3.1.2 橢圓及其標準方程 教學設計-2023-2024學年高二上學期數(shù)學人教A版（2019）選擇性必修第一冊

3.1.2橢圓及其標準方程教學設計-2023-2024學年高二上學期數(shù)學人教A版（2019）選擇性必修第一冊授課內容授課時數(shù)授課班級授課人數(shù)授課地點授課時間教學內容分析本節(jié)課的主要教學內容是橢圓及其標準方程。橢圓是平面上的曲線，其所有點到兩個焦點的距離之和是一個常數(shù)，這個常數(shù)稱為橢圓的長軸長。橢圓的標準方程可以通過將橢圓方程轉換為標準形式來得到，其中涉及到橢圓的離心率和半長軸、半短軸等參數(shù)。

教學內容與學生已有知識的聯(lián)系主要體現(xiàn)在以下幾個方面：首先，學生已經(jīng)掌握了圓的方程和性質，這為理解橢圓的定義和性質奠定了基礎。其次，學生已經(jīng)學習了直線方程和二次函數(shù)方程，這有助于理解橢圓的標準方程的推導過程。最后，學生已經(jīng)學習了三角函數(shù)和向量，這為計算橢圓的離心率和參數(shù)提供了工具。

本節(jié)課的內容與課本《數(shù)學人教A版（2019）選擇性必修第一冊》第3章“圓錐曲線”中的“橢圓及其標準方程”相關聯(lián)。通過本節(jié)課的學習，學生將能夠掌握橢圓的定義和性質，學會推導橢圓的標準方程，并能夠運用所學知識解決實際問題。核心素養(yǎng)目標本節(jié)課旨在培養(yǎng)學生運用數(shù)學知識解決問題的能力，提升學生的數(shù)學思維和抽象思維能力，培養(yǎng)學生邏輯推理和數(shù)學建模的能力。通過學習橢圓及其標準方程，學生將能夠運用數(shù)學知識解決實際問題，培養(yǎng)學生的數(shù)學應用能力和創(chuàng)新能力。同時，本節(jié)課還將培養(yǎng)學生與他人合作交流的能力，培養(yǎng)學生的團隊合作精神。重點難點及解決辦法1.重點：

-橢圓的定義及其幾何屬性

-橢圓的標準方程及其推導

-橢圓的應用實例

2.難點：

-橢圓定義的深入理解

-橢圓標準方程的推導過程

-橢圓的應用實例分析

解決辦法：

-對于橢圓定義的深入理解，可以通過實際例子和圖形的直觀展示來幫助學生理解橢圓的形狀和性質。

-對于橢圓標準方程的推導過程，可以通過逐步引導和公式推導，讓學生跟隨教師的思路，逐步掌握推導過程。

-對于橢圓的應用實例分析，可以通過實際問題來引導學生分析問題、建立模型、求解問題，從而培養(yǎng)學生的應用能力和創(chuàng)新能力。

突破策略：

-采用小組合作學習的方式，讓學生在小組內交流討論，共同解決問題，培養(yǎng)學生的團隊合作精神。

-利用多媒體教學手段，如動畫、視頻等，增強教學的直觀性和生動性，提高學生的學習興趣和積極性。

-設計一些實際問題讓學生進行探究，培養(yǎng)學生的數(shù)學應用能力和創(chuàng)新能力。教學資源準備1.教材：確保每位學生都有本節(jié)課所需的教材或學習資料。本節(jié)課所需教材為人教A版（2019）選擇性必修第一冊，第3章“圓錐曲線”中的“橢圓及其標準方程”。

2.輔助材料：準備與教學內容相關的圖片、圖表、視頻等多媒體資源。這些資源主要包括：

-橢圓的圖形展示，包括標準橢圓、斜橢圓、雙曲型橢圓等，以幫助學生直觀地理解橢圓的形狀和性質。

-橢圓的標準方程推導過程的步驟圖解，以幫助學生理解推導過程。

-橢圓的實際應用實例，如衛(wèi)星軌道、行星軌道等，以幫助學生了解橢圓在實際中的應用。

3.實驗器材：如果涉及實驗，確保實驗器材的完整性和安全性。本節(jié)課不涉及實驗，故無需準備實驗器材。

4.教室布置：根據(jù)教學需要，布置教室環(huán)境，如分組討論區(qū)、實驗操作臺等。具體布置如下：

-將教室分成幾個小組討論區(qū)，每個小組配備一張桌子、幾把椅子，以便學生進行小組討論和合作學習。

-在教室的一側設置一個實驗操作臺，用于展示橢圓的標準方程推導過程的步驟圖解，以便學生更直觀地了解推導過程。

五、教學過程設計

1.導入：通過一個關于橢圓的實際問題，引發(fā)學生的興趣和好奇心，引導學生思考橢圓的定義和性質。

2.講解：結合教材和輔助材料，講解橢圓的定義、幾何屬性、標準方程及其推導過程。講解過程中，注重引導學生思考和理解，及時解答學生的疑問。

3.實踐：通過小組合作學習，讓學生在小組內交流討論，共同解決一個關于橢圓的實際問題。在討論過程中，鼓勵學生運用所學知識，培養(yǎng)學生的團隊合作精神和創(chuàng)新能力。

4.總結：對本節(jié)課的內容進行總結，強調橢圓的定義、幾何屬性、標準方程及其推導過程。同時，引導學生思考橢圓在實際中的應用，激發(fā)學生的學習興趣。

5.作業(yè)：布置與本節(jié)課內容相關的作業(yè)，要求學生獨立完成，鞏固所學知識。

六、教學評價

1.課堂參與度：觀察學生在課堂上的參與程度，了解學生對橢圓及其標準方程的掌握情況。

2.小組合作學習：觀察學生在小組合作學習中的表現(xiàn)，了解學生是否能夠運用所學知識解決問題，培養(yǎng)學生的團隊合作精神。

3.作業(yè)完成情況：檢查學生的作業(yè)完成情況，了解學生對橢圓及其標準方程的掌握程度。

4.課后反饋：收集學生的意見和建議，了解學生對課堂的滿意度，為今后的教學提供參考。教學過程設計1.導入新課（5分鐘）

目標：激發(fā)學生對橢圓及其標準方程的學習興趣。

過程：教師通過展示一個關于橢圓的實際問題，如衛(wèi)星軌道的形狀，引發(fā)學生的興趣和好奇心，引導學生思考橢圓的定義和性質。

2.橢圓的定義與幾何屬性（10分鐘）

目標：使學生了解橢圓的定義和幾何屬性。

過程：教師結合教材和輔助材料，講解橢圓的定義、幾何屬性，如焦點、長軸、短軸等，并通過圖形展示，幫助學生直觀地理解橢圓的形狀和性質。

3.橢圓的標準方程及其推導（20分鐘）

目標：使學生掌握橢圓的標準方程及其推導過程。

過程：教師結合教材和輔助材料，講解橢圓的標準方程及其推導過程，通過逐步引導和公式推導，讓學生跟隨教師的思路，逐步掌握推導過程。

4.學生小組討論（10分鐘）

目標：培養(yǎng)學生運用所學知識解決問題的能力，培養(yǎng)學生的團隊合作精神。

過程：教師給出一個關于橢圓的實際問題，要求學生在小組內交流討論，共同解決問題。在討論過程中，鼓勵學生運用所學知識，培養(yǎng)學生的團隊合作精神和創(chuàng)新能力。

5.課堂展示與點評（15分鐘）

目標：檢查學生對橢圓及其標準方程的掌握情況，提高學生的表達能力和自信心。

過程：每個小組派代表上臺展示本小組的討論成果，其他同學認真傾聽，教師對每個小組的表現(xiàn)進行點評，指出優(yōu)點和不足，鼓勵學生繼續(xù)努力。

6.課堂小結（5分鐘）

目標：對本節(jié)課的內容進行總結，鞏固學生的學習成果。

過程：教師對本節(jié)課的內容進行總結，強調橢圓的定義、幾何屬性、標準方程及其推導過程，同時，引導學生思考橢圓在實際中的應用，激發(fā)學生的學習興趣。拓展與延伸1.提供與本節(jié)課內容相關的拓展閱讀材料：

-《數(shù)學之美》一書中關于橢圓的內容，作者：吳軍。

-《幾何原本》中關于橢圓的定義和性質的描述。

-《解析幾何》一書中關于橢圓的標準方程及其推導過程的詳細講解。

-《橢圓的應用與研究》一文，介紹了橢圓在天文、工程、生物學等領域的應用。

2.鼓勵學生進行課后自主學習和探究：

-要求學生查閱相關資料，深入了解橢圓的定義、幾何屬性、標準方程及其推導過程。

-鼓勵學生探索橢圓在實際中的應用，如衛(wèi)星軌道、行星軌道、天文望遠鏡等。

-引導學生思考橢圓與其他曲線（如圓、雙曲線、拋物線等）的關系，探索它們之間的共性和差異。

-要求學生進行橢圓的標準方程的推導練習，提高學生的數(shù)學思維和計算能力。

-鼓勵學生參與橢圓的實驗探究，如制作橢圓模型、測量橢圓的參數(shù)等，培養(yǎng)學生的動手能力和創(chuàng)新能力。

-引導學生運用橢圓的知識解決實際問題，如設計橢圓形的跑道、計算橢圓形的面積等，培養(yǎng)學生的數(shù)學應用能力。內容邏輯關系1.橢圓的定義及其幾何屬性

重點知識點：橢圓的定義、焦點、長軸、短軸、離心率等。

板書設計：

-橢圓的定義：所有點到兩個焦點的距離之和是一個常數(shù)

-焦點：橢圓上離橢圓中心最近的點

-長軸：橢圓上距離最長的直徑

-短軸：橢圓上距離第二長的直徑

-離心率：橢圓的焦距與長軸長度的比值

2.橢圓的標準方程及其推導

重點知識點：橢圓的標準方程、參數(shù)方程、推導過程等。

板書設計：

-橢圓的標準方程：\[\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1\]

-參數(shù)方程：\[x=a\cos(t),y=b\sin(t)\]

-推導過程：將橢圓的參數(shù)方程轉換為標準方程

3.橢圓的應用實例分析

重點知識點：橢圓在天文、工程、生物學等領域的應用。

板書設計：

-橢圓在天文學中的應用：衛(wèi)星軌道、行星軌道等

-橢圓在工程學中的應用：橢圓形跑道、橢圓形水池等

-橢圓在生物學中的應用：細胞核的形狀、植物葉片的形狀等典型例題講解1.題型一：求橢圓的離心率

【例題】已知橢圓的方程為\(\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1\)，求橢圓的離心率。

【答案】橢圓的離心率\(e\)可以通過公式\(e=\sqrt{1-\frac{b^2}{a^2}}\)計算得出。

2.題型二：求橢圓的長軸和短軸

【例題】已知橢圓的方程為\(\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1\)，求橢圓的長軸和短軸。

【答案】橢圓的長軸長度為\(2a\)，短軸長度為\(2b\)。

3.題型三：求橢圓的焦點坐標

【例題】已知橢圓的方程為\(\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1\)，求橢圓的焦點坐標。

【答案】橢圓的焦點坐標為\((±c,0)\)，其中\(zhòng)(c=\sqrt{a^2-b^2}\)。

4.題型四：求橢圓的參數(shù)方程

【例題】已知橢圓的方程為\(\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1\)，求橢圓的參數(shù)方程。

【答案】橢圓的參數(shù)方程為\(x=a\cos(t),y=b\sin(t)\)，其中\(zhòng)(t\)是參數(shù)。

5.題型五：求橢圓的面積

【例題】已知橢圓的方程為\(\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1\)，求橢圓的面積。

【答案】橢圓的面積\(S\)可以通過公式\(S=\piab\)計算得出。

6.題型六：求橢圓的方程

【例題】已知橢圓的長軸長度為\(2a\)，短軸長度為\(2b\)，求橢圓的方程。

【答案】橢圓的方程為\(\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1\)。

7.題型七：求橢圓的焦點距離

【例題】已知橢圓的方程為\(\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1\)，求橢圓的焦點距離。

【答案】橢圓的焦點距離\(2c\)可以通過公式\(2c=2\sqrt{a^2-b^2}\)計算得出。

8.題型八：求橢圓的斜率

【例題】已知橢圓的方程為\(\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1\)，求橢圓的斜率。

【答案】橢圓的斜率可以通過公式\(k=-\frac{a^2}{b^2}\)計算得出。

9.題型九：求橢圓的參數(shù)\(t\)

【例題】已知橢圓的參數(shù)方程為\(x=a\cos(t),y=b\sin(t)\)，求橢圓的參數(shù)\(t\)。

【答案】橢圓的參數(shù)\(t\)可以通過公式\(t=\arctan\left(\frac{y}{x}\right)\)計算得出。

10.題型十：求橢圓的參數(shù)方程中的參數(shù)\(a\)和\(b\)

【例題】已知橢圓的參數(shù)方程為\(x=a\cos(t),y=b\sin(t)\)，求橢圓的參數(shù)\(a\)和\(b\)。

【答案】橢圓的參數(shù)\(a\)和\(b\)可以通過公式\(a=\sqrt{x^2+y^2}\),\(b=\sqrt{x^2-y^2}\)計算得出。教學評價與反饋1.課堂表現(xiàn)：觀察學生在課堂上的參與程度，了解學生對橢圓及其標準方程的掌握情況。重點關注學生在課堂上的提問、回答問題、參與討論等情況，以及學生對橢圓定義、標準方程及其推導過程的理解程度。

2.小組討論成果展示：通過小組討論，了解學生對橢圓及其標準方程的掌握情況，以及學生的團隊合作精神和創(chuàng)新能力。觀察學生在小組討論中的表現(xiàn)，了解他們是否能夠運用所學知識解決問題，以及他們在討論中的參與度和貢獻度。

3.隨堂測試：通過隨堂測試，了解學生對橢圓及其標準方程的掌握情況，以及學生的計算能力和解決問題的能力。測試內容應包括橢圓的定義、標準方程及其推導過程，以及橢圓的應用實例。

4.作業(yè)完成情況：檢查學生的作業(yè)完成情況，了解學生對橢圓及其標準方程的掌握程度。重點關注學生的作業(yè)完成質量，以及他們在作業(yè)中遇到的問題和困難。

5.教師評價與反饋：根據(jù)以上評價結果，對學生的學習情況進行綜合評價，給出有針對性的反饋和建議。對于表現(xiàn)優(yōu)秀的學生，給予表揚和鼓勵，激發(fā)他們的學習興趣和積極性。對于存在困難的學生，給予個別輔導和指導，幫助他們解決學習中的問題，提高他們的學習能力和自信心。同時，根據(jù)學生的反饋和建議，對教學內容和教學方法進行調整和改進，以提高教學效果和學生的滿意度。反思改進措施（一）教學特色創(chuàng)新

1.引入實際問題：在教學中引入與橢圓相關的實際問題，如衛(wèi)星軌道、行星軌道等，激發(fā)學生的興趣和好奇心，讓學生了解橢圓在實際中的應用。

2.小組合作學習：組織學生進行小組合作學習，培養(yǎng)學生的團隊合作精神和創(chuàng)新能力。通過小組討論和合作解決問題，提高學生的參與度和學習效果。

3.多媒體教學手段：利用多媒體教學手段，如動畫、視頻等，增強教學的直觀性和生動性，提高學生的學習興趣和積極性。

（二）存在主要問題

1.教學管理：在課堂管理方面，存在部