人教高中數(shù)學(xué)必修教案全集

新人教高中數(shù)學(xué)必修5教案全集

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數(shù)學(xué)必修5模塊的教學(xué)研究

教學(xué)實(shí)錄

高中數(shù)學(xué)課程的總目標(biāo)是：使學(xué)生在九年義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程的基礎(chǔ)上，進(jìn)一步提高作為

未來(lái)公民所必要的數(shù)學(xué)素養(yǎng)，以滿(mǎn)足個(gè)人發(fā)展與社會(huì)進(jìn)步的需要。具體目標(biāo)如下。

1.獲得必要的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識(shí)和基本技能，理解基本的數(shù)學(xué)概念、數(shù)學(xué)結(jié)論的本質(zhì)，了

解概念、結(jié)論等產(chǎn)生的背景、應(yīng)用，體會(huì)其中所蘊(yùn)涵的數(shù)學(xué)思想和方法，以及它們?cè)诤罄m(xù)學(xué)

習(xí)中的作用。通過(guò)不同形式的自主學(xué)習(xí)、探究活動(dòng)，體驗(yàn)數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)和創(chuàng)造的歷程。

2.提高空間想像、抽象概括、推理論證、運(yùn)算求解、數(shù)據(jù)處理等基本能力。

3.提高數(shù)學(xué)地提出、分析和解決問(wèn)題（包括簡(jiǎn)單的實(shí)際問(wèn)題）的能力，數(shù)學(xué)表達(dá)和交

流的能力，發(fā)展獨(dú)立獲取數(shù)學(xué)知識(shí)的能力。

4.發(fā)展數(shù)學(xué)應(yīng)用意識(shí)和創(chuàng)新意識(shí)，力求對(duì)現(xiàn)實(shí)世界中蘊(yùn)涵的一些數(shù)學(xué)模式進(jìn)行思考和

作出判斷。

5.提高學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣，樹(shù)立學(xué)好數(shù)學(xué)的信心，形成鍥而不舍的鉆研精神和科學(xué)態(tài)度。

6.具有?定的數(shù)學(xué)視野，逐步認(rèn)識(shí)數(shù)學(xué)的科學(xué)價(jià)值、應(yīng)用價(jià)值和文化價(jià)值，形成批判

性的思維習(xí)慣，崇尚數(shù)學(xué)的理性精神，體會(huì)數(shù)學(xué)的美學(xué)意義，從而進(jìn)?步樹(shù)立辯證唯物主義

和歷史唯物主義世界觀。

本冊(cè)教科書(shū)包括“解三角形”、“數(shù)列”、“不等式”等三章內(nèi)容。全書(shū)約需36課時(shí)，

具體課時(shí)分配如下：

第一章解三角形約8課時(shí)

第二章數(shù)列約12課時(shí)

第三章不等式約16課時(shí)

三角恒等變換在數(shù)學(xué)中有一定的應(yīng)用，同時(shí)有利于發(fā)展學(xué)生的推理能力和運(yùn)算能力。在

本模塊中，學(xué)生將運(yùn)用向量的方法推導(dǎo)基本的三角恒等變換公式，由此出發(fā)導(dǎo)出其他的三角

恒等變換公式，并能運(yùn)用這些公式進(jìn)行簡(jiǎn)單的恒等變換。

數(shù)列作為一種特殊的函數(shù)，是反映自然規(guī)律的基本的數(shù)學(xué)模型。在本模塊中，學(xué)生將通

過(guò)對(duì)日常生活中大量實(shí)際問(wèn)題的分析，建立等差數(shù)列和等比數(shù)列這兩種數(shù)列模型，探索并掌

握它們的一些基本數(shù)量關(guān)系，感受這兩種數(shù)列模型的廣泛應(yīng)用，并利用它們解決一些實(shí)際問(wèn)

題。

不等關(guān)系與相等關(guān)系都是客觀事物的基本數(shù)量關(guān)系，是數(shù)學(xué)研究的重要內(nèi)容。建立不等

觀念、處理不等關(guān)系與處理等量問(wèn)題是同樣重要的。在本模塊中，學(xué)生將通過(guò)具體情境，感

受在現(xiàn)實(shí)世界和日常生活中存在著大量的不等關(guān)系，理解不等式（組）對(duì)于刻畫(huà)不等關(guān)系的

意義和價(jià)值；掌握求解一元二次不等式的基本方法，并能解決一些實(shí)際問(wèn)題；能用二元一次

不等式組表示平面區(qū)域，并嘗試解決一些簡(jiǎn)單的二元線(xiàn)性規(guī)劃問(wèn)題：認(rèn)識(shí)基本不等式及其簡(jiǎn)

單應(yīng)用；體會(huì)不等式、方程及函數(shù)之間的聯(lián)系。

高中新課程已實(shí)施了一年。這不得讓我們感到機(jī)遇與挑戰(zhàn)同在，問(wèn)題與智慧共生。在高

中新課程的課堂上，我們欣喜地看到，豐富多彩的課堂正在出現(xiàn)，在民主寬松的課堂環(huán)境下,

學(xué)生的思想獲得了解放，敢于放言陳述自己的觀點(diǎn)，思維方式也得到了大大的拓展，各方面

的能力都有提高，教師經(jīng)常會(huì)有驚喜地發(fā)現(xiàn)。在這樣的課堂里，老師也經(jīng)常受到學(xué)生的啟發(fā),

真正體現(xiàn)了新課程使師生共同成長(zhǎng)。

但一個(gè)模塊的教學(xué)時(shí)間為36學(xué)時(shí)，遠(yuǎn)遠(yuǎn)不夠。原因何在？是教材本身的問(wèn)題，還是課

程標(biāo)準(zhǔn)的要求有問(wèn)題，或者是教師在使用教材方面的問(wèn)題？實(shí)施新課程以后，學(xué)生自己支配

的時(shí)間多了，有些學(xué)生不知道如何科學(xué)地利用時(shí)間。從前都有老師跟著，老師都為他們安排

好了，學(xué)什么？做什么？但現(xiàn)在，若老師不在身邊，有些學(xué)生就躁動(dòng)不安，不懂得如何自主

地學(xué)習(xí)了。新課程的實(shí)施必然帶來(lái)許多新問(wèn)題，作為教師，要經(jīng)常反思，及時(shí)找到新的對(duì)策。

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二.模塊試卷的命制目的及試卷分析。

［模塊試卷樣本］:

海口市一中2004-2005學(xué)年度第二學(xué)期

數(shù)學(xué)模塊5考試試題

(解三角形、數(shù)列)

一、選擇題

1.在4ABC中，角A、B、C成等差數(shù)列，則角B為()

(A)30°(B)60°(C)90°(D)120°

2.由。戶(hù)1,d=3確定的等差數(shù)列{}na,當(dāng)“。=298時(shí)，序號(hào)n等于()

(A)99(B)100(C)96(D)101

3.在等比數(shù)列{}"4,37a=2,1=32,則q=()

(A)2(B)-2(C)±2(D)4

4.在4ABC中,若

C2-a2+b2+ah,則NC=()

(A)60°(B)90°(C)150°(D)120°

5.在等差數(shù)列{}中，若

24568。+。+。+。+。=450,則28Q+Q的值等于(

)

(A)180(B)75(C)45(D)30

6.在等差數(shù)列{}?a中，已知12。+。=15,34。+。=35,則56。+。=()

(A)65(B)55(045(D)25

7.在4ABC中，若sinAcosB=cosAsinB,則4ABC為()

(A)直角三角形(B)等腰三角形

(C)等腰直角三角形(D)等腰三角形或直角三角形

8.在等比數(shù)列{}"G中，前三項(xiàng)分別為

T,q,q2,第二項(xiàng)加上2后構(gòu)成等差數(shù)列，則《=

()

(A)3(B)-1(C)3或一1(D)2

9.在各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列{}nb中，若78bb=3,則

3132IogZ?+logZ?+.....314+10gb等于()

(A)5(B)6(C)7(D)8

第二卷

一、選擇題

題號(hào)123456789101112

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答案

二、填空題

10.在4ABC中，。=32,8=23,

COS1

3

C—,貝UABCS=△

11.在等比數(shù)列{}?a中，11=2,34=8,則6S=

12.111

122334

+4-4-

XXX

……1

n(〃1)

+=

+

三、解答題

13.（10分）已知等差數(shù)列

111,91,71,

222

…的前n項(xiàng)和為“S,求使得“S最大的序號(hào)

n的值，并求的值。

14.（10分）已知數(shù)列{}na的前n項(xiàng)和為“S,1（1）

n3nS~Cl~（〃WN*）

⑴求12Q;

⑵求證：數(shù)列{}“0是等比數(shù)列。

15.（8分）如圖，某海輪以60nmile/h的速度航行，在A點(diǎn)測(cè)得海面上油井P在南偏東

60°,向北航行40min后到達(dá)B點(diǎn)，測(cè)得油井P在南偏東30°,海輪改為北偏東60°的

航向再行駛80min到達(dá)C點(diǎn)，求P、C間的距離。

［模塊考試情況分析］:

樣本容量為57（一個(gè)普通班學(xué)生）

選擇題各小題得分率如下：

題號(hào)123456789

得分率0.720.330.700.600.610.370.510.670.82

60°

30°

60°

A

B

C

P

北

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填空題、解答題滿(mǎn)分率如下：

題號(hào)101112131415

得分率0.590.400.580.440.570.29

綜合以上對(duì)考試的試卷分析，對(duì)本模塊及以后的教學(xué)有著以下兒點(diǎn)啟示：

1、要重視基礎(chǔ)。數(shù)學(xué)教學(xué)必須面向全體學(xué)生，立足基礎(chǔ)，教學(xué)過(guò)程中要落實(shí)基本概念

知識(shí)、基本技能和基本數(shù)學(xué)思想方法的要求，特別要關(guān)心數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)困難的學(xué)生，通過(guò)學(xué)習(xí)興

趣培養(yǎng)和學(xué)習(xí)方法指導(dǎo)，使他們達(dá)到學(xué)習(xí)的基本要求，努力提高合格率。

2、培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)表述能力，提高學(xué)生的計(jì)算能力。學(xué)生在答題中，由于書(shū)寫(xiě)表達(dá)的

不規(guī)范或是表述能力的欠缺，也是造成失分的原因。表述是一種重要的數(shù)學(xué)交流能力，因此,

教學(xué)中要重視訓(xùn)練，培養(yǎng)學(xué)生良好的數(shù)學(xué)表述能力。同時(shí)也要加強(qiáng)考前指導(dǎo)，學(xué)習(xí)中考說(shuō)明

中有關(guān)答題的要求，盡量減少由于表述不清造成的失分。

3、強(qiáng)化思維過(guò)程，努力提高理性思維能力。數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識(shí)的學(xué)習(xí)要充分重視知識(shí)的形

成過(guò)程，解數(shù)學(xué)題要著重研究解題的思維過(guò)程，弄清基本數(shù)學(xué)方法和基本數(shù)學(xué)思想在解題中

的意義和作用，研究運(yùn)用不同的思維方法解決同一個(gè)數(shù)學(xué)問(wèn)題的多條途徑，注意增減直覺(jué)猜

想，歸納抽象，邏輯推理，演繹證明，運(yùn)算求解等理性思維能力。如果這方面做得好的話(huà)。

4、倡導(dǎo)主動(dòng)學(xué)習(xí)，營(yíng)造自主探索和合作交流的環(huán)境。學(xué)校和教師要為學(xué)生營(yíng)造自主探索和

合作交流的空間，善于從教材實(shí)際和社會(huì)生活中提出問(wèn)題，開(kāi)設(shè)研究性課程，讓學(xué)生自主學(xué)

習(xí)、討論、交流，在解決問(wèn)題的過(guò)程中，激發(fā)興趣，樹(shù)立信心，培養(yǎng)鉆研精神，同時(shí)提高數(shù)

學(xué)表達(dá)能力和數(shù)學(xué)交流能力。

三.模塊教學(xué)反思。

(1)數(shù)學(xué)必修5的內(nèi)容共有三章，分別是：解三角形，數(shù)列，不等式；內(nèi)容較多，在

課改之前應(yīng)該是高二上學(xué)期的內(nèi)容，并且每周至少是6課時(shí)；現(xiàn)在實(shí)行課改后5周就上完課

本的三分之二，每周是5課時(shí)；由于課時(shí)緊，任務(wù)大，我感覺(jué)學(xué)生學(xué)得不夠好，大多數(shù)學(xué)生

反映“消化不良”。數(shù)學(xué)必修5結(jié)束一半時(shí)進(jìn)行了一次期末考試，結(jié)果也與我們預(yù)期的有較

大的出入；課本上原題(含例題、課后練習(xí)、習(xí)題A組與復(fù)習(xí)題的A組)占了整個(gè)試題的

55%,結(jié)果有超過(guò)一半的學(xué)生不及格，原因在哪里呢？我想這應(yīng)該是我在下一個(gè)學(xué)段急需解

決的主要問(wèn)題；在上課時(shí)我也是一直是按新課程的理念貫穿整個(gè)教學(xué)的始終，也是處處體現(xiàn)

為了每一個(gè)學(xué)生的發(fā)展的理念，可為什么最后的結(jié)果會(huì)有如此大的反差呢？針對(duì)這樣的情

況，我該怎么辦，這也是我在今后所要解決的一個(gè)突出的問(wèn)題。

另我感到欣慰的是：有相當(dāng)一部分學(xué)生懂得如何去學(xué)習(xí)，如何去鉆研、如何帶著質(zhì)疑的

態(tài)度去仔細(xì)斟酌；正是有了這種勤學(xué)好問(wèn)的精神，所以學(xué)生自己發(fā)現(xiàn)了書(shū)本的好幾處錯(cuò)誤：

如：教材61頁(yè)最上面的、教材135頁(yè)例題3解答中也有一處、教材140頁(yè)A組第三題、教

材146頁(yè)B組第二題等等。

我想這主要應(yīng)該是學(xué)生的學(xué)習(xí)方式發(fā)生了巨大的變化才有這樣的結(jié)果，在課堂上學(xué)生不

再是聽(tīng)課的機(jī)器，而是積極參與到課堂教學(xué)當(dāng)中，成了課堂真正的主人。在課堂上我讓學(xué)生

自己發(fā)現(xiàn)問(wèn)題，提出問(wèn)題，然后解決問(wèn)題。自己解決不了問(wèn)題在學(xué)習(xí)小組之內(nèi)討論解決，在

小組還解決不了的問(wèn)題在全班共同討論解決，直至問(wèn)題得到完滿(mǎn)的解決。這樣學(xué)生在無(wú)形之

中就變成了學(xué)習(xí)的主人，成了學(xué)習(xí)的主角；因?yàn)槭亲约喊l(fā)現(xiàn)的問(wèn)題，自己來(lái)嘗試解決，因而

學(xué)生的積極性也就很高，學(xué)習(xí)熱情就很飽滿(mǎn)。當(dāng)然在學(xué)生最需要幫助的時(shí)候，我便與學(xué)生一

起探討，關(guān)鍵的時(shí)候給予必要的指點(diǎn)和表?yè)P(yáng)，以保持學(xué)生學(xué)習(xí)熱情的持續(xù)性。

我的教學(xué)方式：在教數(shù)學(xué)必修5的內(nèi)容時(shí)我基本上是讓學(xué)生自己先預(yù)習(xí)后提出問(wèn)題，其

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他同學(xué)一起幫助解決問(wèn)題，我僅僅是在課堂上控制一下課堂節(jié)奏；引導(dǎo)學(xué)生如何傾聽(tīng)他人的

觀點(diǎn)；在學(xué)生感到非常困難是加以分析、引導(dǎo)；指導(dǎo)他們?nèi)绾芜M(jìn)行合作學(xué)習(xí)；思考如何讓學(xué)

生都“動(dòng)”起來(lái)等等。

(2)“內(nèi)容多，課時(shí)少”是學(xué)生反映最強(qiáng)烈的問(wèn)題.調(diào)查發(fā)現(xiàn)，78%的學(xué)生認(rèn)為老師講課

速度快，學(xué)習(xí)跟不上，沒(méi)有時(shí)間理解和消化所學(xué)習(xí)的內(nèi)容.因而有必要適當(dāng)調(diào)整部分教學(xué)內(nèi)

容，如在高一第一學(xué)期開(kāi)設(shè)的數(shù)學(xué)課程不宜過(guò)多，可以考慮只開(kāi)一個(gè)模塊，讓學(xué)生對(duì)高中的

數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)有一個(gè)適應(yīng)的過(guò)程，以實(shí)現(xiàn)初高中的平穩(wěn)過(guò)渡.同時(shí)，對(duì)現(xiàn)有的部分內(nèi)容，該充實(shí)

的還是要充實(shí)，讓教材內(nèi)容更具體，學(xué)生學(xué)習(xí)起來(lái)更方便.例如，關(guān)于信息技術(shù)的應(yīng)用，學(xué)

生普遍要求教材能對(duì)具體操作步驟更細(xì)致些，老師不僅對(duì)有關(guān)軟件作演示，還應(yīng)教會(huì)學(xué)生操

作的方法，正所謂“授之以魚(yú)不如授之以漁”.又如，某些公式、定理的證明、推導(dǎo)，雖然

課程標(biāo)準(zhǔn)中不要求學(xué)生掌握，但教材中還是可以以某種恰當(dāng)?shù)男问浇o出(如小字的形式，以

某個(gè)問(wèn)題啟發(fā)學(xué)生思考，介紹某些參考書(shū)或某些網(wǎng)站讓學(xué)生自己去查閱等).學(xué)生對(duì)某知識(shí)

了解其來(lái)龍去脈，理解、記憶會(huì)更深刻，從而對(duì)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)產(chǎn)生更大的興趣.

數(shù)學(xué)5第一章解三角形

章節(jié)總體設(shè)計(jì)

(-)課標(biāo)要求

本章的中心內(nèi)容是如何解三角形，正弦定理和余弦定理是解三角形的工具，最后落實(shí)

在解三角形的應(yīng)用上。通過(guò)本章學(xué)習(xí)，學(xué)生應(yīng)當(dāng)達(dá)到以下學(xué)習(xí)目標(biāo)：

(1)通過(guò)對(duì)任意三角形邊長(zhǎng)和角度關(guān)系的探索，掌握正弦定理、余弦定理，并能解決

一些簡(jiǎn)單的三角形度量問(wèn)題。

(2)能夠熟練運(yùn)用正弦定理、余弦定理等知識(shí)和方法解決一些與測(cè)量和幾何計(jì)算有關(guān)

的生活實(shí)際問(wèn)題。

(-)編寫(xiě)意圖與特色

1.數(shù)學(xué)思想方法的重要性

數(shù)學(xué)思想方法的教學(xué)是中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中的重要組成部分，有利于學(xué)生加深數(shù)學(xué)知識(shí)的理

解和掌握。

本章重視與內(nèi)容密切相關(guān)的數(shù)學(xué)思想方法的教學(xué)，并且在提出問(wèn)題、思考解決問(wèn)題的策

略等方面對(duì)學(xué)生進(jìn)行具體示范、引導(dǎo)。本章的兩個(gè)主要數(shù)學(xué)結(jié)論是正弦定理和余弦定理，它

們都是關(guān)于三角形的邊角關(guān)系的結(jié)論。在初中，學(xué)生已經(jīng)學(xué)習(xí)了相關(guān)邊角關(guān)系的定性的知識(shí)，

就是“在任意三角形中有大邊對(duì)大角，小邊對(duì)小角”，“如果已知兩個(gè)三角形的兩條對(duì)應(yīng)邊

及

其所夾的角相等，那么這兩個(gè)三角形全”等。

教科書(shū)在引入正弦定理內(nèi)容時(shí)，讓學(xué)生從已有的幾何知識(shí)出發(fā)，提出探究性問(wèn)題：”在

任意三角形中有大邊對(duì)大角，小邊對(duì)小角的邊角關(guān)系.我們是否能得到這個(gè)邊、角的關(guān)系準(zhǔn)

確量化的表示呢？"，在引入余弦定理內(nèi)容時(shí)，提出探究性問(wèn)題”如果已知三角形的兩條邊及

其所夾的角，根據(jù)三角形全等的判定方法，這個(gè)三角形是大小、形狀完全確定的三角形.我們

仍然從量化的角度來(lái)研究這個(gè)問(wèn)題，也就是研究如何從已知的兩邊和它們的夾角計(jì)算出三角

形的另一邊和兩個(gè)角的問(wèn)題。”設(shè)置這些問(wèn)題，都是為了加強(qiáng)數(shù)學(xué)思想方法的教學(xué)。

2.注意加強(qiáng)前后知識(shí)的聯(lián)系

加強(qiáng)與前后各章教學(xué)內(nèi)容的聯(lián)系，注意復(fù)習(xí)和應(yīng)用己學(xué)內(nèi)容，并為后續(xù)章節(jié)教學(xué)內(nèi)容做

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好準(zhǔn)備，能使整套教科書(shū)成為個(gè)有機(jī)整體，提高教學(xué)效益，并有利于學(xué)生對(duì)于數(shù)學(xué)知識(shí)的

學(xué)習(xí)和鞏固。

本章內(nèi)容處理三角形中的邊角關(guān)系，與初中學(xué)習(xí)的三角形的邊號(hào)角的基本關(guān)系，已知三

角形的邊和角相等判定三角形全等的知識(shí)有著密切聯(lián)系。教科書(shū)在引入正弦定理內(nèi)容時(shí)，讓

學(xué)生從已有的幾何知識(shí)出發(fā)，提出探究性問(wèn)題“在任意三角形中有大邊對(duì)大角，小邊對(duì)小角

的邊角關(guān)系.我們是否能得到這個(gè)邊、角的關(guān)系準(zhǔn)確量化的表示呢？"，在引入余弦定理內(nèi)容

時(shí)，提出探究性問(wèn)題“如果已知三角形的兩條邊及其所夾的角，根據(jù)三角形全等的判定方法,

這個(gè)三角形是大小、形狀完全確定的三角形.我們?nèi)匀粡牧炕慕嵌葋?lái)研究這個(gè)問(wèn)題，也就

是研究如何從已知的兩邊和它們的夾角計(jì)算出三角形的另一邊和兩個(gè)角的問(wèn)題?！边@樣，從

聯(lián)系的觀點(diǎn)，從新的角度看過(guò)去的問(wèn)題，使學(xué)生對(duì)于過(guò)去的知識(shí)有了新的認(rèn)識(shí)，同時(shí)使新知

識(shí)建立在已有知識(shí)的堅(jiān)實(shí)基礎(chǔ)上，形成良好的知識(shí)結(jié)構(gòu)。

《課程標(biāo)準(zhǔn)》和教科書(shū)把“解三角形”這部分內(nèi)容安排在數(shù)學(xué)五的第?部分內(nèi)容，位置

相對(duì)靠后，在此內(nèi)容之前學(xué)生已經(jīng)學(xué)習(xí)了三角函數(shù)、平面向量、直線(xiàn)和圓的方程等與木章知

識(shí)聯(lián)系密切的內(nèi)容，這使這部分內(nèi)容的處理有了比較多的工具，某些內(nèi)容可以處理得更加簡(jiǎn)

潔。比如對(duì)于余弦定理的證明，常用的方法是借助于三角的方法，需要對(duì)于三角形進(jìn)行討論，

方法不夠簡(jiǎn)潔，教科書(shū)則用了向量的方法，發(fā)揮了向量方法在解決問(wèn)題中的威力。

在證明了余弦定理及其推論以后，教科書(shū)從余弦定理與勾股定理的比較中，提出了一個(gè)

思考問(wèn)題“勾股定理指出了直角三角形中三邊平方之間的關(guān)系，余弦定理則指出了一般三角

形中三邊平方之間的關(guān)系，如何看這兩個(gè)定理之間的關(guān)系？"，并進(jìn)而指出，“從余弦定理

以

及余弦函數(shù)的性質(zhì)可知，如果一個(gè)三角形兩邊的平方和等于第三邊的平方，那么第三邊所對(duì)

的角是直角；如果小于第三邊的平方，那么第三邊所對(duì)的角是鈍角；如果大于第三邊的平方,

那么第三邊所對(duì)的角是銳角.從上可知，余弦定理是勾股定理的推廣.”

3.重視加強(qiáng)意識(shí)和數(shù)學(xué)實(shí)踐能力

學(xué)數(shù)學(xué)的最終目的是應(yīng)用數(shù)學(xué)，而如今比較突出的兩個(gè)問(wèn)題是，學(xué)生應(yīng)用數(shù)學(xué)的意識(shí)不

強(qiáng)，創(chuàng)造能力較弱。學(xué)生往往不能把實(shí)際問(wèn)題抽象成數(shù)學(xué)問(wèn)題，不能把所學(xué)的數(shù)學(xué)知識(shí)應(yīng)用

到實(shí)際問(wèn)題中去，對(duì)所學(xué)數(shù)學(xué)知識(shí)的實(shí)際背景了解不多，雖然學(xué)生機(jī)械地模仿一些常見(jiàn)數(shù)學(xué)

問(wèn)題解法的能力較強(qiáng)，但當(dāng)面臨一種新的問(wèn)題時(shí)卻辦法不多，對(duì)于諸如觀察、分析、歸納、

類(lèi)比、抽象、概括、猜想等發(fā)現(xiàn)問(wèn)題、解決問(wèn)題的科學(xué)思維方法了解不夠。針對(duì)這些實(shí)際情

況，本章重視從實(shí)際問(wèn)題出發(fā)，引入數(shù)學(xué)課題，最后把數(shù)學(xué)知識(shí)應(yīng)用于實(shí)際問(wèn)題。

（三）教學(xué)內(nèi)容及課時(shí)安排建議

1.1正弦定理和余弦定理（約3課時(shí)）

1.2應(yīng)用舉例（約4課時(shí)）

1.3實(shí)習(xí)作業(yè)（約1課時(shí)）

（四）評(píng)價(jià)建議

1.要在本章的教學(xué)中，應(yīng)該根據(jù)教學(xué)實(shí)際，啟發(fā)學(xué)生不斷提出問(wèn)題，研究問(wèn)題。在對(duì)

于正弦定理和余弦定理的證明的探究過(guò)程中，應(yīng)該因勢(shì)利導(dǎo)，根據(jù)具體教學(xué)過(guò)程中學(xué)生思考

問(wèn)題的方向來(lái)啟發(fā)學(xué)生得到自己對(duì)于定理的證明。如對(duì)于正弦定理，可以啟發(fā)得到有應(yīng)用向

量方法的證明，對(duì)于余弦定理則可以啟發(fā)得到三角方法和解析的方法。在應(yīng)用兩個(gè)定理解決

新人教高中數(shù)學(xué)必修5教案全集

第7頁(yè)共63頁(yè)

有關(guān)的解三角形和測(cè)量問(wèn)題的過(guò)程中，一個(gè)問(wèn)題也常常有多種不同的解決方案，應(yīng)該鼓勵(lì)學(xué)

生提出自己的解決辦法，并對(duì)于不同的方法進(jìn)行必要的分析和比較。對(duì)于一些常見(jiàn)的測(cè)量問(wèn)

題甚至可以鼓勵(lì)學(xué)生設(shè)計(jì)應(yīng)用的程序，得到在實(shí)際中可以直接應(yīng)用的算法。

2.適當(dāng)安排一些實(shí)習(xí)作業(yè)，目的是讓學(xué)生進(jìn)一步鞏固所學(xué)的知識(shí)，提高學(xué)生分析問(wèn)題

的解決實(shí)際問(wèn)題的能力、動(dòng)手操作的能力以及用數(shù)學(xué)語(yǔ)言表達(dá)實(shí)習(xí)過(guò)程和實(shí)習(xí)結(jié)果能力，增

強(qiáng)學(xué)生應(yīng)用數(shù)學(xué)的意識(shí)和數(shù)學(xué)實(shí)踐能力。教師要注意對(duì)于學(xué)生實(shí)習(xí)作業(yè)的指導(dǎo)，包括對(duì)于實(shí)

際測(cè)量問(wèn)題的選擇，及時(shí)糾正實(shí)際操作中的錯(cuò)誤，解決測(cè)量中出現(xiàn)的一些問(wèn)題。

1.1.1正弦定理

（-）教學(xué)目標(biāo)

1.知識(shí)與技能:通過(guò)對(duì)任意三角形邊長(zhǎng)和角度關(guān)系的探索，掌握正弦定理的內(nèi)容及其證明方

法；會(huì)運(yùn)用正弦定理與三角形內(nèi)角和定理解斜三角形的兩類(lèi)基本問(wèn)題。

2.過(guò)程與方法:讓學(xué)生從已有的幾何知識(shí)出發(fā),共同探究在任意三角形中，邊與其對(duì)角的關(guān)

系，引導(dǎo)學(xué)生通過(guò)觀察，推導(dǎo)，比較，由特殊到一般歸納出正弦定理，并進(jìn)行定理基本應(yīng)用

的實(shí)踐操作。

3.情態(tài)與價(jià)值：培養(yǎng)學(xué)生在方程思想指導(dǎo)下處理解三角形問(wèn)題的運(yùn)算能力；培養(yǎng)學(xué)生合情

推理探索數(shù)學(xué)規(guī)律的數(shù)學(xué)思思想能力，通過(guò)三角形函數(shù)、正弦定理、向量的數(shù)量積等知識(shí)間

的聯(lián)系來(lái)體現(xiàn)事物之間的普遍聯(lián)系與辯證統(tǒng)一。

（二）教學(xué)重、難點(diǎn)

重點(diǎn)：正弦定理的探索和證明及其基本應(yīng)用。

難點(diǎn)：已知兩邊和其中一邊的對(duì)角解三角形時(shí)判斷解的個(gè)數(shù)。

（三）學(xué)法與教學(xué)用具

學(xué)法：引導(dǎo)學(xué)生首先從直角三角形中揭示邊角關(guān)系：

sinsinsin

abc

ABC

==，接著就一般斜

三角形進(jìn)行探索，發(fā)現(xiàn)也有這一關(guān)系；分別利用傳統(tǒng)證法和向量證法對(duì)正弦定理進(jìn)行推導(dǎo)，

讓學(xué)生發(fā)現(xiàn)向量知識(shí)的簡(jiǎn)捷，新穎。

教學(xué)用具：直尺、投影儀、計(jì)算器

（四）教學(xué)設(shè)想

［創(chuàng)設(shè)情景］

如圖1.1-1,固定AABC的邊CB及NB,使邊AC繞著頂點(diǎn)C轉(zhuǎn)動(dòng)。A

思考：ZC的大小與它的對(duì)邊AB的長(zhǎng)度之間有怎樣的數(shù)量關(guān)系？

顯然，邊AB的長(zhǎng)度隨著其對(duì)角/C的大小的增大而增大。能否

用一個(gè)等式把這種關(guān)系精確地表示出來(lái)？CB

［探索研究］（圖L1-1）

在初中，我們已學(xué)過(guò)如何解直角三角形，下面就首先來(lái)探討直角三角形中，角與邊的等

式關(guān)系。如圖1.卜2,在RtAABC中，設(shè)BC=a,AC=b,AB=c,根據(jù)銳角三角函數(shù)中正弦函數(shù)

的定義，有sin

a

A

c

=,sin

b

B

c

=，又sin1

c

C

c

==,A

則

sinsinsin

abc

c

ABC

===bc

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第8頁(yè)共63頁(yè)

從而在直角三角形ABC中，

sinsinsin

abc

ABC

二二CaB

(Si.1-2)

思考：那么對(duì)于任意的三角形，以上關(guān)系式是否仍然成立？

(由學(xué)生討論、分析)

可分為銳角三角形和鈍角三角形兩種情況：

如圖1.1-3,當(dāng)AABC是銳角三角形時(shí)，設(shè)邊AB上的高是CD,根據(jù)任意角三角函數(shù)的

定義,有CD二asinB=bsinA,則

sinsin

ab

AB

=,C

同理可得

sinsin

cb

CB

=,ba

從而

sinsin

ab

AB

sin

c

C

AcB

（圖L-3）

思考：是否可以用其它方法證明這一等式？由于涉及邊長(zhǎng)問(wèn)題，從而可以考慮用向量來(lái)研究

這個(gè)問(wèn)題。

（證法二）：過(guò)點(diǎn)A作j1AC

,C

由向量的加法可得AB=AC+CB

則jAB=j（AC+CB）

AB

???j-AB=jAC+jCB

j

cos（9Oo-）=0+cos（9Oo-）

jABAjCBC

.?.csinA=osinC,即sinsin

a-c

AC

同理，過(guò)點(diǎn)C作，

JBC,可得sinsin

b=c

BC

從而

sinsin

ab

AB

sin

c

C

類(lèi)似可推出，當(dāng)AABC是鈍角三角形時(shí)，以上關(guān)系式仍然成立。（由學(xué)生課后自己推導(dǎo)）

從上面的研探過(guò)程，可得以下定理

正弦定理：在一個(gè)三角形中，各邊和它所對(duì)角的正弦的比相等，即

sinsin

ab

AB

sin

c

C

［理解定理］

(1)正弦定理說(shuō)明同一三角形中，邊與其對(duì)角的正弦成正比，且比例系數(shù)為同一正數(shù)，即

存在正數(shù)k使a=ksinA,b=ksinB,c=ksinC；

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第9頁(yè)共63頁(yè)

(2)

sinsin

ab

AB

sin

c

C

=等價(jià)于

sinsin

ab

AB

sinsin

cb

CB

sin

a

A

sin

c

C

從而知正弦定理的基本作用為：

①已知三角形的任意兩角及其一邊可以求其他邊，如

sin

sin

bA

a

B

=.

②已知三角形的任意兩邊與其中一邊的對(duì)角可以求其他角的正弦值，如sinsin

a

AB

b

-o

i般地，已知三角形的某些邊和角，求其他的邊和角的過(guò)程叫作解三角形。

［例題分析］

例1.在AABC中，已知A=32.Oo,8=81.8。，a=42.9cm,解三角形。

解：根據(jù)三角形內(nèi)角和定理，

C=18Oo-(A+B)

=18O(r~(32.Oo+81.80)

=66.2o；

根據(jù)正弦定理，

o

0

ssinin42s.i9ns3in28.01.880.1()

b=aAB=之cm；

根據(jù)正弦定理，

o

o

ssiinn42s.9ins3in26.06.274.1().

c-aAC-xcm

評(píng)述：對(duì)于解三角形中的復(fù)雜運(yùn)算可.使用計(jì)算器。

例2.在AABC中，已知所20cm,爐28cm,A=4Oo,解三角形(角度精確到1。，邊

長(zhǎng)精確到1cm)。

解：根據(jù)正弦定理，

sinsin28s2inO4OoO.8999.B=haA^。

因?yàn)镺oVB<18Oo,所以於64o,或小U6o.

⑴當(dāng)於64o時(shí)，

0180。—(A+BA18OL(4OO+64O)=76O,

o

0

ssiinn2s0isnin407630().

c=aAC=-cm

⑵當(dāng)*416o時(shí),

C=18Oo-(A+B>18Oo-(4Oo+l16o)=24o,

o

0

ssiinn2s0isnin402413().

c-aAC=^cm

評(píng)述：應(yīng)注意已知兩邊和其中一邊的對(duì)角解三角形時(shí)，可能有兩解的情形。

［隨堂練習(xí)］第5頁(yè)練習(xí)第1(1)、2(1)題。

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第10頁(yè)共63頁(yè)

例3.已知AABC中，NA=60o,a=3,求

sinsinsin

abc

ABC

++

++

分析：可通過(guò)設(shè)一參數(shù)k(k>0)使

sinsin

ab

AB

sin

c

k

C

證明出

sinsin

ab

AB

sin

c

C

sinsinsin

abc

ABC

++

++

解：設(shè)

sinsin

ab

AB

=(>o)

sin

c

kk

C

貝有a=ksinA,b=ksinB,c=ksinC

從而

sinsinsin

abc

ABC

+4-

+4-

sinsinsin

sinsinsin

kAkBkC

ABC

++

+

k

又

sin

a

A

=o

3

2

sin60

==k,所以

sinsinsin

abc

ABC

++

++

=2

評(píng)述：在AABC中，等式

sinsin

ab

AB

sin

c

C

==(o)

sinsinsin

abc

kk

ABC

++=〉

++

恒成立。

［補(bǔ)充練習(xí)］已知AABC中,sinA:sinB:sinC=1:2:3,求a:b:c

(答案：1：2：3)

［課堂小結(jié)］(由學(xué)生歸納總結(jié))

(1)定理的表示形式：

sinsin

ab

AB

sin

c

C

==(o)

sinsinsin

abc

kk

ABC

++=>

++

或a=ksinA,b=ksinB,c=ksinC(k>0)

(2)正弦定理的應(yīng)用范圍：

①已知兩角和任一邊，求其它兩邊及一角；

②已知兩邊和其中一邊對(duì)角，求另一邊的對(duì)角。

(五)評(píng)價(jià)設(shè)計(jì)

①課后思考題：(見(jiàn)例3)在AABC中，

sinsin

ab

AB

=(>o)

sin

c

kk

C

==,這個(gè)k與AABC有

什么關(guān)系？

②課時(shí)作業(yè)：第10頁(yè)［習(xí)題1.1］A組第1(1)、2(1)題。

1.1.2余弦定理

（一）教學(xué)目標(biāo)

1.知識(shí)與技能:掌握余弦定理的兩種表示形式及證明余弦定理的向量方法，并會(huì)運(yùn)用余弦定

理解決兩類(lèi)基本的解三角形問(wèn)題。

2.過(guò)程與方法:利用向量的數(shù)量積推出余弦定理及其推論，并通過(guò)實(shí)踐演算掌握運(yùn)用余弦定

理解決兩類(lèi)基本的解三角形問(wèn)題，

3.情態(tài)與價(jià)值：培養(yǎng)學(xué)生在方程思想指導(dǎo)下處理解三角形問(wèn)題的運(yùn)算能力；通過(guò)三角函數(shù)、

余弦定理、向量的數(shù)量積等知識(shí)間的關(guān)系，來(lái)理解事物之間的普遍聯(lián)系與辯證統(tǒng)一。

（二）教學(xué)重、難點(diǎn)

重點(diǎn)：余弦定理的發(fā)現(xiàn)和證明過(guò)程及其基本應(yīng)用；

難點(diǎn)：勾股定理在余弦定理的發(fā)現(xiàn)和證明過(guò)程中的作用。

（三）學(xué)法與教學(xué)用具

學(xué)法：首先研究把已知兩邊及其夾角判定三角形全等的方法進(jìn)行量化，也就是研究如何從已

知的兩邊和它們的夾角計(jì)算出三角形的另一邊和兩個(gè)角的問(wèn)題，利用向量的數(shù)量積比較容易

新人教高中數(shù)學(xué)必修5教案全集

第11頁(yè)共63頁(yè)

地證明了余弦定理。從而利用余弦定理的第二種形式由已知三角形的三邊確定三角形的角

教學(xué)用具：直尺、投影儀、計(jì)算器

（四）教學(xué)設(shè)想

［創(chuàng)設(shè)情景］C

如圖1.1-4,在AABC中，設(shè)BC=a,AC=b,AB=c,

已知a,b和NC,求邊cba

AcB

（Kl.1-4）

［探索研究］

聯(lián)系已經(jīng)學(xué)過(guò)的知識(shí)和方法，可用什么途徑來(lái)解決這個(gè)問(wèn)題？

用正弦定理試求，發(fā)現(xiàn)因A、B均未知，所以較難求邊c。

由于涉及邊長(zhǎng)問(wèn)題，從而可以考慮用向量來(lái)研究這個(gè)問(wèn)題。A

如圖1.1-5,設(shè)CB=a

,CA=b

,AB=c

,那么c=a-b

,貝ijb

c

()()2

22

2

2

cccabab

aabbab

abab

二.十.—.

=+—?

Ca

B

從而222c=a+b-2abcosC（圖1.1-5）

同理可證222a=b+c-2bccosA

222b=a+c-2accosB

于是得到以下定理

余弦定理：三角形中任何?邊的平方等于其他兩邊的平方的和減去這兩邊與它們的夾角

的余弦的積的兩倍。即222a=b+c-2bccosA

222b=a+c-2accosB

222c=a+b-2abcosC

思考：這個(gè)式子中有兒個(gè)量？從方程的角度看已知其中三個(gè)量，可以求出第四個(gè)量，能否由

三邊求出一角？

（由學(xué)生推出）從余弦定理，又可得到以下推論：

222

cos2

A=h+cbc-a

222

cos2

B-a+cac-b

222

cos2

C-b+aba-c

［理解定理］

從而知余弦定理及其推論的基本作用為：

①已知三角形的任意兩邊及它們的夾角就可以求出第三邊；

②已知三角形的三條邊就可以求出其它角。

思考：勾股定理指出了直角三角形中三邊平方之間的關(guān)系，余弦定理則指出了一般三角

新人教高中數(shù)學(xué)必修5教案全集

第12頁(yè)共63頁(yè)

形中三邊平方之間的關(guān)系，如何看這兩個(gè)定理之間的關(guān)系？

(由學(xué)生總結(jié))若AABC中,C=90?,則cosC=0,這時(shí)C2=G+岳

由此可知余弦定理是勾股定理的推廣，勾股定理是余弦定理的特例。

［例題分析］

例1.在AABC中，已知。=23,c=6+2,8=60。，求b及A

⑴解：Vb2=a2+c2~2accosB

=(23)2+(6+2)2-2-23(6+2)cos450

=12+(6+2)2-43(3+1)

=8

b=22.

求y1可以利用余弦定理，也可以利用正弦定理：

⑵解法一：Vcos

2222Q2)222(26(26)22()23)212,

=+—=++—=

XX+

Abcbca

???A=6Oo.

解法二:Vsinsin23sin45o,

22

A-baB-

又???6+2>2.4+1.4=3.8,

23<2XI.8=3.6,

：.a<cf即Oo<AV9Oo,

??A=6Oo.

評(píng)述：解法二應(yīng)注意確定A的取值范圍。

例2.在AABC中，已知所134.6cm,"87.8cm,c=161.7cm,解三角形

(見(jiàn)課本第8頁(yè)例4,可由學(xué)生通過(guò)閱讀進(jìn)行理解)

解：由余弦定理的推論得:

cos

222

2

A-b+cbLa

87.82161.72134.62

287.8161.7

二十一

XX

-0.5543,

A-56o2Oz；

cos

222

2

B=c^aca-b

134.62161.7287.82

2134.6161.7

=+-

XX

-0.8398,

取32o53'；

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第13頁(yè)共63頁(yè)

C=180o-(A+B)=180(^(56(>20/+32o53')

=9Oo47z.

［隨堂練習(xí)］第8頁(yè)練習(xí)第1(1)、2(1)題。

［補(bǔ)充練習(xí)］在△ABC中，若222a=b+c+bc,求角A(答案：A=1200)

［課堂小結(jié)］

(1)余弦定理是任何三角形邊角之間存在的共同規(guī)律，勾股定理是余弦定理的特例；

(2)余弦定理的應(yīng)用范圍：①.已知三邊求三角；②.已知兩邊及它們的夾角，求第三邊。

(五)評(píng)價(jià)設(shè)計(jì)

①課后閱讀：課本第9頁(yè)［探究與發(fā)現(xiàn)］

②課時(shí)作業(yè)：第11頁(yè)［習(xí)題1.1］A組第3(1),4(1)題。

1.1.3解三角形的進(jìn)一步討論

(-)教學(xué)目標(biāo)

1.知識(shí)與技能:掌握在已知三角形的兩邊及其中一邊的對(duì)角解三角形時(shí)，有兩解或一解或無(wú)

解等情形；三角形各種類(lèi)型的判定方法；三角形面積定理的應(yīng)用。

2.過(guò)程與方法:通過(guò)引導(dǎo)學(xué)生分析，解答三個(gè)典型例子，使學(xué)生學(xué)會(huì)綜合運(yùn)用正、余弦定理,

三角函數(shù)公式及三角形有關(guān)性質(zhì)求解三角形問(wèn)題。

3.情態(tài)與價(jià)值：通過(guò)正、余弦定理，在解三角形問(wèn)題時(shí)溝通了三角形的有關(guān)性質(zhì)和三角函數(shù)

的關(guān)系，反映了事物之間的必然聯(lián)系及一定條件下相互轉(zhuǎn)化的可能，從而從本質(zhì)上反映了事

物之間的內(nèi)在聯(lián)系。

（-）教學(xué)重、難點(diǎn)

重點(diǎn)：在已知三角形的兩邊及其中一邊的對(duì)角解三角形時(shí)，有兩解或一解或無(wú)解等情形：

三角形各種類(lèi)型的判定方法；三角形面積定理的應(yīng)用。

難點(diǎn)：正、余弦定理與三角形的有關(guān)性質(zhì)的綜合運(yùn)用。

（三）學(xué)法與教學(xué)用具

學(xué)法：通過(guò)一些典型的實(shí)例來(lái)拓展關(guān)于解三角形的各種題型及其解決方法。

教學(xué)用具：教學(xué)多媒體設(shè)備

（四）教學(xué)設(shè)想

［創(chuàng)設(shè)情景］

思考：在^ABC中，已知a=22cm,b=25cm,oA=133,解三角形。

（由學(xué)生閱讀課本第9頁(yè)解答過(guò)程）

從此題的分析我們發(fā)現(xiàn)，在已知三角形的兩邊及其中一邊的對(duì)角解三角形時(shí)，在某些條

件下會(huì)出現(xiàn)無(wú)解的情形。下面進(jìn)一步來(lái)研究這種情形下解三角形的問(wèn)題。

［探索研究］

例1.在AABC中，已知a,b,A,討論三角形解的情況

分析：先由

sin

sin

bA

B

a

二可進(jìn)一步求出B；

則oC=180-（A+B）

從而

asinC

c

A

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第14頁(yè)共63頁(yè)

1.當(dāng)A為鈍角或直角時(shí)，必須a>b才能有且只有一解；否則無(wú)解。

2.當(dāng)A為銳角時(shí)，

如果a2b,那么只有一?解；

如果a<b,那么可以分下面三種情況來(lái)討論:

(1)若a>bsinA,則有兩解：

(2)若a=bsinA,則只有一解；

(3)若a<bsinA,則無(wú)解。

(以上解答過(guò)程詳見(jiàn)課本第9~10頁(yè))

評(píng)述：注意在已知三角形的兩邊及其中一邊的對(duì)角解三角形時(shí)，只有當(dāng)A為銳角且

bsinA<a<b時(shí)，有兩解；其它情況時(shí)則只有一解或無(wú)解。

[隨堂練習(xí)1]

(1)在AABC中，已知a=80,b=100,。NA=45,試判斷此三角形的解的情況。

(2)在AABC中，若a=1,

2

c=,。NC=40,則符合題意的b的值有個(gè)。

(3)在AABC中，a=xcm,b=2cm,oZB=45,如果利用正弦定理解三角形有兩

解，求

x的取值范圍。

(答案：(1)有兩解；(2)0；(3)2<x<22)

例2.在AABC中，已知a=7,b=5,c=3,判斷AABC的類(lèi)型。

分析：由余弦定理可知

222

222

222

是直角ABC是直角三角形

是鈍角ABC是鈍角三角形

是銳角

abcA

abcA

abcA

二+0OA

>+OOA

<+0OAABC是銳角三角形

(注意：A是銳角0AABC是銳角三角形)

解：2227>5+3,即222a>b+c,

???AABC是鈍角三角形。

[隨堂練習(xí)2]

（1）在AABC中，已知sinA:sinB:sinC=1:2:3,判斷AABC的類(lèi)型。

（2）已知AABC滿(mǎn)足條件acosA=bcosB,判斷AABC的類(lèi)型。

（答案：（1）AABC是鈍角三角形；（2）AABC是等腰或直角三角形）

例3.在AABC中，oA=60,b=1,面積為

3

2

,求

sinsinsin

abc

ABC

+4-

+4-

的值

分析：可利用三角形面積定理

111

sinsinsin

222

S=abC=acB=beA以及正弦定理

sinsin

ab

AB

sin

c

C

sinsinsin

abc

ABC

++

++

解：由

13

sin

22

S=beA=得c=2,

則222a=b+c-2bccosA=3,即a=3,

新人教高中數(shù)學(xué)必修5教案全集

第15頁(yè)共63頁(yè)

從而

sinsinsin

abc

ABC

++

++

2

sin

a

A

［隨堂練習(xí)3］

(1)在AABC中，若a=55,b=16,且此三角形的面積S=2203,求角C

(2)在AABC中，其三邊分別為a、b、c,且三角形的面積

222

4

abc

S

=+-，求角C

(答案：(1)o6O或。120；(2)o45)

［課堂小結(jié)］

(1)在已知三角形的兩邊及其中一邊的對(duì)角解三角形時(shí)，有兩解或一-解或無(wú)解等情形；

(2)三角形各種類(lèi)型的判定方法；

(3)三角形面積定理的應(yīng)用。

(五)評(píng)價(jià)設(shè)計(jì)(課時(shí)作業(yè))

(1)在AABC中，已知b=4,c=10,oB=30,試判斷此三角形的解的情況。

(2)設(shè)x、x+1、x+2是鈍角三角形的三邊長(zhǎng)，求實(shí)數(shù)x的取值范圍。

(3)在AABC中，oA=60,a=1,b+c=2,判斷AABC的形狀。

(4)三角形的兩邊分別為3cm,5cm,它們所夾的角的余弦為方程25x-7x-6=0的根，

求這個(gè)三角形的面積。

解三角形應(yīng)用舉例

第一課時(shí)

(1)教學(xué)目標(biāo)

(a)知識(shí)與技能：能夠運(yùn)用正弦定理、余弦定理等知識(shí)和方法解決一些有關(guān)測(cè)量距離的實(shí)際

問(wèn)題，了解常用的測(cè)量相關(guān)術(shù)語(yǔ)

(b)過(guò)程與方法：首先通過(guò)巧妙的設(shè)疑，順利地引導(dǎo)新課，為以后的幾節(jié)課做良好鋪墊。其

次結(jié)合學(xué)生的實(shí)際情況，采用“提出問(wèn)題——引發(fā)思考——探索猜想——總結(jié)規(guī)律——反饋

訓(xùn)練”的教學(xué)過(guò)程，根據(jù)大綱要求以及教學(xué)內(nèi)容之間的內(nèi)在關(guān)系，鋪開(kāi)例題，設(shè)計(jì)變式，同

時(shí)通過(guò)多媒體、圖形觀察等直觀演示，幫助學(xué)生掌握解法，能夠類(lèi)比解決實(shí)際問(wèn)題。對(duì)于例

2這樣的開(kāi)放性題目要鼓勵(lì)學(xué)生討論，開(kāi)放多種思路，引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)問(wèn)題并進(jìn)行適當(dāng)?shù)闹更c(diǎn)

和矯正

(c)情感與價(jià)值：激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣，并體會(huì)數(shù)學(xué)的應(yīng)用價(jià)值；同時(shí)培養(yǎng)學(xué)生運(yùn)用圖形、

數(shù)學(xué)符號(hào)表達(dá)題意和應(yīng)用轉(zhuǎn)化思想解決數(shù)學(xué)問(wèn)題的能力

(2)教學(xué)重點(diǎn)、難點(diǎn)

教學(xué)重點(diǎn)：由實(shí)際問(wèn)題中抽象出一個(gè)或幾個(gè)三角形，然后逐個(gè)解決三角形，得到實(shí)際問(wèn)題的

解

教學(xué)難點(diǎn)：根據(jù)題意建立數(shù)學(xué)模型，畫(huà)出示意圖

(3)學(xué)法與教學(xué)用具

讓學(xué)生回憶正弦定理、余弦定理以及它們可以解決哪些類(lèi)型的三角形，讓學(xué)生嘗試?yán)L制知識(shí)

綱目圖。生活中錯(cuò)綜復(fù)雜的問(wèn)題本源仍然是我們學(xué)過(guò)的定理，因此系統(tǒng)掌握前一節(jié)內(nèi)容是學(xué)

新人教高中數(shù)學(xué)必修5教案全集

第16頁(yè)共63頁(yè)

好本節(jié)課的基礎(chǔ)。解有關(guān)三角形的應(yīng)用題有固定的解題思路，引導(dǎo)學(xué)生尋求實(shí)際問(wèn)題的本質(zhì)

和規(guī)律，從一般規(guī)律到生活的具體運(yùn)用，這方面需要多琢磨和多體會(huì)。

直角板、投影儀(多媒體教室)

(4)教學(xué)設(shè)想

1、復(fù)習(xí)舊知

復(fù)習(xí)提問(wèn)什么是正弦定理、余弦定理以及它們可以解決哪些類(lèi)型的三角形？

2、設(shè)置情境

請(qǐng)學(xué)生回答完后再提問(wèn)：前面引言第一章“解三角形”中，我們遇到這么?個(gè)問(wèn)題，“遙

不可及的月亮離我們地球究竟有多遠(yuǎn)呢？”在古代，天文學(xué)家沒(méi)有先進(jìn)的儀器就已經(jīng)估算出

了兩者的距離，是什么神奇的方法探索到這個(gè)奧秘的呢？我們知道，對(duì)于未知的距離、高度

等，存在著許多可供選擇的測(cè)量方案，比如可以應(yīng)用全等三角形、相似三角形的方法，或借

助解直角三角形等等不同的方法，但由于在實(shí)際測(cè)量問(wèn)題的真實(shí)背景下，某些方法會(huì)不能實(shí)

施。如因?yàn)闆](méi)有足夠的空間，不能用全等三角形的方法來(lái)測(cè)量，所以，有些方法會(huì)有局限性。

于是上面介紹的問(wèn)題是用以前的方法所不能解決的。今天我們開(kāi)始學(xué)習(xí)正弦定理、余弦定理

在科學(xué)實(shí)踐中的重要應(yīng)用，首先研究如何測(cè)量距離。

3、新課講授

(1)解決實(shí)際測(cè)量問(wèn)題的過(guò)程一般要充分認(rèn)真理解題意，正確做出圖形，把實(shí)際問(wèn)題里的

條件和所求轉(zhuǎn)換成三角形中的已知和未知的邊、角，通過(guò)建立數(shù)學(xué)模型來(lái)求解

(2)例1、如圖，設(shè)A、B兩點(diǎn)在河的兩岸，要測(cè)量?jī)牲c(diǎn)之間的距離，測(cè)量者在A的同側(cè)，在

所在的河岸邊選定一點(diǎn)C,測(cè)出AC的距離是55m,ZBAC=51°,ZACB=75°。求A、B兩

點(diǎn)

的距離(精確到0.Im)

啟發(fā)提問(wèn)1：AABC中，根據(jù)已知的邊和對(duì)應(yīng)角，運(yùn)用哪個(gè)定理比較適當(dāng)？

啟發(fā)提問(wèn)2：運(yùn)用該定理解題還需要那些邊和角呢？請(qǐng)學(xué)生回答。

分析：這是一道關(guān)于測(cè)量從一個(gè)可到達(dá)的點(diǎn)到一個(gè)不可到達(dá)的點(diǎn)之間的距離的問(wèn)題，題目條

件告訴了邊AB的對(duì)角，AC為已知邊，再根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理很容易根據(jù)兩個(gè)已知角算

出AC的對(duì)角，應(yīng)用正弦定理算出AB邊。

解：根據(jù)正弦定理，得

ACB

AB

sinZ

ABC

AC

sinZ

AB=

ABC

ACACB

Z

N

sin

sin

ABC

ACB

Z

Z

sin

55sin

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第17頁(yè)共63頁(yè)

sin(1805175)

55sin75

sin54

55sin75

有65.7(m)

答:A、B兩點(diǎn)間的距離為65.7米

變式練習(xí)：兩燈塔A、B與海洋觀察站C的距離都等于akm,燈塔A在觀察站C的北偏東30,

燈塔B在觀察站C南偏東60，，則A、B之間的距離為多少？

老師指導(dǎo)學(xué)生畫(huà)圖，建立數(shù)學(xué)模型。

解略：2akm

例2、(動(dòng)畫(huà)演示輔助點(diǎn)和輔助線(xiàn))如圖，A、B兩點(diǎn)都在河的對(duì)岸(不可到達(dá))，設(shè)計(jì)一種

測(cè)

量A、B兩點(diǎn)間距離的方法。

分析：這是例1的變式題，研究的是兩個(gè)不可到達(dá)的點(diǎn)之間的距離測(cè)量問(wèn)題。苜先需要構(gòu)造

三角形，所以需要確定C、D兩點(diǎn)。根據(jù)正弦定理中已知三角形的任意兩個(gè)內(nèi)角與一邊既可

求出另兩邊的方法，分別求出AC和BC,再利用余弦定理可以計(jì)算出AB的距離。

解：測(cè)量者可以在河岸邊選定兩點(diǎn)C、D,測(cè)得CD=a,并且在C、D兩點(diǎn)分別測(cè)得NBCA=a

ZACD=B,ZCDB=y,ZBDA=8,在AADC和ABDC中，應(yīng)用正弦定理得

AC=

sin[18O()]

sin()

8yB

y6

°一++

a+=

sin()

sin()

8yb

y6

++

a+

BC=

sin"80()]

sin

ay

7

°-++

a—

sin()

sin

a0y

y

++

a

計(jì)算出AC和BC后，再在△ABC中，應(yīng)用余弦定理計(jì)算lUAB兩點(diǎn)間的距離

AB=AC2+BCz-2ACXBCcosa

分組討論：還沒(méi)有其它的方法呢？師生一起對(duì)不同方法進(jìn)行對(duì)比、分析。

變式訓(xùn)練：若在河岸選取相距40米的C、D兩點(diǎn)，測(cè)得/BCA=60。,ZACD=30,Z

CDB=45。，

ZBDA=60。

略解：將題中各已知量代入例2推出的公式，得AB=206

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第18頁(yè)共63頁(yè)

評(píng)注：可見(jiàn)，在研究三角形時(shí)，靈活根據(jù)兩個(gè)定理可以尋找到多種解決問(wèn)題的方案，但有些

過(guò)程較繁復(fù)，如何找到最優(yōu)的方法，最主要的還是分析兩個(gè)定理的特點(diǎn)，結(jié)合題目條件來(lái)選

擇最佳的計(jì)算方式。

4、學(xué)生閱讀課本4頁(yè)，了解測(cè)量中基線(xiàn)的概念，并找到生活中的相應(yīng)例子。

5、課堂練習(xí)

課本第14頁(yè)練習(xí)第1、2題

6、歸納總結(jié)

解斜三角形應(yīng)用題的?般步驟：

(1)分析：理解題意，分清已知與未知，畫(huà)出示意圖

(2)建模：根據(jù)已知條件與求解目標(biāo)，把已知量與求解量盡量集中在有關(guān)的三角形中，建

立一個(gè)解斜三角形的數(shù)學(xué)模型

(3)求解：利用正弦定理或余弦定理有序地解出三角形，求得數(shù)學(xué)模型的解

(4)檢驗(yàn)：檢驗(yàn)上述所求的解是否符合實(shí)際意義，從而得出實(shí)際問(wèn)題的解

(5)評(píng)價(jià)設(shè)計(jì)

1、課本第22頁(yè)第1、2、3題

2、思考題：某人在M汽車(chē)站的北偏西20■的方向上的A處，觀察到點(diǎn)C處有一輛汽車(chē)沿公

路向M站行駛。公路的走向是M站的北偏東40二。開(kāi)始時(shí)，汽車(chē)到A的距離為31千米，

汽車(chē)前進(jìn)20千米后，至必的距離縮短了10千米。問(wèn)汽車(chē)還需行駛多遠(yuǎn)，才能到達(dá)M汽

車(chē)站？

解：由題設(shè)，畫(huà)出示意圖，設(shè)汽車(chē)前進(jìn)20千米后到達(dá)B處。在△ABC中，AC=31,BC=20,

AB=21,由余弦定理得

cosC=

ACBC

ACBCAB

+-

2

222

31

23,

則sin2c=1-cos2c=

312

432,

sinC=

31

123,

所以sinZMAC=sin(120°-C)=sinl20°cosC-cosl20°sinC=

62

353

在AMAC中，由正弦定理得

MC=

AMC

ACMAC

Z

z

sin

sin=

2

3

31X

62

353=35

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第19頁(yè)共63頁(yè)

從而有MB=MC-BC=15

答：汽車(chē)還需要行駛15千米才能到達(dá)M汽車(chē)站。

解三角形應(yīng)用舉例

第四課時(shí)

(1)教學(xué)目標(biāo)

(a)知識(shí)和技能：能夠運(yùn)用正弦定理、余弦定理等知識(shí)和方法進(jìn)一步解決有關(guān)三角形的問(wèn)題，

掌握三角形的面積公式的簡(jiǎn)單推導(dǎo)和應(yīng)用

(b)過(guò)程與方法：本節(jié)課補(bǔ)充了三角形新的面積公式，巧妙設(shè)疑，引導(dǎo)學(xué)生證明，同時(shí)總結(jié)

出該公式的特點(diǎn)，循序漸進(jìn)地具體運(yùn)用于相關(guān)的題型。另外本節(jié)課的證明題體現(xiàn)了前面所學(xué)

知識(shí)的生動(dòng)運(yùn)用，教師要放手讓學(xué)生摸索，使學(xué)生在具體的論證中靈活把握正弦定理和余弦

定理的特點(diǎn)，能不拘一格，一題多解。只要學(xué)生自行掌握了兩定理的特點(diǎn)，就能很快開(kāi)闊思

維，有利地進(jìn)一步突破難點(diǎn)，。

(c)情感與價(jià)值：讓學(xué)生進(jìn)一步鞏固所學(xué)的知識(shí)，加深對(duì)所學(xué)定理的理解，提高創(chuàng)新能力；

進(jìn)一步培養(yǎng)學(xué)生研究和發(fā)現(xiàn)能力，讓學(xué)生在探究中體驗(yàn)愉悅的成功體驗(yàn)

(2)教學(xué)重點(diǎn)、教學(xué)難點(diǎn)

教學(xué)重點(diǎn)：推導(dǎo)三角形的面積公式并解決簡(jiǎn)單的相關(guān)題目

教學(xué)難點(diǎn)：利用正弦定理、余弦定理來(lái)求證簡(jiǎn)單的證明題

(3)學(xué)法與教學(xué)用具

正弦定理和余弦定理的運(yùn)用除了記住正確的公式之外，貴在活用，體會(huì)公式變形的技巧以及

公式的常規(guī)變形方向，并進(jìn)一步推出新的三角形面積公式。同時(shí)解有關(guān)三角形的題目還要注

意討論最終解是否符合規(guī)律，防止丟解或增解，養(yǎng)成檢驗(yàn)的習(xí)慣。

直角板、投影儀

(4)教學(xué)設(shè)想

1、設(shè)置情境

師：以前我們就已經(jīng)接觸過(guò)了三角形的面積公式，今天我們來(lái)學(xué)習(xí)它的另一個(gè)表達(dá)公式。在

△ABC中，邊BC、CA、AB上的高分別記為ha、h/)、h0，那么它們?nèi)绾斡眉褐吅徒潜?/p>

示？

生：ha=bsinC=csinB

h/>=csinA=asinC

hc=asinB=bsinaA

師：根據(jù)以前學(xué)過(guò)的三角形面積公式s=

2

1ah,應(yīng)用以上求出的高的公式如h?=bsinC代入，

可以推導(dǎo)出下面的三角形面積公式，S=

2

1absinC,大家能推出其它的幾個(gè)公式嗎？

生：同理可得，S=

2

1bcsinA,S=

2

1acsinB

師：除了知道某條邊和該邊上的高可求出三角形的面積外，知道哪些條件也可求出三角形的

面積呢？

生：如能知道三角形的任意兩邊以及它們夾角的正弦即可求解

2、新課講授

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第20頁(yè)共63頁(yè)

例1、在白ABC中，根據(jù)下列條件，求三角形的面積S(精確到0.1cm2)

(1)已知a=14.8cm,c=23.5cm,B=148.5。;

(2)已知B=62.7°,C=65.8,b=3.16cm;

(3)已知三邊的長(zhǎng)分別為a=41.4cm,b=27.3cm,c=38.7cm

分析：這是一道在不同已知條件下求三角形的面積的問(wèn)題，與解三角形問(wèn)題有密切的關(guān)系，

我們可以應(yīng)用解三角形面積的知識(shí)，觀察已知什么，尚缺什么？求出需要的元素，就可以求

出三角形的面積。

解：(1)應(yīng)用S=

2

1acsinB,得

S=

2

1XM.8X23.5Xsinl48.5?=90.9(cm2)

(2)根據(jù)正弦定理，

B

h

sin

C

sin

c=

B

bC

sin

sin

S=

2

1bcsinA=

2

1b2

B

CA

sin

sinsin

A=180-(B+C)=180。-(62.7。+65.8")=51.5。

S=

2

1X3.162Xo

O0

sin62.7

sin65.8sin51.5

44.0(cm2)

⑶根據(jù)余弦定理的推論，得

cosB=

ca

cab

2

2+2-2

238.741.4

38.7241.4227.32

XX

-0.7697

sinB=1-COS2B-1-0.76972^0.6384

應(yīng)用S二

2

1acsinB,得

S

2

1X41.4X38.7X0,6384^511.4(cm2)

例2、如圖，在某市進(jìn)行城市環(huán)境建設(shè)中，要把一個(gè)三角形的區(qū)域改造成室內(nèi)公園，經(jīng)過(guò)測(cè)量

得到這個(gè)三角形區(qū)域的三條邊長(zhǎng)分別為68m,88m,127m,這個(gè)區(qū)域的面積是多少？(精確到

0.1cm2)?

師：你能把這一實(shí)際問(wèn)題化歸為一道數(shù)學(xué)題目嗎？

新人教高中數(shù)學(xué)必修5教案全集

第21頁(yè)共63頁(yè)

生：本題可轉(zhuǎn)化為已知三角形的三邊，求角的問(wèn)題，再利用三角形的面積公式求解。

由學(xué)生解答，老師巡視并對(duì)學(xué)生解答進(jìn)行講評(píng)小結(jié)。

解：設(shè)a=68m,b=88m,c=127叫根據(jù)余弦定理的推論，

cosB=

ca

cab

2

2+2—2

212768

1272682882

XX

+-

^0.7532

sinB=1-0.75322，0.6578

應(yīng)用S二

2

1acsinB

S弋

2

1X68X127X0.6578^2840.38(m2)

答：這個(gè)區(qū)域的面積是2840.38m2。

例3、在△ABC中，求證：

(1);

sin

sinsin

2

22

2

22

c

AB

c

ab+

+

(2)Q2+歷+。2=2(bccosA+cacosB+abcosC)

分析：這是一道關(guān)于三角形邊角關(guān)系恒等式的證明問(wèn)題，觀察式子左右兩邊的特點(diǎn)，聯(lián)想到

用正弦定理來(lái)證明

證明：(1)根據(jù)正弦定理，可設(shè)

A

a

sin

B

b

sin

C

c

sin

=k

顯然kW0,所以

左邊二

kC

kAkB

c

ab

22

2222

2

22

sin

sin+sin

C

AB

2

22

sin

sin+sin

二右邊

(2)根據(jù)余弦定理的推論，

右邊二2(be

he

bca

2

2+2-2

+ca

ca

cab

2

2+2—2

+ab

ah

abc

2

2+2-2

)

=(b2+c2-a2)+(c2+a2-b2)+(a2+b2-c2)

=a2+b2+c2=左邊

變式練習(xí)1：已知在AABC中，ZB=30。，b=6,c=63,求a及△ABC的面積S

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提示：解有關(guān)已知兩邊和其中一邊對(duì)角的問(wèn)題，注重分情況討論解的個(gè)數(shù)。

答案：a=6,S=93;a=12,S=183

變式練習(xí)2：判斷滿(mǎn)足下列條件的三角形形狀，

(1)acosA=bcosB

(2)sinC=

AB

AB

coscos

sinsin

+

+

提示：利用正弦定理或余弦定理，“化邊為角”或“化角為邊”

(1)師：大家嘗試分別用兩個(gè)定理進(jìn)行證明。

生1：(余弦定理)得

aX

be

bca

2

2+2—2

=bX

ca

cab

2

2+2—2

**.C2(〃2一bl)-Q4-Z?4=(02+62)(〃2-hl)

ai-匕2或C2=42+bi

???根據(jù)邊的關(guān)系易得是等腰三角形或直角三角形

生2：(正弦定理)得

sinAcosA=sinBcosB,

.,.sin2A=sin2B,

.'.2A=2B,

-*.A=B

???根據(jù)邊的關(guān)系易得是等腰三角形

師：根據(jù)該同學(xué)的做法，得到的只有一?種情況，而第一位同學(xué)的做法有兩種，請(qǐng)大家思考,

誰(shuí)的正確呢？

生：第一位同學(xué)的正確。第二位同學(xué)遺漏了另一種情況，因?yàn)閟in2A=sin2B,有可能推出2A

與2B兩個(gè)角互補(bǔ)，即2A+2B=180。,A+B=90。

(2)(解略)直角三角形

3、課堂練習(xí)

課本第21頁(yè)練習(xí)第1、2題

4、歸納總結(jié)

利用正弦定理或余弦定理將已知條件轉(zhuǎn)化為只含邊的式子或只含角的三角函數(shù)式，然后化簡(jiǎn)

并考察邊或角的關(guān)系，從而確定三角形的形狀。特別是有些條件既可用正弦定理也可用余弦

定理甚至可以?xún)烧呋煊谩?/p>

(5)評(píng)價(jià)設(shè)計(jì)

1、課本第23頁(yè)練習(xí)第12、14>15題

2、如圖，在四邊形ABCD中，ZADB=ZBCD=75。,ZACB=ZBDC=45。，DC=3,

求：

(1)AB的長(zhǎng)

(2)四邊形ABCD的面積

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第23頁(yè)共63頁(yè)

略解(1)因?yàn)镹BCD=75,ZACB=45。，所以

ZACD=30。，又因?yàn)镹BD