點為4，F(xiàn)”貝iJcosN耳產(chǎn)?=()

171

A.——B.—D.——

4178

【正確答案】B

【分析】由題意可知，雙曲線C與橢圓E共焦點，所以解出

[|Pg卜尸耳=4

\PF2\=42}+2,\PF2\=y/2\-2,由余弦定理代入即可得出答案.

【詳解】對于雙曲線C：=1,焦點在V軸上，則4=2,仇=6,q=3,

45

22

橢圓E：yj4-^-=1,焦點在/軸上,則4=>/^也=26臼=3、

所以雙曲線C與橢圓￡共焦點，則比司=6,

所以憚靠2『產(chǎn)，所以囪1=4+2,陷卜在'-2,

一|廠的|一4

附「+戶62-忻樓(721+2)24-(721-2)--36_7

所以COS/[P￡2|「耳卜朋|2(721+2)(721-2)=17

故選：B.

6.如圖，已知正方形力88所在平面與正方形45E尸所在平面構(gòu)成二面角的平面角為。，且

異面直線NC與8尸所成角為60。，則cos。=()

一

A.2B.yC.0D.

【正確答案】C

【分析】/E8C即為平面488與平面4BEF構(gòu)成二面角的平面角，所以NEBC=9,設(shè)正

方形邊長為1,求出套茄，園]研，代入c°s('C")=/^=±；,解方程即可

得出答案.

【詳解】根據(jù)題意可知，/E8C即為平面與平面1BEF構(gòu)成二面角的平面角,

所以/E8C=0,

設(shè)正方形邊長為1,異面直線NC與8尸所成的角為60。，

故(/did)=60°或1A&吟=120°,

又AC=AB+BC，BF=BE+EF，EF=BA=-ABAAC\=\BF\=,

所以AC?BF=(AB+BC)?(BE+EF)=(AB+BC)?(BE-4B)

??K▼▼八▼▼八▼▼八▼▼小▼▼八▼▼八▼▼八▼▼一

AC-BF^AB-BE^AR+BC-BE-BC?AB四+T)N乂cos。-0=44cos(9

-1+COS01

所以cos(4。,瓦。；

y/2xyf2=±5

所以-l+cosd=±l,所以cos8=0或2(舍去).

故選：C.

7.關(guān)于“函數(shù)/⑺二告上的最大、最小值與數(shù)列對=±上的最大、最小項”，下列說

2—152'—15

法正確的是()

A.函數(shù)/(x)無最大、最小值，數(shù)列｛/｝有最大、最小項

B.函數(shù)/(X)無最大、最小值，數(shù)列｛4｝無最大、最小項

C.函數(shù)/(x)有最大、最小值，數(shù)列｛4｝有最大、最小項

D.函數(shù)/(x)有最大、最小值,數(shù)列｛《,｝無最大、最小項

【正確答案】A

111

【分析】依題意可得/(x)=g1

，根據(jù)反比例函數(shù)及指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)分析函數(shù)的

力15

2-----

2)

單調(diào)性與值域，即可得到數(shù)列｛%｝的單調(diào)性，即可判斷.

”+衛(wèi)］n、

2x-22x-212'-工

【詳解】解：函數(shù)/("=22

x+,1

2-15-2X2152

2--2'-

272；2,

11

1

令g(x)=l+—T?，由2、-?=0,解得XHlog?1，所以函數(shù)的定義域為［xlxHlog?］

2'--22I2,

2

因為2、q>-葭且2'-畀0,所以/Wf一3

11

-00,-He一*

則fe(0,+oo),則g(x)（l,+8）,所以函數(shù)〃X）無最大、最小

I15

2A_—

2

值；

又二:在（-8,0）,（0,+8）上單調(diào)遞減，夕=2'-當在定義域上單調(diào)遞增，

所以/（X）在（yJogzTj，（1。825，+8）上單調(diào)遞減，且當X>log2,時/（x）>0,

因為2<log2y<log,8=3

對于數(shù)列對=sw，

2—ID

2

則。［=0>。2=-1，a3=6>a4>a5>>0,且〃23時〃”>0,

2

所以數(shù)列｛氏｝有最小項々=-,，有最大項“3=6.

故選：A

8.已知初中學過的反比例函數(shù)的圖象是非標準狀況下的雙曲線，根據(jù)圖象的形狀及學過的

雙曲線的相關(guān)知識，推斷曲線y=?2的一個焦點坐標是（）

X

A.（2,2）B.（2&,2五）C.（4,4）D.（五，立）

【正確答案】A

【分析】根據(jù)已知求出曲線的。、b、c,即可得解.

2

【詳解】解：曲線y=4的實軸是'二L實軸與漸近線的夾角為45。,

x

故g=i,y=x與夕=：的一個交點坐標是（行,正），

貝IJ（正，五）與曲線對稱中心（0,0）的距離a=2,則b=2,

______o

所以C=J7TR=20，故曲線N的焦點坐標為（2,2）,（-2,-2）.

故選：A.

二、多選題

9.已知平面。=仍小尸丸=0卜其中點4（1,3,5）,〃=（-1,1,3）,則下列各點在平面內(nèi)的是

()

A.(1,2,6)B.(-1,-2,6)C.(-1,10,2)D.(-11,15,-3)

【正確答案】BCD

【分析】設(shè)出點P的坐標，根據(jù)求出橫縱豎坐標的關(guān)系式，代入檢驗即可.

【詳解】設(shè)P(x,%z),則尸耳二(l-x,3-y,5-z)

又因為"?/>4=0,所以x-l+3-y+3x(5-z)=0,即y+3z=x+17

選項BCD都滿足題意.

故選：BCD

10.如圖所示，邊長為2的等邊048從起始位置(04與了軸重合)繞著。點順時針旋轉(zhuǎn)

至03與x軸重合得到△。4打，在旋轉(zhuǎn)的過程中，下列說法正確的是()

A.線段N3的中點在圓*2+/=3上運動

B.直線44與直線4層關(guān)于直線x-y=0對稱

C.邊44與邊4層所在直線的交點為(3-6,3-百)

D.的角平分線所在直線方程是y=3x,直線。/的方程為^=乎》

【正確答案】AB

【分析】由題意，設(shè)邊的中點為E,則|0同=石，所以E的軌跡方程是。為圓心，半徑

為打的圓可判斷A；求出4(0,2),4(1,6)關(guān)于直線x-y=0對稱點可判斷B；求出邊4通

與邊用與所在直線的交點坐標，可判斷C；求出直線。4的方程可判斷D.

【詳解】由題意可知，4(0,2)、4(百」)、4(1，6)、4(2,0),

對于A,設(shè)N8邊的中點為E,則|0￡|=百，且OE_L”，

所以E的軌跡方程是。為圓心，半徑為G的圓,

所以線段48的中點E在圓=3上運動，所以A正確；

對于B,4(0,2),4(1,73),其中4(0,2)關(guān)于直線計沙=0對稱點為鳥(2,0),

其中4(1,V3)關(guān)于直線x-y=0對稱點為4(73,1),

所以直線44與直線與與關(guān)于直線x-y=0對稱，故B正確；

對于C,直線44的方程為y=(行-2卜+2,直線8包的方程為夕=直「2),

6

3

T石，所以C不正確；

對于D,設(shè)。4的傾斜角為a,/ZO8的角平分線的傾斜角為尸，

C7166

/\tan,+tan---F--5

所以a=￡+2，即tana=tan|4+￡]=-----------=2廠3廠、廠，

616)-an^tan"「663

623

直線O/的方程為^=孚》，故D不正確.

故選：AB.

11.設(shè)首項為2的數(shù)列｛q｝的前〃項和為5“，若黑|=3S“+2〃-l(〃eN*),則下列結(jié)論正

確的是()

A.數(shù)列⑸｝的通項公式為S,,=3""-〃B.數(shù)列包｝的通項公式為

C.數(shù)列依+1｝為等比數(shù)列D.數(shù)列｛，｝的前“項和為3‘川一?一"一3

【正確答案】BD

【分析】依題意可得S,M+(〃+1)=3(S.+〃)，即可得到｛S“+〃｝是以3為首項，3為公比的等

比數(shù)列，從而求出｛s“｝的通項公式，即可判斷A,再根據(jù)a“=|：_s〃>2,作差求｛《,｝

的通項公式出，即可判斷B,再得到｛4+1｝的通項公式，即可判斷C,最后利用分組求和

法判斷D.

【詳解】解：因為4=2,SN=3S“+2〃-1,貝lJE+l=q+l=3,

所以S“H+（〃+1）=3（S/,+〃）,所以｛S'+〃｝是以3為首項,3為公比的等比數(shù)列,

所以S“+〃=3",則S“=3"-〃，故A錯誤：

當〃22時%=3"-'-（n-l）,所以S“一S,i=3"一〃—[3"T_川，即%=2?3二一1,

,（2,〃二1

當〃=1時a,,=2-3"T-l不成立，所以氏=?、、，故B正確；

[2-3—1,2

3,77=1,〃？+1&+1,、一

所以4+1=、、，顯然,故4+1不是等比數(shù)列，即c錯誤；

2-3yn>Z〃[+1a2+1

因為S“=3"-〃，所以數(shù)列｛S.｝的前〃項和為3（1-3"）_如業(yè)=3"+'-"。-3,故D正確;

1-322

故選：BD

12.拋物線有如下光學性質(zhì)：由其焦點射出的光線經(jīng)過拋物線反射后，沿平行于拋物線對稱

軸的方向射出，反之，平行于拋物線對稱軸的入射光線經(jīng)拋物線反射后必過拋物線的焦點.知1

拋物線C：y2=px（p>0）,O為坐標原點，一條平行于x軸的光線乙從點M（5,2）射入，經(jīng)

過C上的點A反射后，再經(jīng)C上另一點3反射后，沿直線右射出，經(jīng)過點N.設(shè)”（占,必），

8（芍，%），下列說法正確的是（）

A.若p=2,則占々=；

B.若P=2,NA平分NBAM,則N點橫坐標為3

C.若P=4,拋物線在點A處的切線方程為x-y+l=0

D.若P=4,拋物線上存在點P,使得尸/1PB

【正確答案】AC

【分析】當P=2得到拋物線方程，求出焦點坐標，設(shè)48:x=%，+；,聯(lián)立直線與拋物線

方程，列出韋達定理，即可判斷A,假設(shè)M4平分則忸a=怛時，求出8點坐標，

利用焦半徑公式求出|N8|,從而求出心,即可判斷B；當P=4時得到拋物線方程，求出A

點坐標，利用導(dǎo)數(shù)求出切線方程，假設(shè)存在點。（崗,人），使得尸/±PB,貝

推出矛盾，即可得解.

【詳解】解：當P=2時拋物線C：/=2x,則尸設(shè)"：x=/^+；,

+2221

由x-".y+5,消元得「一2叩一1=0,所以乂%=-1,所以再工2=旦?互=L,故A正確;

/=2x224

若NA平濟NB4M,則忸/|=|8N|,且/(2,2),所以4尸?=：卜-1,

4

y=-81,所以8

,解得

8'2

y=2x——

所以?8|=2+51+1=75m，所以所75以/=§75+1!=14:，故B錯誤;

ooo8X4

當P=4時拋物線C:r=4x,則尸(1,0),/(1,2),所以8(1,-2),

由y=24，則y=xT，所以川，產(chǎn)「2=],

所以拋物線在點A處的切線方程為"2=x-l,即x-y+l=0,故C正確；

若存在點尸(如九)，使得尸/_L尸8,則%?%=7,

k4_.+2_凡+2_4

.-ft,——"-IX.——、一

而尸n建1,.2、，IOPn8n1,.2,,-)

v%+2,v%_1穌-2,

=即訴-4=-16,即義=-12,顯然不符合題意，故D錯誤;

故選：AC

三、填空題

13.直線/：(l+4Z)x+(2-Z)j-7-Z=0(/leR)恒過的定點是

【正確答案】(1,3)

-1=0

【分析】依題意可得(4x-y-l”+(x+2y-7)=0,再令

-7=0

【詳解】解：直線/：(l+42)x+(2-2)^-7-2=0(2eR),

X=1

即(4x-y-l)2+(x+2y-7)=0,令

.y=3

所以直線/恒過定點（1,3）.

故（1,3）

2

14.已知數(shù)列｛?！埃耐椆綖?=會，數(shù)列｛”“｝的前〃項積為。，刀,取最大值時〃的值為

【正確答案】3或4

【分析】先求數(shù)列的單調(diào)性，然后每一項與1比大小，就可求解.

〃+1)~n2(〃+1)2-2〃22

【詳解】1+2/1-n

2"+12*'

當〃=1,〃=2時/+]_%>0；

當〃23時，%+i<°

艮<。2<%>。4>>>”

1925

又因為生=彳<1,%=1，%=1，%=77

Zo32

當"25時，知道2"＞〃2恒成立,所以0＜見＜1

225

即"25時】47；=?%?%?%=—

』1

而北=4=/

,1,1

Ti=4“2

199

=4=--1?—=—>=T.

3123281621

199

T4=a]a2a3-a4=-A-^=—=T3>T2=T]

1025225

=—?1:?—_?，1一=一<T=T>T=T

2832512321

故取得最大值時〃得值為3或4

故3或4

15.如圖：正四棱錐尸-ABC。中，若高為1,底面邊長為2,E為8c的中點，并建立如圖

所示的空間直角坐標系，若點M（x,y,O）到直線。C的距離等于到直線尸E的距離，則點"的

筑跡方程是

【分析】利用點到直線距離的向量求法可構(gòu)造方程，整理即可得到所求軌跡方程.

【詳解】尸(0,0,1),￡(0,1,0),c(-l,l,o),0(-1,-1,0),

；.CD=(O,-2,O),PE=(O,l,-l),PM=(x,y,-l),CM=(x+1,y-1,0),

點M到直線PE的距離4=，點收到直線。C的距離

/v

即〃+/+i1______』+1=V(x+曠?

V(0Jx2+y2+],整理

可得：(y-l)2=4x+2,

即點A/軌跡方程為.(y-17=4x+2

故答案為=4x+2

16.已知橢圓C：?+：=i的左、右焦點為6，F(xiàn)2,下頂點為8,過點工作直線"8垂線,

交橢圓C于P,。兩點，則V8PQ的周長是.

【正確答案】8

【分析】根據(jù)橢圓方程求出。、b、c,即可得到△月工8為等邊三角形，則P。為線段月8的

垂直平分線，所以怛P|=|耳尸|,|耳。=|。回，再根據(jù)橢圓的定義計算可得.

【詳解】解：橢圓C：—+^-=1,則。=2、b=扣、,=廬第=1，

43

所以E(-10),8(1,0),B(O,73),則閨閶=忸引=|%|=2

即為等邊三角形，所以尸。為線段的垂直平分線，

所以忸尸|=|耳尸\FtQ\=\QB\,

所以C版=忸尸|+|P0+忸0|=閨P|+1產(chǎn)用+內(nèi)。|+陽。|=公=8.

故8

四、解答題

17.直三棱柱Z8C-4AG中，AB1BC,ZB=8C=CG=2,點。為線段/C的中點，直

線8G與8c的交點為若點P在線段CG上運動，CP的長度為加.

(1)求點A到平面M4Q的距離;

⑵是否存在點P,使得直線9與平面網(wǎng)。所成角的正弦值駕？若存在，求出〃，的值,

若不存在，說明理由.

【正確答案】(1)血

11

17

(2)存在,m==-

【分析】(1)根據(jù)已知建立空間直角坐標系，求出平面加4。的法向量，再利用空間向量求

點到面的距離即可；

(2)設(shè)點尸(2,0,機)，利用空間向量列出線面角的正弦值式子另其等于士叵，解出，〃即可.

【詳解】（1）由題意可知：四邊形8CG4為矩形，則點〃為8c中點，

又直三棱柱N8C-44G中，ABJ.BC,

以8為坐標原點，BC，BA>88：為方y(tǒng),z軸正方形，建立如圖所示空間直角坐標系,

則"（1,0,1）,4（0,2,0）,4（0,2,2）,D（l,l,0）,

...初1=（0,0,2）,4M=（1,-2,-1）,0M=（0,-1,1）,

設(shè)平面加人。的法向量為；:（x,y,z）,

則可取”=（3,1,1）,

22vn

.?.點Z到平面M4Q的距離"=

V9+1+111

（2）假設(shè)存在點P使直線PD與面加4。所成角的正弦值為亞

記為sin，=，

33

1a^^小，則P（2,0,〃?），其中04542,

則尸0=（-1,1,-力）,

由第一問知；:（3,1,1）為平面加4。的一個法向量,

則sin?=cos

=型^即5x1lxj2+加2=33|m+彳,

宮菊.回3314

則5,2+機2=3何+2],

則25（2+叫=9（機+2）2,

17

解得加=彳或，"=:,

24

又0442,

故存在點尸使直線尸。與面W所成角的正弦值為駕，此時，機=；或機=(.

18.已知等差數(shù)列｛4｝前〃項和為S“，且￡=3$3,%,=2?！?3(NCN*);已知數(shù)列也“｝是

單調(diào)遞增的等比數(shù)列，且偽+“=28,打刈=27.

⑴求數(shù)列｛4｝、也｝的通項公式；

⑵若c?=a?b?,求數(shù)列的｛%｝前〃項和為T?.

【正確答案】⑴>=3〃+3,bn=3"-'

(2)7>竿x3—

【分析】(1)設(shè)等差數(shù)列｛/｝的公差為d,即可得到q=27,再由。2"=2q-3可得％-1=3,

求出％、d,即可求出通項公式，根據(jù)等比數(shù)列下標和性質(zhì)得到*"=也也=27,即可求

出4、4，從而求出公比4,即可得解；

(2)由(1)可得%=(〃+l)x3",利用錯位相減法求和即可.

【詳解】(1)解：設(shè)等差數(shù)列的公差為d,由邑=3$3，

所以=則4=如，

又。2,=2。0-3,所以a”+”d=2a“-3,所以%=加+3，又a“=%+(w-l)d，

所以q-4=3,所以匕所以。“=3〃+3,

因為%也=27,所以4e=々也=27,又4+4=28,

伉=1[b,=27,、[6,=1

解得%=27或%=]，又數(shù)列也｝是單調(diào)遞增的等比數(shù)列，所以]；=27，

所以/=/=27,則g=3,所以b“=3"T.

(2)解：由(1)可得C.=““6,,=(3〃+3)X3"T=(〃+1)X3",

所以7；=2x3i+3x3?+4x33+L+(”+1)x3",

所以37；=2x32+3x33+4x3"+L+(n+l)x3),+l,

所以-27；=2X3'+1X32+1X33++1x3"-("+1)x3"”

=3+3(：-；)_(“+l)x3""='|_("+撲3""'

所以1=竿x3"「孑

19.已知動點P在圓O：/+/=4上運動，PQ_Ly軸，垂足為。，以P為圓心，「。|為半

徑的圓尸和圓。相交于A、8兩點，弦與尸。相交點

(1)若點尸的坐標是(-1,石)，求|力用；

(2)求點M的軌跡方程.

【正確答案】(1)3

⑵》?+片=1

4

【分析】(1)直線/8就是兩個圓做差后所得的公共弦所在的直線方程，然后再求圓的弦即

可.

(2)設(shè)尸卜0,人)先求兩個圓公共弦弦所在的直線方程，求出點M的坐標用X。,為表示，又

因為點尸(與，九)在圓上，找到吃,外的關(guān)系式可求.

【詳解】(1)P1,⑹,..0(0,灼,

以P為圓心，歸。|為半徑的圓的方程為(x+iy+(y-J5『=1.

由兩個圓方程相減可得N8方程：x2+2x+l+/-273y+3-x2-/=l-4=-3,

所以2x-2傷+7=0,

則點。到.的距離為號|7|T"7

所以MM=2X=3.

j31V

(2)設(shè)點尸(%,%),.loe，為)，

所以方程為：y=%,

則以P為圓心，|尸。|為半徑的圓的方程為(x-x0)2+(y-%)2=x；,

222

所以48的方程為：x-2xnx+x^+y-2yay+y1-x-y'=x1-4,

所以-2XOX-2JV+4=X；-4,

即-2x°x-2y0y+4=-yl,

當V=穌時，~2x0x-2y：+4=-y；,

所以-2.%》=y；-4=-x：,

所以x=5,

所以點/的坐標為俘/J,

且看+"=4,

所以4x(J+乂；=4,

所以4/+/=4,

所以儲+片=],

4

所以點〃的軌跡為./+片=1

4

20.如圖，在四棱錐P-48co中，底面48C。為正方形，側(cè)面尸/。為等邊三角形且垂直于

底面NBC。，E,尸分別為PB,CO的中點.

(1)證明：PBLAF；

(2)設(shè)點M為線段EF上的一個動點(不包括端點)，求平面與平/尸8夾角余弦值的最

大值.

【正確答案】(1)證明見解析

⑵羋

4

【分析】(1)取的中點G,連接PG,過點G作GHHAB交8C于點H,即可得到PGLAD,

根據(jù)面面垂直的性質(zhì)得到PGL平面為8cD,建立空間直角坐標系，利用空間向量法計算可

得；

(2)設(shè)/即可表示出//，求出兩平面的法向量，即可得

cos?=

到兩平面夾角的余弦值最后根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)計算可得.

【詳解】(1)證明：取49的中點G,連接尸G,過點G作GH〃力8交8c于點/7,

因為PNO為等邊三角形，所以PG，/。，

又平面尸/。！.平面為8CD,平面P/Oc平面N8CD=4D,/^(^平面4。，

所以PGL平面Z8C。，又底面N8C。為正方形，所以GH1么D,

如圖建立空間直角坐標系，則尸(0,0,W),5(1,2,0),^(1,0,0),尸(一1,1,0),

所以前:(1,2,-石)，(-2,1,0),

所以P8ZF=0，所以P8J./F.

Z,

A

X

(2)解：由(1)可知E,C(-l,2,0),

T(

則AE=,/尸=(-2,1,0),NC=(-2,2,0),

-2黑爭2J

因為點也為線段EF上的一個動點(不包括端點)，設(shè)+(0<Z<l),

則=X,1,-^-+(1-丸)(一2,1,0)=-2-2,1,-^-2

tn-AC=-2a2b=0

設(shè)平面4MC的法向量為用=(a,6,c),則，XK(3、

7tn-AM=112-2L/+/>+-y2c=0

取。二百4,貝ij〃?=(百4,6丸,2—34),

加二(0,2,0),^(-1,0,73),設(shè)平面力尸8的法向量為；:(x,y,z),

不妨取"=(0,0,1),

設(shè)平面ZA/C與平/PB夾角為e,則

所以當2=1時(cos。)=巫，即平面/"C與平/尸8夾角余弦值的最大值為巫.

5'，max44

21.已知數(shù)列｛4"｝滿足q=1,%=4,且?！?2=6?！?|-甌,N)

(1)證明：數(shù)列｛。e-2%｝是等比數(shù)歹！|；

(2)記｛““｝的前〃項和為S.，若V〃eN,,均有s“+(T)而,求實數(shù)義的取值范

圍.

【正確答案】(1)證明見解析

⑵(-8，°)

【分析】(1)由已知遞推關(guān)系式可得a,+2-2a,M=4(a“M-2%),根據(jù)等比數(shù)列定義可證得結(jié)

論；

(2)由等比數(shù)列通項公式可求得〃向-2q,=2-4"T,整理可得。用-2"'=2@-22"-2),結(jié)

合4-2°=0可確定a,「221=0,得到““；利用等比數(shù)列求和公式可得S,，采用分離變量

法可求得2+1(等采用作差法可求得/(〃)=：，+(-《J單調(diào)遞增，由此可得

=7(I)=1，進而構(gòu)造不等關(guān)系求得結(jié)果.

【詳解】(1)由4+2=6a“1-8a“得：a?+2-2a?+1=4a?+1-8a?=4(a?tl-2a?),

又%-2q=2,.?.數(shù)列｛%+「2%｝是以2為首項，4為公比的等比數(shù)列.

n

(2)由(1)得：a?+1-2a?=2-4-',即j=2a“+2”=2a“+2?1,

，-—22"=2(““-22"-2),又《_2°=0,

數(shù)列｛氏-22--2)為常數(shù)列且4-22-2=0,即a,=22-2=4"T,

???S“=ET'-小阮=2"'，

/.1/〃\(一1)"+1

則由s“+1丫V>(4+1)37得：2+1-3(47)+3=4"+(-1)”

3人十I<2”_]-3.2f,~,

4"+(-1)"_

令