高數(shù)第二學(xué)期考點(diǎn)

考點(diǎn)1可分離變量的微分方程

微分方程dx+xydy-y^dx+ydy的通解是().

222

X.y=Cx-IB.v=C(X-l)+I

Cj尸=W+CD/=Cr+1

微分方程?=2xy的通解是().

ax

A.y=CerBy-CxerC.y-CrZD.y=Cxex

微分方程肛'-ylny-0的通解為().

A.y=ce*B.y=C.y=xkD.y=crF

微分方程1）dx+y（F-I）力=0的通解為（）?

A.S+IK^+IXC

。6-1)(犬-1)=。DCr-!)=C0^-l)

微分方程」一（■上小，=0滿足初始條件從0=0的解為（）.

1+?1+X

y2y3X2X3Xy3jrx3

A二+==一+—B.—---

23232323

j3y2x2x3jry3x3X2

(?.?——?一=—+—D.—+——---

23232323

曲線上點(diǎn)P（XJ）處的法線與軸的交點(diǎn)為0，且線段P0被丁軸平分，則此曲線的方程是（）.

A.產(chǎn)+*=CB2y2工=C

C/+(2X)2=CD.(2y)2+x2=C

曲線上任一點(diǎn)伍丹處的切線斜率等于該點(diǎn)橫坐標(biāo)的倒數(shù)，且曲線過(guò)點(diǎn)（1,2）,則此曲線的方程是（）,

A.y=ln|x|-1.2B.j=ln|,r|+1

C.j-lnr+2D.v-lar+I

曲線上任一點(diǎn)處的切線斜率恒為該點(diǎn)的橫坐標(biāo)與縱坐標(biāo)之比，則此曲線的方程是（）.

Br+/=C

D.x2+xy=C

微分方程華+率=（）的通解是（）.

&&

B.+-j==C

Jx\ly

I).4+Jy=C

微分方程史=",,的通解是（）.

ax

微分方程（I++2xydx=0的通解（）

A.XI+F)=CBM”W)=C

y

=cD1二C

14-x2

微分方程/—FCOSX的通解（）

(sim

A.y=?tBv=Ce$n,

C.y^eD尸尸+C

1-5:BABCA6-10:AAADC11-12:AB

考點(diǎn)2齊次方程

'齊次方程X半=yin!的滿足初始條件v（l）=l的特解為（）.

dxX

Dy-xe

齊防程令此的通解為().

A片產(chǎn)?B片…CD

y

齊次方程y=e、+」’的滿足初始條件v(l)=0特解為().

X

y=-xln(1-Inx)B.產(chǎn)一xln(l+lav)

y=-xln(1+ln|x)Dy=xln(1+\n\x\)

.

齊次方程./=-+1'的通解為().

X

A.y=xln(C-Inr)By=-jln(C-lav)

C.y=xln(-C-ln|x)Dy=-xln(-C-ln|x)

求齊次方程空=-色色的通解.

axx+y

AlnC(y+2x)---------=0BInC(V-F2X)+-=0

y^2xy+x

x

C.lnC&+2x)+一一=0DlnC(y+2x)--=0

y+2xy+x

求齊次方程丁，一M，+r)<￡v+.v(.r+xy+)尸)力=0的通解.

VV

anztan*arvlan*

A.xy=CexB.xy=Ce'

.VV

-anian"arvlan"

Cx>=CexnWy=Ce'

齊次方程v'=?-(』尸的通解為().

XX

Ax=yln|x|+CyBx=yln|x|4-v+C

C.x=j,lnx+jDx=ylnx+p+C

求齊次方程()r-3.r)(/v+2xydx=0滿足初值.叱“-1的解.

A/(I-J)=X2By(i+y)=wC叭”_/)=￡D/(I+/)=x2

求齊次方程(*2+的，-/)小+(>'4372時(shí)=0滿足初值.叱［-1的解.

A.x2-y2=x+yC.x2+y2=x+y

y^=\⑴

求解方程

兄-1=1⑵

A.-ln(AT+j廣)-arctan-=-In2+—B-ln(.r+j2)+arctan-=-In2+-

2x242x24

C.-(x2-^v2)+arctan-=-In2*-Darctan-=-ln2*-

2'x242x24

參考睇

求通解:_y(xcos-+ysin-)dlv=x(vsin--xcos-)(/y.

XXXX

XXcXCcxyccy

-cos-=CBKVCOS-=CC.-cos-=CDxvcos-

yyyyXX

求齊次方程號(hào)'-y-^-x2=0的通解.

22222

Ay-Jy-x二Cx，By+Jy_x=Cx22

ny->ly-x=Cx

恒*MB

答案:1-5BCCDD6-10DDCBA11-15ACBDB

考點(diǎn)3一階線性微分方程

微分方程y'+!y=濁的通解為().

XX

A-(co&r+C)B-(-COSJf+O

XX

C.1(-sinx+Q

D-(sinx+C)

xx

微分方程乎-2=a+1產(chǎn)的通解為(

dxx+I

、：2.

A.y=；(x+1)?[(x+I嚴(yán)+C]By=(x+1)-(x+1):+C

「2

Cy=(i+l)2joy+CDy=(x+l)、g(x+l嚴(yán)+C

微分方程"+』=MM爐的通解為().

axx

A.Cyx[(lnat)2]=IBx2C--(Inj)2=1

C.yxC-^(Inx)2=1D.yx[.v-a(lav):]=C

微分方程?'+2w=4x的通解為().

dx

A.e，+CBe?+Cx

C.Ce*+2D.xe'+2

微分方程坐‘尸”的解（）.

dxx

A.p=Cr'+xBy?"x'4-Cv

C.），=Wr+CD.>=x'+a

微分方程(T-i>x)y'+2y=0的解為().

.1/J,

A.x=y-C'"B.x—C--『

22

y2y2

C.y=Cjr+yDy=y,+,+c

微分方程xy'+廣e'滿足條件J?)=〃的特解是().

Ay=_?+/_")By=—(e1-1-a")

XX

C.y=-?+/+")D.y=—(e1-1+ah)

XX

微分方程(x-2)乎=)，+2(x-2),的解為().

A.y=(x-2)-C(x-2)'B.y=C(x-2)+(x-2)'

c.y=(x-2y+aD..v=(.r-2),+Cr

一曲線過(guò)原點(diǎn)，其上任一點(diǎn)(xi)處的切線斜率為2x+y,則曲線方程是().

Ay=2(el-x-1)B.y=2(e,-x+1)

C.y=2(e*+x-1)D.y=2(e'+x+1)

曲線上任一點(diǎn)(x,y)處的切線斜率等于-(1+?),且過(guò)點(diǎn)(2.1),則該曲線方程是().

X

4x4x-2x_2x

A.y=-------B.y=—4?—C.y=:-------1).y=一4一

x2x2X2X2

微分方程;f⑴的特解是，).

凡0=1⑵

A.y=2<rcBy=2e”+/

C.y=/*D.y=+

微分方程（X+?）四-公二0的通解為（）.

A.x=CevB.x=CelI)

C.x=CV+y-Inx=Cel-(y+I)

方程廠/的解是().

A.y^xe,Bj=(x+l)e*

C.y=(2x+l”D.y=Ixe*

微分方程y'-ay*a）的通解為（）.

微分方程孚=x+3+2-￡的通解.

axxx

I,3、CI，〃.2

A.y—~x+-x+2+-B.y=-;T+CK+2+-

,32x/3x

c「，3、1nI23\

C.y=Cr+-x+2+-D.y=-x+—x+-+C

2x32x

答案

IB2C3C4C5D6C7D8B9A10A11C12D13B14D15A

考點(diǎn)4可降階的微分方程（第一類）

方程y"=/-cosx滿足泗）=0,萬(wàn)程=1的特解（）.

IIJ

A.V=一夕+CQSX+-X——B.y=-e2<-3siiiv+-x—

424424

「^15

C.i=——tr-cosx+-x+-D.y=_fa+siiu_U+S

424424

微分方程「"+sinj,的通解為（）?

A.y=g*-cosx+Gx+C”其中，G，U為任意常數(shù)

,!

B.j）=le'+sinr+C,r+C/,其中，C.G為任意常數(shù)

c.v=9"-sinx+Gx+G，其中，C.G為任意常數(shù)

Dy=；*+cosx+C,JT+O,其中，G，G為任意常數(shù)

世二工的經(jīng)過(guò)點(diǎn)”（O.I）且在此點(diǎn)與直線y=]+i相切的積分曲線是（）.

C.)>=-/+-X4-I

762

II參考解答I回I

方程x"”-l的通解為().

A.,=-lav+C|X+C?B.y=-ln|x|+qx+G

C.y=-Itir+G

D.y=ln|x|+Ctx+C2

滿足方程(1+x2)y,f=l,y(0)-hy(0)-I的函數(shù)為().

A.y=xarctaar--ln(l+.r)+x+1B.y=xarctanx+-ln(l+x2)+x+1

C.y=jarctaav-|ln(1+.r)-x+IDy=xarctanx+|ln(l+W)+x-1

■參考解答「

微分方程廣=3x的通解是（）.

A.v=-x4+Cv+CyX+GBy=+Cx"+C>x+G

8ry

(?」=。+6./+(:/+孰口.),=1/+(7/+3+€>+。.

X8

||參考解答⑼

微分方程/'+arclaru-0的通解是（）.

V1x,

A.y=--arctanx+-arctaar+-ln(l+x)+C,x+C2

-^arc.a,u*arctanx

B.y=++—ln(I—x2)+C|X+G

.V%

C.y=—-arctaiu+arctaav+：ln(1+廠)++C2

x2

D.y=—arctaar--arctanv+二ln([+x2)+Cx+C

2x2

磅考解用.司

滿足微分方程廠T'-1j(o)-"'(0)=1的函數(shù)是().

A.y=e^B.)'=e"1

C.y=e''ny=xe

微分方程-COS2.￥COS3A的通解為

A.v=—-cos5x+-cosx+C.x+C,

502

B.y--^cos5x-；CO&￥+GX+C?

C.y=、cos5x-；cosx+Cyx+C,

D'=一Acos5x-|cos.r-CyX+C2

參考解查.上

微分方程的通解為

A.y=(x2e?(n(，'T2e-*)+Cp?('\CB.y=(x2ex6xe-*+12￡-*)+。/+。+。3

2122

C.y=~(xe+6xe'+12e”)+Cix+C^x+C5D.y=(+6x0-、+I2J)+C)x+Qr+G

微分方程e-y’-x的通解為

A.y=工犬6d+C[f+C/+GB尸xe1T/+Gf+Cp+G

:

(?/=1，+3/+C|X+CyX+C3D.y=xe"-3,+C|F+CyX+Cy

|[＞考薜圖同

微分方程產(chǎn)-nsiM的通解為

33

A.-jr-siiu+C|X+C,-x+sinj+C^+C2

C.-*-sinx+Qr+G

D.=J-siiu+CN+C?

微分方程y”二川的通解為

A.y=xex-3e1^C)r+Cj+C?

B.y=xd-3武+中+。/+。3

C.y=xe"+3e+C，+Qr+Q

D.y=M-6/+CjX2+C/+C§

參考解答|[V

微分方程("功，〃-1的通解為

\.y=(\-x)ln]T+Q+G

B.j=(l+x)ln|l-xl+Cpc+Cj

C.)?=(1-j)ln|l+XI+C/+G

D.y=(l+x)ln|l+x|+Q+G

參考解答V

微分方程嚴(yán)-3.1的通解為

Ay=卜+qf+C*F+G

By=：/+C；f+Cj+CA

Cy=!.d+C[F+C/+G

8

Dy=+qf+C/+G

X

卷考解答M

分口室木

ACCBAAAABCDAAAC

考點(diǎn)5可降階的微分方程（第二類）

微分方程]"+yr2e'-0滿足條件y（0）=1,y'（0）-1的解是（）.

A.y=-—e+-IB?.y=->e,+-1

>22,22

C.j=2e*-1D.y=2-e]

IDL1L__」L

微分方程.1"十町產(chǎn)0滿足條件y'（l）=2,y（l）=-1的解是（）.

A.j?=1——B—2

XX

cX1

C.v=--D.v=-4-—

Jx>22

微分方程""-!憂=、的一個(gè)特解應(yīng)具有形式（）.

X

A.Ax^-BB.Ax24-Ar4-C

C.x（4r+A）D./x3

微分方程（1+》2）2-益蟲=0的通解為（）.

dedx

1

32

A.y=G（l+X2）2+C2B.y=G+G

、2>

（X，

c.y=G戈+―+GD.y=G+G

\3,

微分方程y"=y'+x的通解是（）.

A.v=CjXe*-+x+C2B.j=+X2-2r+G

2

D.j=CyXe^+x-x+C2

微分方程xyn-yr-0滿足條件]?1)=1,,y(1)=；的解是()

jrix2

A.y-..J--B.v=一

442

〃21n21

C.y=xh.v=-x+-

22

微分方程y'+y”-不〃滿足條件y(2)=1,y(2)-1的解是().

Ay=；(x+1)2+1B/=；a+1)2-；

C.y=；(x-1)、；D.v=l(x-l)2-1

微分方程(1-X2)/*-xyf=0滿足條件j*0)-1,y(0)=0的解是().

A.y=arcsiruB.y-arcco&r

C.y=arcsinx+CI).v-arccosjr+C

—一?一―」

微分方程(14-r)yr4-2ry=1的通解是().

2

A.j=1ln(l+W)+C；arctaru+GBv=ln(1+x)+Cjarctaar+C2

2

C.j=21n(l+x)+Ctarctaar+C2D.y=2ln(1+x)+Cjarctarir+C2

微分方程.p"-y'=x*的通解是（）.

A.y=/(x-1)+C(r+C2B.,=/(H+1)+C1f+C?

C.)=e[(x-1)+C1f+GD.y=/(x-I)+C,x+C2

［舞解密叵］|

微分方程/'?!/=1的通解是（

2

A>?=C14.Gln.r?-/B尸C,+C;lar*-x

CF=G+CJn|x|+1

I)v-Cj*Cln|x1+

微分方程二的通解是《).

Ay■■InfcoMx?CJ|?C：B)，■ln|co$(.r?Ct)|?C2

C.y--InJcosir^CJ*C2D),=-lncos(."CJ，G

求微分方程(I-FW'u'0的一條積分曲疑，使其在原點(diǎn)處與靦V-arctam,相W?

A.y■arcsiarB.y=arcsinr?1

C.y=Cjtrcsinr?C】D,y=2arcsiiu

微分方程3N/尸產(chǎn)（/）的通解是（）.

4

Aj-Cpr'+CjBy-Cpr'+Cj

j

,

c尸3+GDj=Cpr+C2

答案1-5DADDC6-10BCAAA11-14AAAA

考點(diǎn)6二階可降階的微分方程（不顯含x）

微分方程y*-2y2tany0滿足條件）（0）-0,/（0）-1的解是（）.

y|?I

A.x=-+-sin2vB.x=y—sin2y

24z4

_>I..c.I?、

C.x=--sin2yD.x=y+-sin2v

24z2

微分方程y"=；y2滿足條件y（o）_i，T（o）-o的解是（）.

微分方程了'=小'滿足條件v'（o）=；，N0）=?的解是（）.

12,?12,

A4.-J=,x+1B.--=——x+1

/3

C.—x=-1D-x=l一二

3r3/

微分方程『滿足條件“0）=0,y（o）=-1的解是（）.

A.-ez,=14v

R-e2,=--y

22r22

Cr1=1-2xDd=2t+1

微分方程yy"-y,2=0的通解為（）.

Xy^CyXe1B)，=。2產(chǎn)

c)=yD.y=C>rV'

微分方程v“+/=0的通解為（）.

1-y

cr，

A.y=x+C2e(C>*0)B)>=1+^^2*0)

。)，=1+中盧'(。產(chǎn)0)Dy=l+C,eQ(G*0)

微分方程V"；），”+/的通解是（）.

A.y=G+arcsin(Ge*),y-CBy=Cl+arccos(C2e'),y-C

C.y=Gx+arcsin(Ge")>y=C1)y=Crr+arcco$(C￡),y=C

微分方程F”=gr滿足初始條件八.-I.N—L1的特解為（）.

11

A,尸=I-XB2yz=2+x

11

C.2y?=2-xy2=[+X

微分方程片-2抄“=0滿足條件了(0)--1,j，(O)=l的解是().

▲y31x3

A.—=x+-B-=y-1

333.

「y31x3

C.—=T+-D.—=-p+1

333

求微分方程產(chǎn)y,-y的通解.

A.-j4--^ln(Cjy-l)=x+G

B上,+l)=x+G

Gc；

0，ln(GxT)=y+C2

C.—l)=j+C2

CjC(aa

求微分方程(1+)r)y"-2yy'2的通解.

A.arctanv=Cxx+C?Barcsiny=G》+G

C.arctan^=C/+C2Darcsiny=Crv+C2

求微分方程/'-ly^coty-0的通解.

A.Crr+C,=-cotyBCrv+C,=-secy

C.Crv+G=-cscyDCrv+C2=-tanj

求微分方程處”=(2/-1)曠2的通解.

rBe'=Cj+G

A.e=Cyx+C2

DeZCj+Q2

C.e'=C]x+C^r

求微分方程川-y2+y3=0的通解.

A.y-C1n[y|=x+GB尸-cinM=x+G

C.y-CInLy=F+GDy_cin?=r+G

求微分方程M1Tn），）y"+（1+lny）y2=0的通解.

A—―=C.x+C2B

1-Iny

C——=C,x+C,D—^—=C]x+C2

y-lnyy-Inv

答案：

ACBCBDACCAAAAAA

考點(diǎn)7微分方程解的結(jié)構(gòu)

設(shè)4&G。是待定常數(shù)，則微分方程r"+y=K+ca?的一個(gè)特解應(yīng)具有形式（）.

A./jr+8+Cco^vBAx+B+Cccmx4Dsiav

CAx+B+.x(Cco&r+Dsinv)DAx^B^-Cxcc^x

微分方程y”-j-I的一個(gè)將解應(yīng)具有形式（）.

AAe'+BB,4M+

CAe'^BxDAxe'^B

微分方程vM，y-3siar+4cosx的一個(gè)特解應(yīng)具有形式（）.

A,?。版，BsiruBt(/fco&v>8§inx)

C..r(/lcosLv+Bsiat)1)(Jr-i-5)siat*(Cr+D)co&v

微分方程v,r，r-siitt-cos2t的一個(gè)特解應(yīng)具有形式（）.

A./Isirtt?BcGfix+CcosZvBt(/<sirtr48cosi)?Ccos2x4DsinZr

C.小iru+Bcaalx4CsinZtD/(.rsifu+ArcosZr

微分方程2y"+5/-cos）的一個(gè)特解應(yīng)照形式（）.

A.Jcos2x+8sin%B4x+Scos2r+Csin2x

C.A+8cos2rDJ?+flcos2x+Csin2x

已知二階線性微分方程的三個(gè)特解是必=+eI則該方程是（）.

A./1-/-2y=4e"B.yn-4y+4yne"

CyH-2yf-3y=2eZtD.y”一5y+6y——「

以/:/sinj,j】=/co&r為特解的最低階常系數(shù)線性齊次微分方程是（）.

A.y'”-3yr,+4y-2y=0Bv,H-3yn-4y+2y=0

Cy'”_y〃+4/-y=0D.y'〃+3y"+4y'+2y=0

微分方程y"-6了+8y=/+”的一個(gè)特解應(yīng)具有形式（）.

A4-+8匹B//+以短

C.Axe+Be21D+Bxe11

恨期的II

設(shè)為%是嚴(yán)”似嚴(yán)”+…+P,（力=0的。個(gè)特解，其中P［（x），P,（x）,…，”r）均為自變黛工的

已知函數(shù),Cpc,??,,,c,為任意常數(shù),則丁■C|i?+,GR+….Cj.（）.

A不是方程通解B是方程通解

c當(dāng)，月接性無(wú)關(guān)時(shí)，是通豫D當(dāng)］/>丁…，尤妓性相關(guān)時(shí)，是通解

若乂，外品是方程r'+p（x）y="A）的解，且腦與外線性無(wú)關(guān)，則上述方程的通解可以表示為（）.

A.F=Q>MM）+MB?=CV?+y|）+y,

c.尸+%?.?-C｛）；-%）+%

容剔前）產(chǎn)期聯(lián)）尸加班＞0）是2階軟分方趴”+心.0的解，趟出下列既懶法方郎通第

（）.（孟中G.C：為任胴凝）

A)=C1coswx+2sinH.rBy=QosH'jf+CsinH.v

Cj=Ccomf+2C§inwxI)j^CiCOSHt+CjSinM.r

蚓喊

下列各組函數(shù)線性無(wú)關(guān)有()

(I)W(2)cos3x,sin3x；

(3)lav,xhx；(4)ea\ehs(a*b).

A.I組B.2組C3組D,4組

參考解笞2

已知）,i=c」及j、=x/都是方程『-的'+（4./-2）,”0的解，則方程的通解為（）.

A.產(chǎn)(1+x)6rBy=(G+C/./

C,j=(C1+C/)/D.產(chǎn)QZ+C?

2

已知”=3,J2=3+.V,j,=3+r+/部是微分方程（r-2x）y"-（x-2）y'+（2x-2）y-6x-6

的解，則方程的通解為（）.

A.J=CF+C/+GBj=C/+Cj.r

C.j=C/+Q2+3

D.J=C/+C2

答案

1—5CDBBB6—10AABCD11—14BDCC

考點(diǎn)8二階常系數(shù)齊次線性微分方程（有兩個(gè)不相等實(shí)根）

微分方程十-2--3），-。的通第是（）.

B)=C(c")

C“e"D.戶產(chǎn)

參考解答V

觸分方程d'+5）76y0通解為（）.

Aj-C^+C/'Bj-Q^+e'')

:

C,v=(C,?4C?ryI),)=C,f'+Cjt

下列微分方程中，3的通第是尸Q'?€/'.

AyM-2/-3v-OBv"-2/-3=O

cmDf+y-2=o

徼分方程2Y'+j'r-。的通第是（）.

?

A.『=C檔*+C/:BJ-C/+C/2

Ii

Cj-Q"Cf『Di=C/+Q:，

I■

微分方程F+7『=0的通解是（）

T,C.y=Q%+GD)=C/*

\.y=CteBvaCj+C/''

I

微分方程/+『-6y=0的通解是（）

Cy=GeJQhD)=C,?+Cje,

A.）=C,eh+C/'B-=G戶+Q”